Perspective historique, résolutions des équations algébriques de petit degré

Perspective historique, résolutions des équations algébriques de petit degré Delphine Milenovic 3 février 01 Résumé Ce travail présente la résolution des équations algébriques de degrés, 3 et 4 au fil du temps. Nous insistons sur les degrés 3 et 4, en expliquant les méthodes de résolution par radicaux proposées par Cardan et Ferrari. Nous évoquons enfin quelques résultats plus généraux.

TABLE DES MATIÈRES Table des matières 0 Rappels 1 Antiquité 3 1.1 Les Babyloniens.......................... 3 1.1.1 Système de numération................. 3 1.1. Les équations....................... 3 1.1.3 Bilan des connaissances................. 4 1. Les Grecs............................. 5 1..1 Système de numération................. 5 1.. Différentes méthodes déductives............ 5 1..3 Les équations....................... 8 Moyen Age : le monde arabe 9.1 Système de numération..................... 9. Les équations........................... 9 3 Renaissance italienne 11 3.1 Introduction historique...................... 11 3. La formule de Cardan...................... 1 3.3 La formule de Ferrari....................... 14 4 Et après... 15 4.1 Viète, d Alembert, Lagrange et Cauchy............ 15 4. Ruffini et Abel.......................... 16 4.3 Evariste Galois, une vie mouvementée............. 16 5 Conclusion 19 0 Rappels Nous allons nous intéresser tout au long de ce travail aux équations algébriques de petit degré et à l histoire de leur résolution. Rappelons la définition d une équation algébrique. Définition. Une équation algébrique est une équation de la forme a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 = 0, où les a i sont des nombres réels ou complexes et n entier. Nous allons suivre pas à pas les progrès dans les résolutions des équations de degré, 3 et 4 par radicaux, i.e. en utilisant seulement l addition, la soustraction, la multiplication, la division et l extraction de racines n-ièmes. De telles équations peuvent avoir une interprétation géométrique pour les petits degrés ; c est une des raisons pour lesquelles les mathématiciens s y

1 ANTIQUITÉ 3 sont intéressés très tôt, dès 00 avant notre ère. 1 Antiquité 1.1 Les Babyloniens Dès que l homme vit en communauté, les contraintes économiques et sociales l incitent à s intéresser aux nombres et à une géométrie empirique permettant de mesurer longueur et surface. Cependant, on parle vraiment de mathématiques à partir de la civilisation babylonienne, active de 00 à 550 avant notre ère. Les premiers textes connus, retrouvés sur des tablettes d argile, présentent des relevés de comptabilité : nombre de sacs de grains, d esclaves, d animaux domestiques. 1.1.1 Système de numération Les Babyloniens représentent les nombres à l aide d un système positionnel 1 mixte (en base 10 et en base 60). Ce système sexagésimal est d ailleurs à l origine de notre division actuelle des heures et des degrés en minutes et secondes. En voici un exemple = 1; 4, 51, 10 = 1 + (4/60) + (51/60 ) + (10/60 3 ), c est-à-dire dans notre notation actuelle 1,414196... Dès 300 av. J.-C., une sorte de zéro est introduit pour indiquer les positions intermédiaires ; il faudra cependant attendre le V e siècle ap. J.-C. pour que les Indiens considèrent pour la première fois le zéro comme un nombre à part entière, résultat de l opération n n, n N. 1.1. Les équations Les Babyloniens peuvent résoudre des équations de degré, ainsi que quelques équations de degré 3 et 4. Les problèmes qui les préoccupent principalement sont de nature géométrique. Par exemple, connaître la longueur du côté d un carré dont l aire moins le côté égale à 870, ce qui donne dans notre notation actuelle x x = 870. D autres problèmes sont des systèmes de deux équations, la première de degré 1 et la deuxième de degré : J ai additionné la surface de mes deux carrés : 1,40. J ai additionné les côtés de 1. En opposition au système additif, bien moins efficace, qui sera cependant utilisé par la suite par les Grecs et les Romains.. Exemple reproduit avec nos chiffres arabes, bien évidemment inconnus des Babyloniens. Le point-virgule donne la démarcation de l unité, les virgules séparent les autres groupements.

