Outil de Gestion des Risques

Outil de Gestion des Risques Daniel Herlemont Table des matières 1 Introduction 3 2 Gestion sous contrainte de perte maximale historique (Drawdown) et de Value at Risk 3 3 Enveloppe de trading 5 4 Approche classique - Markowitz 6 5 Approche par contribution aux risques 8 5.1 Contribution aux risques............................. 8 5.2 Equi répartition des risques........................... 10 5.3 Exemple...................................... 11 6 Analyse en Composante Principale 15 7 A réaliser 18 7.1 Exemple d interface graphique de l outil.................... 19 8 Annexes 19 8.1 Méthodes de résolution de l Allocation par contibution au risque....... 19 8.2 Robustesse..................................... 22 8.2.1 Hypothèse statique forte......................... 22 8.2.2 La méthode du delta........................... 23 8.2.3 Ratio de Sharpe - Intervalle de confiance................ 24 8.2.4 Proportions optimales dans le cas mono varié - Intervalle de confiance 24 8.2.5 Estimation des proportions, cas multi varié............... 25 1

TABLE DES MATIÈRES 9 References 27 Daniel Herlemont 2

2 GESTION SOUS CONTRAINTE DE PERTE MAXIMALE HISTORIQUE (DRAWDOWN) ET DE VALUE AT RISK 1 Introduction Ce projet est issu d un besoin exprimé par un gérant de fonds alternatif souhaitant investir de manière optimale sur plusieurs marchés à terme (marché indices actions, devises, matières premières, future de taux) tout en contrôlant les risques de perte maximale (drawdown) et de valeur à risque. Il s agit donc de réaliser un véritable outil user frendly s adressant à un gérant de fonds, tout en mettant en oeuvre des solutions sophistiquées en terme d optimisation et de robustesse (prise en compte des choix Long/Short, risk budgeting, filtrage par des méthodes du type Analyse en Composante Principale). Le projet devra être développé en C Sharp dans un environnement Visual Studio, il comprendra plusieurs parties depuis l interface utilisateur, le traitement des données réelles de marché, les algorithmes d optimisation et d estimation. Ce projet d envergure devra donc être mené comme un véritable projet industriel en équipe de développement depuis la spécification jusqu à l intégration et la validation avec manuel utilisateur et aide en ligne. 2 Gestion sous contrainte de perte maximale historique (Drawdown) et de Value at Risk L outil de gestion de risques permet de déterminer les positions limites autorisées en fonction des objectifs de gestion des risques. Cet objectif est défini en terme de Drawdown (D) autorisé D A, fixé par exemple à D A = 10% de la valeur du fond (Assets Under Management). A tout instant, on définit donc une perte maximale autorisée L qui est la différence entre la valeur du fond V et la valeur du fond V pour laquelle le D A serait atteint. Soit M le maximum courant M = max 0 s t V (s) Le Drawdown est la perte de Monsieur pas de chance qui serait rentré au plus haut. D = M V M La valeur du fond plancher V correspondant au drawdown maximal est alors définie par D A = M V M autrement dit V = (1 D A ) M Daniel Herlemont 3

2 GESTION SOUS CONTRAINTE DE PERTE MAXIMALE HISTORIQUE (DRAWDOWN) ET DE VALUE AT RISK la perte autorisée est donc L = V V = V (1 D A ) M Nota, si le fond est à son plus haut, V = M et L = D A V Exemple : supposons que la NAV (Net Asset Value) est de 10 millions d euros, le drawdown autorisé est de 10% et le maximum atteint est de 10.5 ME. La valeur plancher du fond est alors V = 0.9 10.5 = 9.45ME et la perte maximale autorisée est de L = V V = 10 9.45 =.55ME Si il existe des méthodes permettant de garantir que cette perte ne sera pas jamais réalisée (du type gestion sous contrainte de garantie, CPPI, OBPI,...), ces méthodes s avèrent trop contraignantes en terme de trading. Afin de donner plus de liberté au trader, il vaut mieux considérer cette perte maximale comme une perte potentielle avec un certain niveau de confiance, donc considérer cette perte comme une VaR (Value at Risk) avec une confiance de niveau α. Typiquement α est de 99%. Mais on pourra utiliser d autres niveaux de confiance (95% par exemple). On pourra donc dépasser la perte autorisée, cependant l expostion sera réduite au fur et à mesure que le fond approchera de la valeur plancher. Même si il ne s agit pas d un véritable garantie, l idée sera de diminuer les positions en cas de perte, et inversement, les augmenter en période de gains. En première approche et afin de simplifier l exposé, nous allons supposer que les rendements du fond sont gaussiens. L objectif de VaR va nous permettre de calculer la volatilité a ne pas dépasser σ e en euros ou en rendement σ 0. Soit L = V ar = z α σ e = z α σ r V σ e = L z α σ r = L V z α = 1 (1 D A) M/V z α avec z α le quantile gaussien correspondant, par exemple z α = 2.33 pour α = 99% ou z α = 1.65 pour α = 95%. Dans le cas ou le fond est à son plus haut, on notera que σ r = D A /z α. Avec D A = 10% et α = 0.99 σ r = 10%/2.33 4.3%. Exemple : le sous jacent est un indice d actions avec une vol journalière de 2%, le levier est de l ordre de 2.15 = 4.3/2, ce qui est tout à fait raisonnable!!! il s agit du levier maximal car on a supposé que le fond était à son plus haut. Si on avait choisi un niveau de confiance de 95%, z α = 1.65, la volatilité autorisée serait de 10%/1.65 6%, donc un prise de risque plus élevée, ce qui est normal car on s autorise ici a dépasser la perte potentielle 5 fois sur 100 au lieu de une fois sur 100. Daniel Herlemont 4

