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ctivité 1 : Replir un prise 1. CDGH est un pavé droit tel que c, C 7 c et c. Calcule le volue de ce pavé. H G. Lorsqu'on regarde ce pavé droit coe un prise ayant pour hauteur le segent [], cite les s du prise et calcule l'aire de l'une d'entre elles. Dans ce cas, que représente le produit de l'aire d'une des s par la hauteur? D C. Les deux prises droits suivants ont le êe volue. xplique pourquoi. Propose une forule qui donne le volue d un prise droit ayant pour un parallélograe en utilisant l'expression «aire de la». Pavé droit Prise droit ayant pour un parallélograe. Observe l illustration ci-contre réalisée à partir d un prise droit ayant pour un parallélograe. xplique pourquoi la forule vue au. est encore valable pour un prise à triangulaire.. n t inspirant de la question., «découpe» ce prise droit à pentagonale en prises à triangulaire. La forule vue au. est-elle encore valable? Pourquoi? 6. Sachant que l'aire du pentagone est de 1 c² et que la hauteur de ce prise est de c, quel est son volue? ctivité : Vers le volue du cylindre 1. on augente le nobre de côtés de ces polygones réguliers, de quelle fore vont-ils se rapprocher?. le rayon du cercle est de c, vers quel nobre vont se rapprocher les aires de ces polygones?. n t'aidant de la figure ci-contre, propose une forule qui donne le volue d un cylindre de révolution en fonction de sa hauteur et du rayon d'une.. Que rearques-tu? 180 IRS - CHPITR M
Méthode 1 : Calculer l'aire latérale À connaître Pour calculer l'aire latérale d'un prise droit ou d'un cylindre de révolution, on ultiplie le périètre d'une par la hauteur du solide : latérale h. xeple : Déterine l'aire latérale du cylindre de révolution suivant. On calcule le périètre d'une qui est un disque de rayon c : 7c π c 8π c. On ultiplie le périètre d'une par la hauteur : c O latérale h 8π c 7 c 6π c². L'aire latérale de ce cylindre de révolution est 6π c². Une valeur approchée au centièe près de l'aire latérale de ce cylindre de révolution est 17,9 c². xercices «À toi de jouer» 1 Calcule l'aire latérale d'un prise droit de hauteur 9 c ayant pour un pentagone régulier de côté c. Calcule l'aire latérale d'un cylindre de révolution de hauteur 1 c ayant pour un disque de diaètre 6 c. Méthode : Calculer le volue À connaître Pour calculer le volue d'un prise droit ou d'un cylindre de révolution, on ultiplie l'aire d'une par la hauteur du solide : h. xeple : Déterine le volue du prise droit suivant. c On calcule l'aire d'une qui est un triangle rectangle : c c c 1 c 6 c². On ultiplie l'aire d'une par la hauteur : c h 6 c² c 0 c. Le volue de ce prise droit est 0 c. xercices «À toi de jouer» Calcule le volue d'un prise droit de hauteur 8 c ayant pour un rectangle de longueur c et de largeur c. Calcule le volue d'un cylindre de révolution de hauteur, c ayant pour un disque de diaètre c. CHPITR M - IRS 181
Sauf ention contraire, les prises sont des prises droits et les cylindres, des cylindres de révolution. a. L'aire latérale d'un cylindre de rayon de c et de hauteur 0 c. 1 Reconnaître la U G D 1 c P P N, S C c H T P1 c b. L'aire latérale d'un prise qui a pour un carré de côté 8 c et pour hauteur 0 c. Q 8c L R M, K P O 8 1 c P1 et P sont des prises et P est un cylindre. Pour chacun de ces trois solides, noe une et calcule son périètre. Calcule le périètre des s puis l'aire latérale des solides suivants. Solide ase Hauteur Prise 1 Carré de côté 6 c 1, Cylindre Rayon de c, d Ne pas se fier à la taille et à la fore a. P1 est un prise de hauteur 8 c ayant pour un pentagone dont tous les côtés esurent 1, c. P est un prise de hauteur 6 c ayant pour un triangle équilatéral de côté c. Copare les aires latérales de ces deux prises. b. C1 est un cylindre de rayon de 18 c et de hauteur c, C est un cylindre de rayon de 6 c et de hauteur 0 c et C est un cylindre de rayon de 1 c et de hauteur 1 c. Calcule et copare leurs aires latérales. Sur le schéa ci-contre, les segents roses esurent 0, c, les bleus esurent 1 c et tous les angles sont droits. 6 Pour le peintre Un tuyau de transport du pétrole (pipeline) a la fore d'un cylindre de diaètre intérieur 60 c et de diaètre extérieur 6 c. La longueur du pipeline qui va de la raffinerie au port est de 80. Une entreprise de peinture deande 1,8 par ² pour la pose et la fourniture d'un revêteent spécial anti-corrosion à l'intérieur et à l'extérieur de ce pipeline. Calcule le ontant, au centie d'euro près, des travaux qu'effectuera cette entreprise. 