Table des matières. 2. Définition... 23

Table des matières 1. Généralités... 7 1.1.Notations et codage en géométrie... 9 1.2.Quelques symboles mathématiques... 10 1.3.Verbes de consignes... 11 1.4.Proportionnalité... 13 1.5.Composition... 15 1.6.Conventions d écriture... 17 1.7.Opérations : vocabulaire... 19 1.8.Valeurs approchées... 20 1.9.Repèrage dans le plan... 21 2. Définition... 23 3. Règles de calculs sur... 39 3.1.Les égalités... 41 3.2.Les fractions... 42 3.3.Les identités remarquables... 45 3.4.Les inégalités... 46 3.5.Les nombres relatifs... 47 3.6.Les parenthèses et les priorités... 49 3.7.Le développement... 50 3.8.La factorisation... 51 3.9.Les puisances de 10... 52 3.10.Les puissances... 53 3.11.Les racines... 54 3.12.La notation scientifique... 55 4. Comment calculer... 57 4.1.Une aire... 59 4.2.Un périmètre... 60 4.3.Un volume... 61 4.4.Avec des lettres... 63 4.5.Un nombre inconnu dans une équation... 64 4.6.Un nombre inconnu dans une inéquation... 67 4.7.Dans un système d équations... 68 4.8.Un pourcentage... 70 4.9.Un angle... 71 4.10.Un angle avec la trigonométrie... 73 4.11.Une longueur... 75 4.12.Des coordonnées... 78 4.13.Le PGCD de deux nombres... 80 4.14.Une moyenne... 82 4.15.Une mediane... 83 4.16.Un effectif... 84 4.17.Une fréquence... 85 4.18.Une étendue... 86 4.19.L expression d une fonction (linéaire ou affine)... 87 4.20.Avec des racines carrées... 88 4.21.Dans une situation de proportionnalité... 90

5. Utilisation de la calculatrice... 93 5.1.La trigonométrie... 95 5.2.Le théorème de Pythagore... 96 5.3.Le PGCD... 97 5.4.Le théorème de thalè... 98 6. Comment construire... 101 6.1.Une bissectrice... 103 6.2.Une hauteur... 104 6.3.Une médiane... 105 6.4.Une médiatrice... 106 6.5.Le cerlce circonscrit à un triangle... 107 6.6.Le cercle inscrit à un triangle... 108 6.7.Un patron de cône... 109 6.8.Un patron de pyramide... 110 6.9.Une section de solides... 111 6.10.Des diagrammes... 113 6.11.L image d une figure par une rotation... 116 6.12.L image d une figure par une translation... 117 6.13.La représentation graphique d une fonction lineaire... 118 6.14.La représentation graphique d une fonction affine... 119 6.15.La somme de deux vecteurs... 120 7. Comment démontrer... 123 7.1.Une fraction est irrédutible... 125 7.2.Deux fractions sont égales... 126 7.3.Un tableau est proportionnel... 127 7.4.Un quadrilatère est un parallélogramme... 128 7.5.Un quadrilatère est un rectangle... 129 7.6.Un quadrilatère est un losange... 130 7.7.Un quadrilatère est un carré... 131 7.8.Deux droites sont parallèles... 132 7.9.Deux droites sont perpendiculaires... 135 7.10.Une droite est la médiatrice d un segment... 138 7.11.Deux segments ont la même longueur... 140 7.12.Deux vecteurs sont égaux... 142 7.13.Un point est le milieu d un segment... 144 7.14.Des points sont alignés... 147 7.15.Un triangle est rectangle... 149 7.16.Un triangle est isocèle... 151 7.17.Un triangle est équilatéral... 152 7.18.Deux angles sont égaux... 153 8. Faire une démonstration... 157 8.1.C est quoi une démonstration... 159 8.2.Critères de réussite d une démonstration... 160 8.3.Exemples de démonstration... 161

Généralités en Classe de Quatrième et de Troisième Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 1

Notations et codages en géomètrie 1 Notations une droite se note entre parenthèses ex.: (AB) désigne la droite qui passe par les points A et B. Un segments se note entre parenthèses ex.:[ab] désigne le segment de droite compris entre A et B Une demi-droite se note entre un crochet et une parenthèse. ex.: [AB) désigne la droite qui commence en A et qui passe par B Une distance se note sans rien. ex.: AB désigne la distance entre les points A et B Un vecteur se note avec une flêche ex.: AB désigne le vecteur AB Des droites perpendiculaires se notent avec le symbole ex.: (AB) (CD) signifie que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires Des droites parallèles se notent avec le symbole // ex.: (AB) / / (CD) signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles Un angle se note avec un chapeau, le point du milieu est le sommet de l'angle ex.: ABC signifie l'angle de sommet B Un arc de cercle se note avec un arrondi au dessus ex.: AB signifie arc de cercle AB 2 Codage Droites perpendiculaires Angle droit Longueurs égales Angles égaux Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 2

Quelques symboles mathématiques = signifie " est égal à " signifie " n'est pas égal à " signifie " environ " < signifie " est inférieur à " signifie " est inférieur ou égal à " > signifie " est supérieur à " signifie " est supérieur ou égal à " signifie " appartient à " Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 3

Verbes de consigne Calculer : Coder : Effectuer des calculs pour trouver un nombre. Mettre des symboles sur une figure à partir des informations du texte. Comparer... des nombres : Dire lequel est le plus grand, le plus petit, ou si ils sont égaux. Compléter : Conclure : Ecrire des réponses dans un tableaux, des trous,.... Démontrer un résultat en utilisant des résultats des questions précédentes. Construire : Décoder : Déduire : Faire une figure précise en respectant des consignes (mesures de longueurs, d'angles,... ). Transformer les symboles d'une figure en écriture mathématiques ou en français. Voir Conclure. Démontrer : Ecrire un raisonnement en une ou plusieurs étapes en utilisant des propriétés permettant d'aboutir à un résultat. Déterminer : Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 4

Trouver. Développer : Transformer un produits de facteurs en une somme de termes. Encadrer... un nombre : Enoncer : Trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand. Ecrire des phrases, un texte (propriété, définition,... ). Expliquer : Donner des détails, des informations sur une méthode, une démarche, un résultat (en faisant des phrases). Exprimer... truc en fonction de machin : Ecrire une égalité du style "truc = calcul avec machin". Factoriser : Transformer une somme de termes en un produit de facteurs. Faire une conjecture : Justifier : Marquer : Montrer : Nommer : Emettre une hypothèse (Ex. : Il me semble que... ) Voir démontrer. Voir placer. Voir démontrer. Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 5