3 ENVELOPPE DE TRADING En reprenant l exemple précédent et un niveau de confiance de 99%, et la perte de 0.55 ME, l objectif de volatilité sera de 0.55/2.33 = 0.236ME en euros et 0.236ME/10ME = 2.36 en %. Si le sous jacent a une vol de 2%, le levier sera de 1.18. On réduit donc la position par rapport au cas précédent. Il s agit ici d un objectif de volatilité global, obtenu en combinant toutes les positions sur les différents marchés. Il s agit maintenant de déterminer ces différentes positions sur ces différents marchés tout en respectant cet objectif. 3 Enveloppe de trading La volatilité de la position globale est déterminée à partir des positions sur les différents marchés et les covariances σ ij pour i, j = 1, n. La volatilité en euros est σe 2 = V i V j σ ij i=1,n avec V i la position en euros sur le marché i. Notons que cette position peut etre négative (vente a découvert) et que la somme des position n est pas nécessairement égale à la valeur du fond V (NAV), il faut ajouter la position en cash - actif sans risque V 0. On a alors V 0 + i V i = V. On peut avoir i V i > V, cela signifie qu on emprunte pour finance un levier (levier = i V i/v ) L objectif de volatilité globale σ e étant déterminé par l étape précédente, les positions doivent donc vérifier V i V j σ ij σe 2 i=1,n Nota, V i σ ii est la volatilité en euros de la position sur la marché i En divisant les deux membres par V 2 on fait apparaitre les proportions π = V i /V et la volatilité du portefeuille σ 0 = σ e /V π i π j σ ij σ0 2 i=1,n Reprenons les données de l exemple précédent avec une NAV de 10ME et un objectif de volatilité de 236KE. On suppose que le trader peut intervenir sur deux marchés : actions et future de taux par exemple, dont les volatilités journalières sont respectivement de 2% et 0.5%. Daniel Herlemont 5

4 APPROCHE CLASSIQUE - MARKOWITZ On supposera, dans un premier temps, que la corrélation est nulle. L inégalité précédente se traduit ici par V 2 actions0.02 2 + V 2 taux0.005 2 0.236 2 ou en terme de volatilité σ 2 ae + σ 2 te σ 2 e avec σ ae la volatilité de la position actions en euros, avec σ te la volatilité de la position taux en euros, et σ e la volatilité (globale) maximale en euros, Les positions extrêmes sont ˆ V actions = ±11.8 ME et V taux = 0 ou ˆ V taux = ±47.2 ME et V actions = 0 10 5 0 5 10 40 20 0 20 40 zone de trading position actions en euros position taux en euros Dans le cas d une corrélation ρ non nulle, disons par exemple, ρ = 0.5, l inégalité précédente est modifiée en V 2 a 0.02 2 +V 2 t 0.005 2 +2 0.5 V a 0.02 V t 0.005 0.236 2 ou σ 2 ae + σ 2 te + 2ρσ ae σ te σ 2 e Les positions extrêmes restent identiques. En revanche, l enveloppe de trading se réduit lorsque les deux positions sont dans la même direction (long actions et taux ou short actions et taux), elle augmente lorsque les positions sont en directions inverses (long/short). 10 5 0 5 10 40 20 0 20 40 zone de trading, correlation=0.5 position actions en euros position taux en euros 4 Approche classique - Markowitz Le trader a entière liberté pour choisir ses positions sur les différents marchés pourvu qu elles s inscrivent dans l enveloppe définie précédemment. Il s agit maintenant de fournir des guides Daniel Herlemont 6

4 APPROCHE CLASSIQUE - MARKOWITZ d allocation dans les différents marchés en fonction : ˆ des performances passées (track record) sur les différents marchés ˆ des vues exprimées par le trader. ˆ donc des risques et performances passées et attendues de manière a maximiser une mesure de performance ajustée du risque, telle que le ratio de Sharpe (on pourrait également rechercher à maximiser le ratio de Stutzer, par exemple). Dans une approche classique, on peut se donner des rendements espérés pour chaque stratégie. On suppose donc que la stratégie sur le marché i a une espérance de rendement µ i et une volatilité de σ i. A noter que ces µ i dépendent surtout de l anticipation du trader. Par exemple, si le trader anticipe une baisse d un marché, il aura µ i positif dans une position short (vente à découvert). La direction de trading étant choisie (long ou short), on pourra considérer que tous les µ i sont positifs. Dans le cas d une position short, il suffit alors de considérer les taux des rendements R i au lieu de R i. Les corrélations des positions sont alors ρ ij = ɛ i ɛ j correlation(r i, R j ), avec R i les taux des rendements des sous jacents et ɛ i la direction de trading (+1 pour long et -1 pour short). Le problème consiste alors à maximiser l espérance de rendement du portefeuille E[R p ] = µ T π sous la contrainte que la volatilité du portefeuille reste égale a la volatilité objectif La solution est σ 2 p = σ 2 0 π = σ 0 Q 1 µ/ µ T Q 1 µ Elle peut également se mettre sous mettre sous la forme : π i σ i = σ 0 ρ ( 1) ij s j / s T ρ ( 1) s j avec ρ ( 1) ij l inverse de la matrice de corrélation des stratégies et s le vecteur des ratios de sharpe. On voit donc que la solution dépend du vecteur des rendements attendus µ, à un facteur multiplicatif près. On pourra donc spécifier ces rendements en relatif les uns par rapport au autres. On parle alors d indices de confiance. Daniel Herlemont 7

