NOM et prénom du candidat : IDENTIFIANT du candidat : Épreuve de MATHÉMATIQUES niveau 4 SESSION 2015-2016 DURÉE DE L'ÉPREUVE : 2h00 Le candidat répondra directement sur ce sujet. Les calculs, les démarches et les justifications apparaîtront lorsqu'elles sont demandées. La clarté et la rigueur des formulations seront prises en compte. Le candidat peut faire les exercices dans l'ordre qu'il désire. L'utilisation de la calculatrice est autorisée. Il sera noté sur 40 suivant le barème ci-dessous : Exercice n 1 4 pts Exercice n 2 Exercice n 3 7 pts Exercice n 4 Exercice n 5 Exercice n 6 Exercice n 7 5 pts Exercice n 8 Exercice n 9 4 pts Exercice n 10 Clarté, rigueur 2 pts Page 1 sur 6
Exercice 1 (4 points) Calcule les deux expressions suivantes en détaillant les étapes de calcul intermédiaires. (la calculatrice ne servira qu'à vérifier vos résultats) A = ( 3)² + (2 5 (3 7) ) B = 5 7 3 7 8 8 C = 3 3 ( 5 7 3 7) A = ( 3)² + (2 5 ( 4)) B = 5 7 x 7 3 8 8 C = 3 3 2 7 5 A = 9 + (2 5 ( 4)) B = 3 8 C = 8 3 3 7 2 A = 9 + (2 + 20 ) B = 3 56 = 1 C = 3 6 = 28 3 A = 9 + 22 A = 31 1 Précision : - l entièreté des points n'est donnée que si l'élève a mis les étapes intermédiaires de calculs, puisqu'il a la calculatrice... Si il n'y a que le résultat ne mettre que point par expression Si il y a des fautes de priorité opératoire, ne mettre aucun point Compter par autre de calcul ou étourderie Exercice 2 (3 points) On part du principe qu'un morceau de musique nécessite 3 Mo (Méga-octets) de mémoire pour être enregistré numériquement. 1/ Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d'une capacité de 4 056 Mo? A = 4 056 3 pt pour opération A 1352 On peut donc enregistrer 1352 morceaux entiers de musique sur sa clef pt phrase conclusion 2/ La vitesse de téléchargement d'un morceau de musique sur un site de vente en ligne est 10 Mo/s ( méga-octets par seconde). Combien de morceaux de musiques peut-on télécharger en deux minutes? 10 Mo/s signifie 10 Mo téléchargés en 1 seconde. 2 minutes = 2 60 = 120 secondes pt pour conversion en secondes Cela fait donc 10 120 = 1200 Mo en deux minutes. 1 200 3 = 400 On peut télécharger 400 morceaux en 2 minutes pt phrase conclusion Page 2 sur 6
Exercice 3 (7 points) Sur la figure ci-contre, on a : LK = 8,5 cm ; UK = 7,5 cm ; EC = 3,2 cm ; LU = 4 cm ; ainsi que (EC) perpendiculaire à (CK). (Les questions suivantes sont indépendantes) 1/ Démontre que le triangle LUK est rectangle en U. LK² = 8,5² = 72,25 pt si calculs bien séparés des deux membres LU² + UK² = 4² +7,5² = 72,25 Comme LK² = LU²+UK² pt si ecriture lettrée de l'egalité obtenue D'après la propriété (réciproque) ou théorème de Pythagore pt pour citer Pythagore On peut affirmer que le triangle LUK est rectangle en U pt pour conclusion 2/ Pour quelle raison peut-on alors affirmer que les droites (LU) et (EC) sont parallèles? Comme (LU) et EC sont perpendiculaires à la même droite (UK) alors (LU) est parallèle à (EC). 1 3/ Calcule la longueur EK. Dans le triangle LUK, les droites (LU) et (EC) sont parallèles. pt pour citer les parallèles D'après la propriété de Thalès : pt pour citer Thales On peut affirmer que KE KL = KC KU = EC pt pour ecrire les rapports égaux LU KE 8,5 = KC 7,5 = 3,2 4 donc KE 4 = 8,5 3,2 KE = 8,5 3,2 4 = 6,8 cm pt pour ecrire le produit en croix pt pour resultat final avec ou sans unité 4/ Le triangle ECK est une réduction du triangle LUK, peux-tu en donner l échelle sous forme d'une fraction que tu simplifieras? échelle = KE KC EC ou ou (petite longueur/ grande longueur correspondante) KL KU LU e = 3,2 4 = 32 40 = 8 10 = 4 pt pour montrer connaissance de l'echelle pt pour echelle fraction simplifiée 5 pt pour expression numérique correcte de l'echelle Page 3 sur 6
Exercice 4 (3 points) Pour cet exercice, même si le travail n est pas terminé, ni abouti, laisser tout de même une trace de vos recherches. Elle sera prise en compte dans la notation. Est-il possible que le carré ABCD ait le même périmètre que le triangle isocèle EFG sachant que : EF = AB et que FG = 5 cm? Justifie ta réponse. Méthode algébrique : On appelle x la longueur EF P triangle = 2x + 5 P carré = 4x on veut que P triangle = P carré : 2x + 5= 4x 2x + 5 = 4x 2x 4x = 5 2x = 5 x = 5 2 x = 2,5 Oui le carré et le triangle peuvent avoir le même périmètre si la longueur de EF = AB = 2,5 cm Précisions : Ici on va surtout juger la capacité d'un élève à se lancer dans l'exercice, à en donner sens Plusieurs méthodes sont envisageables dont celle de tester des valeurs jusqu à tomber sur la bonne Toute méthode, trace de recherche sera valorisée : 1 pt pour toute trace de calcul ou recherche compréhensible ou non, valable ou non 1pt pour élève