1 ANTIQUITÉ 4 mes carrés : 50., i.e. { x + y = 1, 40 x + y = 50. Ces différentes équations sont résolues par complétion du carré, substitution ou encore par un algorithme de résolution des équations de degré. La solution proposée au problème ci-dessus est de cette dernière forme : (1) Tu fractionneras en deux 1,40, tu inscriras 10,50. () Tu fractionneras en deux 50 : 5. (3) Tu multiplieras 5 et 5 : 10,5. (4) Tu soustrairas de 10,50 : 5. (5) C est le carré de 5. (6) Tu ajouteras 5 au permier 5 : 30, le côté du premier carré. (7) Tu soustrairas 5 du second 5 : 0, le côté du second carré. Analysons cette solution à l aide de nos notations actuelles : Etape par étape 1,40 Transcription généralisée x +y = a (1) = 10, 5 50 () = 5 x+y = b (3) 5 = 10, 5 = 10 60 + 5 ( x+y ) = ( b ) x (4) 10, 50 10, 5(= 650 65) = 5 +y ( x+y ) = ( x y ) = a ( b ) = a b 4 (5) 5 = 5 ( x y ) = a b = x y (6) 5 + 5 = 30 x = x+y + x y = b+ a b (7) 5 5 = 0 y = x+y x y = b a b Toutefois, les Babyloniens n ont pas le souci de justifier et de prouver les règles qu ils utilisent, de même qu ils ne justifient pas les différentes étapes de leur raisonnement. Les solutions qu ils donnent sont ainsi sous forme de recette, et la solution numérique fait office de vérification 3. 1.1.3 Bilan des connaissances Bien qu ils ne justifient pas leurs méthodes, les Babyloniens n en sont pas moins d habiles calculateurs et ont réussi à résoudre des équations de type varié dont voici une liste non exhaustive : ax = b, x = a, x + ax = c, x ax = c, ax + bx = c, ax bx = c, ainsi que différents systèmes d équations à deux (et parfois trois) inconnues. Remarquons que les Babyloniens ne calculent qu avec des nombres positifs, raison pour laquelle ils distinguent autant de types différents d équations. 3. En effet, 30 + 0 (= 1300) = 1, 40.

1 ANTIQUITÉ 5 Ils utilisent également les identités remarquables (a + b) et (a + b)(a b), connaissent la suite géométrique et quelques autres séries élémentaires, ainsi qu une procédure très efficace pour évaluer la racine carrée. Pour ce qui est de la géométrie, les Babyloniens connaissent les théorèmes de Pythagore et de Thalès, sont capables de calculer l aire du triangle, du trapèze, du cercle (avec π = 3) et le volume du prisme et du cylindre. Voilà un début prometteur! 1. Les Grecs Nous faisons une impasse sur les mathématiques égyptiennes et arrivons en Grèce, où dès le VI e siècle av. J.-C. les hommes s interrogent sur le comment, mais surtout sur le pourquoi. Berceau de la philosophie, alors mêlée à la physique, et des mathématiques en tant que science déductive, la Grèce bénéficie de l héritage des civilisations babyloniennes, égyptiennes, phéniciennes et crétoises qui lui permettent de révolutionner l approche des mathématiques par leurs démarches méthodiques et déductives. 1..1 Système de numération Les systèmes de numération sont nombreux en Grèce, mais deux semblent avoir été plus largement utilisés : il s agit des systèmes attique et ionique. Tous deux sont des systèmes dits additifs, à l image du système numéral romain, et tous deux sont en base 10 (qui semble donc s imposer face à la base 60). Si ces systèmes suffisaient aux besoins de l époque, leur écriture est toutefois difficile, notamment en ce qui concerne les fractions. Malgré cela, contrairement aux Babyloniens qui ne prenaient en compte que quelques fractions particulières, les Grecs admettent tous les nombres de la forme q = n m, n N, m N. Tout comme les Babyloniens, les Grecs ne considèrent pas les négatifs comme des nombres : bien qu ils utilisent la soustraction, les négatifs n ont aucune signification géométrique pour eux. Il en va de même pour les nombres irrationnels : si les Grecs admettent leur existence, ils travaillent encore très peu avec ces nombres. Avant de parler des équations résolues par les Grecs, nous choisissons de présenter quelques méthodes déductives qui ont révolutionné l approche des mathématiques par leur rigueur. 1.. Différentes méthodes déductives Euclide synthétise au III e s. av. J.-C. une grande partie des connaissances mathématiques grecques dans les Eléments, œuvre imposante composée de 13 livres comprenant 465 propositions. Euclide y présente des

