DIFFÉRENTES MOYENNES...

DIFFÉRENTES MOYENNES... - LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE a) Exemple :Un rectangle de 3 m sur 5 m a le même périmètre qu un carré de côté c. Calculer c. b) Cas général avec un rectangle dont les côtés sont a et b. c est appelé la moyenne arithmétique des nombres a et b. c = - LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE a) Exemple : Un rectangle de 3 m sur 5 m a la même aire qu un carré de côté c. Calculer c. b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b. c est appelé la moyenne géométrique des nombres a et b. c = - LA MOYENNE QUADRATIQUE a) Exemple : Étant donné un rectangle dont les dimensions sont 3 m et 5 m Quel est le côté c du carré ayant la même diagonale que le rectangle?. b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b. c est appelé la moyenne quadratique des nombres a et b. c =

- LA MOYENNE PONDÉRÉE a) Un piéton marche pendant 4 heures à la vitesse moyenne de 3 km/h puis pendant heures à la vitesse moyenne de 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité de son parcours? b) Même question si le piéton marche pendant 4 h à a km/h et pendant h à b km/h. v est la moyenne pondérée des nombres a et b affectés des coefficients 4 et. v = - LA MOYENNE HARMONIQUE a) Un piéton parcourt 10 km à 3 km/h puis 10 km à 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité du parcours? b) Même question pour un piéton parcourant d km à a km/h et d km à b km/h. v est la moyenne harmonique de a et de b. v = - A un examen, un candidat obtient les résultats suivants : Français : 8 (coefficient 5) Mathématiques : 14 (coefficient 5) Anglais : 7 (coefficient 3) Physique : 15 (coefficient ) Biologie : 9 (coefficient ) Quelle note moyenne obtient-il?

LE TRIANGLE DE PASCAL On adopte la convention suivante : a et b désignant des nombres relatifs, on multiplie par a quand on descend vers la gauche et par b quand on descend vers la droite. Il s agit de compléter le tableau ci-dessous en respectant cette règle de calcul, sachant que le nombre de départ est 1. Dans les cases où aboutissent deux flèches, on ajoute les expressions obtenues. Que représente la troisième ligne du tableau si on ajoute ses trois nombres?... Que représente la quatrième ligne du tableau si on ajoute ses quatre nombres?... Que représente la cinquième ligne si on ajoute ses cinq éléments?... Poursuivre la recherche en trouvant la loi logique qui permet de trouver les coefficients (les nombres qui multiplient les valeurs littérales) On obtient ainsi le triangle de PASCAL : 1 1 1 1 1.........................................................

LE NOMBRE D OR Ce nombre, très utilisé en architecture, exprime le quotient de la longueur a par la largeur b d un rectangle d or. Le rectangle d or est le rectangle le plus harmonieux, c est-à-dire celui dont les proportions sont les plus agréables à l oeil. - Construction du rectangle d or : Tracer un carré ABCD et marquer le milieu I de [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [AB) en E. La tangente en E à ce cercle coupe la droite (CD) en F. Le rectangle AEFD est un rectangle d or! - Calcul du nombre d or : On suppose que AB = 1 ; Calculer IC puis AE et enfin q =......... q = AE AD Donner l arrondi de q au 1/100 près: q - Propriétés du nombre d or : a) Vérifier que le nombre d or est une solution de l équation : x x 1= 0...... b) Montrer que, si q est le nombre d or, alors : 1 = q 1 q...... - Montrer que, si ABCD est un rectangle d or, (tel que AB = a et AD = b) et si CMND est un carré, alors ABMN est un rectangle d or. (On démontrera que BM q AB = ) B C M..... A D N.

DÉTERMINATION DE TRIANGLES RECTANGLES DONT LES CÔTÉS SONT MESURÉS PAR DES NOMBRES ENTIERS On considère les nombres entiers u et v inférieurs ou égaux à 10 et tels que : u > v. - Prouve qu un triangle dont les côtés mesurent u² + v² ; u² - v² ; uv est un triangle rectangle :.... - Trouve tous les triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers en considérant toutes les valeurs possibles de u et de v. (Il y en a 45) u v uv u² v² u²+v² u²-v² uv u v uv u² v² u²+v² u²-v² uv 1 4 1 5 3 4 3 1 3 9 1 10 8 6 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 3 4 Colorie dans ce tableau les résultats correspondant à des triangles dits «primitifs», c est-à-dire des triangles dont les côtés ne sont pas proportionnels aux côtés d un triangle déjà défini. Exemples : le triangle 3 ;4 ;5 est un triangle primitif (les cases 5 ;3 ;4 sont donc coloriées) Le triangle 10 ;8 ;6 n est pas un triangle primitif car ses côtés sont respectivement proportionnels aux longueurs 5 ;4 ;3 (côtés du précédent triangle). En fait, ce triangle a exactement la même forme que le triangle 3 ;4 ;5 ; il n en est qu un agrandissement (échelle ).

