Classe de 4ème Chapitre 6 : Distance, Tangente, Bissectrice & Cosinus C'est un chapitre de géométrie qui tourne autour de la notion d'angle, avec une sorte d'introduction concernant les propriétés de la bissectrice. Le programme du Bulletin officiel spécial n 6 du 28 août 2008 Capacités : Distance d un point à une droite. Tangente à un cercle. Bissectrice d un angle. Bissectrices et cercle inscrit. Triangle rectangle : cosinus d un angle. Connaissances : Savoir que le point d une droite le plus proche d un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite. Construire la tangente à un cercle en l un de ses points. Connaître et utiliser la définition de la bissectrice. Utiliser différentes méthodes pour tracer : la médiatrice d un segment ; la bissectrice d un angle. Caractériser les points de la bissectrice d un angle donnée par la propriété d équidistance aux deux côtés de l angle. Construire le cercle inscrit dans un triangle. Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents. Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée : du cosinus d un angle aigu donné ; de l angle aigu dont le cosinus est donné. Commentaires : Dans le cadre du socle commun, il est simplement attendu des élèves qu ils sachent reconnaître qu une droite est tangente à un cercle. La bissectrice d un angle est définie comme la demi-droite qui partage l angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. Cette construction n est pas exigible dans le cadre du socle commun. Cette caractérisation permet de démontrer que les trois bissectrices d un triangle sont concourantes et justifie la construction du cercle inscrit. L analogie est faite avec le résultat concernant les médiatrices des trois côtés du triangle vu en classe de cinquième. 1) Distance d'un point à une droite Définition: La distance entre un point P et une droite d est égale à la distance entre ce point et le point d'intersection de la perpendiculaire à d passant par P (appelé aussi projeté orthogonal de P sur d). Propriété : Ainsi définie, la distance entre un point et une droite est la plus petite distance entre ce point et un point quelconque de la droite d. Si l'on note N le projeté orthogonal de P sur d, un point M de d détermine avec P et N un triangle rectangle en N. D'après le théorème de Pythagore on a PN²=PM² MN² et donc, PN est toujours plus petit ou égal à l'hypoténuse PM. L'égalité n'étant obtenue que pour MN=0, M est alors confondu avec N. Cas particulier : lorsque P est un point de la droite d, le projeté orthogonal N de P sur d est confondu avec P et donc la distance PN est nulle. Exemple d'application : on souhaite implanter une usine à moins de 200 m de chacune des 2 routes d 1 et d2 et à plus de 300 m de chacune des maisons M1, M2 et M3. Colorier la zone satisfaisant cet ensemble de contraintes. Pour résoudre ce problème, on colorie les zones qui satisfont chacune des contraintes. Le domaine cherché (colorié en vert sur notre illustration) doit appartenir à toutes les zones coloriées.
2) Tangente à un cercle a) Définition et propriété Définition: Une tangente à un cercle est une droite coupant le cercle en un unique point. Remarque : Une droite d et un cercle c peuvent être disjoints (aucun point de contact) ou sécants. Dans le cas où la droite d coupe le cercle c, il y a généralement 2 points d'intersection, disons A et B. La figure qui illustre ceci possède un axe de symétrie passant par le centre O du cercle et le milieu I de []. Cet axe de symétrie est la médiatrice du segment []. Elle est donc perpendiculaire à [] et donc perpendiculaire à la droite d. Dans la situation limite où les 2 points d'intersection A et B se rejoignent pour n'en faire plus qu'un, la droite d conserve cette perpendicularité avec la droite qui passe par le centre O du cercle et le milieu I du segment []. Dans ce cas, A, B et I deviennent confondus. On ne peut plus parler de la médiatrice de la corde [] mais cet axe de symétrie de la figure, qui contient le diamètre [JJ'], est perpendiculaire à la droite d et s'appelle alors tangente au cercle c passant par A (B, I et J). Propriété : Une droite d, tangente à un cercle c de centre O en un point A, est perpendiculaire au rayon de c passant par A (le point de contact unique entre d et c). Remarque : Il y a une infinité de droites tangentes à un cercle c de centre O et de rayon r donné. Il s'agit de l'ensemble des droites situées à la distance r du point O. On pourrait alors définir le cercle c de centre O et de rayon r comme l'ensemble des projetés orthogonaux de O sur les droites situées à la distance r de O. Ces tangentes enveloppent le cercle c, l'enveloppement d'un point O par l'ensemble des droites équidistantes de ce point O génère en quelque sorte le cercle c. b) Construction des tangentes à un cercle passant par un point Soient un point M et un cercle c. Construisons la ou les tangentes à c passant par M si elle(s) existe(nt), en distinguant les différents cas qui peuvent se rencontrer. Si le point M est extérieur au cercle : il y a 2 tangentes à c passant par M. Les points de contact A et B entre ces droites et le cercle c sont les points d'intersection du cercle de diamètre [OM] et du cercle c. En effet, on sait (voir chapitre 4) qu'un point A du cercle de diamètre [OM] détermine un triangle OMA rectangle en A, le rayon [OA] est donc ainsi perpendiculaire à la droite (AM). De même pour le point B par raison de symétrie autour de l'axe de symétrie (OM) de cette figure.