Donner le nom de l'objet (angle, figure, droite,... ). Placer... un point : Prouver : Rédiger : Mettre une croix et un nom. Voir démontrer. Ecrire un texte dans un français correct. Réduire... au même dénominateur : Trouver un dénominateur commun à deux ou plusieurs fractions. Réduire... une expression littérale: regrouper les termes en respectant les règles ( a + a = 2a, a a = a 2 ). Reproduire... une figure : Construire la même figure avec les mêmes mesures (en utilisant des instruments). Résoudre... une équation : Trouver toutes les valeurs possibles pour le(s) nombre(s) inconnu(s). Simplifier... une expression littérale : Voir réduire. Simplifier... une fraction : Vérifier : Trouver une expression égale plus simple, c'est-à-dire dont le numérayeur et le dénominateur sont entier et le plus petit possible. S'assurer par un raisonnements, des calculs, ou les instruments que le résultat annoncé est vrai. Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 6

Proportionnalité 1 Tableau de proportionalité: propriété Propriété 1.1. Si a c b d est un tableau de proportionnalité, alors a b = c d Propriété 1.2. Si a c b d est un tableau de proportionnalité, alors a d = b c (Les produits en croix sont égaux) Propriété 1.3. Si a c b d est un tableau de proportionnalité, alors il existe un nombre k tel que b = k a et d = k c (on peut passer d'une ligne à l'autre en multipliant, ou en divisant par un même nombre non nul.) 2 Représentation sur un graphique. La représentation graphique d'un tableau de proportionnalité est une droite qui passe par l'origine du repère. Exemple 2.1. On considère le tableau de proportionnalité suivant : -4-2 0 4 Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 7

-2-1 0 2 Dans ce tableau, le coefficient de proportionnalité est 1. La représentation 2 graphique de ce tableau est : 3 Fonction linéaire. Toute situation de proportionnalité peut se traduire mathématiquement par une fonction linéaire. Une fonction linéaire est de la forme: f : x ax où a est une constante et x est une variable. Exemple 3.1. Le fonction linéaire associé au tableau ci-dessus est: f : x 1 2 x Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 8

Composition 1 Composition de deux symétries axiales 1.1 CAS 1: LES DEUX AXES SONT PARALLÈLES La composition de deux symétries axiales d'axes parallèles est une translation. Sur la figure ci-dessous, A 1 est l'image de A par la symétrie d'axe (d 1 ) et A 2 est l'image de A 1 par la symétrie d'axe (d 2 ) 1.2 CAS 2: LES DEUX AXES SONT PERPENDICULAIRES La composition de deux symétries axiales d'axes perpendiculaires est une symétrie centrale ayant pour centre le point d'intersection des deux axes. Sur la figure ci-dessous, A 1 est l'image de A par la symétrie d'axe (d 1 ) et A 2 est l'image de A 1 par la symétrie d'axe (d 2 ) Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 9

2 Composition de deux symétries centrales La composition de deux symétries centrales est une translation. Sur la figure ci-contre, A 1 est l'image de A par la symétrie de centre O et A 2 est l'image de A 1 par la symétrie de centre O' 3 Composition de deux translations La composition de deux translations est une translation de vecteur la somme des vecteurs des translations.. Sur la figure ci-contre, A 1 est l'image de A par la translation de vecteur u et A 2 est l'image de A 1 par la translation v Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 10

Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 11

Conventions d'écriture Notation. Le signe (multiplier) peut être sous-entendu dans différentes situations : entre un nombre et une lettre Exemple 0.1. 3x signifie 3 x entre deux letres Exemple 0.2. xy signifie x y entre un nombre et une parenthèse Exemple 0.3. 2(x + y) signifie 2 (x + y) 3x( 2) signifie 3x ( 2) entre deux parenthèses Exemple 0.4. (3 + x)( 4) signifie (3 + x) ( 4) entre une lettre et une parenthèse Exemple 0.5. (3 + x)y signifie (3 + x) y Notation. Le signe " " est obligatoire dans l'écriture du produit de deux nombres Exemple 0.6. 2 3 ne peut évidemment pas s'écrire 23 Notation. L'utilisation de parenthèses est obligatoire entre deux signes qui se suivent: Exemple 0.7. 2 3 est une écriture incorrecte ; il faut écrire 2 ( 3) 4 x est une écriture incorrecte; il faut écrire 4 ( x) Notation. Lorsque le résultat d'un calcul est 1x, on le note simplement x. Exemple 0.8. Lorsque le résultat d'un calcul est 1x, on le note x Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 12

Notation. Le produit de x x se note x 2 Exemple 0.9. x 2 signifie x x. Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 13

Opérations : vocabulaire 1 Quelques expressions simples 2 + 3 7 est une somme algébrique; 2, 3 et 7 sont les termes de la somme. x + y z est une somme algébrique; x, y et z sont les termes de la somme. Les termes sont les expressions que l'on ajoute ou que l'on soustrait. 2 3 ( 7) est un produit; 2, 3 et -7 sont les facteurs de ce produit. xy( 3) est un produit; x, y et -3 sont les facteurs de ce produit. 5 3 est un quotient. 5 est le dividende, 3 est le diviseur. 2 Quelques expressions moins simples: 2 + 3 4 est une somme car c'est l'addition que l'on fait en dernier lieu. 2 et 3 4 sont les deux termes de cette somme. (2 + 3) 4 est un produit car c'est la multiplication que l'on fait en dernier. (2 + 3) et 4 sont les deux facteurs de ce produit. Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 14

Valeurs aprochées Remarque Un nombre a une seule valeur exacte mais peut avoir plusieurs valeurs approchées. On donne souvent la valeur approchée d'un nombre sous la forme d'un nombre décimal. Considérons le nombre 11.654. 1 Troncature 11 est la troncature entière de 11.654 11.6 est la troncature au dixième près OU 10 1 près OU 0.1 près de 11.654. 11.65 est la troncature au centième près OU 10 2 près OU 0.01 près de 11.654. 2 Valeur approchée 12 est l'arrondi à l'unité près OU 1 près de 11.654. 11.7 est l'arrondi au dixième près OU 10 1 près OU 0.1 près de 11654. 11.65 est l'arrondi au centième près OU 10 2 près OU 0.01 près de 11.654. convention Par convention, lorsque le chiffre qui suit est 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4, on arrondi par défaut. Lorsque le chiffre qui suit est 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9, on arondi par excès. Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 15

