Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 I) Produit scalaire Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé (,,, ) ) Définition et conséquences ( ) v ( ) O i j k de l espace Définition: Etant donnés deux vecteurs u ( x, y, z) et v ( x', y ', z '), on appelle produit scalaire de u et v, noté u v, le nombre réel u v = xx' + yy ' + zz ' Exemple : avec u ;; et ; ; on obtient u v = = Remarques : u u = x + y + z = u on note parfois u Si u ou v est nul alors u v = 0 Attention la réciproque est fausse! Par exemple avec u ( ;; ) et v ( ;; ), on obtient u v + = 0 Si u et v sont colinéaires, par exemple v = k u, alors u v = k u Autre expression du produit scalaire si u 0 et v 0, alors u v = u v cos u, v = Démonstration : Commençons par le cas où u et v sont colinéaires : Il existe donc k R tel que v = k u soit v = k u et u v cos u, v = k u cos u, v Or si u et v sont colinéaires, cos u, v si k > 0 ou si k < 0 Donc k cos u, v k et finalement : u v cos u, v = k u cos u, v = k u = u v Etudions maintenant le cas où les deux vecteurs ne sont pas colinéaires Aucun des deux vecteurs ne peut être nul Définissons alors i = u, u π j un vecteur coplanaire avec u et v tel que i, j = et i ( ) ( ) et enfin k orthogonal à i et j tel que i, j, k soit une base directe Dans cette base : u u,0,0 v v cos u, v, v sin u, v,0 et u v = u v cos u, v Exemple : On considère un cube ABCDEFGH d arête a Calculons AE DG en utilisant les différentes formules Propriété fondamentale : Les vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0 Démonstration : π Comme u v = 0 u v cos ( u, v ) cos ( u, v ) = 0 ( u, v ) = modulo π
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 3 sur 7 ) Propriétés Propriété : Soient u et v deux vecteurs de l'espace et k R On a les proprités suivantes : Symétrie : u v = v u Bilinéarité : u + v w = w u + v = u w + v w et k u w = w k u = k u w Démonstration : immédiate avec la définition Exemple AB CD = BA CD Exemple : On considère ABCD un tétraèdre régulier d arête a Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales Exercice : On considère ABCDEFGH un cube d arête a Les vecteurs AH et CE sont-ils orthogonaux?
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 4 sur 7 3) L orthogonalité dans l espace Définition : Vecteur normal à un plan On appelle vecteur normal à un plan, un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan Propriété : Un vecteur est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan Propriété : Plans et droites orthogonaux Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont orthogonales si et seulement si u et v sont orthogonaux Deux plans de vecteurs normaux n et n sont orthogonaux si et seulement si n et n sont orthogonaux Une droite de vecteur directeur u et un plan de vecteur normal n sont orthogonaux si u et n sont colinéaires Propriété : Plans et droites parallèles Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont parallèles si et seulement si u et v sont colinéaires Deux plans de vecteurs normaux n et n sont parallèles si et seulement si n et n sont colinéaires Une droite de vecteur directeur u et un plan de vecteur normal n sont parallèles si u et n sont orthogonaux Attention : Dans l espace certaines propriétés du plan sont fausses : F Si deux droites sont orthogonales à une même troisième alors elles sont parallèles entres elles V Si deux droites sont parallèles alors toute orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre Propriété : Projeté orthogonal Soient A un point et P un plan de l'espace Il existe un unique point H de P tel que AH soit un vecteur normal de P Ce point H est appelé projeté orthogonal de A sur P Admis Propriété : Plan médiateur Soient A et B deux points de l'espace L'ensemble des points M de l'espace qui vérifient MA = MB est un plan Ce plan est orthogonal au segment [ AB] et passe par son milieu Ce plan est appelé plan médiateur du segment [ AB] Admis