UN PARADOXE Deux poteaux, l'un de 10 mètres et l'autre de 15 mètres, sont distants de 0 mètres. Un câble est tendu du sommet de chaque poteau au pied de l'autre poteau. dans l'égalité (1')Il s'agit de trouver à quelle hauteur se croisent les deux câbles. Voir le schéma ci-contre: - Exprimer IH en fonction de AB, CH et AC. Égalité (1). - Exprimer AH en fonction de AC, IH et CD. Égalité (). - Dans l'égalité (1), remplacer CH par AC - AH. Égalité (1'). - Reporter dans l'égalité (1') l'expression de AH, obtenue dans l'égalité (), - En déduire que: AB CD IH =. AB + CD - Calculer IH. - Que peut-on dire de IH si les poteaux sont distants de 50 mètres? De 100 mètres? Vérifier en réalisant les schémas correspondant à ces deux situations à l'échelle 1/500.

UN PROBLÈME DE ROBINETS Deux robinets A et B débitent, l un 300 litres à l heure, l autre 400 litres à l heure. L eau qu ils déversent est destinée à remplir un bassin. On ouvre le premier robinet à 10 h. On ouvre le second robinet à 11h 30min. a) Exprimer en fonction de l heure x les quantités d eau V A et V B déversée par chaque robinet. b) Représenter graphiquement les nombres V A et V B en fonction de x. c) Lire l heure à laquelle les robinets auront déversé des volumes d eau égaux. Vérifier par le calcul. d) Représenter sur le même graphique le volume total d eau déversée V en fonction de l heure x. e) Calculer la contenance du bassin sachant qu il est rempli quand le second robinet a déversé 00 litres de plus que le premier. Vérifier sur le graphique. Remarque : les vérifications graphiques doivent être visibles sur les graphiques.

MÉDIANE D UNE SÉRIE STATISTIQUE millions d'habitants Population Française en 1986 5 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 âges Le graphique ci-dessus représente une partition de la population française en «Classes d âges». On recherche l âge d un français «partageant» cette population en deux parties égales : ceux qui sont plus jeunes que lui et ceux qui sont plus vieux. Cet âge «médiant» est appelé la médiane de la série statistique. Quel est l effectif total?... Quelle est la classe d âge à laquelle appartient cette médiane?... Comment partager le rectangle correspondant à cette classe d âge pour que le diagramme soit partagé «verticalement» en deux diagrammes de même aire?en déduire cette médiane.......... Calculer l âge moyen des français :(On prendra 5,15,5,35,...comme moyenne d âge par classe)... Comparer cette moyenne et la médiane :...

POLYGONE DES EFFECTIFS CUMULÉS (Suite de la fiche médiane d une série statistique) Compléter le tableau des effectifs cumulés suivant :(les effectifs sont en millions d habitants) âge 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 effectifs cumulés croissants effectifs cumulés décroissants Construire les polygones des effectifs cumulés. L un est le polygone des effectifs cumulés croissants, l autre est celui des effectifs cumulés décroissants. Lire sur ce graphique les coordonnées du point d intersection des deux polygones. L abscisse de ce point est la médiane de cette série statistique.... Retrouve-t-on le résultat obtenu par la recherche précédente? (L autre méthode utilisait les aires des diagrammes)....

GESTION DE FABRICATION Une petite entreprise fabrique deux séries d objets (A et B) dont la vente est assurée. - La durée de fabrication est de 0 minutes pour un objet A et de 45 minutes pour un objet B. La durée totale de travail ne peut dépasser 15 heures. On appelle x le nombre d objets A et y le nombre d objets B effectivement fabriqués. Écrire une inéquation traduisant ces données. (Prendre la minute pour unité de durée)...(1) - Avec le matériel dont on dispose, on ne peut pas fabriquer plus de 0 objets A et 15 objets B. Traduire cette information par deux inéquations :...()...(3) - Le coût de fabrication ( matériaux et frais;) est de 10 pour un objet A et 00 pour un objet B. Chaque objet A est vendu 300 et chaque objet B est vendu 400. On veut réaliser un bénéfice d au moins 4800. Traduire cette contrainte par une inéquation :...(4) - Représenter graphiquement les demi-droites associées aux inéquations (1),(),(3) et (4). - Que peut-on en conclure pour obtenir le plus fort bénéfice?...

