Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Exercice On considère les matrices 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 4 ; 0 2 ; 0 2 0 ; 0 0 4 0 4 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ) Soit la matrice 4 0 4 2 a) Prouver que est inversible et calculer la matrice ¹. On construit la matrice 0 0 4 0 0 0 4 2 0 0 pplique la méthode du pivot de Gauss à cette matrice. En faisant 4 4, on obtient 0 0 ~ 0 3 4 4 0 0 6 5 4 0 En faisant 2, on obtient : 0 0 ~ 0 3 4 4 0 0 0 3 4 2 On peut en conclure que la matrice est inversible car elle est équivalente à une matrice triangulaire inversible : ~ 0 3 4 0 0 3 On continue l inversion. En faisant 3, on obtient : 3 4 3 3 0 2 ~ 0 0 4 5 4 0 0 3 4 2 En faisant 3, on obtient : 0 0 ~ 0 0 4 5 4 0 0 3 4 2 / On finit par / ; on obtient : /3
donc 0 0 0 0 4 0 0 4 3 4 4 3 5 2 3 5 2 3 4 3 4 3 b) Calculer la matrice ¹ et vérifier que la matrice obtenue est triangulaire. 4 5 4 0 0 4 4 0 4 2 4 0 4 4 2 3 3 3 4 5 4 5 2 20 2 4 2 20 4 0 3 3 3 5 0 0 0 2 0 0 2 2) a) Calculer et. 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 b) Calculer et pour tout entier naturel. La matrice est une matrice diagonale, donc, 5 0 0 0 2 0 0 0 2 Calculons. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 donc facilement :
En effet 2, 2, c) Ecrire à l'aide de et de ; en déduire pour tout entier naturel. évidemment donc ) de plus. On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton. Or ) 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 5 0 0 0 2 2 0 0 2 3) Prouver, par récurrence, que, vu que :. On en déduit que. Donc, la propriété est initialisée., montrons que si alors. : Il y a hérédité et donc, 4) En déduire les coefficients de pour. donc
5 0 0 4 0 0 2 2 4 5 4 4 2 0 0 2 4 2 3 3 3 5 2 2 2) 4 5 2 2 4 5 4 4 5 2 2 ) 4 2 3 3 3 5 2 4 3 5 3 5 2 2 3 2 4 5 2 3 2 4 5 2 3 5 5 4 2 3 8 4 5 2 3 4 5 2 3 2 4 5 3 5 2 Exercice 2 Soit la fonction de R dans R, définie par : I. Etude de f ) Former le tableau de variation de. ) La fonction est définie et dérivable sur R comme somme d un quotient de fonctions définies et dérivables sur R, le dénominateur ne s annulant pas sur R, et d une fonction constante. En posant ), on obtient : ) ) ) Le dénominateur est évidemment positif. Le signe de ) est donc celui de. de plus : lim ) lim lim lim 0 lim ) lim lim lim 2 On peut donc dresser le tableau de variations : ) 0 2 ) 2 0 2) a) Résoudre l'équation ), d'inconnue R.
donc ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ou La première équation donne immédiatement. d autre part : 0 0 Les solutions de l équation ) sont donc les nombres et 0. b) Résoudre l'équation ), d'inconnue R. de la même façon ) ) 0 Le dénominateur étant positif on a Il faut donc déterminer le signe de. ) ) 0 0 Or cette inégalité est toujours vérifiée. Donc R, 0 Donc Donc ) 0 0 ) 3) Donner l allure de la courbe représentative ) de dans un repère orthonormé d'unité 5cm, et préciser la position relative de C) et de la première bissectrice Nous avons vu que la courbe ) de est au-dessous de la première bissectrice si et seulement si.
II. Etude d'une suite récurrente. On considère la suite ) définie par: R et pour tout entier, ) ) Que dire de ) si ou 0? Si 0, on aura ) 0) 0 d après la question 2)a). On peut conjecturer que, 0. Cette propriété est vérifiée pour 0. 0, montrons que si 0 alors 0. ) 0) 0. Il y a donc hérédité. Et donc, 0. La suite ) est stationnaire. On démontre de même que si, alors,. 2) On suppose ici. a) Montrer que, La restriction de la fonction à, est strictement croissante et continue. ). Donc, ) ), et donc ). 0, montrons que si, alors. Si alors ) et donc. Il y a hérédité et donc, b) En déduire que ) est croissante. La restriction de la fonction à, étant strictement croissante, il suffit de montrer que. vu que, ), donc puisque, on a. La suite ) est donc croissante. c) Montrer que ) converge vers un réel que l'on déterminera.