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 5 sur 7 Exercice : (BAC Inde, avril 008) On considère un tétraèdre ABCD vérifiant AB = CD, BC = AD et AC = BD Un tel tétraèdre est dit équifacial, ses faces sont des triangles isométriques On note I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD] On admettra que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes On note G leur point de concours PS : en fait le point G est l isobarycentre des points A, B, C et D ) Quelle est la nature des quadrilatères IJKL, IMJN et KNLM? En déduire que les droites (IJ) et (KL) sont orthogonales En déduire que les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales En déduire que les droites (KL) et (MN) sont orthogonales ) Montrer que (IJ) est orthogonale au plan (MKN) En déduire que (IJ) est orthogonale à (MK) En déduire que (IJ) est orthogonale à (AB) On admettra que (IJ) est orthogonale à (CD) 3) Montrer que G appartient aux plans médiateurs des segments [AB] et [CD] On admettra que G appartient aux plans médiateurs des segments [AD] et [BC] 4) Démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD A L I N G M D J B K C 4) Applications a) Equation cartésienne d un plan Définition : On appelle vecteur normal n à un plan un vecteur non nul dont la direction est orthogonale à ce plan Deux plans sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires Soit A un point du plan Pour tout point M du plan, comme n est normal au plan, n est orthogonal à AM On a donc AM n = 0 Caractérisation du plan : Le plan passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M de l'espace vérifiant AM n = 0 Tout plan P admet une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c non tous nuls Le vecteur n a, b, c est alors normal à ce plan Attention, une telle équation (dite cartésienne) n est pas unique Exemple 3 : Touver dans le repère orthonormé ( O, i, j, k ), une équation cartésienne du plan passant par A,, 3 et de vecteur normal n,, Cas particuliers : Les plans Oxy, Oxz et Oyz ont pour équations respectives : z = 0, y = 0 et x = 0 Exercice 3 : On considère le point A( 0,,4 ) et le vecteur n (,3, ) Déterminer une équation cartésienne du plan qui passe par A et de vecteur normal n Exercice 4 : On considère les points A(,, 0 ), B(,, ) et C ( 3,, ) Vérifier que les points ne sont pas alignés et déterminer une équation cartésienne du plan ( ABC )
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 6 sur 7 Exercice 5 : On considère les points A(,,3 ) et B( 3,, 3) Déterminer le plan médiateur au segment [AB] Exercice 6 : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point B(,6,0 ) x + 3y z + 5 = 0 sur le plan d équation Tout plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c non tous nuls partage l'espace en deux demi-espaces: L'ensemble de tous les points M x, y, z tels que ax + by + cz + d 0 L'ensemble de tous les points M x, y, z tels que ax + by + cz + d 0 Exercice 7 : Montrer que les points (,3,3 ) et ( 3,, 4) x y = 0 b) Distance d un point à un plan 0 0 0 A B sont situés de part et d autre du plan d équation Soit M x, y, z un point de l'espace et P un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 ax + by + cz + d 0 0 0 La distance entre le point M et le plan P est égale à MH = On sait qu'un vecteur normal de P est n a, b, c Notons H x, y, z, le projeté orthogonal de M sur P H H H a + b + c H x0 = ka H = x0 + ka MH et n sont colinéaires, il existe donc un réel k tel que MH = kn : yh y0 = kb yh = y0 + kb zh z0 = kc H = z0 + kc Mais H P donc ax + bx + cx + d = 0 a x + ka + b y + kb + c z + kc + d = 0 H H H 0 0 0 ax0 + by0 + cz0 + d ax0 + by0 + cz0 + d k = = a + b + d n Comme MH = kn, la distance entre M et le plan P est la distance MH = k n = ax + by + cz + d n 0 0 0 Exemple 4 : Soit P le plan d équation x + 3y + 4z = 0 Déterminer la distance du point O au plan P Exercice 8 : Soit P le plan d équation x 3y z 5 0 Déterminer la distance du point A au plan P + + = et A ( ; ;)