DIFFÉRENTES MOYENNES... - LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE a) Exemple :Un rectangle de 3 m sur 5 m a le même périmètre qu un carré de côté c. Calculer c. P(carré) = P(rectangle) soit : 4c = ( 3 + 5) ou : b) Cas général avec un rectangle dont les côtés sont a et b. P(carré) = P(rectangle) soit : 4c ( a b) 16 c= = 4 m 4 ( ) a+ b a+ b = + ou : c = = 4 c est appelé la moyenne arithmétique des nombres a et b. a+ b c = - LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE a) Exemple : Un rectangle de 3 m sur 5 m a la même aire qu un carré de côté c. Calculer c. Aire (carré) = Aire(rectangle) soit : c = 3 5= 15 donc : c= 15 b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b. Aire (carré) = Aire(rectangle) soit : c = ab donc : c= ab c est appelé la moyenne géométrique des nombres a et b. c= ab. - LA MOYENNE QUADRATIQUE a) Exemple : Étant donné un rectangle dont les dimensions sont 3 m et 5 m Quel est le côté c du carré ayant la même diagonale que le rectangle? Diagonale du carré = diagonale du rectangle soit :. c = 3 + 5 = 34 donc : b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b. Diagonale du carré = diagonale du rectangle soit : a + b a + b donc : c = =. c = a + b 34 c= = 17 c est appelé la moyenne quadratique des nombres a et b. a + b c =

- LA MOYENNE PONDÉRÉE a) Un piéton marche pendant 4 heures à la vitesse moyenne de 3 km/h puis pendant heures à la vitesse moyenne de 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité de son parcours? distance totale 4 3+ 5 11 vitesse moyenne = donc : v= = = 3,66 km/h durée totale 4+ 6 3 b) Même question si le piéton marche pendant 4 h à a km/h et pendant h à b km/h. distance totale 4a + b 4a + b vitesse moyenne = donc :. v = = durée totale 4+ 6 v est la moyenne pondérée des nombres a et b affectés des coefficients 4 et. 4a+ b v = 4 + - LA MOYENNE HARMONIQUE a) Un piéton parcourt 10 km à 3 km/h puis 10 km à 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité du parcours? 10 10 80 16 Durée du parcours : t 1 + t = + = = 3 5 15 3 10 + 10 3 60 Vitesse moyenne : v= = 0 = = 3,75 km/h 16 16 16 3 b) Même question pour un piéton parcourant d km à a km/h etd km à b km/h. d d db+ da Durée du parcours : t 1 + t = + = a b ab d + d ab dab ab Vitesse moyenne : v= = d = = da + db da + db d(a + b) a + b. ab v est la moyenne harmonique de a et de b. ab v = a + b Remarque : ces moyennes sont très voisines mais différentes ; elles sont toutes comprises entre les deux nombres a et b donnés. - A un examen, un candidat obtient les résultats suivants : Français : 8 (coefficient 5) Mathématiques : 14 (coefficient 5) Anglais : 7 (coefficient 3) Physique : 15 (coefficient ) Biologie : 9 (coefficient ) Quelle note moyenne obtient-il? Il s agit de calculer la moyenne pondérée des notes 8, 14, 7, 15 et 9 affectées respectivement des coefficients 5, 5, 3, et. 8 5 + 14 5 + 7 3 + 15 + 9 179 m= = 10,53 5+ 5+ 3+ + 17

