Pratique des produits dérivés P5 : Options Olivier Brandouy Université de Bordeaux 2014 2015 Diapo 1/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Plan 1 Notions essentielles 2 Protéger son investissement Dynamiser ses profits 3 Straddle Spread Collar Autres stratégies 4 Diapo 2/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Option : définition Contrat donnant à son acquéreur le droit d acheter (option d achat = call) ou de vendre (option de vente = put) : une quantité déterminée d actif sous-jacent à un cours fixé d avance (prix d exercice où strike ) pendant une période ( American options ) ou à une échéance donnée ( European options ) En échange de ce droit, l acheteur paie le vendeur en lui versant une prime. Le vendeur est alors tenu de réaliser l opération d échange si l acheteur en décide ainsi. Diapo 3/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Terminologie Selon la relation entre le prix d exercice et le prix du sous-jacent sur le marché spot : at-the-money option in-the-money option out-of-the-money option Pourquoi les options out-of-money existent? valeur intrinsèque valeur temps Diapo 4/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur temps d un call Valeur VI = max(s K, 0) Incertitude maximale quant à l'exercice de l'option K S Diapo 5/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur temps d un call et la durée d une option Valeur VI = max(s K, 0) 3 mois 2 mois K S Diapo 6/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur temps d un call et la volatilité du sous-jacent Valeur VI = max(s K, 0) σ = 30% σ = 20% K S Diapo 7/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Profil de gain des options européennes à l échéance Diapo 8/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Le profil de gain d un portefeuille d options r(t t) P 1 : 1 Call + actif sans risque pour un montant de Ke Valeur K ST Diapo 9/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Le profil de gain d un portefeuille d options P 2 : 1 put + 1 sous-jacent Valeur K ST Diapo 10/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Parité put-call P 1 =P 2 à la date T quelque soit le prix du sous-jacent dans le future. Leur valeur à la période t doit s avérer identique, car sinon opportunité d arbitrage. Ainsi, c t + Ke r(t t) = p t + S t (1) En raison de cette parité, nous pouvons nous concentrer sur les calls pour l évaluation des options. Diapo 11/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Exercise A non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% per annum. What is the price of a three-month European put option with a strike price of $20? Diapo 12/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Exercise A non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% per annum. What is the price of a three-month European put option with a strike price of $20? Answer : In this case, c 0 = 1, T = 0, 25, S 0 = 19, K = 20, t = 0, and r = 0, 04. From put-call parity c 0 + Ke rt = p 0 + S 0 or p 0 = 1 + 20e 0,04 0,25 19 = 1, 80 Diapo 12/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
L impact du dividende sur la valeur d un call Quand un dividende est attendu pendant la durée de vie d une option, la valeur d un call (put) est ajustée en soustrayant (ajoutant) la valeur actuelle du dividende. La période d actualisation est fixée selon la date d ex-dividende. Diapo 13/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Exemple A European call option and a put option on a stock both have a strike price of $20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10% per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. Diapo 14/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Exemple A European call option and a put option on a stock both have a strike price of $20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10% per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. 