1 ANTIQUITÉ 6 preuves parfaitement méthodiques, dont chaque étape est justifiable à partir d axiomes et de propositions antérieures du traité. Observons plus attentivement trois types particuliers de preuve 4. Géométrie des figures Les propositions géométriques euclidiennes sont composées d un texte et d un diagramme indissociablement liés l un à l autre. Le théorème suivant (I, 47) est généralement attribué à Pythagore, fondateur de l école du même nom, qui affirme que tout est nombre. Cette paternité n est toutefois attestée nulle part, et il ne s agirait que d une des nombreuses légendes qui entoure le célèbre fondateur des mathématiques grecques. Théorème 1.1 (Théorème de Pythagore). Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté sous-tendant l angle droit est égal aux carrés sur les côtés contenant l angle droit 5. L D E B F C A G K L Figure 1 Soit ABC ayant l angle sous BAC droit, selon la construction indiquée en (I,47) et non reproduite ici. Idée de preuve. (a) Après avoir montré que (GA) et (AC), respectivement (BA) et (AH) sont alignés et forment donc une droite, Euclide montre que les triangles F BC et ABD sont égaux. (b) Euclide montre ensuite que le parallélogramme BL 6 est le double du triangle ABD. Pour cela, il se fonde sur le fait qu ils ont la même base base BD et qu ils sont tous deux compris entre les mêmes parallèles (BD) et (AL) 7. Euclide fait de même pour le triangle F BC et le parallélogramme BG, ce qui implique naturellement l égalité des parallélogrammes BL et BG. Et similairement pour les parallélogrammes CL et CH. 4. Pour cette partie, nous nous référons principalement à Mathématiques, ce que les Grecs ont vraiment inventé, in : Science et Vie, février 000, p.57-63, auquel nous avons notamment emprunté la formulation des énoncés euclidiens. 5. Selon une formulation proche de celle des Eléments. 6. Il s agit plus précisément d un rectangle. Relevons également que, par souci de concision, Euclide nomme les quadrilatères par leur diagonale. 7. L affirmation suit donc de l application de la formule des aires du triangle et du parallélogramme.

1 ANTIQUITÉ 7 D B F E L D B c b² a² a² a M b² C A G C A b (a) 1ère étape (b) e étape (c) Conclusion Figure Illustration de la preuve Théorie des proportions Un autre grand type de preuve utilisée par les Grecs est l application de la théorie des proportions pour montrer la similitude de figures planes (ici des triangles) en utilisant le parallélisme. Nous présentons ci-dessous la première partie de l énoncé d un résultat dit théorème de Thalès (VI, ). Thalès de Milet est le premier homme auquel sont attribués des résultats mathématiques précis ; il est né au VII e siècle av. J.-C. et, selon la légende, a fondé la méthode mathématique rationnelle. Théorème 1. (Théorème de Thalès). Soit le triangle ABC et soit la droite (DE) parallèle au côté BC du triangle ABC. Alors BD DA = CE EA. A D E B C Figure 3 Démonstration. Les triangles BDE et CDE sont égaux, car ils ont la même base est sont compris entre les mêmes parallèles (cf. I, 38-39). Il en suit, en observant les triangles ABE et ADC qui ont ADE en commun : D où on conclut : BD DA = CE EA. BDE ADE = CDE ADE. L idée principale est donc qu un rapport d aires peut être considéré comme un rapport de longueurs, et réciproquement.

1 ANTIQUITÉ 8 Preuve par l absurde Il s agit de la troisième nouvelle méthode de preuve proposée par les Grecs : supposer qu une affirmation est fausse pour prouver qu elle est vraie! Un exemple très connu de cette preuve est celle tirée des Eléments (IX,0) où Euclide démontre l existence d une infinité de nombres premiers. Cette preuve faisant partie des classiques et étant encore utilisée de nos jours, nous ne la présentons pas ici. 1..3 Les équations Equations de degré Diophante (vers 150 ap. J.-C.) fait partie des références principales en Grèce pour les équations quadratiques. Auteur de onze Livres d Arithmétique dont seuls six nous sont parvenus, il aborde la résolution d équations sous un angle numérique en recherchant principalement des solutions en nombres entiers. Le Livre I présente des problèmes qui consistent à retrouver deux nombres dont on connaît la somme et le produit. Comme celle des Babyloniens, la méthode de résolution de Diophante fait intervenir une variable inconnue auxiliaire, appelée arithme. Voici le problème I.7 : Trouver deux nombres tels que leur somme et leur produit forment des nombres donnés. Il faut toutefois que le carré de la demi-somme des nombres à trouver excède d un carré le produit de ces nombres ; chose qui est d ailleurs figurative. Diophante illustre sa démarche par l exemple x + y = 0, xy = 96. Voici un aperçu de la méthode utilisée, assez proche de la méthode des Babyloniens : x + y = 0 x + y = 10, et cette première équation est satisfaite pour un x = 10 + a, où a est l arithme. Autrement dit, si la moyenne arithmétique vaut 10, supposons que x excède de la moyenne de a, ce qui entraîne y = 10 a. En substituant dans le deuxième système : (10 + a)(10 a) = 100 a = 96 a = 4, i.e. a = et on retrouve les solutions proposées par Diophante. Celui-ci se contentait généralement d un seul résultat, et n admettait que des réponses entières et positives. Equations de degré 3 Les Grecs résolvaient quelques équations de degré 3 par l intersection de coniques. Cette méthode a été reprise par les Babyloniens, dont nous parlons au chapitre suivant et pour lesquels nous donnerons un exemple de cette méthode.

