Rappel de quelques techniques de calcul sur les suites récurrentes PC Remarques : Les formules de somme supposent p q. Le corps de travail est C. Le calcul du terme général est classique : I SUITES ARITHMÉTIQUES : u n+ = u n + r u n = u 0 + nr ou plus généralement u p = u q + (p q)r. Aucune difficulté pour le calcul d une somme de termes consécutifs : u k = (q p + ) u p + u q soit le nombre de termes multiplié par la moyenne des termes extrêmes, qui est d ailleurs la valeur du terme du milieu si le nombre de termes est impair. Aucune difficulté non plus pour le calcul d une somme de puissances entières de termes consécutifs, en utilisant la formule du binôme et les formules donnant la somme des puissances des entiers consécutifs : k = n(n + ), k = n(n + )(n + ), k 3 = n (n + ) etc... On obtient par exemple : ( q(q + ) u k = (q p + )u 0 + u 0 r ) ( (p )p q(q + )(q + ) + r ) (p )p(p ). Aucune difficulté pour le calcul du terme général : II SUITES GÉOMÉTRIQUES : u n+ = r.u n u n = u 0.r n ou plus généralement u p = u q.r p q. Aucune difficulté non plus pour le calcul d une somme de termes consécutifs : u p u q+ si r r u k = (q p + )u p sinon soit premier terme écrit moins premier terme non écrit sur un moins la raison. Comme les puissances α-ièmes des termes d une suite géométrique sont elles-mêmes en progression géométrique, le calcul d une somme de puissances (quelconques) de termes consécutifs ne pose aucun problème.
III SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES : u n+ = a.u n + b On suppose ici a, sinon la suite relève de I La recherche d un point fixe l, c est à dire d une valeur l solution de l équation l = al + b conduit à une unique solution l = b a. On pose alors v n = u n l et on obtient : u n+ = a. u n + b l = a. l + b v n+ = a. v n On en tire immédiatement v n = a n v 0 et finalement : u n = l + a n (u 0 l). Le calcul d une somme de termes consécutifs donne alors : u k = (q p + )l + (u 0 l) ap a q+ a Le calcul d une somme de puissances de termes consécutifs ne pose guère de problème avec la formule du binôme. Ainsi par exemple : u k = (q p + )l + l(u 0 l) ap a q+ a + (u 0 l) ap a q+ a IV RÉCURRENCES LINÉAIRES D ORDRE : u n+ = au n+ + bu n On suppose ici b 0, sinon la suite relève de II L idée fondamentale est que, a et b étant donnés, les suites qui vérifient la relation de récurrence forment un sous-espace vectoriel E de dimension de l espace vectoriel des suites. Si l on connaît une base de ce sousespace, la donnée des premiers termes u 0 et u d une suite u suffit pour déterminer les coordonnées de cette suite dans la base, et permet donc de calculer son terme d indice n en fonction de n. On cherche alors s il y a des suites géométriques non nulles de raison non nulle qui satisfont la relation. On trouve immédiatement que la condition nécessaire et suffisante est que la raison r d une telle suite soit solution de l équation : r = ar + b qui est dite équation caractéristique de la récurrence. On est alors amené à distinguer deux cas. er cas : L équation caractéristique a deux racines distinctes α et β. Les suites v et w définies par n N, v n = α n et w n = β n forment une base de E et il existe deux nombres λ et µ tels que u = λv + µw, soit n N, u n = λα n + µβ n. La détermination de λ et µ se fait en écrivant la relation pour deux valeurs distinctes de n pour lesquelles on connaît u n, en général 0 et. On obtient ainsi : u n = u βu 0 α β αn u αu 0 α β βn. Le calcul d une somme de puissances entières de termes consécutifs ne pose donc aucun problème avec la formule du binôme.