Repérage dans le plan 1 Définition d'un repère 2 Repérer un point Dans un repère, un point est repéré par un couple de nombre: une abscisse et une ordonnée (dans cet ordre). Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 16

3 Coordonnées d'un vecteur Dans le plan muni d'un repère orthonormal, tout vecteur est repéré par un couple de nombres relatifs appelés coordonnées du vecteur, qui correspondent au déplacement horizontal (pour X) et au déplacement vertical (pour Y) qui permet de joindre l'origine du vecteur à son extrémité. Attention, X et Y peuvent être négatifs. Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 17

} Ici, le vecteur AB a pour coordonnées (2; 1); Cahier de référence 4 /3 Généralités Page 18

Définitions en Classe de Quatrième et de Troisième Cahier de référence Définitions Page 1

A Adjacent (côté) Dans un triangle rectangle, on appelle côté adjacent à un angle le côté qui forme l'angle autre que l'hypoténuse. Agrandissement Si l'on multiplie toutes les dimensions d'un objet par un nombre k strictement positif, on dit qu'on a effectué : un agrandissement de rapport k si k > 1 ; une réduction de rapport k si k < 1. La figure 2 ci-contre est un agrandissement de coefficient 2 de la figure 1 Angles alternes-internes Etant donné deux droites (d 1 ) et (d 2 ) par une sécante, un angle α et un angle β sont alternes-internes quand : ils sont de part et d'autre de la sécante ils sont entre les droites (d 1 ) et (d 2 ) Angles correspondants Etant donné deux droites (d 1 ) et (d 2 ) par une sécante, un angle α et un angle β sont correspondants quand : ils sont du même côté de la sécante l'un est d'un côté de (d 1 ) et l'autre est du même côté de (d 2 ) Angle inscrit Cahier de référence Définitions Page 2

Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et qui intercepte un arc de cercle. Bissectrice B 1. 2. La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes en un point. Boule La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance à O est inférieure ou égale à R. Centre de gravité C Cahier de référence Définitions Page 3

Dans un triangle, le centre de gravité est le point d'intersection des médianes. Cercle Un cercle est un ensemble de points situés à égale distance d'un point appelé centre. Cercle circonscrit On appelle cercle circonscrit à une figure, le cercle qui passe par tous les sommets de la figure. Toutes les figures n'ont pas de cercle circonscrit. Cercle inscrit On appelle cercle inscrit dans une figure, le cercle intérieur à cette figure et tangent aux côtés de la figure. Toutes les figures n'ont pas de cercle inscrit Composition Cahier de référence Définitions Page 4

Composer deux transformations, c'est effectuer ces transformations l'une après l'autre. Conclusion Résultat de l'exercice démontré ou calculé. Concourrant Trois droites, au moins, sont concourrantes si elles passent toutes par un même point. Conjecture Une conjecture est une supposition, quelque chose dont on n'est pas sûr mais qui a l'air vrai. Après démonstration, la conjecture devient conclusion. Cosinus Dans un triangle rectangle, cosinus = côté adjacent hypoténuse Distance d'un point à une droite D On appelle distance d'un point à une droite la plus courte des distances de ce point point à n'importe quel point de la droite. Cette distance est obtenue perpendiculairement à la droite.(sur la figure ci-contre, la distance du point A à la droite est la distance AH.) Diviseur Cahier de référence Définitions Page 5

Soient a et b deux nombres entiers, on dit que b est un diviseur de a si a divisé par b est un nombre entier. Donnée Ce que l'on sait, information donnée dans l'enoncé de l'exercice (texte, codage de la figure, ). Ecriture scientifique d'un nombre E L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme a 10 n avec a qui est compris entre 1 et 10 (non compris) et n qui est un entier relatif. Equation Une équation est une égalité avec des nombres et des opérations dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Résoudre une équation, c'est chercher toutes les valeurs possibles de ce ou ces nombres pour que l'égalité soit vraie. Etendue L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série. Exposant Dans l'écriture 25 3, 3 est l'exposant. Fonction affine F Soient a et b deux nombres relatifs. On appelle fonction affine, le procédé qui à tout nombre x associe le nombre ax + b; c'est à dire que l'on multiplie x par a puis on ajoute b. Notation : Si on appelle f cette fonction, on note f : x ax + b ou f (x) = ax + b. Remarque : Si b = 0, alors la fonction est de la forme x ax et est appelé fonction linéaire. Fraction irréductible Cahier de référence Définitions Page 6

Une fraction est irréductible lorsqu'elle est simplifiée au maximum et que : Le numérateur est un nombre entier Le dénominateur est un nombre entier positif Hauteur H Dans un triangle, une hauteur est une droite qui part d'un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé Hypoténuse Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus grand côté. Inverse I On appelle inverse d'un nombre relatif a (a 0), le quotient 1 a. il se note aussi a 1. Conséquence, le produit d'un nombre et de son inverse est égal à 1. K a 1 a = 1O M Cahier de référence Définitions Page 7

Médiane (dans un triangle) Dans un triangle, la médiane est la droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Médiane (statistique) Quand une série statistique est ordonnée, la valeur médiane est la valeur qui partage cette série statistique en deux parties de même effectif. Il y a donc autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures Médiatrice La médiatrice d'un segment est une droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. Nombres premiers entre eux N Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. C'est à dire lorsque leur seul diviseur commun vaut 1. Opposé O L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro et le signe contraire. Opposé (côté) Cahier de référence Définitions Page 8

Dans un triangle rectangle, on appelle côté opposé à un angle aigu, le côté qui ne forme pas l'angle. Opposé (par le sommet) Les angles opposés par le sommet sont égaux Orthocentre Dans un triangle, l'orthocentre est le point d'intersection des hauteurs. P PGCD C'est le Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres entiers. Pied (de la hauteur) Cahier de référence Définitions Page 9