5 APPROCHE PAR CONTRIBUTION AUX RISQUES Cette solution ne prend pas en compte les contraintes Long/Short. Pour intégrer ces contraintes, il faut ajouter les contraintes π i ɛ i 0 pour i = 1, n et ɛ i = ±1 la direction de trading. Notons que dans le cas où les indices de confiance sont tous égaux, la solution possède les même caractéristiques que le portefeuille de variance minimale, à savoir les poids sont proportionnels au vecteur Q 1 e avec e le vecteur des 1 e T = 1,..., 1. 5 Approche par contribution aux risques Que faire dans le cas ou on a aucune idée sur les performances attendues? On peut alors envisager différentes approches : ˆ Le portefeuille de variance minimale : dans la théorie du portefeuille, le seul portefeuille efficient qui ne dépend pas des rendements attendus est le portefeuille de variance minimale. La proportion investie dans l actif i est u ij / u ij j ij, avec u ij les éléments de l inverse de la matrice de variance/covariance ˆ Le portefeuille équipondéré : on peut aussi décider d allouer le même montant dans les différents marchés, mais les risques seront différents. ˆ par contribution au risque. C est cette approche que nous développons dans la suite. 5.1 Contribution aux risques Etant donné un portefeuille, il est intéressant de disposer d une décomposition du risque par actif. Ceci est moins évident qu il y parait car les VaR ou volatilités ne sont pas additives, en raison des corrélations. Par exemple, la somme des VaR est en général plus grande que la VaR de la somme. On peut s intéresser par exemple à la VaR marginale, répondant à la question : de combien la VaR de mon portefeuille varie lorsque j augmente la position de l actif i de 1 euro?. La réponse a cette question est donnée par MCT R i = V ar π i V Daniel Herlemont 8

5 APPROCHE PAR CONTRIBUTION AUX RISQUES avec MCTR, pour Marginal Contribution To Risk, π i la proportion investie dans l actif i et V la NAV. On montre que la VaR marginale dépend du beta 1 MCT R i = V ar V avec β i le beta de la position i avec le portefeuille : β i = σ ip σ 2 p = β i j π jσ ij ij π iπ j σ ij Cette mesure permet par exemple d évaluer l impact d un nouveau trade sur la VaR gobale (voir l exemple ci dessous). Tout comme la VaR, la somme des contributions marginales n est pas égale à la VaR. On souhaiterait disposer d une décomposition du risque dont la somme représente le risque total. La réponse est donnée par la Component VaR : CCT R i = π i V ar π i = MCT R i π i V = V arβ i π i CCTR pour Compoment Contribution To Risk La somme des CCT R i est bien égale à la VaR. CCT R i = V ar i On pourra donc interpréter la Component VaR comme la contribution d un actif au risque total, en euros ou en % avec P CT R = CCT R i /V ar, La somme des contributions en % est bien égale à 1. Remarque P CT R = CCT R i /V ar = V ar i/v ar π i /π i La contribution (en %) au risque s interprete alors comme une élasticité : de combien de % ma VaR varie lorsque la proportion dans l actif i varie de 1% de sa valeur? Par exemple, si la contribution au risque de la position 1 est de CCT R 1 /V ar = 50% avec une proportion de π 1 = 20%, cela signifie V ar/v ar 0.5 π 1 /pi 1 autrement dit j augmente ma position à 30% l impact sur la VaR sera V ar/v ar = 0.5 10/20 = 0.25 soit une augmentation de 25% de la VaR. 1 En dérivant les deux membres de l égalité σ 2 p = π T Qπ, on obtient σ p / π = Qπ/ π T Qπ Daniel Herlemont 9

5 APPROCHE PAR CONTRIBUTION AUX RISQUES La P CT R est proportionnelle à P CT R i π i π j σ ij = π i (Qπ) i j Il suffit ensuite de normaliser pour que la somme soit égale à 1. la P CT R ne fait plus intervenir le niveau du quantile de la VaR. Cette mesure ne dépend que des poids et de la matrice de covariance. Remarques : ˆ On ne change pas les contributions en pourcentage en multipliant les positions par un même facteur P CT R(kπ) = kp CT R(π) ˆ on ne change rien si on modifie π i en π i à condition de changer le taux de rendement r i de l actif i en r i π i π j σ ij = ( π i ) π j ( σ ij + ( π i ) 2 σi 2 j j i La propriété d additivité des contributions au risque n est pas propre à la VaR et on peut la généraliser a toute mesure de risque dès lors que la mesure est homogène. On dit qu une mesure de risque R est homogène si l utilisation d un levier multiplie par autant le risque, autrement dit R(λX) = λr(x), avec λ positif. C est le cas de la volatilité, la VaR, la VaR Condtionnelle ou l Expected Shortfall, ou le DrawDown. La mesure de risque étant homogène, on peut appliquer Euler : R = i π i R π i 5.2 Equi répartition des risques On peut alors se poser la question d allouer la même quantité de risque aux différents actifs. Pour ce faire, nous allons utiliser la Component VaR et faire en sorte que toutes les Component VaR soient égales. Le problème consiste donc à trouver les proportions π, telles que pour tout i = 1, n π i σ p σ p π i = 1 n (1) Il faut minimiser cette fonction sous l une ou l autre des contraintes suivantes : Daniel Herlemont 10

