Thème : Géométrie plane I- Situation du thème dans le programme : Primaire : Géométrie perceptive et instrumentée. 6 e : Apparition de la géométrie déductive avec : - rectangle, carré, losange, cercle, triangles usuels. -médiatrice et bissectrice. -Symétrie axiale. 5 e : Activités pour expérimenter et conjecturer. -Symétrie centrale. -parallélogramme. -droites remarquables dans un triangle. 4 e : Triangles : -Milieux et parallèles. -Rectangle. Agrandissement et réduction. 3 e : Thalès. Angles inscrits, angles au centre. 2 nd : La géométrie devient repérée : -Coordonnées d un point du plan. -roites : fonction affine. -Vecteurs. 1 re : Vecteurs : Colinéarité, équation cartésienne. Produit scalaire dans le plan. T le : Nombres complexes. Trop détaillé La géométrie tient une grande place dans les programmes de la Primaire jusqu à la Terminale. ès l école élémentaire, la géométrie est introduite par la reconnaissance perceptive (reconnaissance des formes) puis, laisse place à une géométrie plus analytique qui s appuie sur une vérification à l aide d instruments. C est à partir de la sixième que l on voit apparaître la géométrie déductive qui consiste à structurer et hiérarchiser des connaissances. En cinquième on commence à faire des activités afin d expérimenter et conjecturer. On y étudie alors la symétrie centrale et les propriétés du parallélogramme, qui sont suivis en quatrième par l étude du théorème des milieux dans un triangle et d une première configuration du théorème de Thalès. La deuxième configuration est vue en classe de troisième. On voit ensuite l apparition d une géométrie repérée à partir de la seconde qui permet de résoudre des problèmes. II- Situation de l exercice dans le thème : Peut être proposé à deux niveaux : - En cinquième en utilisant les propriétés du parallélogramme ou la symétrie. - En quatrième en utilisant le théorème des milieux et sa réciproque. Mais plutôt réservé à une classe de quatrième. Ici, on peut le situer en classe de quatrième en tant que : - soit introduction au théorème des milieux. - soit en application de ce même théorème.
III- Travail à exposer devant le jury : 1) e quels acquis témoignent les productions des trois élèves dans le domaine de la géométrie plane? L élève 1 : Les points positifs : - Si I milieu de [AB] AI=IB - Technique expérimentale : construction à la règle graduée. - Mesure de longueurs. Ce qui est moins bien : - Unique instrument utilisé : la règle graduée. - Construction non précise («approchée»). - Non pas «glisser» mais «pivoter». - Reste sur ses acquis de 6 e (mesure de longueurs et équidistance (médiatrice)). Ne pratique pas de la géométrie déductive mais plutôt empirique, instrumentée. L élève 2 : Les points positifs : - Idée de prendre le problème «à l envers» partir des points déjà placés. - Notion d agrandissement et de réduction (au programme de 4 e ) donc on peut supposer qu il sait que cela conserve les milieux, les parallèles et les angles, afin que sa reproduction puisse se superposer. - Expérimentation graphique et raisonnement d analyse-synthèse sans réellement de synthèse car il énonce seulement ce qu il faut faire «il ne reste plus qu à agrandir». Il a tracé 2 droites que l on suppose former le même angle que l énoncé. Il a placé A et B ainsi que le point I milieu de [AB]. Il obtient donc une figure qui vérifie l énoncé et déduit que s il place le milieu J de [OA], la droite (JI) est parallèle à. C est une bonne démarche d analyse de la figure mais la dernière phrase montre qu il n a pas réalisé «l agrandissement», donc s il a fait un calque de la figure de l énoncé, les points I ne coïncideront pas. Ce qui est moins bien : - Manque d explications car on ne sait pas comment il à réussit à obtenir que (IJ) est parallèle à, les points A et B semblant être placés arbitrairement. - N exploite pas son idée jusqu au bout, c est-à-dire que à partir de sa construction il pourrait trouver le facteur k d agrandissement grâce au rapport de la longueur OI sur son dessin et sur celui de l énoncé. - N exploite pas sa remarque sur les droites parallèles. Il aurait ainsi pût trouver, à partir de son expérimentation, une autre manière d aboutir au résultat par le théorème des milieux. On est pas certain d avoir compris ce qu il a fait. Il observe quelque chose mais pourquoi croit-il que en agrandissant il arrivera au résultat? L élève 3 : Les points positifs : - Résolution du problème grâce à une notion déjà connue : la symétrie. Il montre qu il connaît le contrat implicite entre le professeur et les élèves en disant «on est dans le chapitre», il fait donc la relation avec ce que le professeur fait en cours et ce qu il donne comme exercice. Ce qui est moins bien : - Ne précise pas la symétrie utilisée, mais d après le dessin on suppose qu il s agit de la symétrie centrale. - Ne justifie pas son résultat, on suppose que «Ca marche!» signifie qu il a mesuré les longueurs AI et IB sur sa construction. - Ne justifie pas pourquoi les points A et B sont aux intersections des droites.
