Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Eercice 1 **T Etudier l eistence et la valeur éventuelle d une limite en 0,0 des fonctions suivantes : 1 4 5 6 + + + 1+ + + + 4 + 4 + sin [00555] Eercice *** On pose f, : [ 1,1] R t t + t puis F, = sup t [ 1,1] f, t Etudier la continuité de F sur R [005554] Eercice ***T 0 si, = 0,0 Déterminer la classe de f sur R où f, = si, 0,0 + [005555] Eercice 4 ***T Soit f : R R 0 si = 0, sin si 0 1 Etudier la continuité de f Etudier l eistence et la valeur éventuelle de dérivées partielles d ordre 1 et On montrera en particulier que et sont définies en 0,0 mais n ont pas la même valeur [005556] Eercice 5 *** Le laplacien d une application g de R dans R, de classe C sur R est g = g + g Déterminer une fontion de classe C sur un intervalle I de R à préciser à valeurs dans R telle que la fonction 1
g, = f cos ch soit non constante et ait un laplacien nul sur un sous-ensemble de R le plus grand possible une fonction de Laplacien nul est dite harmonique [005557] Eercice 6 **T Trouver les etrema locau de 1 f : R R, + + + + f : R R, 4 + 4 4 [005558] Eercice 7 *** Maimum du produit des distances au cotés d un triangle ABC du plan d un point M intérieur à ce triangle on admettra que ce maimum eiste [005559] Eercice 8 ** Soit a un réel strictement positif donné Trouver le minimum de f, = + a + + a [005560] Eercice 9 ** Trouver toutes les applications ϕ de R dans R de classe C telle que l application f de U =, R / 0} dans R qui à, associe ϕ vérifie : = [005561] Eercice 10 ** Trouver toutes les applications f de R dans R vérifiant 1 = 0 en utilisant le changement de variables u = + et v = + + = + sur D =, R / > 0} en passant en polaires [00556] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7emathfr
Correction de l eercice 1 On note f la fonction considérée 1 Pour 0, f, + = + + f n a de limite réelle en 0,0 1 0 + Quand tend vers 0, + tend vers 0 puis lim f, =, 0,0 >0, = + Pour 0, f,0 = 0 = 0 puis lim f, = 0 Mais aussi, pour 0, f, = = 1 +0, 0,0 + =0 puis lim f, = 1, 0,0 Donc si f a une limite réelle, cette limite doit être égale à 0 et à 1 ce qui est = impossible f n a pas de limite réelle en 0,0 Pour tout, R, + = 0 et donc 1 + Par suite, pour, 0,0, f, = + + 4 + = 1 4 + Comme lim, 0,0 1 4 + = 0, on a aussi lim, 0,0 f, = 0 4 lim, 0,0 sin = 1 et lim, 0,0 1 + + = 1 Donc lim, 0,0 f, = 1 5 Pour, R, + = + + + + + et donc pour, 0,0, f, = + + + Comme lim, 0,0 + = 0, on a aussi lim, 0,0 f, = 0 6 Pour, R, 4 + 4 = + + + 1 + = + et donc pour, 0,0, f, = 4 + 4 + + Comme lim, 0,0 + = 0, on a aussi lim, 0,0 f, = 0 Correction de l eercice Déterminons tout d abord F, pour, R Pour R, F, = Ma f 0, 1, f 0, 1} = Ma, } = Si 0, F, = Ma f, 1, f,, f, 1 } } } = Ma +,, 4 = Ma +, 4 Plus précisément, si > 0, on a + > 0 et 4 0 Donc F, = + ce qui reste vrai quand = 0 Si < 0, + 4 = 4 +4 + 4 = + 4 < 0 et donc F, = 4 + si 0, R, F, = 4 si < 0 En vertu de théorèmes générau, F est continue sur, R, > 0} et, R, < 0} Soit 0 0 lim F, = + 0 = F0, 0 et donc F n est pas continue en 0, 0 Enfin, lim F, =, 0, 0, 0,0 <0, = 0 <0, = 1 0 = F0,0 et donc F n est pas continue en 0,0 4 F est continue sur R \ 0,, R} et est discontinue en tout 0,, R