On appelle pied de la hauteur, le point d'intersection d'une droite et de sa hauteur. Polygone Un polygone est une figure à plusieurs côtés. Il est dit régulier si tous les côtés ont la même longueur et s'il a un cercle circonscrit. Exemple 0.1. le carré et le triangle équilatéral sont des polygones réguliers Propriété Une propriété est une règle connue (vraie, démontrée ou admise) présentée souvent sous la forme "Si Alors ". Puissance Une puisance d'un nombre est une multiplication de ce nombre par lui-même plusieurs fois. Racine carrée R La racine carrée d'un nombre positif b, notée b, est le nombre positif qui, multiplié par lui-même est égal à b. Réduction Une figure A est une réduction d'une figure B si elle a la même forme et si toutes ses longueurs sont celles de la figure B multipliées par un nombre k compris entre 0 et 1. Rotation Cahier de référence Définitions Page 10

Le point M est l'image du point M par la rotation de centre O et d'angle α si: OM = OM M OM = α Section S La section d'un solide est la surface obtenue lorsqu'on coupe ce solide par un plan. Sinus Dans un triangle rectangle, Sinus = côté opposé hypoténuse. Somme de deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs. La composition des translations de vecteurs u et v est une translation. On appelle somme des vecteurs u et v, le vecteur de cette translation. On la note: u + v. Sphère La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance à O vaut R. Symétrie axiale Le point A est l'image du point A par la symétrie axiale d'axe ( ) si ( ) est la médiatrice du segment [AA ] Symétrie centrale Cahier de référence Définitions Page 11

Le point A est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O si O est le milieu de [AA ]. Tangente (à un cercle) T La tangente à un cercle est la droite dont la distance au centre du cercle est égale au rayon du cercle. Remarque 0.1. Elle a un unique point d'intersection avec le cercle. Tangente d'un angle Dans un triangle rectangle, tangente = côté opposé côté adjacent Translation Une translation est un déplacement appelé aussi glissement. L'image du point A par la translation qui transforme C en C est le point A tel que ACC A est un parallélogramme. Une translation est caractérisé par une direction, un sens, une longueur. Trapèze Cahier de référence Définitions Page 12

Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. Vecteur V Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une longueur Cahier de référence Définitions Page 13

Règles de Calcul Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 1

1 Egalité et addition Les égalités Si on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres d'une égalité, alors on obtient une nouvelle égalité. OU Si on ajoute ou on soustrait un nombre à un membre d'une égalité, alors il faut ajouter le même nombre à l'autre membre pour obtenir une nouvelle égalité. 2 Egalité et multipication Si on multiplie ou on divise les 2 membres d'une égalité par un même nombre non nul, alors on obtient une nouvelle égalité. OU Si on multiplie ou on divise un membre d'une égalité par un nombre non nul, alors il faut multiplier ou diviser l'autre membre par le même nombre pour obtenir une nouvelle égalité. Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 2

Les fractions 1 Simplification de fraction On peut simplifier une fraction en divisantle numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Exemple 1.1. 15 21 = 5 7 2 Opposé d'une fraction L'opposé de la fraction a b est la fraction a a ou b b ou a b L'opposé de la fraction a a est la fraction b b ou a b 3 Addition de deux fractions Pour ajouter deux fractions, il faut: 1. 2. 3. 4. 5. choisir un dénominateur commun à ces deux fractions. transformer les deux fractions pour les écrire avec ce dénominateur commun. ajouter les numérateurs entre eux. garder le dénominateur commun. simplifier le résultat si posible. Exemple 3.1. 1 2 + 2 3 = 3 6 + 4 6 = 7 6 4 Multiplication de deux fractions Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis simplifier le résultat si possible. Remarque 4.1. Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 3

Il est préférable de simplifier avant d'effectuer les calculs. Exemple 4.1. 3 2 5 7 = 15 14 5 Inverse d'une fraction Soient a et b deux nombres relatifs non nuls. L'inverse de la fraction a b est la fraction b a. 6 Division de fraction Pour diviser par une fraction, il faut multiplier par son inverse. Exemple 6.1. 3 2 8 3 = 3 2 3 8 = 9 16 Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 4

Les identités remarquables Carré d'une somme de deux termes (a + b) 2 = a 2 + 2 a b }{{} + b 2 carré du 1er terme double produit carré du 2eme terme Carré d'une différence de deux termes (a b) 2 = a 2 2 a b }{{} + b 2 carré du 1er terme carré du 2eme terme double produit Produit de la somme de deux termes par leur différence (a + b)(a b) = a 2 carré du 1er terme b 2 carré du 2eme terme Remarque 0.1. 1. 2. Les identités remarquables sont également appelées égalités remarquables. Les égalités ci-dessus se lisent dans les deux sens: De gauche à droite pour développer. De droite à gauche pour factoriser. Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 5

1 Inégalité et addition Les inégalités On peut ajouter, ou soustraire, un même nombre d'une inégalité sans changer le sens de cette inégalité. 2 Inégalité et multiplication Cas 1: Cas 2: On peut multiplier ou diviser par un même nombre positif non nul les deux membres d'une inégalité sans changer le sens de cette inégalité. Quand on multiplie ou on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif non nul, on change le sens de cette inégalité. Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 6

Les nombres relatifs 1 Addition de deux nombres relatifs 1. 2. Si on ajoute deux nombres de même signe, on obtient un nombre de même signe et on fait la somme des parties numériques de ces nombres. Si on ajoute des nombres de signes différents, le signe de la somme est celui du nombre le plus éloigné de zéro. On obtient la partie numérique en faisant la différence des parties numériques. 2 soustraction de deux nombres relatifs Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. 3 Produit (quotient) de deux nombres relatifs Le produit (respectivement "le quotient") de deux nombres relatifs est : 1. 2. positif si les deux nombres ont le même signe. négatif si les deux nombres ont des signes différents. La partie numérique est égale au produit (respectivement "au quotient") des parties numériques des deux nombres. 4 Produit de plusieurs nombres relatifs Le produit de plusieurs facteurs non nuls est 1. 2. positif si il contient un nombre pairs de facteurs négatifs. négatif si il contient un nombre impair de facteurs négatifs. 5 Inverse d'un nombre relatif On appelle inverse d'un nombre relatif a le nombre 1 a. On le note également a 1. Le produit d'un nombre et de son inverse vaut 1. Remarque 5.1. Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 7

Un nombre relatif et son inverse ont le même signe. Propriété 5.1. Diviser a par b c'est la même chose que multiplier a par l'inverse de b. Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 8

