Annexe A Cours d introduction à la micro-économie corrigé de l examen 1. Consommation avec des bons d'achat Cet exercice roose une version modifiée du modèle standard du consommateur en considérant des ressources non seulement sous forme de revenu, mais de bons d achat, qui contraignent l agent à n acheter que certains tyes de biens. On montre dans l exercice que ceci devient réellement contraignant quand il y a beaucou de bons d achats. 1) La consommatrice eut acheter une quantité maximum de bien 1 en déensant tout son revenu en bien 1 et tous ses bons d achat. Le rix du bien 1 étant égal à 1, la quantité maximale de bien 1 consommable est R + B. ) A la différence de la question récédente, la consommatrice ne eut as utiliser ses bons d achat our consommer du bien. Ainsi, elle disosera d une quantité maximale de bien en déensant tout son revenu en bien. Le rix du bien étant égal à 1, la quantité maximale de bien consommable est R. 3) Quand la consommatrice consacre tout son revenu à l achat de bien, elle utilise ses bons d achat our acquérir du bien 1. Elle consommera donc dans ce cas B unités de bien 1 avec R unités de bien. 1
DEUG Economie et Gestion 4) La rerésentation de l ensemble des consommations n est as tout à fait usuelle : La frontière de cet ensemble asse ar les deux oints (R + B; 0) et (B; R) calculés à la question récédente. Pour asser du remier au second oint, la consommatrice substitue du bien 1 ar du bien : la frontière contient le segment de droite reliant ces deux oints. L ensemble de consommation contient alors tous les oints situés entre ce segment de droite et l axe horizontal ainsi que tous les oints situés entre ce segment de droite et l axe vertical. R B B+R Comme on le voit sur ce grahique, la frontière est comosée du segment de ente -1 reliant les oints (B + R; 0) et (B; R) ainsi que le segment horizontal reliant les oints (B; R) et (0;R). 5) Le rix relatif du bien 1 en bien est égal à 1 ( 1 =1). le TMS de la consommatrice est égal au rix relatif en les oints (x 1 ;x ) vérifiant 1 : que l on écrit encore : 3 x 1 +5x 5 x 1 +3x =1 (A.1) 3 x 1 +5x =5x 1 +3x (A.) La demande) La demande otimale du consommateur est sur la contrainte budgétaire. Ici, on eut dire encore mieux : elle est sur le segment de droite de ente -1 reliant les oints (B + R; 0) et (B; R). En équation, cela se traduit ar le fait que le consommateur déense exactement ses ressources : x 1 + x = B + R (avec x 1 B). (A.3)
Examen Janvier 00 3 Il est naturel de rechercher s il existe sur ce segment un oint qui égalise TMS de la consommatrice et rix relatif. On doit donc résoudre le système : ρ x 1 + x = B + R (A.4) 3 x 1 +5x =5x 1 +3x La seconde équation imlique x 1 = x, ce qui donnerait la solution x 1 = x = B+R. Ce anier est-il otimal? Afin d y réondre, il est nécessaire de vérifier si cette solution otentielle vérifie bien la condition x 1 B énoncée dans l équation A.3 traduisnat que les bons d achat ne euvent rocurer que du bien 1. 6) Lorsque R > Bla quantité R + B est suérieure à B + B d où l inégalité voulue : R+B > B+B = B. La solution trouvée ci-dessus convient ; la demande otimale satisfait l égalité du TMS et du rix relatif : ρx Λ 1 = B+R x Λ = B+R (A.5) 7) Lorsque R<B, R< R+B <Bla solution otentielle ne convient as car elle en dehors de l ensemble de consommation. En effet il n est as ossible que cet agent consomme R+B >Runités de biens. Ceci signifie en articulier qu il n existe aucun oint égalisant TMS et rix relatif saturant la contrainte budgétaire. La consommation otimale est en coin, soit en le oint (B; R), soit en le oint (B + R; 0). Orsion calcule son TMS en le oint (B + R; 0) ; on trouve TMS(B + R; 0) = 3(B + R) +0 5(B + R) +0 = 3 5 (A.6) ce TMS est manifestement inférieur à 1 : en ce anier (B + R; 0) la consommatrice valorise moins le bien 1 que ne le fait le marché, localement, elle aura tendance à céder du bien 1. Ce oint n est donc as sa consommation otimale. On en déduit alors : ρ x Λ 1 = B x Λ = (A.7) R La consommatrice est dans la situation où elle aimerait bien ouvoir acheter lus de bien, mais elle ne le eut as, car ses bons d achat ne le lui ermettent as. 8) Il est manifeste que la consommatrice aurait lus de bien être si ses bons d achat étaient transformés en revenu, au moins dans le cas B>Rde la question 7, car alors, elle ourrait acheter lus de bien, comme elle le souhaiterait, en égalisant son TMS au rix relatif du marché.
4 DEUG Economie et Gestion A A - A A Λ n 1 (a) 1 q Λ n (b) Figure A.1. Deux équilibres : a) deux firmes identiques ; b) suite aux gains de roductivité de l une des firmes.. Bien-tre avec une meilleure technologie Cet exercice montre qu un gain de roductivité rofite aux consommateurs lorsque l économie est en concurrence ure et arfaite. 1) Le choix otimal de roduction de chaque firme est obtenu, sous l hyothèse de concurrence ure et arfaite, lorsque le coût marginal égale le rix, soit Ay=, ce qui donne : y() = A (A.8) Il y a deux firmes identiques sur le marché. Elles font les mêmes choix de roduction. La roduction agrégée est donc : Y () = A (A.9) Le marché est équilibré lorsque l offre égale la demande, Y () = X(), soit lorsque : A = A () = A (A.10) Le rix d équilibre est donc Λ = A ) Le surlus net du consommateur est la surface comrise entre la courbe de demande inverse et la droite horizontale d équation = Λ. Ici, comme la demande inverse est une droite, on trouve facilement Sn = 1 A 1= A.