MOYEN AGE : LE MONDE ARABE 9 Moyen Age : le monde arabe Suite à l effondrement de l empire romain, le centre intellectuel et culturel se déplace d Alexandrie à Bagdad. C est là, dans la Maison de la Sagesse, que dès le VIII e siècle sont traduits des manuscrits grecs (de 1000 ans postérieurs, et qui sans cela auraient sans doute été perdus) et des manuscrits indiens, qui présentent notamment l utilisation du zéro. Si le centre culturel se situe à Bagdad, les mathématiciens de l islam se trouvent sur un empire très vaste qui s étend de l Espagne au Moyen-Orient..1 Système de numération Nous devons aux Arabes le système positionnel décimal avec un zéro que nous utilisons encore aujourd hui, précisément sous le nom de chiffres arabes. Autre révolution : dans la lignée de l héritage indien, le zéro est considéré comme un nombre, représentant la quantité nulle. L étude des nombres irrationnels se poursuit, mais il faut cependant attendre le XIX e siècle pour qu une définition rigoureuse des nombres réels soit développée dans les travaux de Dedekind et de Cantor.. Les équations Equations de degré La parution en 813 d un traité sur l al-jabr remet au premier plan la résolution des équations algébriques, et tout particulièrement celles du deuxième degré. Cet ouvrage est l œuvre de l astronome et mathématicien al-khwârizmi (780-850), et il est à l origine du terme algèbre : 6x 6x + 4 = 4x x + 8 devient par al-jabr 6x + 4 + x = 4x + 6x + 8. Le terme, qui signifiait à l origine le remplissage ou la réduction d une fracture, prend donc un sens nouveau : faire passer un terme négatif d un membre à l autre de telle sorte que l équation ne contienne plus que des termes positifs. Al-Khwârizmi étudie de manière très systématique les équations de degré 1 et, dont il distingue six types : ax = bx, ax = c, bx = c, ax + bx = c, ax + c = bx, ax = bx + c, où les coefficients a, b et c sont des termes positifs (car conçus comme quantités géométriques). Ces trois derniers types peuvent s écrire, par retour à la forme normale en multipliant par l inverse de a (a 0) : x + px = q, x + q = px, x = px + q. Si al-khwârizmi écarte toujours la racine nulle (x = 0), il admet à l occasion deux racines positives et insiste sur la nécessité d un discrimant positif pour trouver une solution. Toutefois, à l instar des Babyloniens, al-khwârizmi ne donne pas de justifications logiques à sa démarche.

MOYEN AGE : LE MONDE ARABE 10 Equations de degré 3 Reprenant l étude des Grecs qui construisaient à la règle et au compas des polygones réguliers, les Arabes montrent que ces constructions sont en lien avec la résolution d équation du troisième degré. Cette étude a principalement été menée par le poète (auteur de quatrains célèbres) et mathématicien Omar Khayyâm (1050-11), qui classe les équations de degré 3 en 5 catégories. Contrairement aux solutions proposées par al-khwârizmi pour le degré, les solutions d al-khayyâm sont exclusivement géométriques ; en effet, il n arrive pas à résoudre les équations de degré 3 par radicaux. Ses solutions géométriques sont obtenues par deux méthodes différentes : l intersection de coniques et la mise en lien avec les polygones réguliers. Présentons ces deux méthodes. Nous donnons pour commencer un exemple du lien entre polygone régulier et équation de degré. La même démarche peut être faite pour les équations de degré 3 (avec un ennéagone), mais serait plus longue à présenter. Soit donc un pentagone ABCDE tel que CF = CD. On peut facilement constater que CF = AF et que les triangles ACD et CDF sont semblables. On pose CD = x et AC = 1, et on cherche à déterminer x. Puisque les triangles sont semblables, on a le rapport : AC CD = CD DF 1 x = x 1 x, ce qui nous donne l équation quadratique x x + 1 = 0, dont la solution positive est 1+ 5. A B x E 1 F x C x D Figure 4 Lien entre longueur inconnue sur un pentagone et équation de degré Voici maintenant un exemple de résolution d équation cubique à l aide d intersection de coniques. Al-Khayyâm cherche à résoudre l équation x 3 +ax = b. Il considère pour cela une parabole d équation x = yc et un cercle d équation y = x(h x) dont il observe les points d intersection. Ces points d intersection sont au nombre de deux ; al-khayyâm laisse de côté le point trivial (0, 0) et cherche les coordonnées du second point d intersection. Contrôlons que cette méthode donne bien la solution recherchée.

