Chaînes de solide CHAÎNES DE SOLIDES Les mécanismes sont constitués de nombreuses pièces, certaines restant en permanence liées à d autres au cours du fonctionnement du mécanisme. Ces groupes de pièces sont liés à d autres groupes de pièces par des liaisons mécaniques. On fait ainsi apparaître des chaînes de solides. - Rappel sur les liaisons élémentaires Solide indéformable : C est un solide physique dont on peut négliger la déformation sous l effet des actions mécaniques qui lui sont appliquées Cela implique que, quels que soient les points A et B appartenant à ce solide, la distance AB reste constante dans le temps. d AB dt Rs = 0 R s est un repère lié au solide S A Rs B Classe d équivalence : C est l ensemble des pièces d un même système mécanique qui sont en permanence en liaison encastrement, et dont le comportement du point de vue cinématique est équivalent au comportement de l une d entre elles. Liaison élémentaire : Modèle retenu pour traduire la relation physiquement établie entre deux solides ou classe d équivalence par l intermédiaire d une où plusieurs surfaces de contact, et autorisant un nombre défini de degrés de liberté (mouvements) de l un par rapport à l autre. Il y a au total 0 liaisons élémentaires autorisant des mouvements relatifs x T X z R X y Une liaison autorisant 6 degrés de liberté est appelée liaison libre. Une liaison n autorisant aucun degré de liberté est appelée liaison encastrement ou liaison fixe. Une liaison élémentaire est caractérisée par un ou plusieurs éléments géométriques associés : direction, centre, normale, axe (voir annexe). Torseurs associés à une liaison élémentaire : On suppose que les liaisons entre solides sont parfaites, c'est-à-dire que : les surfaces en contact sont géométriquement parfaites il n y a pas de frottement Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page sur 2
Chaînes de solide Chaque liaison élémentaire autorise un comportement mécanique de l un des solides par rapport à l autre. Des torseurs traduisent ce comportement : - Le torseur cinématique : { } = A Ω V( ( S / R ) V ( S / R ) dont les éléments de réduction par (ou torseur des vitesses permises) A, S / R ) projection dans une base particulière font apparaître n c paramètres (ou inconnues) cinématiques. Ce nombre correspond aux degrés de liberté de la liaison. - Le torseur «statique» : { } (ou torseur des actions transmissibles) R ( S R ) τ = dont les éléments de réduction par ( S R ) A M ( A, S R ) projection dans une base particulière font apparaître n s paramètres (ou inconnues) statiques. Ce nombre correspond aux degrés de liberté supprimés de la liaison. Il existe une relation particulière entre ces deux nombres : n c + n s = 6 (voir annexe). 2- Graphe de structure (ou graphe des liaisons) Graphe où les classes d équivalence sont représentées par des cercles et les liaisons par des arcs (ou des segments) joignant les cercles. Suivant la représentation obtenue, on pourra distinguer : - des chaînes ouvertes continues de solides - des chaînes fermées simples de solides - des chaînes fermées complexes de solides. L5 2 L9 0 L6 L2 L4 4 3 L8 L7 L3 5 Exemple de chaîne ouverte continue : Robot Ericc 3 Graphe de structure : Bras 2 Avant-bras 3 Poignet 4 Pince 5 L2 2 L3 3 L5 L4 4 Chaise Socle 0 L 0 5 Ici, les liaisons L i sont toutes des liaisons pivots Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 2 sur 2
Chaînes de solide Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique Ecrou -tige 3 Graphe de structure : Arbre vis 2 2 L2 3 Bâti L L3 Exemple de chaîne fermée complexe: Positionneur 6 axes Table 3 Graphe de structure : 3 Tige de vérin 2i 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 3 4 5 6 0 Embase 0 Corps de vérin 2i Liaisons 0/ i et 3/2 i : liaisons sphériques Liaisons i /2 i : liaisons pivot glissant On appelle N le nombre de solides et L le nombre de liaisons intervenant dans la chaîne. On remarque que : - pour une chaîne ouverte continue : L = N - pour une chaîne fermée simple : L = N - pour une chaîne fermée complexe : L > N. Nombre cyclomatique : On remarque que sur les chaînes fermées complexes, il est possible d écrire plusieurs fermetures cinématiques. On appelle γ le nombre de cycles strictement nécessaires pour prendre en compte toutes les inconnues cinématiques. Ce nombre est défini par la relation : γ = L N + Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 3 sur 2