Les parenthèses et les priorités 1 Signification des parenthèses Dans une expression où figure des parenthèses, on commence par effectuer les calculs à l'intérieur des parenthèses. 2 Priorités opératoires En l'absence de parenthèses, où quand les calculs entre parenthèses sont terminés, on effectue dans l'ordre: 1. 2. 3. les puissances les multiplications et les divisions les additions et les soustractions 3 Dans une somme algébrique Cas 1 Cas 2 on peut supprimer les parenthèses précédées du signe +. on peut supprimer les parenthèses précédées du signe - à condition de changer les signes de tous les termes placés dans les parenthèses à supprimer 4 ATTENTION Il ne faut pas confondre: (4x) 2 = 4x 4x = 16x 2 ET 4x 2 = 4 x x = 4x 2 Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 9

Définition Le développement Développer, c'est transformer un produit de facteur en une somme de terme 1 La distributivité k(a + b) = ka + kb 2 La double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Attention : à respecter la règle des signes aux carrés quand il y en a Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 10

Définition La factorisation Factoriser une somme, c'est la transformer en un produit de facteurs 1 Factoriser avec un facteur commun Exemple 1.1. Factoriser (3x + 2) 2 (3x + 2)(2x + 3) On remarque que dans chacun des termes de cette équation, il y a (3x + 2) comme facteur commun : (3x = 2) 2 (3x + 2)(2x 3) = (3x + 2) [(3x + 2) (2x 3) ] = (3x + 2)(3x + 2 2x 3) = (3x + 2)(x 1) 2 Factoriser avec une identité remarquable Il n'y a pas de facteur commun mais l'expression ressemble au développement d'une identité remarquable. Exemple 2.1. L'expression 4x 2 + 12x + 9 se factorise à l'aide de la première identité remarquable en (2x + 3) 2 Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 11

1 Définitions Soit n un nombre entier positif 10 n = 10 10 10 }{{} = 100 0 n zéros n facteurs 2 Inverse 10 n = 1 10 n = 0,0 0 1 }{{} Les puissances de 10 n zéros 10 n et 10 n sont inverses 3 Propriétés Soit m et n deux entiers relatifs 10 n 10 m = 10 n+m 10n 10 m = 10n m ( 10 n ) m = 10 n m 4 Remarques 10 1 = 10 10 0 = 1 Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 12

Les puissances 1 Définitions Soit a un nombre non nul et n un entier positif Par définition, a n = a a a }{{} n facteurs n est appelé "exposant" 2 Cas particuliers a 1 = a a 0 = 1 3 Propriétés (Soient a et b deux nombres non nuls, n et p deux entiers relatifs) a n a p = a n+ p a n a p = an p (a b) n = a n b n a n K O = an b b n ( a n ) p = a n p 4 Inverse Soit a un nombre non nul et n un entier relatif : a n = 1 a n Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 13

Les racines 1 Définition Soit a un nombre positif. Par définition, la racine carrée du nombre a est le nombre dont le carré vaut a. On a donc : I am 2 = a 2 Propriétés Soit a un nombre positif et b un nombre positif non nul. a b a = b = a b a b 3 Attention!! Il n'existe pas de règles concernant l'addition et la soustraction de fraction. Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 14

La notation scientifique Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme a 10 p avec: p est un entier relatif a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule Exemple 0.1. 3226 = 3,226 10 3 0,035 = 3,5 10 2 Cahier de référence 4 /3 Règle de calcul Page 15

Comment Calculer Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 1

Une aire Nom de la figure Aire Représentation Carré A = c c Rectangle A = L l Losange A = D d 2 Triangle A = b h 2 Trapèze A = (B + b) h 2 Disque A = π r 2 Sphère A = 4 πr 2 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 2

Un périmètre Par définition, le périmètre d'une figure fermée est la longueur du tour de cette figure. Quelques formules fondamentales. Nom de la figure Périmètre Représentation Carré P = 4 c Rectangle P = 2 (L + l) = 2L + 2l Cercle P = 2πr Triangle P = côté1 + côté2 + côté 3 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 3

Un volume Le volume d'un solide est la mesure de l'espace occupé par ce solide. Quelques formules fondamentales. Nom de la figure Volume Représentation Cube V = c c c = c 3 Pavé droit ou Parallélépipède rectangle V = L l h Pyramide V = B h ou B est 3 l'aire de la base Cône V = πr2 h 3 Boule V = 4 3 πr3 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 4

Avec des lettres 1 Méthode a. b. c. Repérer les opérations prioritaires 1. Entre parenthèses 2. Les puissances 3. Multiplications et divisions 4. Additions et soustractions Simplifier ces opérations prioritaires si c'est possible Pour les additions et les soustractions, regrouper les termes de même nature 2 Exemple 4(a + 2a) }{{} + 6 8 1a }{{} + 5 Je repère les opérations prioritaires = 4(3a) }{{} + 6 8a + 5 Je simplifie ces opérations si possible = 12a + 6 8a + 5 Je simplifie la multiplication qui reste = 12a }{{ 8a } +6 }{{} + 5 Je regroupe les termes de même nature = 4a + 11 Je simplifie chaque groupe Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 5

Un nombre inconnue dans une équation Rappel :Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie. 1 Equations de base Si ax = b, alors x = b a avec a 0 Si a + x = b, alors x = b a 2 Résolution d'une équation (en théorie) Soit à résoudre l'équation 7(x 4) = 3(x + 2) 7(x 4) = 3(x + 2) On développe 7x 28 = 3x + 6 7x 28 3x = 3x + 6 3x On réduit les x 4x 28 = 6 4x 28 + 28 = 6 + 28 On réduit les nombres 4x = 34 x = x = 34 6 17 2 On résoud On réduit si possible 3 Résolution d'un problème 1. 2. 3. 4. Identifier la grandeur que l'on cherche et la remplacer par une lettre Ecrire l'équation traduisant le problème Résoudre cette équation Répondre au problème en faisant une phrase 4 Résolution d'une équation-produit Propriété : Un produit de facteurs est nul si l'un, au moins, des facteurs est nul. Exemple 4.1. Si a b = 0 alors a = 0 ou b = 0 Si a = 0 ou b = 0 alors a b = 0 (x + 2)(2x 3) = 0 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 6

Si x + 2 = 0 ou 2x 3 = 0 Si x = 2 ou x = 3 2 L'équation a deux solutions : 2 et 3 2 5 Résolution de l'équation x 2 = a 3 cas de figure : Si a est positif, l'équation x 2 = a admet 2 solutions : a ou a. Si a = 0, l'équation x 2 = a admet une unique solution x = 0. Si a est négatif, l'équation x 2 = a n'admet pas de solution. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 7