LE TRIANGLE DE PASCAL On adopte la convention suivante : a et b désignant des nombres relatifs, on multiplie par a quand on descend vers la gauche et par b quand on descend vers la droite. Il s agit de compléter le tableau ci-dessous en respectant cette règle de calcul, sachant que le nombre de départ est 1. Dans les cases où aboutissent deux flèches, on ajoute les expressions obtenues. a b a ab+ab ab = b a 3 a b+a b = 3a b ab +ab = 3ab b 3 a 4 a 3 b+3a 3 b= 4a 3 b 3a b +3a b = 6a b 3ab 3 +ab 3 = 4ab 3 b 4 Que représente la troisième ligne du tableau si on ajoute ses trois nombres? ( ) a + ab+ b = a+ b Que représente la quatrième ligne du tableau si on ajoute ses quatre nombres? ( ) 3 3 3 a + 3a b+ 3ab + b = a+ b Que représente la cinquième ligne si on ajoute ses cinq éléments? ( ) 4 4 3 3 4 a + 4a b+ 6a b + 4ab + b = a+ b Poursuivre la recherche en trouvant la loi logique qui permet de trouver les coefficients (les nombres qui multiplient les valeurs littérales) On obtient ainsi le triangle de PASCAL : 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1. 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 35 35 1 7 1 1 8 8 56 70 56 8 8 1 (a + b) = a + ab + b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a+ b = a + 3a b+ 3ab + b 4 4 3 3 4 a+ b = a + 4a b+ 6a b + 4ab + b 5 5 4 3 3 4 5 a + b = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b 6 6 5 4 3 3 4 5 6 a + b = a + 6a b + 15a b + 0a b + 15a b + 6ab + b 7 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 a + b = a + 7a b + 1a b + 35a b + 35a b + 1a b + 7ab + b 8 8 7 a+ b = a + 8a b+ 8a b + 56a b + 70a b + 56a b + 8a b + 8ab + b 6 5 3 4 4 3 5 6 7 8

LE NOMBRE D OR Ce nombre, très utilisé en architecture, exprime le quotient de la longueur a par la largeur b d un rectangle d or. Le rectangle d or est le rectangle le plus harmonieux, c est-à-dire celui dont les proportions sont les plus agréables à l oeil. A I B E - Construction du rectangle d or : Tracer un carré ABCD et marquer le milieu I de [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [AB) en E. La tangente en E à ce cercle coupe la droite (CD) en F. Le rectangle AEFD est un rectangle d or! - Calcul du nombre d or : On suppose que AB = 1 ; Calculer IC puis AE et enfin q = D AE AD C F IBC est rectangle en : 1 5 IC = IB + BC = + 1 = 4 1 5 1+ 5 AE = AI + IE = AI + IC = + = Donner l arrondi de q au 1/100 près: q 1,6 donc par conséquent : 1+ 5 AE 1+ 5 q = = = AD 1 1+ 5 q = - Propriétés du nombre d or : a) Vérifier que le nombre d or est une solution de l équation : x x 1= 0 1+ 5 1+ 5 1+ 5+ 5 1+ 5 1+ 5+ 5 5 4 0 1= 1= = = 0 4 4 4 Le nombre d or est bien solution de l équation : x x 1= 0 car on a bien : q q 1= 0 b) Montrer que, si q est le nombre d or, alors : 1 = q 1 q q q 1= 0 s écrit aussi : q q ou : q q 1 = 1 soit : =1 ( ) 1 q 1= q - Montrer que, si ABCD est un rectangle d or, (tel que AB = a et AD = b) et si CMND est un carré, alors ABMN est un rectangle d or. (On démontrera que BM q AB = ) B C M BM BC + CM b + a b a b = = = + = + 1 AB AB a a a a Or : b 1 a = q donc : BM = 1 + BA q 1 = q puisque : 1 q 1 q = BM = q Le rectangle ABMN est un rectangle d or. BA A D N