5 APPROCHE PAR CONTRIBUTION AUX RISQUES ˆ On recherche un portefeuille investi uniquement en actif risque, dans ce cas la somme des pondérations doit alors être égale à 1, il en résulte une solution avec une volatilité σ p pour le portefeuille. Pour ajuster la volatilité à l objectif de volatilité σ obj, il suffit de multiplier les positions π trouvées par un facteur k = σ obj /σ p, et d investir 1 k en cash. ˆ ou bien, on se donne une volatilité cible σ obj mais sans contrainte sur les poids (qui ne sont plus nécessairement egaux à 1). Les deux approches sont équivalentes. En effet si π (1) est solution du problème 1, kπ (1) est solution du problème 2 : la volatilité est bien la volatilité objectif et les contributions au risques restent égales entre elles. Inversement si π est solution de 2, le vecteur normalisé π/ i pi i est bien solution de 1 : la somme des poids est égale à 1 et les contributions en pourcentage restent égales. La solution au problème général est développé en annexe. Il existe des cas simples. Considérons, par exemple, le cas de deux actifs. La component VaR du premier actif est (à un facteur près) π 1 σ 2 1 + π 1 (1 π 1 )ρσ 1 σ 2, celle du second est (au même facteur près) (1 π 1 )σ 2 2 + π 1 (1 π 1 )ρσ 1 σ 2. On cherche π 1 pour égaliser ces deux composantes, la solution est π 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 Notons qu elle ne dépend pas des corrélations. On mettra plus de poids sur l actif dont la volatilité est plus faible, ce qui correspond bien a l idée d équipondération des risques. Par exemple, lorsque les actifs ont la même corrélation, on montre facilement que l equirépartition des risques correspond à l allocation π i = 1/σ 1 j 1/σ j Le poids dans le portefeuille est inversement proportionnel a sa volatilité. 5.3 Exemple Par exemple un portefeuille de 3 Millions d euros est totalement investi dans deux actifs, a hauteur de 1ME en actions européennes, et 2ME en dollars. On supposera que la volatilité des actions est de 30%, celle du dollar de 5% et une absence de corrélation entre le dollar et les actions européennes. Les proportions sont π actions = 1/3 π dollar = 2/3 Daniel Herlemont 11

5 APPROCHE PAR CONTRIBUTION AUX RISQUES La volatilité du portefeuille est La VaR à 95% est σ p = 0.3 2 (1/3) 2 + 0.05 2 (2/3) 2 10.5% V ar = 1.65σ p 3ME 0.521ME La VaR individuelle de chaque position, est V ar actions = 1.65 0.3 1 = 0.495ME V ar dollars = 1.65 0.05 2 = 0.165ME, on voit que la somme des VaR est plus grande que la VaR du portefeuille, du à l effet de diversification. Les betas des actifs par rapport au portefeuille sont β actions = cov(r actions, r p )/σp 2 = (1/3) 0.3 2 /0.105 2 = 2.72 et β dollar = cov(r dollar, r p )/σp 2 = (2/3) 0.05 2 /0.105 2 = 0.15 Les VaR marginales sont alors MCT R actions = 2.72 0.521/3 = 0.47 et MCT R dollar = 0.15 0.521/3 = 0.02605 Comme on pouvait s en douter, la VaR du portefeuille est beaucoup plus sensible à une variation de position en actions que en dollar. Supposons qu on augmente la position en actions de 10KE, quel est l impact sur la VaR? La réponse est donnée par V ar MCT R i V i = 0.47 10KE = 4.7KE La connaissance de ces sensibilités permet d avoir une meilleure idée des ajustements a effectuer pour atteindre les objectifs de gestion de risque. Les Component VaR sont C actions = V arπ actions β actions = 0.521 1/3 2.72 = 0.47 C dollar = V arπ dollar β dollar = 0.521 2/3 0.15 = 0.052 La somme est bien égale à la VaR et on voit que la contribution des actions au risque est de 0.47/0.521 = 90%!!! alors que celle de la position en dollar n est que de 10% Si on décide de ré-allouer les 3ME du portefeuille de manière a égaliser les contributions au risque, il faut allouer une proportion aux actions de σ dollar /(σ action + σ dollar ) = 14.3% au lieu de 1/3 soit soit 0.42 ME et allouer 85.7% à la position dollar, soit 2.57ME L equirepartition des risques est plus complexe dans le cas de plus de deux actifs et en présence de corrélations. Considérons par exemple 4 actifs avec les volatilités et matrice de corrélations suivantes > sigmas [1] 0.1 0.2 0.3 0.4 > RHO Daniel Herlemont 12

5 APPROCHE PAR CONTRIBUTION AUX RISQUES [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1.0 0.8 0.0 0.0 [2,] 0.8 1.0 0.0 0.0 [3,] 0.0 0.0 1.0-0.5 [4,] 0.0 0.0-0.5 1.0 Le portefeuille d équirépartition des risques correspond aux proportions [1] 0.384 0.192 0.243 0.182 On voit qu on alloue plus dans l actif 3 que le 2 même si la volatilité est plus élevée, ceci vient du fait que l actif 3 est négativement corrélé avec l actif 4. La volatilité de ce portefeuille est très faible 1.06% (en réalité ce portefeuille est assez proche du portefeuille de variance minimale en terme de performance et de volatilité - voir [2]) Si on décide d allouer deux fois plus de risque a la position 3, on se donne un vecteur de confiance (1,1,2,1), > risk.contribution.optim(sigmas,rho,conf=c(1,1,2,1)) $w [1] 0.2 0.2 0.4 0.2 $contrib [1] 0.0718 0.1547 0.6629 0.1106 $sigmap [1] 0.0145 On voit que la position 3 a une contribution au risque qui est le double des autres. On peut obtenir le même resultat, en forçant à etre short sur 4, avec le vecteur de confiance (1, 1, 2, 1) > risk.contribution.optim(sigmas,rho,conf=c(1,1,2,-1)) $w [1] 0.545 0.283 0.310-0.137 $contrib [1] 0.195 0.203 0.402 0.200 $sigmap [1] 0.0278 Daniel Herlemont 13

5 APPROCHE PAR CONTRIBUTION AUX RISQUES Considérons par exemple 4 actifs avec les volatilités et matrice de corrélations suivantes > sigmas [1] 0.1 0.2 0.3 0.4 > RHO [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1.0-0.8-0.8 0.2 [2,] -0.8 1.0 0.6-0.6 [3,] -0.8 0.6 1.0-0.2 [4,] 0.2-0.6-0.2 1.0 Le portefeuille d équirépartition des risques correspond aux proportions > risk.contribution.optim(sigmas,rho) $w [1] 0.5167 0.4381-0.0725 0.1178 $contrib [1] 0.25 0.25 0.25 0.25 $sigmap [1] 0.00174 Il peut exister plusieurs solutions!!! pi1 et pi2 sont aussi solutions... > pi1=c(-1.191,0.995,0.448,0.749) > risk.contribution(pi1,sigmas,rho) [1] 0.25 0.25 0.25 0.25 > pi2=c(0.736,-0.175,0.349,0.09) > risk.contribution(pi2,sigmas,rho) [1] 0.250 0.250 0.251 0.248 On peut forcer la première position a 0, avec une confiance (0, 1, 1, 1) Daniel Herlemont 14