Un nombre inconnue dans une inéquation 1 Exemple 1 2(3x 1) (x 3) 2x + 7 6x 2 x + 3 2x + 7 On développe 6x x 2x 7 + 2 3 On transfère 3x 6 On réduit x 6 3 on résoud x 2 On simplifie si possible On donne la solution sous forme d'une droite graduée: 2 Exemple 2 La partie hachurée est solution de l'équation 2(3x 1) (4x 3) 4x + 7 6x 2 4x + 3 4x + 7 On développe 6x 4x 4x 7 + 2 3 On transfère 2x 6 On réduit x 6 2 On résoud x 3 On réduit si possible On donne la solution sous la forme d'une droite graduée: La partie hachurée est solution de l'équation Quand le coefficient devant le x est négatif, il ne faut pas oublier de changer le sens de l'égalité au moment de la division. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 8

Dans un système d'équations 1 Méthode par substitution Cela consiste à écrire l'une des deux inconnues en fonction de l'autre à l'aide d'une équation, puis à remplacer par la valeur trouvé dans l'autre équation. Exemple 1.1. 3x + y = 2 (1) Soit le système d'équation suivant: 4x + 2y = 4 (2) On remarque que dans l'équation (1), le y n'a pas de coefficient (en fait, son coefficient est 1!). On peut donc transformer cette équation (1) pour "isoler" y: (1) 3x + y = 2 devient y = 2 3x. On peut alors substituer y par (2 3x) dans l'équation (2) qui devient: (2) 4x + 2(2 3x) = 4 Cette équation n'a plus qu'une seule inconnue et on sait la résoudre. On trouve alors: x = 4. Il ne reste plus qu'à remplacer x par 4 dans l'équation (1): (1) y = 2 3x = 2 3 4 = 10 La solution de ce système est donc le couple de nombre: ( 4; 10) 2 Méthode par combinaison Exemple 2.1. 2x + 3y = 3 (1) Soit le système d'équation suivant: 6x + 4y = 14 (2) On s'intéresse pour l'instant à l'inconnue x. Pour l'équation (1), le coefficient vaut 2, et pour l'équation (2), le coefficient vaut 6. En multipliant l'équation (1) par 3, on aura le même coefficient. Le système devient alors: 6x + 9y = 9 (1) 6x + 4y = 14 (2) Il ne reste plus qu'à soustraire membre à membre les deux équations pour obtenir: (6x + 9y) (6x + 4y) = 9 14 soit après simplification: 5y = 5 ce qui donne: y = 1. S'offre à nous deux choix pour trouver x: 1. Choix 1: Faire la même chose en s'arrangeant pour avoir le même coefficient pour l'inconnue y et par combinaison des deux équations trouver x. retour à l'exemple : On multiplie l'équation (1) par 4 et l'équation (2) par 3, ce qui donne 8x + 12y = 12 (1) 18x + 12y = 42 (2) On soustrait membre à membre et on obtient : (8x + 12y) (18x + 12y) = 12 42 soit après simplification : Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 9

2. 10x = 30 ce qui donne: x = 30 10 = 3. Choix 2 : Remplacer y par 1 dans l'une des deux équations et résoudre ainsi l'équation à une inconnue en x. On choisit par exemple de remplacer y par 1 dans l'équation (1): 2x + 3 ( 1) = 3 2x 3 = 3 2x = 3 + 3 = 6 x = 6 2 = 3 Dans les deux cas de figure, la solution du système est la même : ( 3; 1) Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 10

1 Prendre un pourcentage Un pourcentage Pour caluler x% d'un nombre, il suffit de multiplier ce nombre par x puis de diviser par 100. 2 Calculer un taux de pourcentage en utilisant un tableau de proportionnalité Exemple 2.1. Un pantalon coutant 50 est vendu avec une remise de 15. Quel est le taux de la remise? Si on appelle p la remise en pourcentage, on obtient le tableau suivant: 50 15 100 p p = 15 100 = 30 50 Le pourcentage de remise est donc 30%. 3 Calculer un taux de pourcentage en utilisant une fonction linéaire 3.1 Dans le cas d'une augmentation Exemple 3.1. Le coefficient qui permet de calculer les nouvelles valeurs dans le cas d'une augmentation de N% est: k = 1 + N 100 déterminer le taux de l'augmentation lorsqu'un prix passe de 150 à 180. On calcule le coefficient de proportionnalité: k = 180 150 = 1,2 puis on résoud l'équation: 1 + N 100 = 1,2 et on trouve N = 20%. 3.2 Dans le cas d'une diminution Le coefficient qui permet de calculer les nouvelles valeurs dans le cas d'une diminution de N% est: k = 1 N 100 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 11

Exemple 3.2. Déterminer le taux de la diminution lorsqu'un prix passe de 120 à 102. On calcule le coefficient de proportionnalité: k = 102 120 = 0,85 puis on résoud l'équation: 1 N 100 = 0,85 et on trouve N = 15\% Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 12

Un angle 1 Dans un triangle a. Dans un triangle, la somme des angles vaut 180. b. Dans un triangle équilatéral, les angles valent 60. c. Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux. d. Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90 ). 2 Dans un quadrilatère a. Dans un quadrilatère, la somme des mesures des angles aigus vaut 360. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 13

b. Si un quadrilatère est un parallélogramme,alors les angles opposés sont égaux. les angles consécutifs sont supplémentaires. 3 Dans un cercle a. Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle sont égaux. b. Dans un cercle, l'angle au cercle vaut le double d'un angle inscrit interceptant le même arc de cercle. c. Si un point C est situé sur un cercle de diamètre [AB], alors l'angle ACB vaut 90. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 14

4 En montrant qu'il est égal à un autre angle Voir "Comment montrer que deux angles sont égaux". Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 15

Un angle avec la trigonométrie 1 En utilisant le cosinus 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Faire une figure à main levée s'il n'y a pas de figure. Vérifier que l'on a un triangle rectangle Repérer le côté adjacent et l'hypoténuse de l'angle. Ecrire la formule uniquement avec les lettres. Remplacer par les valeurs numériques connues. Terminer le calcul avec la calculatrice. Arrondir le résultat comme demandé dans l'exercice. 2 En utilisant Sinus, Cosinus ou Tangente 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Faire une figure à main levée s'il n'y a pas de figure. Vérifier que l'on a un triangle rectangle Repérer deux côtés connus et l'angle à calculer. Reconnaitre la formule à utiliser. Ecrire la formule uniquement avec les lettres. Remplacer par les valeurs numériques connues. Terminer le calcul avec la calculatrice. Arrondir le résultat comme demandé dans l'exercice. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 16

