Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand x tnd vrs d f (x) st +.. D mêm la limit quand x tnd vrs+ d f (x) st.. On n put pas savoir. 4. Sur ] ; [ la fonction différnc st positiv, s annul n, puis st négativ : c st donc l troisièm tablau. Parti II. On a lim = t lim ln(x)=, d où par somm d limits x x x> lim f (x)=. x x> lim x + x = t x x> lim ln(x)=+, donc lim x + f (x)=+. x +. f somm d fonctions dérivabls sur ] ; + [ st dérivabl sur ct intrvall t : f (x)= x + x. Chacun ds trms st positif sur ] ; + [, donc la dérivé st positiv sur ct intrvall, donc la fonction st croissant d moins l infini à plus l infini.. On a d façon évidnt f ()=ln+ =. La fonction étant croissant sur ] ; + [, on a donc : f (x)< sur ] ; [ ; f ()=; f (x)> sur ] ; + [. 4. F somm d fonctions dérivabls sur ] ; + [ st dérivabl t sur ct intrvall : F (x)=ln x+ x x x = ln x+ x = f (x). F st donc un primitiv d f sur ] ; + [.. On vint d voir qu F (x) = f (x) t d après la qustion, f (x) > sur ] ; + [, donc F st croissant sur ct intrvall.
6. On a F ()= = t F ()=ln ln=,7. D autr part,6, donc < <. La fonction F st dérivabl donc continu sur [ ; ] : il xist donc un uniqu rélα [; ] tl qu F (α)=. 7. La calculatric donn : F (,9) +, t F (,) + =,6, donc :,9<α<,. Parti III. L ordonné d A st égal à ; il faut donc résoudr l équation : ln x+ = ln x = ln x = (par croissanc d la fonction xponntill) x=. On a donc A ( ; ).. P étant commun aux dux courbs son absciss vérifi : g (x)=h(x) = ln(x)+ f (x)=, d après la parti II. Or dans x ctt parti on a vu qu f s annul n t g ()=h()=. Donc l point commun aux dux courbs st l point P( ; ). [ ]. a. On a vu qu sur ;, f (x), c st-à-dir qu g (x) h(x) (la courb C h st au dssus d la courb C g ), donc A = [h(x) g (x)] dx= f (x) dx. b. On a vu qu un primitiv d f sur ] ; + [, donc n particulir sur [ ; ] st F (x)=x ln(x) ln(x). On a donc : A = [ F (x)] = F ()+F ( + ln( ) ln ( ) = ) = ( ln()) ( ln())=. 4. a. On a vu qu sur [ ; + [, h(x) g (x), donc puisqu t, l air B t st égal à : B t = ln t. t [h(x) g (x)]dx = t f (x)dx= F (t)+f ()= F (t)=tln(t) b. On a vu qu B t = ou ncor t ln(t) lnt = soit F (t)= équation qui a été résolu à la qustion 6 d la parti II t qui a pour solutionα,9. EXERCICE Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité Parti points Pondichéry avril
. a. Soit I l miliu d [BD]. [CI] médian du triangl équilatéral BCD st aussi hautur issu d C. Donc (CI) ou (A I) st prpndiculair à (BD). D mêm [AI] médian du triangl équilatéral ABD st aussi hautur, donc (AI) st prpndiculair à (BD). Or AA BD = AI BD + IA BD = +=. D mêm avc J miliu d [BC], on montr qu (AJ) st prpndiculair à (BC) t (AA ) (ou (JA )) st prpndiculair à (BC). Donc AA BC = AJ BC + JA BC = +=. b. La qustion précédnt a montré qu la droit (AA ) st prpndiculair à dux droits sécants du plan (BCD) : (BD) t (BC) : ll st donc prpndiculair à c plan. Cci démontr donc la propriété (P ). A B C D. On a G = bar. = (par associativité ds trois drnirs points) A A bar. t par propriété du barycntr G appartint à la droit (AA ). On démontr d la mêm façon qu G appartint aux trois autrs médians. Finalmnt ls quatr médians sont concourants n G. Parti II. On a OP = + + = +4+9=4. OQ = 4 + + ( ) = 6+4+=. Donc la fac OPQ n st pas équilatéral t l tétraèdr n st pas régulir.. On traduit la propriété vctorill : P O+ P Q+ P R = = x = y = z x+ 4 x x = y+ y+ y = z z+ z = Donc P ( ; ; ).. On a M(x ; y ; z) (OQR) ax+ by+ cz+ d =. Puisqu O( ; ; ) (OQR) on a d =. = x = y = z Écrivons qu ls coordonnés d Q t d R vérifint l équation : { { Q(4 ; ; ) (OQR) 4a+ b c = 4a+ b c = R( ; ; ) (OQR) a+ b= 4a+ 6b = d où par somm 8b c= b= c puis n rmplaçant dans la duxièm 8 équation du départ : a= b= c c a= 8 6. On a donc M(x ; y ; z) (OQR) c 8 x+ c y+ cz = 8 Pondichéry avril