Chaînes de solide 3- Liaisons équivalentes Dans un graphe de structure, il est possible de remplacer un sous-ensemble de liaisons liant deux ou plusieurs pièces par une seule liaison entre deux solides, équivalente du point de vue cinématique et statique (si on se place dans le cas des liaisons parfaites). On distingue deux cas : - les liaisons en parallèle - les liaisons en série. Pour déterminer une liaison équivalente, on peut rechercher soit le torseur statique équivalent, soit le torseur cinématique équivalent. On parle dans le er cas de méthode statique, dans le 2 ème de méthode cinématique. 3- Liaisons en parallèle: On considère une portion de graphe liant deux solides et 2 par l intermédiaire de trois liaisons. On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui pourrait être une liaison élémentaire. L L 3 L 2 2 L éq 2 Action extérieure Action extérieure Méthode statique : Le solide 2 est soumis à une action extérieure autre que celles dues aux liaisons : { τ ( ex 2) }. On note : { τ } = { τ ( 2) }, L { τ 2} = { τ ( 2) 2 }, { τ 3} = { τ ( 2) } L L 3 et τ équ = τ ( 2 ). { } { } Léqu On applique le PFS au solide 2. En considérant les trois liaisons, on obtient : { τ } + { τ 2} + { τ 3} + { τ ( 2) } = { 0} ex En considérant la liaison équivalente, on obtient : { τ } { } = équ + τ 2) { 0} ( ex Par substitution, on obtient : { τ } + { τ 2} + { τ 3} = { τéqu}. D une manière générale, le torseur statique d une liaison équivalente à n liaisons en parallèle s exprime par : { } = n équ { τi} τ () i= Méthode cinématique : On note : { } { V ( 2 / ) } L { V 2} = { V / ) 2 } ( 2, { 3} { V ( 2 / ) } L L 3 { V équ } = { V ( 2 / ) } Léqu V =, V = et Le comportement cinématique du solide 2 par rapport à, est induit par la liaison L, mais aussi L 2 et L 3 et également par la liaison équivalente. On traduit cela par l égalité de tous les torseurs entre eux.{ V équ } = { V } = { V 2} = { V 3} D une manière générale, le torseur cinématique d une liaison équivalente à n liaisons en parallèle s exprime par : { V équ } = { V } =... = { V } =... = { } i Vn Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 4 sur 2
Chaînes de solide Conclusion : Dans le cas des liaisons en parallèle, on privilégiera la méthode statique. Afin de simplifier les écritures, on aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme particulière ont une intersection. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en un point de cette intersection. Hyperstatisme : Si on appelle ns i le nombre d inconnues statiques introduites par la liaison «i», alors le nombre total d inconnues statiques mise en oeuvre par la liaison équivalente Ns vaut : n Ns = ns i. En appliquant la relation (), on fait apparaître un nombre d équations scalaires statiques indépendantes noté «rs» (ou encore Es) au plus égal à 6. On appelle «h», le degré d hyperstatisme de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle, le nombre total d inconnues statiques moins le nombre d équations statiques indépendantes : h = Ns - rs Si h = 0, la liaison est dite isostatique. Si h > 0, la liaison est dite hyperstatique d ordre h. Mobilité : On appelle «m», le degré de mobilité de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle. Il est égal à 6 (nombre maximum de degrés de liberté) moins le nombre d équations statiques indépendantes : m = 6 - rs Si m = 0, la liaison équivalente est une liaison encastrement ou fixe. Si m > 0, la liaison est dite mobile à m degrés de libertés. 3-2 Liaisons en série: i= On considère une portion de graphe liant trois solides, 2 et 3 par l intermédiaire de deux liaisons. On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui pourrait être une liaison élémentaire. L L 2 2 3 Action extérieure L éq 3 Action extérieure Méthode statique : Le solide 3 est soumis à une action extérieure τ ( ex 3). autre que celles dues aux liaisons : { } On note : { τ } = { τ ( 2) }, { } = { τ ( 2 3) } 2 { équ } = { τ ( ) } 3 τ. Léqu τ, et On applique le PFS au solide 3.on obtient : { τ 2 } + { τ ( ex 3) } = { 0} On applique le PFS au système (2+3). on obtient : { τ } + { τ ( ex 3) } = { 0} On applique le PFS au solide 3 en considérant la liaison équivalente, on obtient : { τ } { } = équ + τ 3) { 0} ( ex Par substitution, ces trois relations donnent : { τ } = { τ 2} = { τéqu}. D une manière générale, le torseur statique d une liaison équivalente à n liaisons en série s exprime par : { τ équ} = { τ } =... = { τi} =... = { τn} (2) Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 5 sur 2