Correction de l eercice Pour, R, + = 0 = = 0 et donc f est définie sur R f est de classe C sur R \ 0,0} en tant que quotient de fonctions de classe C sur R \ 0,0} dont le dénominateur ne s annule pas sur R \ 0,0} Pour, 0,0, f, + = Comme lim +, 0,0 = 0, on en déduit que lim f, =, 0,0, 0,0 0 = f 0,0 Ainsi, f est continue en 0,0 et donc sur R Eistence de 0,0 Pour 0, f,0 f 0,0 0 = 0 0 +0 = 0, f,0 f 0,0 et donc lim 0 0 = 0 Ainsi, f admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en 0,0 et 0,0 = 0 Pour, 0,0,, = + = 4 +4 4 + + Finalement, f admet sur R une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par 0 si, = 0,0, R,, = 4 +4 4 si, 0,0 + Pour, R, f, = f, Par suite,, R,, =, En effet, pour 0, 0 donné dans R f 0, f 0, 0 0 = f, 0+ f 0, 0 0 = f, 0 f 0, 0 0 0 0, 0 Donc, f admet sur R une dérivée partielle par rapport à sa deuième variable définie par, R,, =, = Continuité de et en 0,0 Pour, 0,0,, 0,0 = 4 +4 4 0 si, = 0,0 4 4 4 + si, 0,0 4 +4 + 4 4 +4 + 4 + + + = Comme tend vers 0 quand, tend vers 0,0,, 0,0 tend vers 0 quand, tend vers 0,0 On en déduit que l application est continue en 0,0 et donc sur R Enfin, puisque, R,, =,, est continue sur R f est donc au moins de classe C 1 sur R Pour 0,,0 0,0 0 = 4 = 1 et donc lim,0 0,0 4 0 0 = 1 Donc 0,0 eiste et 0,0 = 1 Pour 0,,0 0,0 0 = 4 4 = 1 et donc lim,0 0,0 0 0 = 1 Donc 0,0 eiste et 0,0 = 1 0,0 0,0 et donc f n est pas de classe C sur R d après le théorème de SCHWARZ f est de classe C 1 eactement sur R Correction de l eercice 4 1 Posons =,/ 0} f est continue sur R \ en vertu de théorèmes générau Soit 0 R 4
Comme 0 si = 0 f, f 0,0 = sin si 0 lim, 0,0 = 0, lim f, f 0,0 = 0 et donc f est continue en 0,0 Finalement,, 0,0 f est continue sur R f est de classe C sur R \ En particulier, d après le théorème de SCHWARZ,, R \, puis et enfin Eistence de 0,0 Pour 0,, = cos et, = sin cos,, = sin, f, = cos sin,, = sin cos sin f,0 f 0,0 0 = 0 et donc f,0 f 0,0 0 = sur pour 0 On en déduit que 0 0,0 eiste et 0,0 = 0 En résumé, f admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable sur R définie par 0 si = 0, R,, = cos si 0 Eistence de 0,0 Soit 0 R Pour 0, f 0, f 0,0 0 si = 0 0 = sin 0 si 0 et donc f 0, f 0,0 0 0 On en déduit que 0 0,0 eiste et 0,0 = 0 En résumé, f admet une dérivée partielle par rapport à sa deuième variable sur R définie par 0 si = 0, R,, = sin cos si 0 Eistence de 0,0 Pour 0, et donc f,0 0,0 0 = 0,0 0,0 0 tend vers 0 quand tend vers 0 On en déduit que 0,0 eiste et 0,0 = 0 Eistence de 0,0 Pour 0, 0, 0,0 0 = cos 0 = 1 et donc 0, 0,0 0 tend vers 1 quand tend vers 0 On en déduit que 0,0 eiste et 5
0,0 = 1 Correction de l eercice 5 Pour, R, cos ch cos [ 1,1] Plus précisément, quand décrit R, ch 0 décrit [ 1,1] et donc quand, décrit R, cos ch décrit [ 1,1] On suppose déjà que f est de classe C sur [ 1,1] L application g est alors de classe C sur R et pour, R, sin, = ch f cos ch puis g, = 4cos ch f cos ch + 4sin ch f cos ch Ensuite, cossh, = ch f cos ch puis Mais alors g, = 4cos ch f cos ch cossh 4sh ch g, = 8cosch + 8cossh ch Par suite, = 8cos ch = 8cos ch 4 = ch f cos ch f cos ch cos ch f f cos ch + 4cos sh ch 4 f cos ch cos f + 4sin ch + 4cos sh ch ch 4 + 41 cos ch + 4cos ch 1 ch 4 + 4ch 4cos ch 4 cos ch + 1 cos ch cos f ch cos f ch f cos ch g = 0, R, cos cos ch f + 1 cos cos ch ch f = 0 ch t [ 1,1], t f t + 1 t f t = 0 t [ 1,1],1 t f t = 0 λ R, t [ 1,1], 1 t f t = λ Le choi λ 0 ne fournit pas de solution sur [ 1,1] Donc λ = 0 puis f = 0 puis f constante ce qui est eclu Donc, on ne peut pas poursuivre sur [ 1,1] On cherche dorénavant f de classe C sur ] 1,1[ de sorte que g est de classe C sur R \ kπ,0, k Z } f solution λ R, t ] 1,1[, 1 t f t = λ λ R / t ] 1,1[, f t = λ,µ R R/ t ] 1,1[, f t = λ argtht + µ λ 1 t cos f ch Correction de l eercice 6 1 f est de classe C 1 sur R qui est un ouvert de R Donc si f admet un etremum local en un point 0, 0 de R, 0, 0 est un point critique de f Or, pour, R, 6
