Équations horaires EQUATIONS: POSITION,VITESSE,ACCELERATION DU POINT G Y 3,5 3 p1(bâti-1 / plateau-1) ( m ) v1(bâti-1 / plateau-1) ( m/s ) a1(bâti-1 / plateau-1) ( m/s² ) 2,5 2 + G + G + G 1,5 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 1 0,5 0 Temps ( s ) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 X -0,5-1 -1,5 PHASE 1 PHASE 2 PHASE 3 Objectif : Déterminer les équations horaires d un solide en translation, en rotation. 1
Sommaire 1 Objectif... 3 2 Équations d un mouvement de translation rect. Unif.. 3-6 3 Equations d un mouvement de translation MRUV... 6-9 4 Mouvement de rotation..................... 9 4.1 MCU... 9-10 4.2 MCUV... 10 4.3 Relation entre V et... 11 5- Accélération normale et tangentielle... 11-12 5.1 Représentation... 12 2
1-Objectif : Lorsqu on aborde la partie concernant le déplacement d un organe (l actionneur étant soit un vérin soit un moteur), celui-ci muni d une charge, en translation rectiligne ou en rotation autour d un axe va faire intervenir pour son dimensionnement de nombreux critères ; en particulier, citons les caractéristiques mécaniques telles que couple ou effort, mais aussi la loi de conduite temporelle. C est ce dernier point qui nous intéresse aujourd hui!! Les lois de conduites temporelles permettent au travers de leurs graphes de visualiser le comportement en vitesse de l actionneur, elles sont nombreuses et variés chacune disposant d avantages et d inconvénients, citons en quelques unes : *Source : revue TECHNOLOGIE 111 _ JANVIER-FÉVRIER 2001 2- Équations d un mouvement de translation rectiligne uniforme. Le plus simple car il se caractérise par une vitesse de déplacement uniforme. Soit le repère ( o,x, y ), le point G décrit au cours du mouvement de translation rectiligne une droite d axe x. Le chronomètre est déclenché lorsque la bille passe au niveau du point O. Zone d accélération O Rail gradué Zone où la vitesse est constante Bille Bloc moteur 0 m Sens du mouvement 1 m 3
L image ci-dessous nous montre qu à chaque intervalle de temps le déplacement est quasiment le même (sauf marge d erreur pouvant s expliquer par la qualité du pointage vidéo). La position Il est donc possible de traduire cette trajectoire par une courbe nous permettant de connaître la position de la boule en fonction du temps. L équation de cette courbe est donc une droite de la forme : X(t)= d(t) = a.t +b ou a = V (vitesse, d=v.t) b = cte correspondant à la position du solide / à la ligne de départ au moment du départ ici b sera égal à «0». X(t)= d(t) = V 0.t La Vitesse L allure de la courbe le confirme, la vitesse reste la même, la fonction mathématique sera donc de la forme : V(t)= Cte = V 0 ou V 0 (vitesse, V=d/t) En allant plus loin on s aperçoit que l équation horaire de la vitesse correspond à la dérivée de la fonction X(t) : X (t)= V(t) = V 0 4
L accélération L allure de la courbe le confirme, l accélération reste quasiment nulle, la fonction mathématique sera donc de la forme : a(t)= 0 En allant plus loin on s aperçoit que l équation horaire de l accélération correspond à la dérivée seconde de la fonction X(t) ou à la dérivée de la vitesse : a(t)=x (t)= dx (t)/dt soit a(t)= 0 - Résumé. Pour définir un mouvement il est nécessaire de définir au préalable deux repères : - Un repère d espace - Un repère de temps Ce mouvement est appelé Mouvement Rectiligne Uniforme ou M.R.U, il se caractérise par le fait que la vitesse du solide reste constante. Les équations permettant de donner la position, la vitesse et l accélération répondent aux solutions suivantes : Equation horaire de la position : M.R.U X (t) = V o.t + X o Equation horaire de la vitesse : Xo : position du point à l instant t = 0 (moment du départ) X (t) = V o Vo = constante vitesse à l instant t = 0 (moment du départ) Accélération du mouvement : X (t) = 0 - Conditions initiales au moment du départ : Nota : chaque terme pouvant être positif, négatif ou nul suivant le repère. Valeur de x 0 pour les 3 cas suivant : Départ X 0 = 0 Après la ligne Avant la ligne + X 0 -X 0 Sur la ligne 5