2) Exposer une correction de l exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de quatrième, prenant en compte les productions des élèves. Une correction de cet exercice s effectue en classe de quatrième grâce à la réciproque du théorème des milieux : dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté. On voit que l élève 2 est le plus proche de cette résolution car il utilise des éléments de ce théorème : il place le point J milieu de [OA] et remarque que (IJ) est parallèle à. Mais il n approfondit pas dans ce sens. Ainsi je vais vous présenter une correction de cet exercice : 1) On nomme O le point d intersection de et. 2) Tracer la parallèle, passant par I, à la droite, par exemple. 3) On nomme J le point d intersection de cette parallèle avec la droite. 4) Placer le point A sur. 5) Tracer la droite (AI). 6) Le point B est le point d intersection entre (AI) et. (EXERCICE ETAILLE EN ANNEXE) 3) Proposer deux ou trois exercices sur le thème géométrie plane, dont l un au moins peut conduire à l utilisation d un logiciel de géométrie. Exercice 1 : Le sommet C du parallélogramme ABC est sorti des limites de la feuille. Tracer la partie visible de la droite (AC) sans construire le point C. A B Le jury n interrogerait pas sur cet exercice car il est simple. Pourquoi ce choix : - Exercice de cinquième. - Original. - Permet de vérifier la maîtrise des propriétés sur le parallélogramme essentiellement la propriété sur les diagonale qui se coupent en leur milieu. - emande de savoir les outils qu il faut pour tracer une droite, à savoir : deux points.
Exercice 2 : Sur le schéma, les points B et C matérialisent deux pieds de la tour Eiffel et le point A est un point du deuxième étage. Le segment [IJ] symbolise le premier étage. Calculer la longueur IJ. Justifier la réponse. Pourquoi ce choix : - Exercice de quatrième. - Application du théorème des milieux. - emande un peut de recherche pour un élève de quatrième avant d aboutir à l utilisation du théorème car on ne donne aucune indication sur l emplacement des points si ce n est des longueurs. Trop d exercices ciblé sur la géométrie des collèges, c est mieux de prendre des exercices de plusieurs niveaux comme un de troisième et un de terminale, par exemple sur les complexes. Exercice 3 : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB= 4 cm et AC= 3 cm. M est un point du segment [AB]. La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en N. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en P. On se propose d établir une relation entre la longueur AM et le périmètre, en cm, du parallélogramme CNMP. 1) Conjecturer : a) Avec un logiciel de géométrie, faire cette figure ; afficher la longueur AM et le périmètre p de CNMP. b) éplacer le point M sur [AB], c est-à-dire prendre plusieurs valeurs de AM en commençant par AM=0. Conjecturer une expression de p en fonction de AM. 2) émontrer : a) Calculer BC. b) On pose AM= x cm. A l aide du théorème de Thalès, exprimer les longueurs PM et AP en fonction de x. c) En déduire l expression de p en fonction de x. Pourquoi ce choix : - Exercice de troisième. - Application du théorème de Thalès. - emande une recherche de la part des élèves pour la conjecture et pour trouver l expression du périmètre. - Suite du programme de quatrième sur les théorèmes des milieux et des trois rapports égaux.