Examen Janvier 00 5 3) La baisse des coûts de la seconde firme la conduit à modifier ses choix de roduction. Un calcul analogue à celui de la remière question montre que cette firme offre désormais y() =, ce qui modifie l offre agrégée (on met l indice n our B désigner les différentes variables sous ces nouvelles conditions) : Y n () = + = A B A + B AB et donc l équilibre concurrentiel qui s établit à un rix tel que (A.11) A + B AB = A () = 4AB Le rix d équilibre sous ces nouvelles conditions est donc Λ n = A alors la nouvelle quantité roduite et consommée (A.1) 4B. On trouve A+3B q Λ = B n = A +4B =1+ A + B (A.13) 4) Le surlus des consommateur est calculé sur un rincie analogue à celui de la question ) 4AB S n = 1 Λ (A ) Λ A +4B = A 4(A + B)(A +B) () (A.14) 5) l e rix a baissé de A à A 4B. La quantité roduite et consommée a aug- A+3B et donc, le surlus du consommateur a lui aussi augmenté. menté de 1 à 1+ A+B A+3B Dans une économie concurrentielle, une innovation technique rofite au consommateurs, à travers une baisse de rix du bien roduit. 3. Comment les references influencent la roduction Cet exercice roose une analyse de la roduction efficace 1) La frontière qui délimite l ensemble des aniers (x 1 ;x ) est un segment de droite délimité ar les oints (μx 1 ; 0) et (0; μx ). Elle a our équation x 1 μx 1 + x μx =1 (A.15) ) Dans le cas articulier μx 1 = et 5 μx = 5, cette équation s écrit x 1 5 + x 5 =1 (A.16)
6 DEUG Economie et Gestion soit, arès simlification 5 x 1 +4x =10 (A.17) Remarque 1. Il y a une coquille dans l énoncé. A tous ceux qui auraient utilisé la formule de l énoncé our la suite, on comte juste. 3) Dans cette économie, la roduction est efficace quand elle est de la forme (tμx 1 ; (1 t)μx ). Calculer le taux de substitution de bien 1 en bien signifie de savoir combien d unité de bien sulémentaires je ense roduire lorsque ma roduction de bien 1 asse de tμx 1 à tμx 1 1 unités. Or, tμx 1 =μx 1 (t 1 ). Ce bref calcul nous indique qu en roduisant μx1 tμx 1 1 unités de bien 1, je ourrai roduire μx [1 (t 1 )] unités de bien. L accroissement de μx1 bien obtenu est donc : x =μx (1 t) + μx μx 1 μx (1 t) = μx μx 1 : (A.18) Le taux de substitution de bien 1 en bien est donc μx μx1 remarquer que ce nombre μx μx1. Il n est as surrenant de est la ente de la droite d équation x1 μx1 + x μx =1. 4) Le TMS se calcule à artir des utilités marginales. Ici On trouve alors : @x 1 = x, @x = x 1. TMS(x 1 ;x )= @x1 @x = x x 1 (A.19) L agent rerésentatif est de tye Cobb-Douglas. 5) Les références sont convexes lorsqu une quelconque courbe d indifférence l est. La courbe d indifférence qui donne le niveau d utilité ff a our équation x 1 x = ff ; que l on écrit : x = ff x 1 (A.0) Cette courbe est une hyerbole convexe ( dx = ff dx1 x ; d x 1 dx 1 = +ff x 3 1 > 0). 6) Dans cette économie il n y a as de mécanisme de rix qui ermette de transférer les biens des firmes aux agents. Il y a une firme qui roduit et un agent rerésentatif qui consomme toute la roduction. Lorsque l agent rerésentatif dirige la firme, il choisit une roduction qui lui rocure le lus de satisfaction armi les roductions ossibles. Le roblème est analogue
Examen Janvier 00 7 au choix de consommation otimal, hormis le fait que la contrainte budgétaire est remlacée ar la frontière de roduction des firmes. De même que dans la théorie du consommateur, l agent choisira s il le eut, de roduire un anier qui égalise son TMS avec la ente de la frontière de roduction. 7) (x 1 ;x )est un anier situé sur la frontière de roduction et égalisant le TMS de l agent avec le taux de substitution de bien 1 en bien s il vérifie les deux équations ρ 5x1 +4x =10 x1 x = 5 4 (A.1) En effet, la ente de la frontière de roduction est 5. Comme le consommateur 4 est le tye Cobb-Douglas, on sait que ce système ossède une solution unique. 8) On résoud le système récédent ar la méthode de substitution 5x 1 = 4x d où 4x +4x =10; x = 10 8 = 5 4 =1; 5 et x 1 = 4 5 5 4 = 1 =0; 0. 5 9) L efficacité dans cette économie est le fait que le taux marginal de roduction de la firme égalise le TMS de l agent. C est l unique organisation de l économie telle que l agent n a aucun gain local à réorganiser la firme.