Cours de béton armé 8 : Comportement du béton en cisaillement (avec étriers) BAC3 - HEMES -Gramme Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007
Effort tranchant Etat fissuré réel
Treillis équivalent de Mörsch Poutre fictive en treillis q Bielle en compression Membrure supérieure comprimée Etrier en traction Poutre en Béton armé Membrure inférieure tendue Q/2 Q Q Q Treillis équivalent
Théorème statique "L'existence d'une distribution interne imaginaire de forces en équilibre avec les forces extérieures donne la certitude que la pièce considérée est capable de supporter des forces supérieures, ou au minimum égales aux forces extérieures considérées."
Analogie de Mörsch Etriers inclinés Treillis en V équivalent Etriers droits Treillis en N équivalent
Bielles d inclinaison variable A z.(cotg θ + cotg α).sin θ z B Q θ z cotg θ α z cotg α C Q 26.56 θ 63.43 45 α 90 z 0,9. d
Equivalence des efforts verticaux : coupe CC F Sc C M Ed θ V Ed F St F Scw α C Effort de compression dans la bielle de béton : F Scw = V Ed sinϑ
Rupture de la bielle comprimée z.(cotg θ + cotg α).sin θ z θ z cotg θ α z cotg α Capacité de résistance de la bielle : F Scw F Rcw F = b. z.(cotϑ + cot α).sin ϑν.. f Rcw w 1 cd (Coeff. Réducteur dû à la fissuration transversale) VEd bw. z.(cotϑ cot α).sin ϑν. 1. f sinϑ + cd f ck ν 1 = 0,6.(1 ) 250 V V = b. z.. f.(cot + cot ).sin 2 Ed Rd,max w ν1 cd ϑ α ϑ z 0,9. d Effort tranchant qui provoque une rupture des bielles comprimées
Equivalence des efforts verticaux : coupe DD F Sc D F Ssw M Sd θ V Ed α F St D Effort de traction dans l étrier : F Ssw = V Ed sinα Cet effort de traction ne doit pas entraîner la plastification de l étrier (A w : section totale de l étrier) F A. f Ssw w yd
Traction dans les étriers q(x) θ z cotg θ s α z cotg α z En pratique, on peut prendre z 0,9. d 1 étrier théorique tous les z(cotθ + cotα) doit reprendre F Ssw Or, en pratique, les étriers, chacun de section A sw, sont distants de «s» Capacité de résistance des étriers de section A sw répartis sur z(cotθ + cotα) : F Rsw = A sw. z. f.(cot ϑ + cot α) yd s
Traction dans les étriers q(x) z θ z cotg θ s α z cotg α Capacité de résistance des étriers de section A sw répartis sur z(cotθ + cotα) : F Ssw F Rsw Asw. z. f yd.(cot ϑ + cot α) FRsw = s V Ed Asw. z. f yd.(cotϑ + cot α) sinα s
En résumé : 2 conditions à respecter q(x) z (1) θ α s z cotg θ z cotg α Ed w 1 cd z 0,9. d V b. z.. f.(cot + cot ).sin ν ϑ α ϑ 2 (2) V Ed A sw ϑ α. z. f.(cot ywd + cot ) sin s α
2 conditions à respecter (α=90 ) En pratique, α est pris égal à 90, donc : (1) Ed w 1 cd ν ϑ ϑ V b. z.. f.cot.sin. 2 (2) V Ed A. z. f.cot sw yd.. s ϑ
Exercice 1 Sans regarder les dias qui précèdent, quelle est la condition qui, si elle est respectée, évite une rupture de la bielle de béton comprimée? (1) V Ed A sw. z. f.cot yd s ϑ (2) V b. z.. f.cot.sin Ed w 1 cd ν ϑ ϑ 2
Exercice 2 L EC2 impose une valeur de cot θ comprise entre 0.5 et 2 (26.56 θ 63.43 ). Quelle est la valeur de θ conduisant à une densité d étriers (A sw /s) minimale? (2) A. z. f.cot (1) V sw yd Ed s V b. z.. f.cot.sin 2 Ed w 1 cd ϑ ν ϑ ϑ
Exercice 2 : conclusion La solution la plus économique, pour les étriers, sera celle correspondant à un angle θ : le plus petit le plus grand