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 7 sur 7 c) Equation d une sphère II) Barycentres Toute sphère de centre Ω x, y, z et de rayon r admet une équation de la forme : 0 0 0 0 0 0 x x + y y + z z = r Remarque : cette équation est unique La sphère de diamètre [ AB] est l'ensemble des points M tels que MA MB = 0 Démonstration : MA MB = ( M Ω + ΩA) ( M Ω + Ω B) = M Ω + M Ω ( Ω A + Ω B) + ΩA Ω B = M Ω r = M Ω r M Ω + r Donc MA MB = 0 M Ω = r Exemple 5 : On considère les points A(,, 0 ), B(,, ) et C (,, 4) Déterminer une équation de la sphère de diamètre [AB] Exercice 9 : Déterminer l équation de la sphère de centre (,, 3) Le point (, ) est-il à l intérieur de la sphère? Exercice 0: A et de rayon Déterminer l équation de la sphère de centre A (,,0 ) et passant par (,, 4) Préciser le rayon Exercice : B Déterminer l équation de la sphère de diamètre [AB] avec A( 0,0, ), B(,, 3) Préciser le centre et le rayon Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé (,,, ) ) Définition Existence et unicité du barycentre {( A α ) } Soit, un système pondérés de masse totale m = α i i i n i i= O i j k de l espace n Si m 0, alors il existe un unique point G, appelé barycentre du système pondéré, tel que α GA = 0 Démonstration avec 3 points ) Propriétés Homogénéité Le barycentre d'un système pondéré reste inchangé si l'on remplace les coefficients par des coefficients proportionnels non nuls Démonstration vue en première S n i= i i
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 8 sur 7 Associativité barycentres partiels Le barycentre d'un système pondéré reste inchangé si l'on remplace certains des points par leur barycentre affecté de la somme non nulle des coefficients correspondants Démonstration vue en première S Exemple 6 : Si ABCD est un tétraèdre, situer le barycentre G du système {(,), (,), (,),(,3)} Propriété fondamentale du barycentre i= ( α ) i n i= A B C D Soit G le barycentre du système pondéré A, de masse totale m = α 0 n Alors pour tout point M de l'espace, α MA = mmg Démonstration avec 3 points Exemple 7 : Soient A, B, C trois points non alignés i i i i On note G la barycentre du système pondéré {(,), (,), (,)} A B C Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MA + MB + MC = 8 Exercice : Soient A, B, C trois points non alignés On note G la barycentre du système pondéré {(,), (,), (,3)} i A B C ) Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MA + MB + 3MC = 5AM ) Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MA + MB + 3MC soit colinéaire à AB n Coordonnées du barycentre ( x y z ) ( α ) Soit G le barycentre du système pondéré A, de masse totale m = α 0 Notons,, les coordonnées des points A i i i i i i i n i i= n n n Alors les coordonnées du barycentre G sont : αixi, αi yi, αizi m i m i m = = i= Démonstration vue en première S n
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 9 sur 7 Exercice 3: (BAC Polynésie Juin 007) 4 On considère les points A ; 3; et B ;0; 4 3 3 On note I le milieu du segment [AB] et S la sphère de diamètre [AB] ) Soit E le barycentre du système (A, ) (B,) a) Calculer les coordonnées du point E b) Montrer que l ensemble P des points M de l espace tels que MA + MB = 3 MO est le plan médiateur du segment [OE] c) Montrer qu une équation de P est y = ) a) Calculer le rayon de S et la distance entre I et P b) En déduire que l intersection C entre P et S n est pas vide + + + 3 En déduire la nature et les éléments caractéristiques de C c) Montrer qu une équation de C est x ( z ) 3) Lien avec droites, segments et plans Caractérisation barycentrique d'une droite Soit A et B deux points distincts ( AB) {( A α ) ( B β )} ( AB) α β s les barycentres du système {( A, α ),( B, β )} ) Le barycentre du système,,, est situé sur le droite si + 0 ) La droite est l'ensemble de tou pour α et β réels tels que α + β 0 Démonstration : {( A ) ( B )} ) Si α + β 0, notons G le barycentre système, α,, β β alors αga + β GB = 0 AG = AB α + β les vecteurs AG et AB sont colinéaires et les trois points alignés ( AB) ) Réciproquement, considérons un points quelconque de la doite Les vecteurs AM et AB sont colinéaires Il existe donc un réel k, tel que AM = k AB Alors AM k AB = 0 AM k AM kmb = 0 k AM kmb = 0 Comme k k = 0, alors M est le barycentre du système Caractérisation barycentrique d'un segment Soit A et B deux points distincts ( convexité) {( A k ) ( B k )},,, {( A ) ( B )} [ AB] si α + β 0 [ AB] {( A α ) ( B β )} ) Si α et β sont positifs, alors le barycentre du système, α,, β est situé sur le segment ) Le segment est l'ensemble de tous les barycentres du système,,, pour α et β réels positifs tels que α + β 0 Première partie vue en première S, réciproque admise
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 0 sur 7 Caractérisation barycentrique d'un plan Soit A, B et C trois points distincts ( ABC ) {( A α ) ( B β ) ( C γ )} ( ABC) α β + γ les barycentres du système {( A, α ),( B, β ),( C, γ )} ) Le barycentre du système,,,,, est dans le plan si + 0 ) Le plan est l'ensemble de tous pour α, β et γ réels tels que α + β + γ 0 Caractérisation barycentrique d'un triangle Soit A, B et C trois points distincts ( convexité) {( A ) ( B ) ( C )} ) Si α, β et γ sont tous positifs le barycentre du système, α,, β,, γ est à l'intérieur du triangle ABC si α + β + γ 0 {( α ) ( β ) ( γ )} ) Le triangle ABC est l'ensemble de tous les barycentres du système A,, B,, C, pour α, β et γ réels positifs tels que α + β + γ 0 4) Représentation paramétrique d une droite La droite passant par A x, y, z et de vecteur directeur u a, b, c A A A = xa + at a pour équation paramétrique : y = ya + bt, t R = za + ct Ce système, qui dépend du réel t, est appelé équation paramétrique de la droite d Pour obtenir des points de la droite d, il suffit de remplacer le paramètre t par une valeur Démonstration : La droite est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM = tu avec t R En coordonnées, ça donne: xa = at = xa + at y ya = bt y = ya + bt, t R z za ct = = za + ct Exemple 8 : Déterminer une équation paramétrique de la droite d passant par A,, et de vecteur directeur u 3,, Exercice 4 : On considère des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = 3 + 3 t, t R = 4 + 3t = t ) Pour chacune des droites, déterminer des points leur appartenant et un vecteur directeur ) Montrer que les droites d et d ' sont sécantes 3) Montrer que les droites sont perpendiculaires Exercice 5 : On considère deux points A(,,0 ) et B (,,) du plan Déterminer une équation paramétrique de la droite (AB)
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 III) Divers cas d incidence ) Intersection de deux plans Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires Dans le cas contraire, ils sont sécants et leur intersection est une droite Attention deux plans parallèles peuvent-être confondus Exemple 9 : Soient P, Q, R trois plans d équations respectives x + y + z + = 0, x y + = 0 et x + y + z = 0 Etudier les incidences de ces trois plans Exercice 6 : Soient P et Q deux plans d équations respectives x 4y + 7 = 0 et x + y z + = 0 ) Montrer que ces plans sont sécants ) Déterminer les caractéristiques de leur intersection ) Intersection d une droite et d un plan Une droite est parallèle à un plan si et seulement un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal du plan Dans la cas contraire, ils sont sécants et leur intersection est un point Attention une droite parallèle à un plan peut-être contenue dans le plan Exemple 0 : Soit P le plan d équation x z = 0 et la droite d d équation paramétrique : = + t y = 3 t, t R = Etudier l éventuelle intersection de P et d Exercice 7 : Soit P le plan d équation x + y + z = 0 et la droite d d équation paramétrique : 3t y = + t, t R = 3t + Etudier l éventuelle intersection de P et d 3) Intersection de deux droites Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires Dans la cas contraire, elles peuvent être non coplanaires ou sécantes Attention deux droites parallèles peuvent être confondues