Cette suite est croissante et majorée par, elle est donc convergente. Sa limite λ est inférieure ou égale à et est solution de l équation ), puisque la fonction est continue donc. 3) On suppose ici 0. Montrer que ) converge et déterminer sa limite. Sur l intervalle,0, la fonction est strictement croissante. ) et 0) 0. Donc,0, ),0.,0. 0, montrons que si,0, alors,0. Si,0, alors ),0 et donc,0. Il y a hérédité et donc,,0. La fonction étant croissante, la suite ) est monotone. Elle est bornée. Donc elle est convergente. Il s agit de savoir si elle est croissante ou décroissante., ), donc comme, ) et donc : la suite est décroissante. Sa limite est donc égale à. 4) On suppose ici 0. Sans en donner de démonstration, quel résultat obtiendrait-on concernant la convergence de ) dans ce cas? Il est facile de voir graphiquement que l image de l intervalle 0, est incluse dans l intervalle 0; 0,5. Sur cet intervalle la fonction est croissante. La suite ) sera monotone et décroissante comme dans la question précédente. Elle sera convergente et sa limite sera égale à 0. Exercice 3 A l'issue d'une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se prononcer sur leur positivité ou négativité au dopage. Or, d'une part certains produits dopants restent indétectables aux contrôles, d'autre part certains médicaments ont un effet de dopage inconnu du sportif; le comité prend donc sa décision avec un risque d'erreur. On note: I' événement «le sportif est dopé», l'événement «le sportif est déclaré positif». l'événement«le comité a commis une erreur». ) Dans cette question, on suppose que parmi les sportifs 50% ne sont pas dopés et que la probabilité d'être déclaré positif est indépendante de l'état réel du sportif dopé ou non dopé). Lors d'une étude sur des compétitions antérieures on a pu observer que ce comité déclarait positifs 20% des sportifs. On choisit un sportif au hasard. Calculer: la probabilité que le sportif soit non dopé et déclaré positif; On cherche la probabilité de l évènement :. Les deux évènements étant supposés indépendants, on a :
) ) ) 0,5 0,2 0, la probabilité que le sportif soit dopé et déciaré négatif; On cherche la probabilité de l évènement :. comme précédemment ) ) ) 0,5 0,8 0,4 la probabilité de l événement. ) ) Les deux évènements composant cette réunion sont incompatibles, donc ) ) ) 0,5 2) Dans cette question, on note p la fréquence des dopés parmi les sportifs contrôlés. On suppose que la probabilité d'être déclaré positif n'est pas la même selon que le sportif est réellement dopé ou non: la probabilité qu'un sportif dopé soit déclaré positif est 0, ; la probabilité qu'un sportif non dopé soit déclaré positif est 0,. On choisit un sportif au hasard. a) Construire un arbre pondéré illustrant la situation. 0, O p D 0, N D 0, 0, O N b) Calculer la probabilité de. comme précédemment ) ) ) ) ) ) ) 0, ) 0, 0, c) Calculer, en fonction de p, la probabilité que ce sportif soit déclaré positif. Donc ) )
) ) ) )) )) 0, 0, ) 0,8 0, d) On s'intéresse à la probabilité qu un sportif ayant été déclaré positif soit réellement dopé. Montrer que cette probabilité notée ), est définie par: 0, ) 0,8 0, ) correspond à ). ) ) ) )) ) 3) Résoudre l'inéquation ) 0,. Interpréter ce résultat. 0, 0,8 0, ) 0, 0, 0, 0,8 0, 0, 0,0,8 0,) car 0,8 0, 0 0,8 0,0 0,5 S il y a plus de 50% de sportifs dopés, la probabilité qu un sportif déclaré positif soit effectivement dopé est supérieure à 0%. Exercice 4 Un organisme de voyages fait une étude sur le choix des vacances. Ce choix porte sur la France et l'étranger. Au départ, chaque client choisit la France avec la probabilité 3 4 et l'étranger avec la probabilité 4. Si la année, le client a choisi la France, la probabilité de choisir la France l'année suivante est 3 4. Si la année, le client a choisi l'étranger, la probabilité de choisir la France l'année suivante est 2. On note l'événement «le client a choisi la France la année et la probabilité de l'événement. ) Donner. évidemment 3/4 2) Déterminer et. La famille, est un système complet d évènements. ) ) Donc par incompatibilité puis par indépendance :
) ) ) ) ) 3 4 3 4 2 4 6 La famille, est un système complet d évènements. ) ) Donc par incompatibilité puis par indépendance : ) ) ) ) ) 3) Exprimer en fonction de. 3 4 43 64 6 2 5 6 La famille, est un système complet d évènements. ) ) Donc par incompatibilité puis par indépendance : ) ) ) ) ) 3 4 2 ) 4 2 4) Déterminer l'expression de en fonction de. La suite ) apparaît comme une suite arithmético-géométrique. On résout l équation On trouve 2/3 4 2 On considère 2 3. 2 3 4 2 2 3 4 6 4 2 3 4 La suite ) est une suite géométrique de raison /4. 2 3 3 4 2 3 2 Donc pour tout entier, Et donc 2 4 2 4 2 3
5) Déterminer la limite de quand tend vers La suite ) apparaît comme la somme d une suite géométrique de raison comprise strictement entre et, donc convergente et de limite nulle et d une suite constante, donc lim 2 3