6 x+ y+ z = x+ y+ 6z=. 8 4. La droit (PP ) st la médian rlativ à la fac (OQR). Ctt droit a pour vctur dirctur : PP ( ; ; ) ou ( ; ; ) ou ncor ( ; ; ). Or un vctur normal au plan (OQR) st n ( ; ; 6) qui n st pas colinéair au vctur PP, c qui signifi qu la droit (PP ) n st pas prpndiculair au plan (OQR). Conclusion : la propriété (P ) d la parti n st pas vrai dans un tétraèdr qulconqu. EXERCICE points Candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité Parti A { z = (x y). Ls points d E ont ds coordonnés qui vérifint l systèm z = (x y) = x y = qui st l équation d la droit y = x dans l plan z =. { z = (x y) Ls points d E ont ds coordonnés qui vérifint l systèm x = z = ( y) qui st l équation d un parabol z= ( y) dans l plan x=. Parti B { z = x y. Ls points d E ont ds coordonnés qui vérifint l systèm z = z = x y = x= ou y = qui sont ls équations ds axs d coordonnés dans l plan horizontal z =. { z = x y. Ls points d E ont ds coordonnés qui vérifint l systèm z = x y = y = si x plan horizontal z =. x qui st l équation d un hyprbol dans l Parti C. Si M(x ; y ; z) E (avc (x ; y ; z) N ), alors z = (x y) = x y. Si son absciss st null, alors z = ( y) = y = y = y =. Finalmnt M( ; ;).. a. On a vu qu ls coordonnés d un point d E vérifint z = (x y) = x y ; n particulir (x y) = x y x + y x y = x y x + y x y = (). Soit d l pgcd d x t d y ; on a x = d x t y = d y avc x t y prmirs ntr ux. En rmplaçant dans l égalité () : d x + d y d x d y = x + y x y = (). Pondichéry 4 avril
b. L égalité précédnt s écrit : x y x = y x (y x )= y : ctt drnièr égalité montr qu x divis y, mais ls divisurs prmirs d y étant ls mêms qu cux d y, on n déduit qu x divis y. c. Comm x t y sont prmirs ntr ux la qustion précédnt montr qu x = soit n rmplaçant dans l égalité () : + y y =. d. On a donc un équation du scond dgré ; =9 4= : ls solutions sont donc + t qui n sont ni l un ni l autr ds naturls. Conclusion : l hypothès x st non nul st fauss t d après la qustion. l sul point commun aux dux surfacs st l origin. EXERCICE Commun à tous ls candidats points. On a donc p = p t p = p, donc p +p +p = p +p +p = 6p = p = 6. Il n résult qu p = p = 6 = t p = p = p = 6 =. Rmarqu : il n dvait pas êtr très difficil d voir qu ls probabilités étaint proportionnlls à l air ds scturs, donc à ds angls au cntr d 8 (dux angls droits), un angl d 6 t un angl d pour un total d 6. On a donc p = 8 6 =, p = 6 = t p = 6 6 = 6.... a. / / /6 / / /6 6 / / On obtint un total d au moins 8 points n dux lancrs à la 6, 8 t 9 branch. Donc Pondichéry avril /6
p (G )= 6 + 6 + 6 6 = 8 + 8 + 6 = 6. b. En déduir p(p). On a p(p)= p (G ) p (G )= 6 7 6 = 6 6 6 = 4 6 =.. Ls lancrs sont indépndants ; on a un schéma d Brnoulli d paramètrs n= 6 t d probabilité p =. ( ) 6 La probabilité d n gagnr aucun parti st, donc la probabilité d ( ) 6 gagnr au moins un parti st = 6 6 6 = 66 79 4. a. On a l tablau d loi d probabilité d X suivant : X p(x = x i ) 4 6 b. E(X )= 4 6 + 7 6 + 6 = 48+7+ = 6 6 6 = 8,7. Un jouur prd n moynn sur un grand nombr d partis 7 cntims par parti. L ju st défavorabl au jouur. 7 6 6 Pondichéry 6 avril