6 ANALYSE EN COMPOSANTE PRINCIPALE > risk.contribution.optim(sigmas,rho,conf=c(0,1,1,1)) $w [1] 0.000 0.363 0.307 0.330 $contrib [1] 0.000 0.155 0.441 0.404 $sigmap [1] 0.0228 On imposer d autres contraintes, par exemple, long sur l actif 1 et short sur 2 et un risque double sur l actif 3 : > risk.contribution.optim(sigmas,rho,conf=c(1,-1,2,1)) $w [1] 0.6818-0.1579 0.3765 0.0997 $contrib [1] 0.0989 0.1750 0.4658 0.2604 $sigmap [1] 0.00763 6 Analyse en Composante Principale L Analyse en Composante Principale (ACP) est une méthode de filtrage de la matrice de variance/covariance. Cette méthode permet d extraire les facteurs statistiques les plus significatifs et réduire ainsi l effet du bruit engendré par l échantillonnage. Soit Q la matrice de covariance (ou de corrélation). Cette matrice est ˆ symétrique : Q T = Q, vient du fait que cov(x, y) = cov(y, x) ou x T Qy = y T Qx ˆ définie : x T Qx n est nul que si x est nul ˆ positive. x T Qx 0 pour tout vecteur x Daniel Herlemont 15

6 ANALYSE EN COMPOSANTE PRINCIPALE On sait que Q peut se diagonaliser dans une base orthonormée et que les valeurs propres sont strictement positives. Q = P ΛP T Avec P la matrice de passage orthogonale P P T = I et Λ la matrice des valeurs propres strictement positives λ 1 > λ 2 >... > λ n > 0. La variance du vecteur propre p k est p T k Qp k = λ k. On pourra remarquer que la plus grande valeur propre et vecteur propre associé peuvent être trouvé en maximisant la variance d un portefeuille x dont les poids sont normés. A savoir p 1 est l unique solution de max x Q x sous la contrainte x T x = 1. On peut trouver le vecteur propre suivant par la même méthode en remplaçant Q par Q λ 1 p 1 p T 1 et ainsi de suite. Ainsi, Q 1 = P T Λ 1 P avec Λ 1 la matrice diagonale des inverses des valeurs propres. Lorsqu on effectue une allocation dite optimale, de la forme Q 1 µ, l allocation va dépendre majoritairement des plus petites valeurs propres qui sont en général du au bruit d échantillonnage, les valeurs propres correspondantes sont très instables conduisant ainsi a des variations importantes des allocations d une estimation à une autre. Afin de stabiliser les allocations et les rendre plus pertinentes, on pourra ne conserver que les vecteurs propres correspondantes aux plus grandes valeurs propres. P est donc la matrice des valeurs propres, on notera p i le vecteur propre associé à la valeur propre λ i. Les composantes du vecteur p i sont tout simplement les éléments de la colonne i de la matrice P. Qp i = λ i p i, autrement dit QP = P Λ. Pour i fixé les éléments p ji de la matrice P peuvent donc s interpréter comme un portefeuille correspondant au vecteur propre i. Le taux de rendement R pi de ce portefeuille est R pi = j p ji R j Avec R i le taux de rendement de l actif de base i. Inversement les lignes de la matrice P représentent la décomposition de l actif initial i en un portefeuille de vecteurs propres, car P 1 = P T R i = p ij R pj j Un même portefeuille de taux de rendement R peut s exprimer indifféremment dans la base les actifs initiaux de taux de rendement R i avec des poids π ou dans la base de valeurs Daniel Herlemont 16

6 ANALYSE EN COMPOSANTE PRINCIPALE propres de rendement R pi avec des poids ν R = i = i π i R i = i ν i R pi = i π i p ji R pj = j j ν i p ji R j = j j ( ) π i p ij R pj i ( ) ν i p ji R j i autrement dit π = P ν et ν = P T π La variance d un portefeuille exprimé dans la base des vecteurs propres sera σ 2 p = variance( i ν ir pi ) = i ν2 i λ i On voit donc que la variance est expliquée par les plus grandes valeurs propres. Le pourcentage de variance expliqué par les k premiers vecteurs propres est (λ 1 +...+λ k )/(λ 1 +...+λ n ). En pratique on pourra ne retenir que les composantes permettant d expliquer 90% de la variance, par exemple. Dans le cas d une matrice de corrélation on ne retiendra que les vecteurs propres dont la valeur propre est supérieure à 1 (cf Théorie des matrices aléatoires). Supposons que l on ne retienne que les k premiers vecteurs propres, la question est maintenant de savoir comment effectuer l allocation. L espérance des rendements (ou indices de confiance) sur les actifs de bases sont supposés connus µ i = E[R i ]. On en déduit l espérance des portefeuilles des vecteurs propres µ pi = E[R pi ] = j p ji µ i Il faut donc constituer un portefeuille des k premiers vecteurs propres, tout en maximisant l espérance de rendement de ce portefeuille et respectant la contrainte de volatilité σ 0. Les poids ν i pour i = 1, k dans les vecteurs propres sont donnés par la même expression que dans le cas d un allocation optimale standard, à savoir ν = σ 0 Λ 1 k µ p µ T p Λ 1 k avec Λ k la matrice de covariance des k premiers vecteurs propres, réduite donc à une matrice diagonale des k premières valeurs propres et µ p les vecteurs des k espérances des rendements des k premiers vecteurs propres. La matrice Λ k étant diagonale (vecteurs propres orthogonaux, c est à dire non corrélés), l expression se simplifie en : µ p µ pi /λ i ν i = σ 0 j=1,k µ2 /λ pj j Daniel Herlemont 17