7 ores coplexes a. Le dessin ci-contre représente un objet à décorer. Les parties arrondies sont des dei-cylindres de rayon de c. Le socle est un prise ayant pour un triangle équilatéral de côté c. L'épaisseur de cet objet est 8 c. Calcule son aire latérale. b. Mêe question pour l'étoile ci-contre dont les branches esurent c de côté et dont l'épaisseur est de c. 8 ire latérale et proportionnalité a. Construis un tableau faisant apparaître le rayon et l'aire latérale de chaque cylindre. Obtiens-tu un tableau de proportionnalité? Représente la surface latérale d'un prise droit qui a ce polygone pour et une hauteur de 9 c, puis calcule son aire. d. La largeur d'un rectangle dont la longueur est 1 c et qui fore l'une des s d'un prise de hauteur c et d'aire latérale 18 d². Trois cylindres ont pour hauteur 0 c et pour rayon de la respectiveent c, c et 8 c. Plan d'une surface IRS c. Le rayon de la d'un cylindre de hauteur 18 c et d'aire latérale 1 70 c². 1 c Prise Rectangle de 8 sur, 18 Calcule, pour chaque question, la diension deandée. b. Deux cylindres ont pour hauteur 0 c et pour rayon de 80 c et c. Utilise la question précédente pour calculer entaleent l'aire latérale de ces cylindres. - CHPITR M
9 Les unités de volue 1 Piscine a. Convertis les volues suivants en c : Une piscine a la fore du prise droit ci-contre. Sa profondeur va de 0,80 à,0. 1 a. Quel volue d'eau contient-elle? ;,7 d ; 0,087 ; L ; 1 cl. b. Convertis les volues suivants en cl : 1 L ; 0,7 L ; c ; 8, dl ; d. ien observer On a représenté ci-dessous des prises droits et des cylindres de révolution. Donne la nature des s et noe une hauteur dans chaque cas. a. r U L S C On veut chauffer la aison représentée ci-contre à l'aide d'un poêle à bois. (L'unité est le ètre.) P 8 0 16 Choix d'un poêle d. G H c. N K I 1 Un coffre ancien Un coffre ancien est coposé d'un pavé droit suronté d'un dei-cylindre. (L'unité est le centiètre.) Calcule le volue de ce coffre arrondi au c. b. T b. Sachant que le robinet d'eau qui peret de la replir a un débit de 1 L par inute, cobien de teps faut-il pour la replir? D M 11 ppliquer les forules a. Un prise droit de hauteur c a pour un polygone d'aire 7, c². Calcule son volue. b. Un cylindre de révolution de hauteur 11 a pour un disque d'aire 0,9 c². Calcule son volue en. 7 Les caractéristiques de ce poêle à bois sont : puissance : 000 W ; volue de chauffe : 0 ; 9 8 diensions en c : l 71, h 16 et P. La capacité du poêle choisi est-elle suffisante? 17 Hauteur d'une pièce 1 Le dessin ci-dessous représente un prise droit dont la est un triangle rectangle isocèle. (L'unité est le centiètre.), Le volue de la pièce ansardée ci-dessous est de 77. a. Quelle est la hauteur de ce prise? l'aire d'une b. Calcule. 1,0 7 c. Calcule le volue du prise. Quelle est sa hauteur au point le plus haut? 1 Un seau a la fore d'un cylindre de révolution. Le fond du seau est un disque de diaètre 0 c. Sa hauteur esure, d. Quelle est, en litres, la contenance de ce seau? 18 Un récipient cylindrique de diaètre c et de hauteur c est repli d'eau aux de 6 sa hauteur. Peut-on y plonger un cube d'arête 1 sans que l'eau ne déborde? xplique ta réponse. CHPITR M - IRS 18
19 Un tobereau a la fore d un prise droit dont la est un trapèze isocèle de petite 0 c et de grande c. On l a représenté en perspective cavalière sur papier pointé. Sachant que ce tobereau est profond de 0 c et haut de 0 c, déterine le volue de la partie bleue correspondant au tobereau repli à i-hauteur. 0 Cylindre et proportionnalité On a représenté sur la figure ci-dessous un cylindre de hauteur h dont le rayon de la est r. On rappelle que le volue d un cylindre est donné par la forule : cylindre aire d'une hauteur. a. Calcule le volue exact en c d'un cylindre de hauteur 1 c dont le rayon de la est c. Donne une valeur approchée du résultat en litres au dixièe. b. À l'aide d'un tableur, reproduis la feuille de calcul suivante. 