Valeur de V 0 pour les 2 cas suivant : + V 0 Solide passant la ligne de départ à la vitesse V 0. - V 0 Solide passant la ligne de départ à la vitesse V 0. Sens du mouvement opposé au repère. Allure des courbes dans tout cela! X(t) Courbes de X(t) et V(t) pour cas suivant : V(t) V 0 = cte Xo Xo = 0 -Xo -V 0 = cte La vitesse reste la même. La position de la droite est fonction du sens du mouvement par rapport au repère. 3- Équations d un mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré. Le chronomètre est déclenché lorsque la bille est lâchée au niveau du point O. Rail gradué Zone d accélération Bille 1 m Sens du mouvement 0 m O La bille est lâché sans vitesse au niveau du 1er trait coté pied. 6
L image ci-dessous nous montre qu à chaque intervalle de temps le déplacement n est pas le même, les distances parcourues par unité de temps augmente. Deux conclusions peuvent être tirer : - La vitesse augmente - La boule accélère. La position La courbe nous permettant de connaître la position de la boule en fonction du temps, son type est une équation de parabole, de la forme : X(t)= d(t) = k.t²+ cte Courbe inversée La vitesse L équation horaire de la vitesse correspond à la dérivée de la fonction précédente X(t), on L accélération retrouve une équation de droite: X (t)= V(t) = a.t + b Courbe inversée 7
L équation horaire de l accélération correspond à la dérivée seconde de la fonction X(t) ou à la dérivée de la vitesse : a(t)=x (t)= dx (t)/dt soit a(t)= cte Courbe inversée - Résumé. Ce mouvement est appelé Mouvement Rectiligne Uniforme Varié ou M.R.U.V (Varié est un terme généraliste pour être plus précis on pourrait soit utiliser A pour Accéléré (MRUA) ou D pour Décéléré ( MRUD)), il se caractérise par le fait que la vitesse du solide est en constante évolution. Les équations permettant de donner la position, la vitesse et l accélération répondent aux solutions suivantes : Equation horaire de la position : X(t) = 1/2.a.t² + V o.t + X o Xo position du point à l instant t = 0 Equation horaire de la vitesse : v (t) = X (t) = a.t + V o vo vitesse initiale à l instant t = 0 ( début du mouvement ) M.R.U.V Nota : chaque terme pouvant être positif, négatif ou nul en fonction du repère local. Accélération du mouvement : a (t) = X (t) = a Valeur de x 0 pour les 3 cas suivant : Courbe de X(t) pour les 6 cas suivant : Départ Après la ligne Avant la ligne + X 0 X(t) La distance augmente. -X 0 +xo X 0 = 0 Sur la ligne -xo X(t) 8
Solide à l arrêt Valeur de V 0 pour les 3 cas suivant : + V 0 Solide passant la ligne de départ à la vitesse V 0. Courbe de V(t) pour les 4 cas suivant : V(t) La vitesse augmente. La vitesse diminue. V 0 = 0 - V 0 V(t ) Solide passant la ligne de départ à la vitesse V 0. Valeur de a pour les 4 cas suivant : La vitesse augmente (accélération) Ou chute (freinage) Courbe de a pour les 4 cas suivant : + a Solide passant la ligne de départ avec une accélération ou une décélération a. + a Solide passant la ligne de départ avec une accélération ou une décélération a. - a - a a - a - a + a Solide passant la ligne de départ avec une accélération ou une décélération a. Sens du mouvement opposé au repère. 4 -Mouvement de rotation Solide passant la ligne de départ avec une accélération ou une décélération a. Sens du mouvement opposé au repère. Nous irons très vite pour cette partie car les équations sont du même type que celle que nous venons de voir, seule une notation propre au mouvement de rotation les différents. 4.1- Mouvement circulaire uniforme (MCU) Définition : On appelle mouvement circulaire d un point M, un mouvement tel que la trajectoire suivie par le point soit un cercle orientée. Un mouvement est uniforme si le vecteur vitesse angulaire est constant et le vecteur accélération angulaire est égal au vecteur nul. Platine à l instant t (t) 9