Une longueur 1 En utilisant un triangle rectangle 1.1 En utilisant une médiane Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse vaut la moitié de l'hypoténuse. 1.2 En utilisant le théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors: BC 2 = AB 2 + AC 2. 1.3 En utilisant la trigonométrie Si dans un triangle, on connait un angle (autre que l'angle droit) et un côté, alors on peut calculer les autres côtés à l'aide des formules suivantes: côté adjacent cosinus(de l'angle) = hypoténuse côté opposé sinus(de l'angle) = hypoténuse côté opposé tangente(de l'angle) = côté adjacent 2 En utilisant le théorème des milieux Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est la moitié de la longueur du troisième côté. 3 En utilisant le théorème de Thalès Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 17

Si le droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Alors: AM AB = AN AC = M N BC 4 En utilisant une tangente à un cercle Si une droite (d) est tangente à un cercle C de centre O et de rayon r, alors la distance de O à (d) est égale à r. 5 En utilisant la propriétés du centre de gravité Dans un triangle, le centre de gravité se trouve aux 2 de chaque médiane en partant du sommet. 3 AG = 2 3 AI ou AG = 2GI ou IG = 1 3 IA. 6 Dans un repère Soit (O;I;J) un repère orthonormé. Soient A( x A ; y A ) et B( x B ; y B ) deux points. Alors AB= ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 18

1 Coordonnées d'un vecteur Soit (O;I;J) un repère orthonormé. Soient A( x A ; y A ) et B( x B ; y B ) deux points. x B x A Alors AB y B y A Des coordonnées 2 Coordonnées du milieu d'un segment Soit (O;I;J) un repère orthonormé. Soient A( x A ; y A ) et B( x B ; y B ) deux points. x M = x A + x B 2 Si M est le milieu de [AB], alors : y M = y A + y B 2 3 Coordonnées d'un point 3.1 En utilisant des vecteurs égaux Rappel : Si deux vecteurs sont égaux, alors ils ont des coordonnées égales. Exemple 3.1. Soit A(1; 2), B(3; 3) et C(5; 4) trois points. Calculer les coordonnées de D pour que AB = CD On pose D(x D ; y D ). 3 1 On a: AB et 3 2 x D 5 CD y D 4 Comme AB = CD, on en déduit que: 3 1 = xd 5 et 3 2 = y D 4. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 19

Il suffit alors de résoudre ces deux équations pour trouver: x D = 7 et y D = 5. d'où D(7; 5). 3.2 En utilisant le milieu du segment Exemple 3.2. Soit A(5; 4), B(3; 2) et C(5; 4) trois points. Calculer les coordonnées du point C tel que B soit le milieu du segment [AC] On pose C(x C ; y C ). Comme B est le milieu de [AC], on en déduit que: 3 = 5 + x C 2 2 = 4 + y On résoud les deux équations, et on trouve que: x C = 1 et y C = 0. C 2 D'où C(1,0) Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 20

Propriété 0.1. Le PGCD de deux nombres Si un nombre c est un diviseur de deux nombres a et b, alors il divise aussi a+b et a-b. 1 Par la recherche de diviseurs comuns Exemple 1.1. Détermination du PGCD de 48 et 60. Les diviseurs de 48 sont 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48. Les diviseurs de 60 sont 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60. Les diviseurs communs à 48 et à 60 sont: 1; 2; 3; 4; 6; 12 Le PGCD de 48 et de 60 est 12. 2 Par soustractions successives Exemple 2.1. Détermination du PGCD de 429 et 156 429 156 = 273ö On soustrait les deux nombres. 273 156 = 117ö On prend les deux plus petits et on recommence 156 117 = 39 117 39 = 78 78 39 = 39 39 39 = 0ö On s'arrête quand on obtient un résultat nul. Le PGCD est le dernier résultat non nul d'où: PGCD(429; 156) = 39. 3 Par la méthode d'euclide Exemple 3.1. Détermination du PGCD de 1326 et 546 On effectue la division euclidienne de 1326 par 546 (c'est à dire la division avec quotient entier et reste) et on en déduit que: 1326 = 546 2 + 234 On recommence avec le diviseur et le reste précédent (ici avec 546 et 234), et on obtient: 546 = 234 2 + 78 On recommence jusqu'à ce que le reste soit nul. 234 = 78 3 + 0 Le PGCD est le dernier reste non nul d'où: PGCD(1326; 546) = 78 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 21

1 Une moyenne simple Une moyenne Pour calculer une moyenne simple de plusieurs nombres, on les additionne puis on divise le résultat par le nombre de nombres qu'on a additionné. Exemple 1.1. Calcule de la moyenne des nombres 4, 7, 15, 17, 19. 4 + 7 + 15 + 17 + 19 La moyenne est: = 12,4 5 2 Une moyenne pondérée Pour calculer une moyenne pondérée (c'est à dire des nombres affectés d'un coefficient), on multiplie chacun des nombres par le coefficient qui lui est affecté et on effectue la somme. On divise le résultat obtenu par la somme des coefficients. Exemple 2.1. Nombre 4 7 15 17 19 Coefficient 2 4 3 5 1 2 4 + 4 7 + 3 15 + 5 17 + 1 19 La moyenne est: 12,33 2 + 4 + 3 + 5 + 1 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 22

Une médiane 1 Définition Quand une série statistique est ordonnée (dans l'ordre croissant ou décroissant), la valeur médiane partage les valeurs de cette série en deux groupes de même effectif: le groupe des valeurs inférieurs à la médiane. le groupe des valeurs supérieurs à la médiane. 2 Détermination de la médiane Cas 1: Cas 2: la série statistique a un effectif impair 6 8 10 12 médiane 14 16 18 Le nombre 12 est la médiane de cette série car il la partage en deux séries de même effectifs. la série statistique a un effectif pair 6 8 9 10 12 }{{} médiane : 11 13 17 18 La médiane de cette série est la moyenne des nombres 10 et 12, c'est à dire 11. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 23