DÉTERMINATION DE TRIANGLES RECTANGLES DONT LES CÔTÉS SONT MESURÉS PAR DES NOMBRES ENTIERS On considère les nombres entiers u et v inférieurs ou égaux à 10 et tels que : u > v. - Prouve qu un triangle dont les côtés mesurent u² + v² ; u² - v² ; uv est un triangle rectangle : Le plus grand côté est : u + v (voir les valeurs numériques ci-dessous) 4 4 Le carré du plus grand côté est : ( ) u + v = u + u v + v La somme des carrés des deux autres côtés est : ( ) ( ) u v + uv = u u v + v + 4u v = u + u v + v 4 4 4 4 D après la réciproque de la propriété de Pythagore, ce triangle est rectangle. - Trouve tous les triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers en considérant toutes les valeurs possibles de u et de v. (Il y en a 45) u v uv u² v² u²+v² u²-v² uv u v uv u² v² u²+v² u²-v² uv 1 4 1 5 3 4 9 3 7 81 9 90 7 54 3 1 3 9 1 10 8 6 10 3 30 100 9 109 91 60 4 1 4 16 1 17 15 8 5 4 0 5 16 41 9 40 5 1 5 5 1 6 4 10 6 4 4 36 16 5 0 48 6 1 6 36 1 37 35 1 7 4 8 49 16 65 33 56 7 1 7 49 1 50 48 14 8 4 3 64 16 80 48 64 8 1 8 64 1 65 63 16 9 4 36 81 16 97 65 7 9 1 9 81 1 8 80 18 10 4 40 100 16 116 84 80 10 1 10 100 1 101 99 0 6 5 30 36 5 61 11 60 3 6 9 4 13 5 1 7 5 35 49 5 74 4 70 4 8 16 4 0 1 16 8 5 40 64 5 89 39 80 5 10 5 4 9 1 0 9 5 45 81 5 106 56 90 6 1 36 4 40 3 4 10 5 50 100 5 15 75 100 7 14 49 4 53 45 8 7 6 4 49 36 85 13 84 8 16 64 4 68 60 3 8 6 48 64 36 100 8 96 9 18 81 4 85 77 36 9 6 54 81 36 117 45 108 10 0 100 4 104 96 40 10 6 60 100 36 136 64 10 4 3 1 16 9 5 7 4 8 7 56 64 49 113 15 11 5 3 15 5 9 34 16 30 9 7 63 81 49 130 3 16 6 3 18 36 9 45 7 36 10 7 70 100 49 149 51 140 7 3 1 49 9 58 40 4 9 8 7 81 64 145 17 144 8 3 4 64 9 73 55 48 10 8 80 100 64 164 36 160 Colorie dans ce tableau les résultats correspondant à des triangles dits «primitifs», c est-à-dire des triangles dont les côtés ne sont pas proportionnels aux côtés d un triangle déjà défini. Exemples : le triangle 3 ;4 ;5 est un triangle primitif (les cases 5 ;3 ;4 sont donc coloriées) Le triangle 10 ;8 ;6 n est pas un triangle primitif car ses côtés sont respectivement proportionnels aux longueurs 5 ;4 ;3 (côtés du précédent triangle). En fait, ce triangle a exactement la même forme que le triangle 3 ;4 ;5 ; il n en est qu un agrandissement (échelle ).

UN PARADOXE D B I A H C - Dans le triangle ABC, puisque (IH) est parallèle à (AB), on a, d après la propriété de Thalès IH CH AB CH = soit : IH = égalité (1) AB AC AC - De même, dans le triangle ACD : AH IH AC IH = soit : AH = égalité () AC CD CD AB ( AC AH) - IH = égalité (1 ) AC - AC IH AB AC CD AB AC CD AC IH AB AC CD IH AB CD IH IH = = = = AC AC CD AC CD CD - IH CD = AB CD AB IH IH CD + AB IH = AB CD ( ) IH AB + CD = AB CD AB CD IH = AB + CD 10 15 150 - IH = = = 6 m 10 + 15 5 - La hauteur IH ne dépend pas de la distance des poteaux. ( ) ( ) ( ) 6 m 50 m 6 m 100 m

CORRECTION UN PROBLÈME DE ROBINETS a) si d A est le débit du premier robinet et si le robinet coule pendant une durée t, le volume V A écoulé est : v d = A A t soit : V d t A = A La durée d écoulement du premier robinet est (en heures) t = x - 10 (x étant l heure) VB si d B est le débit du second robinet, on a, pour une durée t : d B = soit : VB = d B t avec t = x 11,5 t En remplaçant les débits par leurs valeurs, on obtient : VA = 300( x 10) ou VA = 300x 3000 VB = 400( x 11,5) VB = 400x 4600 Ces deux calculs sont des applications affines. b) schéma ci-contre c) Lecture : à 16 heures, les volumes déversés par les deux robinets sont égaux à 18OO litres. V A = V B si et seulement si : 300x 3000 = 400x 4600 100x = 1600 x = 16 d) V = V A + V B sachant que x > 11,5 V = (300x 3000) = (400x 4600) V = 700x 7600 Le procédé de calcul de V est celui d une application affine. La représentation graphique est faite à partir de x = 11,5 e) Le bassin est rempli lorsque : V V = 00 B (400x 4600) (300x 3000) = 00 400x 300x 4600 + 3000 = 00 100x 1600 = 00 100x = 1800 x = 18 A Le bassin est rempli à 18 heures Il contient donc : V = 700 18 7600 V = 1600 7600 V = 5000 Le bassin peut contenir 5000 litres d eau. On le voit sur le graphique en lisant la différence V B -V A pour le point d abscisse 18.