donnant, recherchant des valeurs raisonnables en utilisant même sans le dire le périmètre du triangle et carré 1 pt si résultat trouvé et réponse écrite Exercice 5 (3 points) Le cerveau humain est composé de 100 milliards de neurones. À partir de 30 ans, ce nombre de neurones baisse d'environ 100 000 par jour. En considérant qu'une année contient 365 jours : a. Calcule le nombre de neurones restant à un humain de 40 ans. 40 30 = 10 ans (de perte de neurones) 10 ans = 10 365 = 3 650 jours 3 650 100 000 = 365 10 ⁶ neurones perdus en 10 ans 100 milliard = 100 10 ⁹ = 10 11 neurones au départ 10 11 365 10 ⁶ = 9,9635 10 10 = 99 635 000 000 Il lui reste 99,635 milliards b. Quel pourcentage de neurones lui reste-t-il alors à 40 ans? P = 99,635milliard 100 = 99,635 100 milliard Il lui en reste 99,635 % Précisons : Le but de l'exercice est d'utiliser les grands nombres soit avec les puissances de dix soit sans mais avec des grands nombres a écrire. L'utilisation de la calculatrice entraîne un affichage avec des puissances, voir si l élève est capable de les comprendre. pt pour soustraction Page 4 sur 6
Exercice 6 (3 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Toute réponse exacte vaut 1 pt. Toute absence de réponse ou réponse fausse vaut 0 pt. Pour chacune des questions, entoure proprement la bonne réponse. Exercice 7 (5 points) Sur le schéma ci-contre : Un point A appartient à un cercle de centre O et de diamètre BF = 40 mm. De plus AB = 14 mm. La perpendiculaire à la droite (AF) passant par O coupe le segment [AF] en E. 1/ Quelle est la nature du triangle ABF? Justifie ta réponse! Comme le triangle ABF est inscrit dans un cercle de diamètre [AB] alors on peut affirmer que ABF est rectangle en A. 2/ Calcule la valeur arrondie au mm près de AF : Dans le triangle ABF rectangle en A D'après la propriété de Pythagore : BF² =BA²+AF² 40² = 14² +AF² AF² = 40²-14² AF² = 1404 AF = 1404 37,5 cm pt même si mauvais arrondi ou sans unité 3/ Calcule la valeur arrondie au degré près de l angle ^ABF. Dans le triangle ABF rectangle en A cos( B ) = AB BF = 14 40 B = cos -1 ou arcos(14 40) B 69 pt même si mauvais arrondi ou sans unité Exercice 8 (3 points) Dans une bibliothèque, on a comptabilisé, jour par jour, le nombre de livres prêtés au cours d'une semaine et on a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant : mardi mercredi jeudi vendredi samedi Nombre de livres prêtés 61 121 42 59 82 1/ Quel(s) jour(s) de la semaine la bibliothèque semble-t-elle être fermée? Dimanche et Lundi 2/ Quel jour de la semaine semble t-il y avoir le plus de visiteurs à la bibliothèque? Mercredi 3/ Calcule la moyenne du nombre de livres prêtés par jour durant cette période : M = (61 + 121 +42 +59 +82) 5 = 73 Il y a en moyenne 73 livres prêtés par jour pour le calcul écrit + Exercice 9 (4 points) Page 5 sur 6
Le graphique ci-contre représente la distance parcourue par un train entre deux villes A et B en fonction de l heure. 1/ A l'aide du graphique réponds aux questions Distance parcourue suivantes : a. Donne l heure de départ et d arrivée du train ainsi que la distance entre les villes A et B. B Heure départ : 9 h Heure arrivée : 13 h Distance : 520 km b. Quelle distance avait-il parcouru lorsqu'il était 11 h? 320 km 400 km 200 km c. Quelle heure était-il lorsqu'il avait déjà parcouru 200 km? 10H15min d. Le train s'est-il arrêté lors du parcours? oui A 9 h 10 h 11 h 12 h 13 h Heure 2/ Calcule la vitesse moyenne en km/h du train entre 9 h et 11 h : v = d t ; pour présence de la formule Entre 9h et 11h : il y a deux heures durant lesquelles le train a parcouru 320 km donc v = 320 2 Exercice 10 (3 points) = 160. la vitesse moyenne du train fut de 160 km/h Voici un programme de calcul : Choisir un nombre, Ajouter 7 à ce nombre, Prendre le double du résultat obtenu. a. Qu obtient-on comme résultat final si on choisit le nombre 4? (Fais apparaître les calculs) 4 +7 = 11 11 2 = 22 b. Qu obtient-on comme résultat final si on choisit le nombre ( 4)? (Fais apparaître tes calculs) -4 +7 = 3 3 2 = 6 1 c. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 8 comme résultat final? Explique ta démarche pour trouver ce nombre. Méthode algébrique : On appelle x le nombre choisi : (x + 7) 2 = 8 2x + 14 = 8 1,5 2x = 6 x = 3, il faut donc choisir le nombre 3 Précisions : Comme pour l'exercice 4, l élève qui trouvera par tests et qui montre que le nombre 3 est bien solution aura tous les points! PENSEZ à évaluer la clarté des formulations (syntaxe-ortographe, présence d'unités), la clarté, la rigueur des formulations et présentations des calculs, le soin apporté à la clarté et l enchaînement des raisonnements! De 0 à 2 pts Page 6 sur 6