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 Exemple : Etudier l intersection des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = 3 + 3 t, t R = 4 + 3t = t Exemple 3 : Etudier l intersection des droites d et = t y = 0, t R et y + t, t R = t = 0 Exercice 8 : O i j k L espace est muni d un repère (,,, ) d ' qui ont pour représentations paramétriques : On considère des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = 3 + 3 t, t R = 4 + 3t = t ) Montrer que les droites d et d ' sont sécantes ) Déterminer une équation cartésienne du plan P défini par les deux droites d et d ' Exercice 9 : O i j k L espace est muni d un repère (,,, ) On considère les points (,0,3 ), ( 0,, ) A B, le plan P d équation x + y z 5 = 0 et la droite qui a = t pour représentation paramétrique : y = 4 t, t R = 6 + t ) Déterminer l intersection de et P ) Déterminer une équation de la sphère de centre A et de plan tangent P 3) Etudier les positions relatives des droites (AB) et Exercice 0: (BAC Polynésie Septembre 006) On considère P et P les plans d équations respectives x + y + z 6 = 0 et x y + 4z 9 = 0 ) Montrer que P et P sont orthogonaux ) Soit D la droite intersection des plans P et P Montrer qu une équation paramétrique de D est : = t 7 y = 3t 8 = t 3) Soit M un point quelconque de D et soit A le point de coordonnées ( 9; 4; ) a) Vérifier que A n appartient ni à P, ni à P b) Exprimer AM en fonction du paramètre t c) Etudier les variations de la fonction f : t t t + 3 d) Pour quel point M la distance AM est-elle minimale? Quelles sont alors les coordonnées du point M qui réalise le minimum? Démontrer que M est alors le projeté orthogonal de A sur D
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 3 sur 7 CORRECTION DES EXEMPLES DU COURS : Exemple : On considère un cube ABCDEFGH d arête a Calculons AE DG en utilisant les différentes formules ) Avec la définition dans la base orthonormale AD, AB, AE a a a AE ( 0,0, a) et DG ( 0, a, a) donc AE DG = a ) Avec le cosinus : AE DG = AE DG cos ( AE, DG) = a a cos π = a a = a 4 3) Avec une des identités de polarisation : AE DG = ( AE + DG AE DG ) = ( a + a BA ) = ( 3a a ) = a Exemple : On considère ABCD un tétraèdre régulier d arête a Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales AB CD = AB CA + AD = AB CA + AB AD = AB AC + AB AD π π = a cos + a cos = 0 3 3 Les deux côtés opposés sont donc orthogonaux A( ) n ( ) P Exemple 3 : Touver dans le repère orthonormé ( O, i, j, k ), une équation cartésienne du plan passant par,, 3 et de vecteur normal,, M x, y, z AM n = 0 x + y + z + 3 = 0 x + y + z + 3 = 0 Exemple 4 : Soit P le plan d équation x + 3y + 4z = 0 Déterminer la distance du point O au plan P x + 3y + 4z = 0 a =, b = 3, c = 4 : 0 + 3 0 + 4 0 d = = = + 3 + 4 4 + 9 + 6 9 Exemple 5 : A B C Déterminer une équation de la sphère de diamètre [AB] On considère les points (,, 0 ), (,, ) et (,, 4)
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 4 sur 7 Exemple 6 : Si ABCD est un tétraèdre, situer le barycentre G du système {(,), (,), (,),(,3)} Considérons le centre de gravité H de la face ABC { } { } { } Alors H est le barycentre du système A,, B,, C, et G le barycentre du système H,3, D,3 Par homogénéité, G est aussi le barycentre du système H,, D,, c'est à dire le milieu du segment [ HD] Exemple 7 : Soient A, B, C trois points non alignés On note G la barycentre du système pondéré {(,), (,), (,)} A B C D A B C Déterminer l ensemble des points M du plan tels que MA + MB + MC = 8 Exemple 8 : Déterminer une équation paramétrique de la droite d passant par A,, et de vecteur directeur u 3,, La droite est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM = tu avec En coordonnées, ça donne: x = t 3 + 3t y = t ( ) y = t, t R z t = + t λ R Ce système, qui dépend du réel t, est appelé équation paramétrique de la droite d Pour obtenir des points de la droite d, il suffit de remplacer le paramètre t par une valeur Exemple 9 : Soient P, Q, R trois plans d équations