Quelques définitions de base en statistique. Exemple 0.1. Un effectif Dans une classe de 3, on a demandé les âges des 25 élèves. Les résultats sont regroupés dans la tableau ci-dessous: Ages (ans) 13 14 15 16 Nombres d'élèves 2 9 11 3 Population: la population étudiée ici est l'ensemble des élèves d'une classe de 3. Caractère: le caractère étudié est l'âge de ces élèves. Effectif: L'effectif des élèves de 3 qui ont 14 ans est de 9. Effectif total: L'effectif total de cette classe est de 25. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 24

Une fréquence 1 Une fréquence Exemple 1.1. Dans une classe de 3, on a demandé les ages des 25 élèves. Les résultats sont regroupés dans la tableau ci-dessous: Ages (ans) 13 14 15 16 Nombres d'élèves 2 9 11 3 Fréquence : La fréquence est le rapport entre un effectif partiel et l'effectif total. Exemple 1.2. Dans l'exemple précédent, la fréquence des élèves ayant 14 ans est: 9 25 = 0,36 Fréquence (en pourcentage) Pour obtenir la fréquence en pourcentage, il suffit de multiplier la fréquence par 100. Exemple 1.3. Dans l'exemple précédent, la fréquence en pourcentage des élèves qui ont 14 ans est: 9 100 = 36% 25 36% des élèves de cette classe a 14 ans. 2 Les fréquences cumulées Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 25

Définition 0.1. Une étendue L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série. Exemple 0.1. Le tableau ci-dessous représente les notes de mathématiques de deux élèves. Elève 1 15 11 15 10 13 Elève 2 17 5 11 20 11 Ces deux élèves ont la même moyenne. Mais comme on peut le constater sur le graphique ci-dessous la série de note de l'élève 2 est beaucoup plus dispersée que celle de l'élève 1: les valeurs extrèmes sont beaucoup plus éloignées. Pour rendre compte de cette dispersion, on calcule l'étendue de cette série statistique. Dans l'exemple précédent, l'étendue de la série des notes de l'élève 1 est 15 10 = 5, tandis que l'étendue de la série de l'élève 1 est 20 5 = 15. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 26

L'expression d'une fonction(linéaire ou affine) 1 Déterminer l'expression d'une fonction linéaire On sait qu'une fonction linéaire est de la forme f : x ax. Déterminer une fonction linéaire, c'est trouver la valeur de son coefficient a. Pour cela, il suffit d'un nombre et de son image. Exemple 1.1. Trouver la fonction linéaire f qui au nombre 2 associe le nombre 6. On sait que f : 2 6 f : 2 a 2 On en déduit que a 2 = 6 et donc que a = 3 La fonction linéaire qu'on cherche est donc: f : x 3x 2 Déterminer l'expression d'une fonction affine On sait qu'une fonction affine est de la forme f : x ax + b. Déterminer une fonction affine, c'est trouver la valeur du coefficient a et de l'ordonnée à l'origine b. Pour cela, il faut connaître deux nombres et leurs images. Exemple 2.1. Trouver la fonction affine f qui au nombre 2 associe le nombre 1 et au nombre 1 associe le nombre 1. On sait que f : 2 1 et f : 1 1 ou f : 2 a 2 + b et f : 1 a 1 + b On en déduit que a 2 + b = 1 et que a 1 + b = 1 Il ne reste plus qu'à résoudre le système d'équation suivant: a 2 + b = 1 a 1 + b = 1 On trouve a = 2 et b = 3. La fonction affine qu'on cherche est donc: f : x 2x 3 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 27

1 Forme a b Avec des racines carrées a et b sont des nombres entiers avec b le plus petit possible. Pour écrire une racine sous la forme a b, il faut la décomposer avec un carré parfait. Exemple 1.1. Ecrire 24 sous la forme a b 24 = 4 6 = 4 6 = 2 6 2 Racine et somme algébrique Exemple 2.1. On considère l'expression A = 7 2 2 32 + 3 8. Le but est d'écrire A sous la forme a 2 (c'est à dire de simplifier l'expression). 01. Ecrire 32 et 8 sous la forme a 2 32 = 16 2 = 16 2 = 4 2 8 = 4 2 = 4 2 = 2 2 02. On remplace dans A 32 et 8 par les expressions obtenues A = 7 2 2 4 2 + 3 2 2 A = 7 2 8 2 + 6 2 03. On factorise par 2 puis on simplifie la parenthèse: A = (7 8 + 6) 2 A = 5 2 3 Racine et produit (ou quotient) Exemple 3.1. 14 On considère l'expression B = 18 35. 15 Le but est d'écrire B sous la forme a b avec b entier le plus petit possible. 01. 02. 03. Ecrire B sous la forme d'un seul radical. 18 14 35 B = 15 Simplifier la fraction sous le radical. 3 3 2 7 2 7 5 B = 3 5 B = 2 2 7 2 3 Il reste à séparer le radical puis à calculer. Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 28

B = 2 2 7 2 3 B = 2 7 3 B = 14 3 Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 29

Dans une situation de proportionnalité 1 Calculer la 4ième proportionnelle 1.1 En utilisant le coefficient Dans le tableau suivant : 2 3 3 6 x on constate que pour passer de la 1ère à la 2ème ligne, on multiplie par 3 (2 3 = 6). On trouve alors x=3 3 1.2 En utilisant le produit en croix Dans le tableau suivant : 2 3 6 x Pour trouver la valeur de x, il suffit de faire le calcul : 3 6 2 = 9 } 2 Calcul d'une vitesse, d'un temps ou d'une distance On note V la vitesse, d la distance et t le temps. On a la formule suivante : V = d qui permet de calculer la vitesse quand on connaît la distance et le t temps. Cette formule permet également après modification de calculer: la distance: d = v t le temps: t = d v 3 Débit On note D le débit, V le volume et t le temps. On a la formule suivante : D = V qui permet de calculer le débit quand on connaît le volume et le temps. t Cahier de référence 4 /3 Comment calculer Page 30

Comment Démontrer Cahier de référence 4 /3 Comment démontrer Page 1

1 En utilisant le PGCD Une fraction est irréductible Si le PGCD du numérateur et du dénominateur d'une fraction est égal à 1, alors la fraction est irréductible. 2 En utilisant les nombres premier entre eux Deux nombres sont premier entre eux, si leur PGCD vaut 1. 3 Rendre une fraction irréductible Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Cahier de référence 4 /3 Comment démontrer Page 2