Exercice 3 Commen évolue, en fonction de θ (si 27 θ 45 ), V RD,max, l effort tranchant provoquant une rupture par excès de compression dans les bielles comprimées? 2 V = b. z. ν. f.cot ϑ.sin ϑ = = RD,max w 1 cd b. z. ν. f.cos ϑ.sinϑ w 1.. cd sin 2ϑ b w. z. ν1. fcd. 2 V RD,max. quand θ
Dimensionnement économique des étriers
Dimensionnement économique des étriers On calcule d'abord 1 2. VEd f θ = arcsin( ) ν 1 = 0,6.(1 ck ) 2 b. z. ν f 250 w Il faut choisir θ tel que : 26,56 < θ < 63,43 On calcule ensuite la section A sw et le pas «s» des étriers par : 1 cd Asw VEd = s z. f.cotθ ywd
Exemple Calculer les armatures d effort tranchant (C25/30)
Armatures minimales de cisaillement ρ w Asw = > s. b w ρ w,min = 0,08 f f yk ck (f ck et f yk en MPa) ρ w : taux d armatures d effort tranchant A sw : aire de la section des armatures d effort tranchant régnant sur la longueur s s : espacement des armatures d effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l élément b w : largeur de l âme de l élément
Répartition des étriers
Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2) L'espacement longitudinal s maximal entre les cours d armatures d effort tranchant ne peut être supérieur à s l,max = 0,75d L'espacement transversal des brins verticaux dans une série de cadres, étriers ou épingles d effort tranchant ne peut être supérieur à s t,max = 0,75d 600 mm.
Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2) Si s t >s t,max ajouter étriers ou épingles
Conséquences du fonctionnement en treillis Effort dans la membrure inférieure (=armatures de flexion) augmente Bielle d about : vérification sur appui des efforts concentrés q Bielle en compression Membrure supérieure comprimée Etrier en traction Poutre en Béton armé Membrure inférieure tendue
Traction dans les armatures : F td M Ed F Sc F Scw C θ A V Ed α F td a l C Q A Traction due à la flexion F td F. z = M + V. a td Ed Ed l M V. M + = + a M l = z z z Ed Ed Ed Ed Supplément dû à l effort tranchant
Traction dans les armatures : F st Coupe à mi-longueur de maille A z θ B z/2. (cotg θ + cotg α) Q α C z/2. (cotg θ + cotg α) Q F Sc A M Ed F Scw θ V Ed α B F td C Q a l = z/2. (cotg θ - cotg α) Q
Traction dans l armature longitudinale F td M V. M + = + a M l = z z z Ed Ed Ed Ed Avec M = V. a Ed Ed l Variable M 1 D où Or V = dm dx M = x z x = al = (cotϑ cot α) 2 constante M 1 ν x M 2 M 2 ν M3 M 3 ν EC2 Règle de décalage de l enveloppe des moments
Effet à l appui w = z.(cotg θ + cotg α) q q.z.cotg θ E Q = qw θ L α z R q.z.cotg θ θ F td F Scw R F Scw R q. z.cotθ R = sinθ sinθ Equilibre nœud E F td = R tan θ
Règle du décalage Poutre sur 2 appuis (effort dans l armature) L F td M Ed z a l
Règle du décalage Poutre sur 3 appuis (effort dans l armature) L L F td M Ed z a l
Vérifications à effectuer au droit de l'appui la section des armatures inférieures la contrainte de compression sur appui σ Rd,1 la contrainte de compression dans la bielle d'about σ Rd,2 θ a = a.sin θ + 2.( h d ).cos θ 2 1 Longueur d ancrage
Vérifications à effectuer au droit de l'appui la section des armatures inférieures A min s, appui F V td ED, appui = = f f.tanθ yd yd θ
Vérifications à effectuer au droit de l'appui la section des armatures inférieures la contrainte de compression sur appui σ Rd,1 la contrainte de compression dans la bielle d'about σ Rd,2 θ max(σ Rd,1,σ Rd,2 ) 0.85 ν f cd avec ν = 1 - f ck /250 (f ck en MPa)
Si largeur appui insuffisante
Si largeur appui insuffisante
Exemple Vérifier la poutre aux appuis (C25/30)