respectives x + y + z + = 0, x y + = 0 et x + y + z = 0 Etudier les incidences de ces trois plans P : x + y + z + = 0 a pour vecteur normal p(,, ) Q : x y + = 0 a pour vecteur normal q (,,) R : x + y + z = 0 a pour vecteur normal r (,, ) Comme n et r sont colinéaires, les plans P et R sont parallèles Si je pose x = y = 0 dans l'équation de P, j'obtiens z = Le point A 0,0, P Est-ce que ce point appartient au plan R? Pour répondre à cette question, je remplace x, y, z par les coordonnées de A dans l'équation de R : 0 + 0 + = 0 P : x + y + z + = 0 a pour vecteur normal p(,, ) Q : x y + = 0 a pour vecteur normal q (,,) R : x + y + z = 0 a pour vecteur normal r,,
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 5 sur 7 Comme n et r sont colinéaires, les plans P et R sont parallèles Si je pose x = y = 0 dans l'équation de P, j'obtiens z = Le point A 0,0, P Est-ce que ce point appartient au plan R? Pour répondre à cette question, je remplace x, y, z par les coordonnées de A dans l'équation de R : 0 + 0 + = 0 Les deux plans sont donc distincts Comme p et q ne sont pas colinéaires, les plans P et Q sont sécants Un point M x, y, z appartient à ce plan si et seulement si ses coordonnées vérifient le système + y + z + = 0 x y + = 0 En posant x = t et on obtient une représentation paramétrique de la droite intersection : = t y + t = 3t C'est donc la droite passant par A 0,, et de vecteur directeur,, 3 Comme q et r ne sont pas colinéaires, les plans Q et R sont sécants ( ) u ( ) Un point M x, y, z appartient à ce plan si et seulement si ses coordonnées vérifient le système x y + = 0 x y + = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 En posant x = t et on obtient une représentation paramétrique de la droite intersection : = t y + t = 3t C'est donc la droite passant par B 0,, et de vecteur directeur,, 3 ( ) u ( ) Les plans P et R étant parallèles, il est normal d'obtenir deux droites parallèles Exemple 0 : Soit P le plan d équation x z = 0 et la droite d d équation paramétrique : = + t y = 3 t, t R = Etudier l éventuelle intersection de P et d P : x z = 0 a pour vecteur normal n,0, = + t d : y = 3 t a pour vecteur directeur u (, 3,0) = Vérifions d'abord que la droite ne soit pas parallèle au plan: n u = + 3 3 + 0 = 0 A( x y z) La droite n'est donc pas parallèle au plan, les deux sont donc sécants en un point,, ( t) x z = 0 + = 0 t = x t = + x = + t x = + vérifiant : y = 3t y = 3t y = 3 = 6 z = z = = Le point d'intersection est donc le point A, 6,
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 6 sur 7 Exemple : Etudier l intersection des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = 3 t y = 4 + t, t R et y = 3 + 3 t, t R = 4 + 3t = t On cherche un éventuel point x, y, z appartenant aux deux droites Ses coordonnées vérifient : = 3 t y = 4 + t, t R y = 3 + 3 u, u R Attention il ne faut pas prendre le même paramètre!!! z = 4 + 3t = u On obtient alors un système à inconnues et trois équations : 3 t t = 4 + t = 3 + 3u u = 4 3t u + = u = Comme le système admet une solution, l'intersection existe et ses coordonnées sont : x = 3 y = 4 + = 0 = 4 + 3 = Exemple 3 : Etudier l intersection des droites d et d ' qui ont pour représentations paramétriques : = t y = 0, t R et y + t, t R = t = 0 On cherche un éventuel point x, y, z appartenant aux deux droites Ses coordonnées vérifient : = t y = 0, t R y + u, u R Attention il ne faut pas prendre le même paramètre!!! z t = = 0 On obtient alors un système à inconnues et trois équations : t t 0 + u u = c'est impossible t 0 = t = 0 Comme le système admet pas de solution, l'intersection n'existe pas Soit les droites sont parallèles, soit elles sont non coplanaires = t y = 0, t R a pour vecteur directeur u (,0,) = t y + u, u R a pour vecteur directeur v ( 0,,0 ) = 0 Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles Finalement, les droites ne sont pas coplanaires
Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 7 sur 7 Ce que dit le programme :