Équations : Soient 0 (rad/s) la vitesse angulaire et 0 (rad) la position angulaire de la platine à l instant t 0 (s) et (t) la position angulaire de la came à l instant t (s). Les équations caractéristiques du mouvement sont : (t) = (t) = 0 (t) = (t) = 0 = Constante (t) = 0.t + 0. Où 0 et 0 sont les conditions initiales à t 0. Les graphes du mouvement sont : (t) (t) (t) = 0 (t) t t t 4.2- Mouvement circulaire uniformément varié (MCUV) Définition : On appelle mouvement circulaire d un point M, un mouvement tel que la trajectoire suivie par le point soit un cercle orientée. Un mouvement est uniformément varié si le vecteur accélération angulaire est constant. Équations : Les équations caractéristiques du mouvement sont : (t) = = Constante avec positif ou négatif (t) =.t + 0 1 (t)=..t 2 + 0.t + 2 0 Où 0 et 0 sont les conditions initiales à t 0. est exprimé en rad/s 2. Les graphes du mouvement sont : (t) (t) (t) (t) = (t) = 1/2..t 2 + 0.t + 0. (t) =.t + 0 t t t 10
4.3 - Relation entre V et. La vitesse angulaire comme la fréquence de rotation n est propre au mouvement de rotation, la valeur indique le nombre de radian ou de tour parcouru par seconde ou minute. Angle / temps = / t n Angle / temps = / t : Vitesse angulaire en rad/s : Angle débattu en radian ou en tr t : temps en seconde n : Fréquence de rotation en tr/s Le passage d un système d unité à l autre se fait à l aide des formules de transformation suivantes : Si n est en tr/min : = 2.n /60 Si n est en tr/s : = 2.n La vitesse linéaire V est exprimée en m/s, elle caractérise la distance d parcourue par unité de temps : V = d / t d : distance en m t : temps en seconde Remarquons sur la figure 1 ci-contre que tous les points N et M ont la même vitesse angulaire ou la même fréquence de rotation (45 tr/min). Par contre ils n ont pas la même vitesse linéaire V, pourquoi? V (t) + N + M (t) + O Fig.1- Représentation de la vitesse V d un point Réflexion pour n = 1 tour/sec : Pour M : d correspond au périmètre du cercle OM Pour N : d correspond au périmètre du cercle ON Comme les distances à parcourir ne sont pas les mêmes mais le temps, oui, la vitesse V n est donc pas la même. V(t) = périmètre x n = 2 R x n = R x (t) V : Vitesse linéaire en m/s R : rayon en m n : fréquence de rotation en tr/s : vitesse angulaire en rad/s Application numérique : n = 45 tr/min ON = 7,5 cm OM = 12 cm V N = 35, 35 cm/s et V M = 56, 55 cm/s 5-Accélération normale et tangentielle. Soit la phase d accélération du disque (MCUA) : 11
(t) + O A gauche, en rouge la trajectoire du point au début du démarrage, en noir la représentation du vecteur vitesse V, tangent à la trajectoire et proportionnel au rayon et à sa vitesse angulaire. Vitesse tangentielle ou linéaire : V ( t) ( t). R en m/s V (t) 5.1- Représentation de l accélération d un point L accélération a(t) représentée sur l image de gauche se décompose en deux composantes : - une, tangente à la trajectoire notée a t - une, normale à la trajectoire notée a n c'est-à-dire portée par le rayon. at (t) Masselotte à l instant t a(t) O + M (t) an (t) Accélération tangentielle : at ( t) '( t). R R. en m/s 2 Accélération normale : an ( t) ( t) 2. R en m/s 2 12