Si le point M est sur le cercle : il n'y a qu'une seule tangente à c passant par M. C'est la tangente qui a été définie dans la partie a. Si le point M est intérieur au cercle : il n'est pas possible de construire de tangente à c passant par M. 3) Bissectrice d'un angle a) Définition et propriété Définition: La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en 2 angles adjacents de même mesure. Exemple: sur notre illustration, l'angle AMB mesure 30. Cet angle est partagé en 2 angles adjacents AMN et NMB qui mesure chacun la moitié de 30. La demi-droite [MN) qui est le côté commun de ces 2 angles adjacents égaux est la bissectrice de AMB. Le programme suivant a été utilisé pour construire la bissectrice de AMB : Tracer un cercle de centre M (le rayon est quelconque). Ce cercle coupe les côtés en 2 points qu'on nomme A et B. Tracer les cercles de centre A et B passant par M. Ces cercles se coupent en M et un autre point qu'on nomme N. AMB. Tracer la demi-droite [MN) qui est la bissectrice de La justification de ce programme est simple : en procédant ainsi, on a construit un losange (MB=BN=NA=AM, d'où MBNA est un losange) et nous savons que les diagonales du losange sont des axes de symétrie du losange. La symétrie par rapport à la droite (MN) échange donc les côtés [MA) et [MB) de l'angle. Les angles symétriques AMN et NMB sont alors égaux, ce qui assure bien que [MN) soit la bissectrice de AMB. Propriété : La droite qui supporte la bissectrice d'un angle est un axe de symétrie pour l'angle. Tous les points de la bissectrice d'un angle sont par conséquent équidistants des 2 côtés de l'angle. Remarque : Un point P de la bissectrice de AMB est équidistant des 2 côtés de l'angle. Les projetés orthogonaux de P, un point de la bissectrice, sont symétriques par rapport à cette droite qui est l'axe de symétrie de la figure. Ils sont donc équidistants de P. On peut rapprocher cette figure et celle qui a été faite dans la partie 2b : le cercle de centre P passant par un projeté orthogonal sur un des côtés de l'angle passe nécessairement par l'autre projeté sur l'autre côté, et ce cercle est tangent aux 2 côtés de l'angle.
La bissectrice apparaît finalement comme l'ensemble des centres P des cercles tangents aux deux côtés de l'angle. b) Cercle inscrit dans un triangle Propriété : Les bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre d'un cercle tangent aux 3 côtés du triangle. On appelle ce cercle, le cercle inscrit dans le triangle et le point de concours des bissectrices en le centre. Preuve : La bissectrice de l'angle C contient des points équidistants des côtés [BA) et [BC). De même la bissectrice de l'angle BAC contient des points équidistants des côtés [) et [AC). Ces 2 droites se coupent en un point I équidistants des 3 côtés, il est donc à fortiori équidistant des côtés [CA) et [CB) de l'angle BCA et donc appartient à la 3ème bissectrice du triangle. Comme I est équidistant des 3 côtés, le cercle de centre I et passant par un projeté orthogonal de I sur un des côtés du triangle, passe nécessairement par les 2 autres projetés sur les 2 autres côtés du triangle. Ce cercle est le plus grand cercle contenu à l'intérieur du triangle et le seul à être tangent aux 3 côtés. NB : Si on considère la figure formée par les droites qui supportent les côtés du triangle (en prolongeant les côtés du triangle), il y a 3 autres cercles qui sont à l'extérieur du triangle et tangents aux prolongements des 3 côtés du triangle. On appelle ces cercles les cercles exinscrits du triangle. Cette figure assez complexe est difficile à construire si l'on ne dispose pas d'un logiciel de géométrie comme Geogebra. On remarque que le triangle qui a pour sommets les centres des cercles exinscrits contient les sommets du triangle C. Pour ce triangle, les bissectrices de C (en bleu sur la figure) sont des hauteurs. I est donc l'orthocentre de ce triangle. Une autre propriété remarquable de ces cercles inscrit et exinscrits : ils sont tous les 4 tangents à un 5 ème cercle qui est le cercle des 9 points (celui qui passe par les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux entre l'orthocentre et les sommets du triangle, voir le devoir maison n 2). Cette propriété, connue sous le nom de théorème de Feuerbach 1, ajoute 4 points à ce cercle qui est pour cette raison appelé cercle de Feuerbach et, plus injustement semble t-il, cercle de Euler. 1 Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) fut un professeur de mathématiques allemand qui œuvra à Erlangen.