3 RENAISSANCE ITALIENNE 11 y²=x(h-x) x²=yc Figure 5 Intersection de coniques pour le degré 3 x solution de x{ 3 + ax = b ou (x, y) = (0, 0) x = yc (x, y) solution de y = x(h x), où c tel que c = a et h tel que c h = b, { { { x = yc x 4 car : y = x(h x) = = y c x 4 y = xh x = = c x + c xh y = xh x = { x 3 = c x + c h y = xh x avec les conditions c = a, c h = b. Omar Khayyâm inaugure également l étude des polynômes par l analyse ; il introduit par exemple la dérivée et la recherche de maximum. Ses travaux sont repris par al-tusî (101-174), qui cherche à justifier l existence de solutions positives pour certaines équations et qui met au point un système performant pour approcher les valeurs des équations positives. 3 Renaissance italienne Il faut attendre l Italie du XVI e pour que la situation évolue dans la résolution des équations de degré 3 par radicaux. 3.1 Introduction historique Nous sommes en 1515 lorsque Scipione del Ferro résout le premier l équation x 3 + py = q par radicaux (p, q > 0). Il garde sa solution secrète, comme il est de coutume à l époque : pour conserver son crédit de scientifique, il est en effet nécessaire de connaître des formules que les autres ne connaissent pas. Scipione del Ferro confie toutefois son secret à son élève Antonio Maria Fior peu avant de mourir. Parallèlement, Niccolo Tartaglia découvre lui aussi en 1531 comment résoudre des équations de degré 3 par radicaux. S engage alors un duel entre Fior et Tartaglia : l honneur sera à celui qui arrivera à résoudre les équations proposées par l autre. Tartaglia développe une méthode plus générale que celle de Fior et remporte le duel. Le triomphe de Tartaglia est éclatant. Jérôme Cardan l apprend et invite

3 RENAISSANCE ITALIENNE 1 Tartaglia chez lui en mars 1539. Sa malice saura convaincre Tartaglia de lui révéler son secret. Peu après, soit en 1545, Cardan s approprie la formule en la publiant dans son Ars Magna. S ensuit une dispute entre les deux hommes, que Cardan finit par gagner, sans doute en ayant recours à des menaces. L Ars Magna est un stimulus extraordinaire pour tous les algébristes. Cet ouvrage contient égalemnet une formule développée par l élève de Cardan, Ludovico Ferrari, pour résoudre par radicaux les équations de degré 4. 3. La formule de Cardan Une équation algébrique de degré 3 est de la forme ax 3 +bx +cx+d = 0, avec a, b, c, d réels ou complexes et a 0 (sinon on retrouve une équation de degré ). Simplification du système Pour commencer, a 0 permet de supposer sans restreindre la généralité a = 1. Ensuite, en posant x = x + b 3, on peut supposer que b = 0. L équation à résoudre est alors x 3 + cx + d = 0, ce qui a priori est quand même plus simple. Idée principale : introduction de variables auxiliaires La bonne idée de Cardan est de choisir p et q tels que x = p + q et 3pq = c. L équation devient ainsi (p + q) 3 + c(p + q) + d = 0 p 3 + q 3 + 3p q + 3pq + c(p + q) + d = 0 p 3 + q 3 + (p + q)(3pq + c) + d = 0. Grâce à la deuxième condition, on obtient l équation { p 3 + q 3 + d = 0. Ainsi : p 3 + q 3 = d x solution de x 3 + cx + d = 0 x = p + q avec { 3pq = c p 3 + q 3 = d = x = p + q avec p 3 q 3 = c3 7. En utilisant la méthode somme-produit, on trouve dans notre cas que p 3 et q 3 sont racines de l équation xy + dy c3 7 = 0, dont le discriminant est = d + 4 7 c3. Résumons la situation :