7 A RÉALISER Le taux de rendement du portefeuille est alors R = i=1,k ν ir pi = i=1,k ν i j=1,n p jir j On retrouve les poids dans les actifs de base π j = i=1,k p jiν i à savoir π = P k ν avec P k la sous matrice de P, des n lignes et k colonnes des k premiers vecteurs propres. 7 A réaliser On dispose des données suivantes : ˆ Historique de la NAV pour le calcul du drawdown et objectifs globaux en terme de VaR ˆ les données de marchés ˆ les performances (track records) des différentes stratégies (ou fonds) Le Trader/Gestionnaire doit pouvoir préciser différents paramètres et options ˆ Le niveau de drawdown autorisé (10% par défaut) ˆ Le niveau de la VaR (défaut 99%) et l horizon de temps (défaut 1 jours) Les options pour l allocation optimales ˆ Choix des marchés (de 5 à 10 en pratique) ˆ La méthode d allocation : Equipondération, on alloue la même quantité en euros sur tous les actifs risqués (éventuellement on tiendra des positions Long Short) Approche classique, les indices de confiance étant donnés, on cherchera à maximiser l espérance du rendement du portefeuille. Ces méthodes peuvent être complétées par la prise en direction de trading ainsi que le filtrage de la matrice de covariance par l Analyse en Composante Principale. Allocation par des objectifs de contribution au risque (risk budgeting). On parlera alors d équi-répartition des risques dans le cas ou les indices seront tous égaux (les indices de confiance étant interprétés comme les objectifs de contribution au risque). Daniel Herlemont 18

8 ANNEXES En résultat, l outil doit présenter les allocations optimales en terme de montant (en euros et en pourcentage) à investir dans chaque marché, ainsi que quelques statistiques par marché, tels que les volatilités et corrélations, les VaR marginales, les drawdown, etc... Nota : les marchés sélectionnés peuvent être très corrélés entre eux. Il s agira donc d utiliser une méthode de filtrage de la matrice de covariance (Analyse en Composante Principale, shrinkage, etc... ). 7.1 Exemple d interface graphique de l outil 8 Annexes 8.1 Méthodes de résolution de l Allocation par contibution au risque Reprenons le problème d allocation 1 que l on généralise en se donnant des contributions objectifs c i avec i=1,n c i = 1. Dans le cas d équi-répartition c i = 1/n. On se donne également des directions de trading long/short. Il s agit alors de trouver les proportions π telles que π i σ p σ p π i = c i (2) avec σ p la volatilité du portefeuille et la contrainte σ p = σ 0 une volatilité objectif. la dérivée partielle de la volatilité est σ p j = σ ijπ j π i σ p Daniel Herlemont 19

8 ANNEXES L équation précédente devient π i σ 0 j σ ijπ j σ 0 = c i (3) Nous allons nous limiter a ne rechercher que des solutions positives (positions longues). Dans le cas ou l on rechercherait des π i négatifs (short), il suffit de considérer l actif R i pour se ramener au cas précédent des π i tous positifs. Une première méthode consiste a trouver une forme variationnelle en constatant que l équation précédente peut être considérée comme le résultat de la minimisation de la fonction convexe f(π) = 1 2 σ 2 p σ 2 0 i c i log π i (4) sans aucune contrainte, ni sur les π, ni sur σ p. Cette fonction de π est bien strictement convexe. La matrice Hessienne est en effet definie positive H(π) = Q + diag(c i /x 2 i ) (5) et la solution unique f π i = 0 est bien la solution de notre problème. En pratique, on pourra donc utiliser le solveur excel ou un algorithme du type gradient conjugué ou BFGS. Dans la suite nous allons résoudre ce même problème par une méthode itérative du type point fixe. Tout d abord nous simplifions le problème. En faisant intervenir les corrélations et en effectuant un changement de variable x i = πσ i /σ 0, l équation précédente se simplifie en x i ρ ij x j = c i (6) j Il s agit de n équations polynomiales de degré 2 a n inconnues. Le problème se résume donc a chercher des x i > 0 tels que x i ρ ij x j = c i (7) L équation précédente peut se mettre sous la forme avec y i = j i ρ ijx j j x 2 i + y i x i c i = 0 (8) Daniel Herlemont 20

8 ANNEXES la racine positive est x i = 1 2 ( y i + y 2 i + 4c i) (9) la fonction f i (y) = 1 2 ( y + y 2 + 4c i ) est strictement positive et décroissante avec 1 < f i(y) < 0 Notons F i (x) = f i (y i ). La solution, si elle existe est solution du point fixe x = F (x) avec F la fonction de R + n dans R + n F (x) i = F i (x) Calculons le jacobien F dont l élément de ligne i et colonne j est F i (x)/ x j = f i (y i )/ x j = f i(y i ) y i / x j = f i(y i )ρ ij δ ij. F peut donc se mettre sous la forme F (x) = D(C I) avec C la matrice de corrélation (définie positive) et D = diag( f i(y i )), une matrice diagonale dont les éléments sont compris entre 0 et 1. On peut mettre l équation x = F (x) sous la forme avec ω un réel non nul que nous allons déterminer. x = G(x) = (1 ω)x + ωf (x) (10) G (x) = (1 ω)i + ωf (x) = I ωa(x) (11) avec A(x) = I F (x) Si toutes les valeurs propres de G (x) sont strictement inférieures à 1 en valeur absolue, alors l itération x (k) = G(x (k 1) ) converge vers une solution unique. Cette condition sur les valeurs propres de G peut être réalisée si d une part A est une matrice dont les valeurs propres sont positives, d autre part, on choisit ω < 2/ max λ A avec max λ A la valeur propre maximale de A. Montrons que A possède des valeurs propres positives. A = I F = I + D(C I) = D 1/2 (I D + D 1/2 CD 1/2 )D 1/2 (12) I D est une matrice diagonale dont les éléments sont compris entre 0 et 1, elle est définie positive. D 1/2 CD 1/2 est également définie positive. La somme est donc définie positive. A étant semblable à cette somme, elle a donc un spectre identique des valeurs propres toutes positives. A possède donc des valeurs propres positives. trace(a) = trace(i F ) = n = λ A > max λ A. D où max λ A < n, par conséquent en choisissant 0 < ω 2/n, on s assure que 0 < ω < 2/ max(λ A ). En pratique on pourra prendre ω = 2/n Daniel Herlemont 21