, = 0, = 0 + + = 0 + + = 0 = 1 = 4 Donc si f admet un etremum local, c est nécessairement en 1, 4 avec f 1, 4 f, = + + + + = + + 1 + 1 + + = = + + 1 + 4 + 4 7 7 = f 1, 4 = 7 D autre part, + + 1 + 4 + 1 Donc f admet un minimum local en 1, 4 égal à 7 et ce minimum local est un minimum global D autre part, f n admet pas de maimum local f est de classe C 1 sur R qui est un ouvert de R Donc si f admet un etremum local en un point 0, 0 de R, 0, 0 est un point critique de f Or, pour, R,, = 0, = 0 4 4 = 0 4 4 = 0 = 9 = 0, 0,0,1,1, 1, 1 Les points critiques de f sont 0,0, 1,1 et 1, 1 Maintenant, pour, R, f, = f, Ceci permet de restreindre l étude au deu points 0,0 et 1,1 Pour R, f,0 = 4 > 0 sur R et f, = 4 + 4 = + < 0 sur ],0[ ]0, [ Donc f change de signe dans tous voisinage de 0,0 et puisque f 0,0 = 0, f n admet pas d etremum local en 0,0 Pour h,k R, f 1 + h,1 + k f 1,1 = 1 + h 4 + 1 + k 4 41 + h1 + k + = 6h + 6k 4hk + 4h + 4k + h 4 + k 4 6h + 6k h + k + 4h + 4k + h 4 + k 4 = 4h + 4h + h 4 + 4k + 4k + k 4 = h h + 1 + k k + 1 0 f admet donc un minimum global en 1,1 et en 1, 1 égal à Correction de l eercice 7 Soit M un point intérieur au triangle ABC On pose a = BC, b = CA et c = AB On note,, z et A les aires respectives des triangles MBC, MCA, MAB et ABC On a dm,bcdm,cadmab = airembc a airemca airemab b c = 8z abc = 8 abca On doit donc déterminer le maimum de la fonction f, = A quand, décrit le triangle ouvert T =, R, > 0, > 0, + < A } On admet que f admet un maimum global sur le triangle fermé T =, R, 0, 0, + A } cela résulte d un théorème de math Spé : «une fonction numérique continue sur un compact admet un minimum et un maimum» Ce maimum est atteint dans l intérieur T de T car f est nulle au bord de T et strictement positive à l intérieur de T Puisque f est de classe C 1 sur T qui est un ouvert de R, f atteint son maimum sur T en un point critique de f Or, pour, T,, = 0, = 0 A = 0 A = 0 + = A + = A = = A A = 0 A = 0 7
Le maimum cherché est donc égal à 8 abc A A A A A est obtenu quand M est le centre de gravité du triangle ABC = 8A 7abc On peut montrer que ce maimum Correction de l eercice 8 Soient R un repère orthonormé de R muni de sa structure euclidienne canonique puis M, A et B les points de coordonnées respectives,, 0,a et a,0 dans R Pour, R, f, = MA + MB AB = a avec égalité si et seulement si M [AB] Donc Le minimum de f sur R eiste et vaut a Correction de l eercice 9 Soit ϕ une application de classe C sur R puis f l application définie sur U par, U, f, = ϕ vérifie : = = ϕ = ϕ = 1 ϕ + ϕ 1 ϕ = 1 ϕ Puis, quand, décrit U, décrit R car 1 décrit déjà R ϕ + 4 ϕ 1 ϕ, U,,, =, U, ϕ + 1 ϕ = t R, tϕ t + t 1ϕ t = t λ R/ t R, t 1ϕ t = t + λ Maintenant, t + λ ne s annule pas en ±1, l égalité fournit une fonction ϕ telle que ϕ n a pas une limite réelle en ±1 Une telle solution n est pas de classe C sur R Donc nécessairement λ = 1 puis, U,,, = t R, t 1ϕ t = t 1 t R \ 1,1}, ϕ t = 1 t R, ϕ t = 1 par continuité de ϕ en ± 1 λ R/ t R, ϕt = t + λ Correction de l eercice 10 1 u = + = u v v = + = u + v L application, u,v est un C1 -difféomorphisme de R sur lui-même Pour u,v R, posons alors gu,v = f u v,u + v = f, de sorte que, R, 8
f, = g +, + = gu,v f est de classe C 1 sur R si et seulement si g est de classe C 1 sur R et,, = g +, + u = v u,v + u Par suite, = u,v + u v u,v g +, + u v u,v v u,v + u u,v + u v u,v = u u,v v u,v, R,,, = 0 u,v R, u u,v = 0 F : R R de classe C 1 telle que u,v R, gu,v = Fv F : R R de classe C 1 telle que, R, f, = F + On pose r = + et θ = arctan de sorte que = r cosθ et = r sinθ On pose f, = f r cosθ,r sinθ = gr,θ On sait que r r θ = cosθ, = sinθ, = sinθ r, θ = cosθ r + = r cosθ cosθ r sinθ + r sinθ sinθ r θ r + cosθ = r r θ r, puis, D, f, +, = + r > 0, r r,θ = r r > 0, r r r,θ = 1 ] ϕ de classe C 1 sur π, π [ ] / r,θ ]0,+ [ π, π [, gr,θ = r + ϕθ ] ϕ de classe C 1 sur π, π [ /, D, f, = + + ϕ arctan ψ de classe C 1 sur R/, D, f, = + + ψ 9