3 + 20e 0,1 3/12 + e 0,1 1/12 19 = 4, 50 Diapo 14/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Plan : 1 - Notions essentielles Diapo 15/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Flux liés à l option (1) L acheteur de l option PAYE la prime et achète ainsi le droit de Le vendeur de l option ENCAISSE la prime et se trouve lié à la volonté de l acquéreur du droit Diapo 16/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Flux liés à l option (2) 1 Si l option est exercée : Cas du CALL : le détenteur de l option PAYE le prix convenu (X) et RECOIT le sous-jacent le vendeur de l option DOIT LIVRER le sous-jacent (REPO) et ENCAISSE le prix convenu (X) Cas du PUT : le détenteur de l option LIVRE le sous jacent et RECOIT le prix convenu (X) le vendeur de l option PAYE le prix convenu (X) et PREND POSSESSION du sous-jacent 2 Si l option est abandonnée, aucun échange nouveau n est exécuté Diapo 17/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Plan : 1 - Notions essentielles Diapo 18/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Une fonction à plusieurs variables Le prix de l option peut se calculer à l aide du modèle Black-Scholes [1] (bien que cela ne fasse plus en pratique, voir modèles alternatifs type Heston [2] ou Heston et Nandi [3]) Le calcul se base sur : S 0 le prix du sous-jacent X le strike T la distance à la maturité r le taux sans risque b le taux de distribution (dividende, lorsque nécessaire) σ la volatilité du sous jacent Diapo 19/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valorisation des options (1) Par exemple, la formule de Black et Scholes pour le call européen est la suivante : avec et c 0 = S 0 N(d 1 ) Xe rt N(d 2 ) d 1 = S0 σ2 ln( X ) + (r + 2 )T σ T (2) d 2 = d 1 σ T (3) N(d. ) étant la probabilité issue de la fonction de répartition de la loi Normale P(X < d 1 ) Diapo 20/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Plan : 1 - Notions essentielles Diapo 21/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur Intrinsèque La valeur intrinsèque (VI) de l option correspond à l avantage qu elle procure du fait de son exercice : VI (c) = max(0, S K) (4) VI (p) = max(0, K S) (5) Toutefois l exercice n est possible, dans le cas d une option Européenne par exemple, qu à la maturité. La valeur de l option diffère donc avant la maturité de la VI. Diapo 22/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Exemple La valeur d une option se décompose en deux : la valeur intrinsèque (cf. supra) et la valeur temps qui repose sur l incertitude qu elle puisse être exercée ou non. On prend l exemple suivant : S 0 = 110 X = 100 r = 5 % annuels b = 0 % annuels σ % annuels Diapo 23/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur Temps (2 A la maturité ) On calcule le prix de l option à la maturité pour toute une série de prix possibles pour le sousjacent ; à cet effet on va se positionner un instant avant la maturité : library(foptions) ## Loading required package: fbasics ## Loading required package: MASS ## ## Attaching package: fbasics ## ## The following object is masked from package:base : ## ## norm V <- NULL S <- 90:120 for (i in 1:length(S)) { cm <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = 1/1e+21, r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25) V[i] <- cm@price } Diapo 24/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur Temps (3 A la maturité ) Clairement, la VT est ici NULLE, on est à la maturité plot(s, V, type = "l", col = "red", xlab = "Valeurs possibles pour S", ylab = "Prix de l'option") Prix de l'option 0 5 10 15 20 90 95 100 105 110 115 120 Valeurs possibles pour S Diapo 25/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur Temps (4 Un mois avant la maturité :) V <- NULL for (i in 1:length(S)) { cm <- GBSOption("c", S[i], 100, Time = 1/12, 0.04, 0.04, 0.25) V[i] <- cm@price } plot(s, V, type = "l", col = "green", xlab = "Valeurs possibles pour S", ylab = "Prix de l'option") Prix de l'option 0 5 10 15 20 90 95 100 105 110 115 120 Valeurs possibles pour S Diapo 26/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur Temps (5 Pour 4 distances à la maturité différentes) V <- matrix(na, length(s), 4) T <- c(1/1e+21, 1/12, 3/12, 6/12) for (j in 1:4) for (i in 1:length(S)) { cm <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = T[j], r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25) V[i, j] <- cm@price } Diapo 27/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Valeur Temps (6 Pour 4 distances à la maturité différentes) plot(s, V[, 1], type = "l", col = "red", xlab = "S", ylab = "Prix de l'option") for (i in 2:4) { lines(s, V[, i], col = (i + 1)) points(s[11], V[11, i]) } abline(v = 100, lty = 2, col = "grey") Prix de l'option 0 5 10 15 20 90 95 100 105 110 115 120 Diapo 28/52 S Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Protéger son investissement Dynamiser ses profits Plan : 2 - Protéger son investissement Dynamiser ses profits Diapo 29/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Protéger son investissement Dynamiser ses profits Fonction préliminaire On commence par définir une fonction exprimant la VI : VI <- function(d, o, K, p) { ## direction : d<-'s' short or 'l' long o <-'c' call or 'p' ## put 'S' pour Sous jacent K <-strike, p <- premium ; ## ATTENTION K doit ^etre inf à 1000 S <- (1:1000).maxx <- function(a) { max(0, a) }.minn <- function(a) { min(0, a) } ifelse(o == "S", ifelse(d == "l",.vi <- (S),.vi <- (-S)), ifelse(d == "l", ifelse(o == "c",.vi <- apply(as.array((s - K)), 1,.maxx) - p,.vi <- apply(as.array((k - S)), 1,.maxx) - p), ifelse(o == "c",.vi <- apply(as.array((k - S)), 1,.minn) + p,.vi <- apply(as.array((s - K)), 1,.minn) + p))).vi } Diapo 30/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Protéger son investissement Dynamiser ses profits Plan : 2 - Protéger son investissement Dynamiser ses profits Diapo 31/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Protéger son investissement Dynamiser ses profits Put défensif (protective put) Long sur le sous-jacent Achat d un put a <- VI("l", "S", 100, 0) b <- VI("l", "p", 100, 10) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent 100 50 0 50 100 150 200 P/L du put 100 50 0 50 100 150 200 P/L de la stratégie 100 50 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 250 300 Index 0 50 100 150 200 250 300 Index 0 50 100 150 200 250 300 Index Diapo 32/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Protéger son investissement Dynamiser ses profits Plan : 2 - Protéger son investissement Dynamiser ses profits Diapo 33/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Protéger son investissement Dynamiser ses profits Call couvert (covered call) Long sur le sous-jacent Vente d un call a <- VI("l", "S", 100, 0) b <- VI("s", "c", 100, 10) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, typ = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(s type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la strat P/L du sous jacent 100 50 0 50 100 150 200 P/L du put 100 50 0 50 100 150 200 P/L de la stratégie 100 50 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 250 300 Index 0 50 100 150 200 250 300 Index 0 50 100 150 200 250 300 Index Diapo 34/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Plan : 3 - Straddle Spread Collar Autres stratégies Diapo 35/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Stratégies élaborées On peut composer toutes sortes de stratégies en combinant des options de même maturité et de même sous-jacent. Ces stratégies correspondent à des anticipations très variées. Les transparents suivants en présentent quelques unes parmi les plus connues. Diapo 36/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Plan : 3 - Straddle Spread Collar Autres stratégies Diapo 37/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Straddle : pari sur la volatilité (1) Achat d un call Achat d un put de même strike ntic. : Le sous-jacent est très volatile mais on ne sait pas si le mouvement sera haussier ou baissier Issues : Excellent si un des mouvements extrèmes est observé, très mauvais si le cours reste stable. Strips et Straps sont similaires Diapo 38/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Straddle : pari sur la volatilité (2) a <- VI("l", "c", 100, 0) b <- VI("l", "p", 100, 0) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent 100 50 0 50 100 150 200 P/L du put 100 50 0 50 100 150 200 P/L de la stratégie 100 50 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 250 300 Index 0 50 100 150 200 250 300 Index 0 50 100 150 200 250 300 Index Diapo 39/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Plan : 3 - Straddle Spread Collar Autres stratégies Diapo 40/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Spread (1) Achat Vente de calls (ou puts) de strike différents money spread (ou de maturités différentes time spread ) ntic. : Tout dépend de ce qui est construit! Le cas suivant (achat d un call strike X 1, vente d