ème cas : L équation caractéristique a une racine double α. Les suites v et w définies par n N, v n = α n et w n = nα n forment une base de E et il existe deux nombres λ et µ tels que u = λv + µw, soit n N, u n = (λ + µn)α n. La détermination de λ et µ se fait en écrivant la relation pour deux valeurs distinctes de n pour lesquelles on connaît u n, en général 0 et. On obtient ainsi : ( u n = u 0 + u ) αu 0 n α n. α Le calcul d une somme de puissances entières de termes consécutifs se ramène, avec la formule du binôme, à la connaissance des sommes de la forme k r x k. Ces dernières s obtiennent assez facilement en décomposant k r en fonction de k, k(k ), k(k )(k ) etc... Il suffit alors de connaître les sommes k(k )... (k s + )x k s, qui se déduisent de x k = x xn+ x par dérivations successives. V RÉCURRENCES AFFINES D ORDRE : u n+ = au n+ + bu n + c L idée est de se débarrasser de c pour se ramener au cas précédent. er cas : a + b En posant l = c a b et v n = u n l on a : u n+ = a. u n+ + b. u n + c l = a. l + b. l + c v n+ = a. v n+ + b. v n On a alors v n = λα n + µβ n ou (λ + µn)α n suivant le nombre de racines distinctes de l équation caractéristique r = ar + b. On en déduit respectivement : u n = l + λα n + µβ n ou u n = l + (λ + µn)α n. Le calcul d une somme de puissances entières de termes consécutifs relève des techniques déjà vues. ème cas : a + b = Il n y a plus de point fixe. On peut alors retrancher deux relations de récurrence successives et poser v n = u n+ u n : u n+ = a. u n+ + b. u n + c u n+ = a. u n + b. u n + c v n+ = a. v n + b. v n La suite v relève d une récurrence linéaire d ordre dont l équation caractéristique est r = ar + b. Comme on suppose ici a + b =, cette équation a la racine et l autre est b. Si b = on est en présence d une racine double. La méthode du IV donne v n = λ+µn, ce que l on obtient aussi directement en remarquant que v n+ = av n+ + bv n s écrit alors v n+ = v n+ v n soit v n+ v n+ = v n+ v n, donc v est arithmétique. On calcule alors : 3
n u n = u 0 + v k = u 0 + nλ + µ (n )n Sinon on est en présence de deux racines distinctes et on trouve v n = λ + µ( b) n d où : n u n = u 0 + v k = u 0 + nλ + µ ( b)n + b Remarque : Une autre idée pour le cas a+b = aurait consisté à écrire la relation u n+ = ( b)u n+ +bu n +c sous la forme u n+ u n+ = ( b) ( u n+ u n ) + c soit vn+ = ( b)v n + c avec la même définition de la suite v, qui apparaît alors comme arithmético-géométrique. On est conduit au mêmes résultats. Dans tous les cas le calcul des sommes de puissances entières de termes consécutifs relève des techniques antérieures. VI RÉCURRENCES HOMOGRAPHIQUES : u n+ = au n + b cu n + d On suppose c 0 et ad bc 0. La recherche d un point fixe conduit à l équation l = al + b cl + d er cas : il y a deux points fixes distincts α et β. Dans ce cas la suite v définie par v n = u n α u n β est géométrique. Sa raison r s obtient facilement avec l astuce suivante : la relation y = ax + b y α équivaut à la relation cx + d y β = r x α En utilisant x β comme valeur particulière x =, la première écriture donne y = a c r = a c α a On a finalement : β c et la deuxième y α y β = r d où u n = βv 0r n + α v 0 r n + avec v 0 = u 0 α u 0 β a αc et r = a βc ème cas : il y a un point fixe double α. Dans ce cas la suite v définie par v n = u n α est arithmétique. Sa raison r s obtient facilement avec l astuce suivante : la relation y = ax + b cx + d équivaut à la relation y α = r+ En utilisant x α comme valeur particulière x =, la première écriture donne y = a c et la deuxième y α = r d où
r = a On a finalement : α c u n = α + u 0 α + nc a αc VII EXEMPLES { u0 = 3 u n+ = u n + u n = 3 + n u 3 k = 7n + 7n(n + ) + n(n + )(n + ) + n (n + ) 30 u k = 990 { u0 = u n+ = 5u n u n =.5 n n uk = ( 5 + ) ( 5 n+ ) { u0 = 0 u n+ = u n + u n = n u = u n+ = 5u n+ u n u 3 k = n 7 + 3n+ n+ + 8n+ 7 0 k=5 u k = 39373 u n = 3 n n u 0 = u = u n+ = u n+ u n n u k = 9n+ 8 5 n+ + n+ 3 7 0 5 u 3 k = 9755 u n = (n ) n n u k = (53 n + 9n ) n 7 5 5 u 3 k = 950
u = u n+ = u n+ + u n u n = 3 ( )n + 5. n 3 u k = 97 9 n + 5 3 + 80 7 ( )n ( ) n + 00 7 n 0. n 8 u 3 k = 878707 k= u 0 = 3 u = u n+ = u n+ u n + u n = n 9n + u 3 k = (n + )(5n 35n 5 + 55n 97n 3 + 83n 53n + 80) 80 5 k=8 u k = 880 u = u n+ = u n+ + u n + u n = 5( )n + 5 + 3n 9 u k = 0( )n + 9n + 39n + 0 5 0 k=5 u k = 855 u 0 = u n+ = u n u n + u n i u n + i = ( ) n+ i soit u n = i ( + i)n+ + ( i) n+ ((n + i ( + i) n+ ( i) n+ = cotan + ) π ) Remarques : Les complexes interviennent sans créer le moindre problème, l expression finale est évidemment réelle puisque u 0 et les cœfficients de la formule de récurrence le sont. La méthode prend en compte automatiquement les conventions 0 = et + = indispensables pour ce genre de récurrence. Un calcul naïf des quatre premiers termes aurait montré tout de suite la périodicité et donné la réponse plus vite, mais il ne s agit que d un coup de chance! u n+ = u n u n 3 u n = n.( ) + u 0 soit u n = n n +