MÉDIANE D UNE SÉRIE STATISTIQUE millions d'habitants Population Française en 1986 5 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 âges Le graphique ci-dessus représente une partition de la population française en «Classes d âges». On recherche l âge d un français «partageant» cette population en deux parties égales : ceux qui sont plus jeunes que lui et ceux qui sont plus vieux. Cet âge «médiant» est appelé la médiane de la série statistique. Quel est l effectif total? 7,6 + 8, 4 + 8,8 + 9 + 6 + 6, + 5 + 3,8 + + 0, = 57 millions d'habitants Quelle est la classe d âge à laquelle appartient cette médiane? C est la classe des 30-40 ans Comment partager le rectangle correspondant à cette classe d âge pour que le diagramme soit partagé «verticalement» en deux diagrammes de même aire? En déduire cette médiane. L aire totale est égale à 57. Il faut partager le diagramme en deux surfaces de même aire : 57 8,5 = À l aire des trios premières classes (4,8), il faut ajouter une aire de : 8,5 4,8 = 3,7 Si x est la largeur du rectangle cherché, : x = 3,7 soit : x= 4,1 l âge médian est donc : 30 + 4,1 = 34,1 10 9 Calculer l âge moyen des français :(On prendra 5,15,5,35,...comme moyenne d âge par classe) 7,6 5 + 8,4 15 + 8,8 5 + 9 35 + 6 45 + 6, 55 + 5 65 + 3,8 75 + 85 + 0, 95 = 37 57 Comparer cette moyenne et la médiane : La médiane et la moyenne sont deux valeurs distinctes ; dans ce cas : médiane<moyenne.

POLYGONE DES EFFECTIFS CUMULÉS (Suite de la fiche médiane d une série statistique) Compléter le tableau des effectifs cumulés suivant :(les effectifs sont en millions d habitants) âge 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 effectifs cumulés croissants 0 7,6 16 4,8 33,8 39,8 46 51 54,8 56,8 57 effectifs cumulés décroissants 57 49,4 41 3, 3, 17, 11 6, 0, 0 Construire les polygones des effectifs cumulés. L un est le polygone des effectifs cumulés croissants, l autre est celui des effectifs cumulés décroissants. 50 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 âges Lire sur ce graphique les coordonnées du point d intersection des deux polygones. L abscisse de ce point est la médiane de cette série statistique. Les coordonnées du point d intersection sont : ( 34;8,5) la médiane est donc : 34 ans. Retrouve-t-on le résultat obtenu par la recherche précédente? (L autre méthode utilisait les aires des diagrammes). Le résultat obtenu ici est très proche du précédent quoique moins précis

GESTION DE FABRICATION Une petite entreprise fabrique deux séries d objets (A et B) dont la vente est assurée. - La durée de fabrication est de 0 minutes pour un objet A et de 45 minutes pour un objet B. La durée totale de travail ne peut dépasser 15 heures. 15h 900min On appelle x le nombre d objets A et y le nombre d objets B effectivement fabriqués. Écrire une inéquation traduisant ces données. (Prendre la minute pour unité de durée) 0x + 45y 900 ou, en simplifiant par 5 : 4x + 9y 180 (1) - Avec le matériel dont on dispose, on ne peut pas fabriquer plus de 0 objets A et 15 objets B. Traduire cette information par deux inéquations : x 0 y 15 () (3) - Le coût de fabrication ( matériaux et frais;) est de 10 pour un objet A et 00 pour un objet B. Chaque objet A est vendu 300 et chaque objet B est vendu 400 On veut réaliser un bénéfice d au moins 4800. Traduire cette contrainte par une inéquation : Bénéfice sur A : 300 10 = 180 Bénéfice sur B : 400 00 = 00 D où l inéquation : 180x + 00y 4800 ou, en simplifiant : 9x + 10y 40 (4) 0 15 C est ce couple (0 ;11) qui représente la meilleure recette 11 Tous les points verts sont des solutions possibles 10 10 0 - Représenter graphiquement les demi-droites associées aux inéquations (1),(),(3) et (4). - Que peut-on en conclure pour obtenir le plus fort bénéfice? Il est préférable de fabriquer 0 objets A et 11 objets B (la recette est 5800 )