8 ANNEXES Notons x la solution unique. La solution de notre problème est π i = σ 0 σ i x i Cette position a donc une volatilité de σ 0. La position en cash est π0 = 1 n i=1 π i, en général différente de zèro. Si on souhaite un portefeuille équivalent totalement investi en actif risqué on prendra π i = π i / n j=1 π j. Ce portefeuille aura les mêmes contributions au risque (mais la volatilité sera différente). 8.2 Robustesse La robustesse peut s apprécier de différentes manières. Par exemple, on pourra dire d une méthode qu elle robuste si elle n est pas trop sensible aux paramètres, tels que par exemple les rendements attendus ou les estimations des covariances. Une grande sensibilité à ces paramètres se traduit par une grande incertitude sur l estimation des poids et donc des rotations importantes et non justifiées du portefeuille. Dans l expression du portefeuille optimal, π Q 1 µ, les erreurs peuvent provenir à la fois des estimations des covariances Q ainsi que les rendements anticipés µ. Afin d étudier l importance de ces erreurs nous nous placerons dans le cadre d une hypothèse statique forte (voir [1]). 8.2.1 Hypothèse statique forte On suppose que les taux de rendements des n actifs risqués sont IID de moyenne µ et matrice de covariance Q. On désigne par ˆµ T et ˆQ T les estimations de µ et Q, par maximum de vraisemblance, sur un échantillon (iid) de taille T. On a ( [1]) : ˆ ˆµ T et ˆQ T sont asymptotiquement indépendants ˆ ˆ T (ˆµT µ) loi N(0, Q) T ( ˆQT Q) est également asymptotiquement normal, avec des covariances asymtoptiques caractérisées par cov as ( T ( ˆQ T Q)a, T ( ˆQ T Q)b) = a T QbQ + Qba T Q avec a et b deux vecteurs de rang n. En particulier, en prenant a = e j et b = e l cov as ( T ( σˆ ijt σ ij ), T ( σˆ klt σ kl )) = σ ik σ jl + σ jk σ il Notamment, on retrouve un résultat connu de la variance asymptotique de l estimation de la variance V as T ( ˆσ2 i T σ 2 i ) = 2σ 2 i. Daniel Herlemont 22

8 ANNEXES pour n = 1, on retrouve les résultats bien connus, à savoir : ˆµ T et ˆσ 2 T sont asymptotiquement indépendants et de variances asymptotiques respectives, σ 2 et 2σ 4. Ces résultats vont nous permettre d effectuer des tests statistiques et de calculer les intervalles de confiance sur différentes quantités telles que les proportions, le ratio de Sharpe, etc... Ces quantités sont fonctions de l espérance et de la matrice de covariance. Pour ce faire, nous aurons besoin d utiliser la méthode dite du delta. 8.2.2 La méthode du delta Supposons que ˆθ T est un estimateur normalement convergent de θ T (θt θ) N(0, Σ) et que f est une fonction continuement différentiable, alors T (f(ˆθt ) f(θ)) Loi N(0, f θ Σ f θ ) La méthode du delta vient tout simplement d un developpement limité de la fonction g autour de θ : g(ˆθ T ) g(θ) = (ˆθ T θ)g (θ) + O(1/T ). D ou le résultat, en multipliant par T et en faisant tendre T vers l infini. Dans le cas mono varié, T (g(ˆθ) g(θ)) est asymptotiquement normal de moyenne nulle est variance g (θ) 2 σ 2 θ. Par exemple, nous nous proposons de déterminer le comportement asymptotique de la volatilité estimée ˆσ T = ˆv T avec ˆv T la variance estimée dont le comportement asymptotique est connu, à savoir : T (ˆv T v) tend vers une loi normale de moyenne nulle est variance 2v 2 = 2σ 4. Appliquons la méthode du delta à la fonction racine. La variance asymptotique est donc v = 1 2 v 1/2 v V as ( T ( ˆv T v)) = V as ( 1 2 v 1/2 T (ˆv T v)) = 1 4 v 1 2v 2 = 1 2 v = 1 2 σ2 d où le résultat : V as ( T (ˆσ T σ)) = 1 2 σ2 Daniel Herlemont 23