4) Cosinus d'un angle a) Définition Commençons par observer la figure ci-dessous où (EF) et (BC) sont perpendiculaires à la même droite (), donc parallèles entre elles. Comme (EB) et (FC) sont sécantes en A et que (EF) et (BC) sont EF = AF = BC parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès (voir chapitre 2), et affirmer que : AE. AC AE AF AE AF Si on multiplie par AF la première de ces égalités, on obtient : AF = AC AF, soit AF = AC AF, AE = d'où finalement AF A sur AC. Ce résultat signifie que le rapport du plus petit côté de l angle l hypoténuse ne dépend pas des longueurs. Ce rapport est le même pour le petit triangle AEF et pour le grand triangle C, il ne dépend que de la mesure de l angle A qui est commun à ces deux triangles. On appelle ce rapport cosinus de l angle A et on le note cos A. adjacent à l'angle A A=côté = D une façon générale, dans un triangle C rectangle en B : cos (on appelle côté hypoténuse du triangle AC adjacent à A le côté de l angle A qui n est pas l hypoténuse). Définition: Le cosinus de l'angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté adjacent à l'angle et la longueur de l'hypoténuse. Exemples de calculs directs de cosinus : Considérons un triangle équilatéral C de côté c (=BC=CA=c), A' étant le milieu de [BC]. Calculons le le cosinus de l'angle B, c'est-à-dire le cosinus d'un angle de 60. D'après BA ' c 2 1 notre définition : cos B=cos 60 = BA = c = 2 =0,5. De plus, dans le triangle A' rectangle en A', le théorème de Pythagore (voir chapitre 4) nous assure que ²=AA'²+BA'² et donc =3 c²4 = 34 c²=0,75 c². Par AA'² = ² BA'²=c² ( c2 )²=c² c²4 = 4c² c² 4 exemple, si c=10, on aura AA'²=0,75 10²=75, et donc AA'= 75 8,66. Cela nous permet de calculer directement le cosinus de l'angle BAA ', c'est-à-dire le cosinus d'un angle de 30. D'après ' BAA ' =cos30 = AA = 1075 0,866. notre définition : cos BA
Détermination pratique du cosinus d'un angle : Le cosinus d'un angle étant un nombre ne dépendant que de la valeur de l'angle, ce nombre est connu dès lors que l'on connaît la mesure de l'angle. Il y a quelques temps encore il existait des tables, des abaques, des courbes où l'on pouvait lire les valeurs du cosinus, mais aujourd'hui, c'est la calculatrice qui calcule le cosinus d'un angle donné. Si l'on règle celle-ci en degrés (attention d'autres unités d'angle fausseraient les calculs), elle nous donne le cosinus de n'importe quel angle, pourvu que l'on connaisse sa valeur. Une lecture inverse de ces tables ou une utilisation appropriée de la calculatrice nous donnera également la valeur de l'angle dont on connaît le cosinus. Voici quelques valeurs du cosinus : Mesure de l'angle (en ) 0 10 20 30 45 60 75 90 Valeur approximative du cosinus de l'angle 1,0000 0,9848 0,9397 0,8660 0,7071 0,5000 0,2588 0,0000 Exemple 1 : Utilisation du cosinus d'un angle Lorsqu'on connaît un angle et une longueur dans un triangle rectangle, on va pouvoir, grâce au cosinus de cet angle déterminer une longueur manquante. Supposons par exemple que l'on sache qu'une pente fait 25 avec l'horizontale, un parcours de 100 m selon cette pente nous élève d'une hauteur h donnée par la relation suivante : h cos ACB=cos 90 25 =cos 65 = AC = 100 0,4226, ce qui nous BC permet de calculer h : h 100 0,4226=42,26. On monte donc environ de 42 m lorsqu'on parcourt 100 m sur une pente inclinée à 25. Les deux formules que l'on va utiliser pour calculer une longueur avec un cosinus sont les suivantes, dérivées de la définition : côté adjacent à l'angle A=cos A hypoténuse du triangle côté adjacent à l'angle A hypoténuse du triangle= cos A Avec les notations de la figure ci-contre où le triangle C est rectangle en B, cela s'écrit : =cos A= cos A A AC et AC = cos Exemple 2 : Détermination d'un angle connaissant son cosinus Lorsqu'on connaît deux longueurs dans un triangle rectangle, on peut calculer un cosinus et de là retrouver la mesure de l'angle aigu qui a ce cosinus. Sur la calculatrice, il faut pour cela utiliser la touche cos-1 ou bien la séquence de touches inv cos, ou encore la touche arccos (cela dépend du modèle). Supposons par exemple que l'on s'intéresse à ce triangle pythagoricien PYT qui mesure PY=12, YT=13 et TP=5. Ce triangle vérifiant la relation de Pythagore (13²=169 et 12²+5²=144+25=169) est rectangle en P et donc, on peut calculer le cosinus de l'angle Y : cos Y = PY = 12 TY 13, il ne nous reste plus qu'à déterminer 1 12 l'angle Y =cos 13 22,61986495. Cet angle mesure donc environ 23. En guise de vérification, on peut aussi calculer le cosinus de l'angle T : cos T = PT = 135, il ne nous reste plus qu'à déterminer l'angle T =cos 1 135 67,38013505. Cet angle YT mesure donc environ 67, ce qui est rassurant car Y et T sont complémentaires et les valeurs obtenues ont bien une somme égale à 90.