3 RENAISSANCE ITALIENNE 13 x = p + q x = p + q p 3 + q 3 = d = p 3 + q 3 = d 3pq = c p 3 q 3 = c3 7 { x = p + q x = p + q = p 3,q 3 { d± = p = 3 d+,q = 3 } 3pq = c. d Remarques (1) La solution recherchée serait donc x = 3 p 3 + 3 q 3. Or nous savons qu extraire une racine cubique revient à résoudre une équation de la forme z 3 = c, où z complexe et c constante, qui possède trois solutions. En combinant les différentes possibilités, on obtiendrait donc neuf solutions, ce qui n est pas possible pour une équation de degré 3 (Théorème fondamental de l Algèbre.) En réalité, il suffit de trouver un u tel que u = 3 p 3 ; les deux autres racines possibles sont ju et j u, pour j = e πi/3. Le choix de u impose celui de v = 3 q 3, par la relation 3pq = c. Les couples de solutions sont ainsi les suivants : x = u + v, x = ju + j v, x = j u + jv, et on obtient bien trois solutions. () Que se passe-t-il si < 0? Nous allons montrer que dans ce cas précis, l équation x 3 +cx+d = 0 possède trois racines réelles. Cardan a osé travaillé avec 1, et les nombres imaginaires sont nés. Il faudra cependant encore du temps et le travail de plusieurs mathématiciens, dont Gauss et Euler pour que l étude des nombres complexes évolue. Discussion des racines réelles selon le discriminant Etudions la fonction f(x) = x 3 + cx + d. Sa dérivée, f (x) = 3x + c possède les zéros c x {± 3 }. Deux cas se présentent alors. Si c > 0, f (x) > 0 et donc f est strictement croissante. Dans ce cas, l équation x 3 + cx + d = 0 possède une seule racine simple réelle. Si c 0, alors f c c (x) s annule en 3 et en 3 et prend des valeurs négatives entre ces deux racines. Il en suit que f(x) a un maximum en c 3 et un minimum en c 3. De plus, on constate que c c f( 3 )f( 3 ) = d + 4 7 c3 =. Par le Théorème des valeurs intermédiaires, trois cas se présentent. 1. > 0 correspond au cas où maximum et minimum ont le même signe. L équation x 3 + cx + d = 0 possède donc une racine réelle simple.. = 0 correspond au cas où soit le maximum soit le minimum est nul. L équation x 3 + cx + d = 0 possède donc deux racines réelles, une simple et une double.

3 RENAISSANCE ITALIENNE 14 3. < 0 correspond au cas où maximum et minimum sont de signes différents. L équation x 3 + cx + d = 0 possède donc trois racines réelles distinctes. (a) c > 0 (b) c 0, > 0 (c) c 0, = 0 (d) c 0, < 0 Figure 6 Différentes courbes selon c et. Bilan La méthode de Cardan est efficace puisqu elle permet dans chaque cas de trouver les trois racines (réelles ou complexes) de l équation. Toutefois, les solutions sont données sous une forme compliquée, qu il faut savoir simplifier ensuite. Par exemple, la solution réelle proposée pour x 3 + x = (en fait la seule, puisque la fonction est monotone croissante) est 3 1 + 7 3 3 + 3 1 7 3 3, qui correspond à la racine évidente 1. 3.3 La formule de Ferrari Une équation algébrique de degré 4 est de la forme ax 4 + bx 3 + cx + dx + e = 0, avec a, b, c, d, e réels ou complexes et a 0 (sinon on retrouve une équation de degré 3). Simplification du système Comme précédemment, a 0 permet de supposer sans restreindre la généralité a = 1. Ensuite, en posant x = x + b 4, on peut supposer que b = 0. L équation à résoudre est alors x 4 +cx +dx+e = 0. Deux cas sont alors possibles : si d = 0, l équation x 4 + cx + e = 0 est bicarrée, en posant x = x, on retrouve une équation de degré. Si d 0, il faut travailler. Idée principale : introduction d un paramètre bien choisi Supposons donc d 0 et posons x = x + t, où t paramètre à choisir judicieuse-

4 ET APRÈS... 15 ment. Elevons au carré, et injectons l équation x 4 + cx + dx + e = 0 : x = (x + t) = x 4 + tx + t = cx dx e + tx + t = (t c)x dx + (t e), i.e. (x + t) = (t c)x dx + (t e). Il reste à poser une condition sur t. L idée de Ferrari est d écrire le membre de droite de cette dernière équation sous la forme d un carré, et ainsi d obtenir x = y x y = 0 (x + y)(x y) = 0, où (x + y) et (x y) sont des équations de degré. Pour cela, choisissons t de manière à ce que le discriminant de (t c)x dx + (t e) soit nul, i.e. d 4(t c)(t e) = 0. Nous savons résoudre une telle équation d ordre 3, par exemple par la méthode de Cardan. Une fois t déterminé, la résolution est simple. Bilan x est solution de x 4 + cx + dx + e = 0, d 0 x est solution de (x y)(x + y) = 0, d 4(t c)(t e) = 0. Nous savons résoudre ce dernier système, composé d une équation de degré 4 factorisable en deux équations de degré, et d une équation de degré 3. 4 Et après... 4.1 Viète, d Alembert, Lagrange et Cauchy François Viète (1540-1603) travaille à la suite de Cardan et Ferrari sur les équations de degré 3 ; il progresse dans la compréhension du lien existant entre les coefficients et les racines d une équation (mais il rejette les racines négatives et imaginaires, ce qui constitue un recul.) Viète participe aussi, avec Descartes (Géométrie, 1637), à la mise en place d une notation symbolique plus efficace que nous utilisons encore aujourd hui. En voici quelques exemples. Anciennement Aujourd hui A quadratum, A solidum A, A 3 P, plus + F in H FH aequalis, aequ = De même, il introduit le calcul où des lettres représentent les quantités