IV- Annexes : Résolution de l exercice comme il faudrait le faire en classe de quatrième : On écrit la réciproque du théorème des milieux au tableau. «ans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.» 1) Je nomme O le point d intersection des deux droites et. On nous demande de trouver deux points A et B tels que A soit sur et B soit sur. On aura donc trois points qui formeront un triangle, et ainsi la première hypothèse de la réciproque, qui est de ce placer dans un triangle, est vérifiée. 2) Les deux autres hypothèses sont : - une droite passant par le milieu d un côté - cette même droite est parallèle à un second côté. après l énoncé on a I milieu de [AB], donc on a bien un milieu d un des côtés du triangle ABC. On peut ainsi tracer une droite parallèle à un second côté passant par I. Cette droite sera parallèle à ou à. Je choisis qu elle soit parallèle à. A l aide de ma règle et de mon compas je trace cette droite parallèle à et passant par I : O I (Je mets la pointe de mon compas sur un point de et je prends l écartement entre ce point et I. Je mets la pointe du compas sur O en gardant l écartement, et je trace un arc de cercle. Je prends l écartement entre le point et O, et je le reporte sur I) 3) La conclusion de la réciproque est que cette droite tracée passe par le milieu du troisième côté du triangle. onc le point d intersection entre la droite parallèle passant par I et est le milieu du côté OA du triangle. On le nomme J par exemple. 4) Maintenant comme on sait que J est le milieu de [OA], alors on a OJ=JA. Ainsi pour placer le point A, on prend la mesure de OJ avec le compas et on la reporte en plaçant la point du compas sur J. on obtient le point A : A J O I 5) Il ne reste plus qu à tracer la droite (AI) et le point d intersection de (AI) et est le point B : A O J I On peut vérifier avec le compas que l on a bien AI=IB. B
EXERCICE Supplémentaire : On a le dessin suivant où I est le milieu de [GH] avec G et H les points d intersections de la demidroite [O) et du cercle de centre C et de rayon CA (ou CB). O est le point d intersection des tangentes en A et B au cercle. Quel est le lieu de I lorsque [O) pivote autour de O? Tout d abord on peut faire une conjecture à l aide de géogébra en effectuant la trace de I. On peut remarquer que la trace de I décrit un arc de cercle qui passe par le centre C du cercle et les points A et B. Il semblerait que le lieu de I soit l arc de cercle de diamètre OC. Il faut maintenant le prouver, c est-à-dire montrer d une part que I appartient au cercle de diamètre OC, et, d autre part, que tout point de l arc appartient au lieu de I. 1) Montrons que I appartient au cercle de diamètre OC : Par construction, le triangle OAC est rectangle en A (car la droite (OA) est une tangente au cercle de centre C, et A appartient au cercle). e même pour le point B : on a ABC rectangle en B. onc il existe un cercle de diamètre OC passant par A et B. onc A et B appartiennent au cercle de diamètre OC.
I milieu de [GH] donc on peut tracer la médiatrice de ce segment. Or la médiatrice d une corde d un cercle passe par le centre de ce cercle, donc la médiatrice de [GH], passant par I, passe par le centre C. Ainsi le triangle OIC est rectangle en I, donc le point I appartient bien au cercle de diamètre OC. 2) Montrons que tout point de l arc appartient au lieu de I : Soit I un point de l arc AB. Ainsi, d une part, la demi droite [OI) coupe le cercle de centre C en deux points : G et H. On a alors CG=CH, le triangle CGH est isocèle en C et la médiatrice de [GH] passe par C. autre part, le triangle OIC est rectangle en I donc (IO) est perpendiculaire à (CI) et donc (GH) est perpendiculaire à (CI) (car G et H appartiennent à (OI)). On a alors une perpendiculaire à (GH) qui passe par C : (CI) est donc la médiatrice de [GH]. I coupe [GH] en deux parties égales, donc I milieu de [GH]. On a ainsi montré que le lieu de I est l arc AB du cercle de diamètre OC.