un call de Strike X 2 avec X 1 < X 2 ) est un bullish spread, où l anticipation est haussière. Issues : Si le prix du sous-jacent chute sous X 1, la perte est limitée à c 1 tandis que l opérateur bénéficiera d une augmentation du prix du sous-jacent On construit souvent ce type de stratégie si on pense qu une option est mal valorisée sur le marché (dans mon cas, c 1 est bon marché relativement à c 2 ) Diapo 41/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Spread (2) a <- VI("l", "c", 100, 10) b <- VI("s", "c", 110, 5) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", ylim = c(-20, 20), xlim = c(80, 140), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent 100 50 0 50 100 150 200 P/L du put 100 50 0 50 100 150 200 P/L de la stratégie 20 10 0 10 20 0 50 100 150 200 250 300 Index 0 50 100 150 200 250 300 Index 80 90 100 110 120 130 140 Index Diapo 42/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Plan : 3 - Straddle Spread Collar Autres stratégies Diapo 43/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Collar, protection (1) Achat d un put défensif à X 1 Vente d un call couvert à X 2 pour protéger la valeur d un investissement (on imagine ici X 1 < S < X 2 ) ntic. : Le financement du put défensif se fait par la vente d un call. On protège ainsi la valeur d un investissement en recherchant l autofinancement. Issues : La laeur du sous-jacent est encadrée de façon rigide. Pour que le collar fonctionne bien, on doit avoir c proche de p Diapo 44/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Collar (2) a <- VI("l", "S", 100, 10) b <- VI("l", "p", 90, 10) c <- VI("s", "c", 110, 10) strat <- a + b + c plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(c, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", ylim = c(70, 140), xlim = c(70, 130), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent 100 50 0 50 100 150 200 P/L du put 100 50 0 50 100 150 200 P/L du put 100 50 0 50 100 150 200 P/L de la stratégie 70 80 90 100 110 120 130 140 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 Index Index Index Index Diapo 45/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Plan : 3 - Straddle Spread Collar Autres stratégies Diapo 46/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Papillon (ici, Long Butterfly 1 ) Le prix du sous-jacent est sensé dans cette stratégie terminer aux environs du Strike central a <- VI("l", "c", 97, 5) b <- VI("s", "c", 100, 4) c <- VI("s", "c", 100, 4) d <- VI("l", "c", 103, 3) strat <- a + b + c + d Diapo 47/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Papillon (ici, Long Butterfly 2) plot(strat, xlim = c(90, 110), ylim = c(-1, 5), col = "blue", lwd = 2, type = "l") abline(v = c(97, 100, 103), h = 0, lty = 2, col = "grey") strat 1 0 1 2 3 4 5 90 95 100 105 110 Index Diapo 48/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Condor (ici, Short Condor 1) Stratégie voisine du Straddle ou du Short Butterfly (anticipation de volatilité importante) a <- VI("s", "c", 97, 5) b <- VI("l", "c", 100, 4) c <- VI("l", "c", 103, 3) d <- VI("S", "c", 106, 3) strat <- a + b + c + d Diapo 49/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Straddle Spread Collar Autres stratégies Condor (ici, Short Condor 2) plot(strat, xlim = c(95, 107), ylim = c(-2, 2), col = "blue", lwd = 2, type = "l") abline(v = c(97, 100, 103, 106), h = 0, lty = 2, col = "grey") strat 2 1 0 1 2 96 98 100 102 104 106 Index Diapo 50/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Documents à consulter 1 Un livret de l Australian Stock Exchange répertoriant une petite trentaine de stratégies élémentaires : http://www.asx.com.au/documents/resources/ UnderstandingStrategies.pdf 2 Sept erreurs à ne pas commettre quand on traite les options : : http://www. optionsuniversity.com/mediaroom/article-seven-mistakes.pdf Diapo 51/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Références bibliographiques Fischer Black and Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3) :637 654, 1973. Steven L. Heston. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 6(2) :327 343, 1993. Steven L. Heston and Saikat Nandi. A closed-form garch option pricing model. Technical report, Federal Reserve Bank of Atlanta., 1997. Diapo 52/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)