4 ET APRÈS... 16 connues ou inconnues, ce qui permet de travailler sur le cas général et non plus sur le cas particulier (numérique). Ces nouveautés permettent donc de nouvelles possibilités de compréhension qui amèneront des progrès considérables. d Alembert (1717-1783) profite de cette avancée en développant le calcul polynomial. On lui doit notamment le premier essai de démonstration du Théorème fondamental de l Algèbre. Lagrange (1736-1813) ouvre une nouvelle période dans l étude de la théorie des équations. Il observe que les solutions de l équation originale sont obtenues en termes des solutions d équations auxiliaires appelés résolvantes. Par exemple, la résolvante de Cardan est l équation de degré à laquelle on se ramène et dont on calcule le discriminant. Cette nouvelle idée l amène à considérer la résolution des équations en terme de permutation de racines. Les fondements nécessaires au Théorème de Lagrange sont posés ; la théorie des groupes naît peu à peu. Cauchy (1789-1857), parmi de nombreux autres brillants travaux, améliore les idées de Lagrange. Relevons en passant le Théorème de Cauchy, dans le cadre de la théorie des groupes. 4. Ruffini et Abel Tous les noms évoqués dans ce travail ont apporté un petit élément à l édifice mathématique sur lequel s appuient Ruffini (180) et Abel (183) lorsqu ils commencent leurs recherches. Le premier prouve l impossibilité de la résolution de l équation de degré 5 par radicaux, le second généralise le résultat pour les équations de degré 5. Parallèlement à ces travaux, mais sans les connaître, Galois développe ses propres idées et lie, au moins dans la théorie, la résolution d une équation par radicaux aux propriétés d un groupe associé à l équation. 4.3 Evariste Galois, une vie mouvementée La vie d Evariste Galois est certainement l une des plus célèbres parmi celles des mathématiciens : celle d un génie méconnu et méprisé en son temps, mort à 1 ans dans un duel pour une infâme coquette 8. Galois naît en 1811 dans un petit village au sud de Paris. Il entre à douze ans au Lycée Louis-le-Grand à Paris. Bien que très talentueux en mathématiques, Galois se révèle dissipé et causeur dans les autres disciplines 9 : il redouble sa deuxième. Lorsqu il a 17 ans, Galois échoue au concours d entrée à l Ecole polytech- 8. Selon les termes de Galois dans sa lettre du 9 mai 183. 9. Rappelons que l enseignement classique est alors fondamental : contrairement aux époques napoléonienne et révolutionnaire où les sciences étaient mises en avant, les mathématiques sont désormais abordées en cours supplémentaires.

4 ET APRÈS... 17 nique et entre en mathématiques spéciales à Louis-le-Grand. Toujours dissipé dans les autres disciplines, il s illustre à nouveau en mathématiques, dont il est un lecteur passionné : Legendre, Lagrange, Gauss, Cauchy, Euler, Jacobi deviennent ses maîtres. Dès 189, Galois s intéresse particulièrement aux équations algébriques de degré 5, pour lesquelles aucune formule n a encore été découverte. Ce qu il ne sait pas, c est que le jeune norvégien Abel a montré quelques années plus tôt que les équations de degré 5 ne sont généralement pas résolubles par radicaux. Galois va cependant plus loin en expliquant quelles caractéristiques doit avoir une équation de degré 5 pour être résoluble par radicaux : il faut et il suffit que l on puisse exprimer toutes ses racines à partir de deux quelconques d entre elles. 10 Exemple. Les racines de l équation x 5 = sont x 1 = 5 x = 1 5 ( 1 + 5 + i 10 + 5) 4 x 3 = 1 5 ( 1 5 + i 10 5) 4 x 4 = 1 5 ( 1 5 i 10 5) 4 x 5 = 1 5 ( 1 + 5 i 10 + 5), 4 et elles entretiennent entre elles les relations x 3 = x /x 1, x 4 = x 3/x 1, x 5 = x 4 /x 3 1. Ces relations sont à la base de la notion de groupe de Galois que nous aurons l occasion d aborder dans une prochaine présentation. Après des débuts prometteurs, la suite de l histoire de Galois est une succession de malentendus et d épreuves. Son père se suicide, suite à un complot monté contre lui. Quelques jours plus tard, Galois échoue une deuxième fois au concours d entrée à l Ecole polytechnique (sans doute à cause d une réaction insolente du jeune homme, interrogé sur une matière qu il aurait jugée trop simple). Galois entre donc à l Ecole normale, d un niveau bien inférieur, et envoie en 189 un premier article à l Académie des sciences. Compte tenu des précédents travaux d Abel, Cauchy l encourage à en présenter une deuxième version. Une année plus tard, Galois envoie donc à nouveau un travail qui concourt pour le Grand Prix : celui-ci est confié à Fourier, qui meurt, puis à Cauchy, qui le perd. 10. La formulation est reprise de [Chambert-Loir, p.7-8], de même que l exemple suivant.