8 ANNEXES 8.2.3 Ratio de Sharpe - Intervalle de confiance Le ratio de Sharpe est s = µ/σ (on considère les taux de rendements en excès du taux sans risque). L estimation à partir d un échantillon de taille T est ŝ = ˆµ/ˆσ. En appliquant la méthode du delta, on a µ σ = µ σ µ σ σ 2 V as ( T (ŝ s)) = V as ( T (ˆµT µ) σ = σ2 σ + µ2 2 σ 4 2σ2 = 1 + 2s 2 µ σ 2 T (ˆσ σ) ) Exemple : calculer l intervalle de confiance à 95%, d un ratio de sharpe, estimé sur 48 mois, sur un fond qui a réalisé une performance annuelle de 30% avec une volatilité de 30%. Ici on a T = 48, µ = 0.025/12 = 2.5%, et σ = 0.3/ 12 = 8.66% le sharpe mensuel est s = µ/σ = 0.289 En utilisant le resultat précédent on a 48(ŝ 0.289) de moyenne nulle et variance 1 + 2s 2 L intervalle de confiance à 95% de ŝ est donc s ± 1.96 1 + 2s 2 / T soit [ 0.0169, 0.594] On voit donc que cet intervalle de confiance est assez large et il contient zero. On pourrait également effectuer un test de student pour savoir si le ratio de Sharpe est significativement différent de 0. La statistique du test est alors τ = T µ/σ = 2 qui sous l hypothèse nulle s = 0 suit une loi de student de degré de liberté T = 48 que l on pourra assimiler à une normale N(0, 1). La probabilité (p-value) d observer cette statistique (ou plus grande) sous H0 est 1 N(τ) = 0.0228, c est la probabilité de faire une erreur (de type I) en rejetant H0. On ne peut donc pas rejeter l hypothèse nulle à tout seuil inférieur à la p-value (par exemple 1%). En conclusion, même avec sharpe annuel de 1 et un track record de 4 ans, on ne peut toujours pas distinguer ces performances d une performance nulle. 8.2.4 Proportions optimales dans le cas mono varié - Intervalle de confiance Dans le cas mono varié la proportion optimale est avec v = σ 2 la variance. π = 1 γ π = 1 γ µ v µ v 1 γ µ v 2 v Daniel Herlemont 24

8 ANNEXES V as ( T (ˆπ π) ) ( 1 T (ˆµ µ) = V as γ v ( ) 1 T (ˆµ µ) = V as γ v = 1 γ 2 v v 2 + 1 γ 2 µ 2 v 4 2v2 = 1 γ 2 1 v + 2π2 1 γ ) µ T (ˆv v) v 2 + V as ( 1 γ ) µ T (ˆv v) car indépendance v 2 Le premier terme est dû à l incertitude sur l estimation de µ, le second est dû à l incertitude sur v. En reprenant l exemple précédent, avec γ = 3 la proportion optimale est π = 1 µ = 1.11 γ σ 2 L intervalle de confiance à 95% de l estimation est π ± 1.96 1 T 1 γ 2 1 σ 2 + 2π2 = [ 0.065, 2.29] A nouveau, on voit que l intervalle de confiance est assez large. La variance de l estimateur vient principalement de l estimation de µ avec un terme en 1 1 = 14.8 alors que le terme γ 2 σ 2 dû à l estimation de la volatilité n est que de 2π 2 = 2.47. 8.2.5 Estimation des proportions, cas multi varié le portefeuille optimal est donné par π = 1 γ Q 1 µ Dans la suite nous prendrons γ = 1, c est à dire le portefeuille dit logarithmique. π = (Q 1 )µ + Q 1 µ Pour calculer (Q 1 revenons à la définition Q 1 Q = I, d où (Q 1 )Q + Q 1 Q = 0, et Q 1 = Q 1 QQ 1 Daniel Herlemont 25

8 ANNEXES V as ( T (ˆπ π) ) = V as ( Q 1 T ( ˆQ Q)Q 1 µ + Q 1 ) T (ˆµ µ)) = V as (Q 1 T ( ˆQ ) ( Q)Q 1 µ + V as Q 1 ) T (ˆµ µ)) car indépendance ( ) ( ) = Q 1 V as T ( ˆQ Q)Q 1 µ Q 1 + Q 1 V as T (ˆµ µ))q 1 = Q 1 µ T Q 1 µ + Q 1 µµ T Q 1 + Q 1 = s 2 Q 1 + ππ T + Q 1 avec s = µ T Q 1 µ, le ratio de Sharpe. Les deux premiers termes sont dû aux erreurs d estimation des variances covariances, le troisième terme vient de l erreur d estimation sur µ. Dans le cas de ce projet, nous effectuons une allocation sous contrainte de volatilité σ 0 les µ sont donnés et nous ne tiendrons compte que des termes relatifs aux erreurs d estimation de la matrice de covariance. ( ) V as T (ˆπ π) = s 2 Q 1 + ππ T > RHO Exemple : considérons trois actifs dont la matrice de corrélation est [,1] [,2] [,3] [1,] 1.0 0.9 0.7 [2,] 0.9 1.0 0.4 [3,] 0.7 0.4 1.0 et le volatilités mensuelles > sigmas [1] 0.0866 0.0866 0.0866 On se donne des rendements anticipés tous egaux, disons > mus*100 [1] 0.833 0.833 0.833 Daniel Herlemont 26

ce qui correspond à un portefeuille ayant les même caractéristiques qu un portefeuille de variance minimale. Les poids π = Q 1 µ sont > pi [,1] [1,] -3.03 [2,] 3.03 [3,] 2.02 La matrice de la variance asymptotique de l estimation des poids T (ˆπ π) est > v.as [,1] [,2] [,3] [1,] 2597-1920 -1054 [2,] -1920 1581 715 [3,] -1054 715 590 Par exemple pour T = 48, l intervalle de confiance de l estimation de π 1 est > pi[1]-1.96*sqrt(v.as[1,1])/sqrt(48) [1] -17.4 > pi[1]+1.96*sqrt(v.as[1,1])/sqrt(48) [1] 11.4 9 References [1] GOURIEROUX, C. & SCAILLET, O. & SZAFARZ, A. Econométrie de la finance. Economica, 1997. [2] MAILLARD, S. & RONCALLI, T. & TEILETCHE, J. On the Properties of Equally-Weighted Risk Contributions Portfolios, September 2008.... Autres références Daniel Herlemont 27

ˆ Risk-Based Indexation, T. Roncalli, May 12, 2010 Conference slides, http://www. thierry-roncalli.com/download/rbi-slides.pdf ˆ Risk-Based Indexation, P. Demey, S. Maillard and T. Roncalli, March 2010 http: //www.thierry-roncalli.com/download/lwp-rbi.pdf ou http://www.lyxor.com/ publications/white-papers_1.html Daniel Herlemont 28