1 Hauteur (en c) 1 Rayon de la (en c) h r Volue du cylindre (en c ) Volue du cylindre (en L) c. Prograe les cellules et qui te perettront de calculer le volue du cylindre en c et en litres, connaissant sa hauteur et le rayon de la. 1er cas : Dans les questions d. à f., on s'intéresse à un cylindre de hauteur 1 c. d. Recopie puis coplète le tableau suivant à l aide de la feuille de calcul. Rayon de la (en c) 6 1 1 16 0 Volue du cylindre (en L) e. n observant le tableau de la question d., que dire du volue du cylindre si le rayon de la est doublé? f. À partir du tableau de la question d., réalise un graphique représentant respectiveent le volue d'un cylindre en fonction du rayon de la. Le volue d un cylindre dont la hauteur est donnée est-il proportionnel au rayon de la? e cas : Dans les questions g. à i., on s'intéresse à un cylindre dont le rayon de la est c. g. Recopie puis coplète le tableau suivant à l aide de la feuille de calcul. Hauteur (en c) 1 1 0 0 0 Volue du cylindre (en L) h. n observant le tableau de la question g., que dire du volue du cylindre si sa hauteur est doublée? i. À partir du tableau de la question g., réalise un graphique représentant le volue d'un cylindre en fonction de sa hauteur. Le volue d un cylindre dont le rayon de la est donné est-il proportionnel à sa hauteur? 18 IRS - CHPITR M
1 Prise à triangulaire c. Calcule ce volue pour rearques-tu? d. st-il possible d'obtenir un prise de volue 60 c? oui, quelle est sa hauteur? C e. Mêe question pour des volues de 1 c et 0 c. f. Trace un rectangle à ain levée pour représenter la surface latérale de ce prise et indique ses diensions. D g. Peux-tu distinguer la longueur et la largeur de ce rectangle? CD est un prise droit dont la est un triangle rectangle en tel que c, C c et C c. La hauteur de ce prise varie. On note hauteur de CD, en c. x la a. Pour une hauteur de 7 c, calcule le volue de ce prise droit. b. Donne une expression du volue du prise pour une hauteur de x c. Solides de êe volue 1re Partie : To calcule le volue d'un cylindre. près avoir effectué quelques calculs de tête, il tape sur sa calculatrice : π 7. a. Rappelez la forule du volue d'un cylindre. b. Sachant que le rayon et la hauteur sont des nobres entiers de centiètres, dessinez à ain levée un patron de chacun des cylindres possibles. c. Recopiez et coplétez le tableau suivant avec une ligne par cylindre. Cylindre x et x 8. Que Rayon Hauteur ire latérale Volue h. Construis cette aire latérale en vraie grandeur lorsque la hauteur du prise est de 7, c. i. xprie son aire latérale en fonction de x. j. Calcule cette aire latérale pour Que rearques-tu? x et x 8. k. st-il possible d'obtenir un prise d'aire latérale 0 c? oui, quelle est sa hauteur? d. Organisez le groupe pour construire le plus rapideent possible un patron d'un cylindre de révolution de volue 800π et d'aire latérale 1 00π. e Partie : To étudie aintenant un prise droit de hauteur π c ayant pour un parallélograe de côtés 7 c et c. e. Dessinez un patron d'un tel prise et calculez son aire latérale. f. n vous aidant de la question c., trouvez un cylindre de révolution ayant la êe aire latérale et dessinez-en un patron. g. Un prise droit dont la est un triangle équilatéral de côté c a la êe aire latérale. Calculez sa hauteur. h. Organisez le groupe pour dessiner en perspective cavalière le plus possible de solides d'aire latérale 6π c et classez-les en fonction de la fore de leur. CHPITR M - IRS 18
R1 1 Quelles sont les affirations vraies? a R R Doubler la Deux prises de hauteur d'un êe volue prise fait ont la êe doubler son aire aire latérale latérale Doubler la hauteur d'un prise fait doubler son volue Doubler le rayon de d'un cylindre fait doubler son volue La est un La est un triangle rectangle rectangle isocèle ab ab b R a b c a b c a b c a b c 7 c Ce solide est un prise droit de volue (en c) O R h 6 Ce solide est un cylindre de volue (en c) et d'aire latérale (en c) 7 L'aire latérale d'un cube d'arête c est 1, c L'aire de la est πr Le volue du cylindre est πrh R c et h c 16π c R c et h c 16π c R c et h c 16π c R c et 9π c h 1 c R 1 c et π c h 1 c c c Coe des spationautes La station orbitale Mep est constituée de quatre pièces rectangulaires dont les diensions sont données ci-dessous. Sa hauteur est de,1. ide l'équipe à prévoir l'oxygène calculant le volue de la station. nécessaire en ttention! Il n'y a pas de calculatrice dans la station. 8, 7, 7 186 IRS 7π c - CHPITR M 1,π c L'aire latérale du L'aire de la cylindre est est πr πrh R c et h c 16π c R c R 1 c c c