4 ET APRÈS... 18 En 1830, la révolution des Trois Glorieuses met fin à la Restauration ; la Monarchie de Juillet commence. Galois, Républicain convaincu et déterminé, prend part aux nombreuses révoltes qui ont lieu durant cette période. Mais les élèves de l Ecole normale sont consignés le jour des barricades de Juillet : Galois publie une lettre dans laquelle il critique le directeur de l Ecole, ce qui lui vaut son renvoi. Sans le sou, Galois ouvre en 1831 un cours public d algèbre supérieur, qui semble avoir eu peu de succès. Parallèlement, il envoie une nouvelle fois une version de son mémoire perdu. Lacroix et Poisson le rejettent : Galois n y a pas su expliquer avec suffisamment de clarté sa démonstration pour la rendre intelligible. A deux reprises, Galois se fait arrêter puis emprisonner pour six mois en 1830 pour des attitudes politiquement déplacées. Une épidémie de choléra le conduit à la clinique Faultrier en mars 183 ; Galois y rencontre une certaine Stéphanie dont il tombe amoureux. Ils rompent le 14 mai, et quelques jours plus tard, Galois se prépare à un duel. La nuit précédente, le 9 mai, Galois confie à son ami Auguste Chevalier ses récentes découvertes. Paris, le 9 mai 183 Mon cher ami, J ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles. [...] Dans la théorie des équations, j ai recherché dans quels cas les équations étaient résolubles par radicaux ce qui m a donné occasion d approfondir cette théorie, et de décrire toutes les transformations possibles sur une équation lors même qu elle n est pas solubles par radicaux. [...] Mais je n ai pas le temps et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce terrain qui est immense. Tu feras imprimer cette lettre dans la revue Encyclopédique. [...] Après cela il se trouvera, j espère des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis. Je t embrasse avec affection. E. Galois Sans oublier une remarque en marge : Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n ai pas le temps. Auguste Chevalier et le frère d Evariste s appliquent à rassembler ses travaux après sa mort et les publient en 183. Ce geste reste cependant sans écho durant plusieurs années : il faut attendre 1843 pour que Liouville redécouvre une solution aussi exacte que profonde, mais la publication tarde. En 1846 enfin, les textes de Galois sont publiés, sans aucun commentaire. Ils susciteront dès 1850 un intérêt mathématique croissant, qui ne se dément pas aujourd hui ; parmi bien d autres, ce séminaire en est une preuve.

5 CONCLUSION 19 5 Conclusion La résolution des équations algébriques est un problème très ancien, puisque les Babyloniens s y intéressaient déjà en 00 avant notre ère. Trois mille ans durant, les mathématiciens ont amélioré les méthodes de résolution pour permettre à Ruffini, Abel et Galois de donner des résultats généraux pour les degrés 5. Ces preuves arrêtent donc la recherche de formules pour les équations de haut degré, mais elles posent de nouvelles questions. L une de ces questions est la transcendance des nombres : existe-t-il des nombres qui ne sont pas solutions d équations algébriques à coefficients rationnels? La réponse est oui, Hermite notamment prouvera en 1873 la transcendance de e, et Lindenmann en 188 la transcendance de π. Références [1] Caruso, X., Equations algébriques, http://www.math.ens.fr/ culturemath/index.html, suivre Documents classés par thèmes, Algèbre. [] Chambert-Loir, A., Evariste Galois, révolutionnaire et géomètre, http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/ vulgarisation/, 011. [3] Collette, J.-P., Histoire des mathématiques, vol. 1 et, Québec, 1973. [4] Cuénod, M., Equations algébriques et nombres complexes, CRM, 006. [5] Escoffier, J.-P., Théorie de Galois, Dunod, e éd., DATE, chap., 3, 13. [6] Guedj, D., Le théorème du perroquet, Seuil, 1998. [7] Tignol, J.-P., Galois theory of algebraic equations, England, 1988. L image en page de titre vient de [, p.157] et représente une des pages des Eléments d Euclide (Venise, 148). Toutes les figures sont de l auteur. Relevons pour finir que les deux numéros des Cahiers Science et Vie, Mathématiques, ce que les Grecs ont vraiment inventé, février 000, et L origine des équations, avril 000, sauront intéresser le lecteur moins avancé, mais néanmoins curieux.