Chaînes de solide Méthode cinématique : On note : { } { V ( 2 / ) } L { 2} { V (3 / 2) 2 } L { V équ } = { V (3 / ) } V =, V = et Léqu Le comportement cinématique du solide 3 par rapport à, est induit par la liaison L, mais aussi L 2 et L 3 et également par la liaison équivalente. La composition de mouvements de 3 par rapport à s exprime par la composition des torseurs cinématiques : { V équ } = { V } + { V 2} D une manière générale, le torseur cinématique d une liaison équivalente à n liaisons en série s exprime par : { V } = n équ { Vi} i= Conclusion : Dans le cas des liaisons en série, on privilégiera la méthode cinématique. Afin de simplifier les écritures, on aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme particulière ont une intersection. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en un point de cette intersection. Hyperstatisme : La relation (2) permet de déterminer toutes les composantes des torseurs { i} liaison équialente à des liasons en série est toujours isostatique. τ. Par conséquent, une Mobilité : On appelle nc i le nombre d inconnues cinématiques introduites par la liaison Li. Alors le nombre total d inconnues cinématiques de la liaison équivalente Nc vaut : Nc = n nc i On appelle «m», le degré de mobilité cinématique de la chaîne continue ouverte constituée des n liaisons en série. Il est égal au nombre total d inconnues cinématiques : m = Nc i= On appelle «mu», le degré de mobilité de la liaison équivalente : mu = nc équ. Ces deux mobilités ne sont pas systématiquement égales. En effet m peut être supérieure à mu. On définit alors la mobilité interne «mi» telle que : m = mu + mi Cette mobilité peut se déterminer en supposant les deux solides terminaux de la chaîne ouverte immobile l un par rapport à l autre et en observant les mouvements internes possibles. 4- Chaînes fermées simples En reliant les deux solides extrêmes d une chaîne continue ouverte, on obtient une chaîne fermée simple. Une chaîne fermée simple possède autant de solides que de liaisons. On définit ci-dessous les relations caractéristiques d un tel type de chaîne en considérant ensuite l exemple d un vérin électrique. Etude statique et hyperstatisme : Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d appliquer (n-) fois le PFS. L un des solides étant fixe ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-) isolements un certain nombre d équations statiques Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 6 sur 2
Chaînes de solide indépendantes. On notera «rs» le nombre d équations statiques indépendantes et «Ns» le nombre total d inconnues statiques. On appelle h le degré d hyperstatisme d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs : h = Ns rs Etude cinématique et mobilité: Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d appliquer une fois la composition de mouvement en écrivant la fermeture des torseurs cinématiques. On obtient alors un système d au plus 6 équations cinématiques indépendantes. On notera «rc» le nombre d équations cinématiques indépendantes et «Nc» le nombre total d inconnues cinématiques. On appelle m le degré de mobilité d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc: m = Nc - rc Cette mobilité se décompose en mobilité utile (loi E/S) «mu» et mobilité interne «mi» avec : m = mu + mi Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse. D où une certaine difficulté à déterminer le degré d hyperstatisme d une chaîne fermée simple. Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s exprimer par la relation suivante : m = 6(n-) rs En utilisant la relation remarquable nc i + ns i = 6, on peut exprimer le degré d hyperstatisme plus simplement : On peut écrire : Nc + Ns = n nc i + ns i = 6n De plus : rs = 6 (n-) m = (Nc + Ns) - 6 - m D où : h = Ns rs = Ns ( (Nc + Ns) 6 m ) i= n i= Ce qui nous donne la relation finale suivante : h = m + 6 Nc Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique Graphe de structure : Ecrou -tige 3 Arbre vis 2 2 L2 3 y O x L L3 z Bâti Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 7 sur 2
Chaînes de solides On définit les torseurs statiques et cinématiques par leurs éléments de réductions en O. r r r X x + Y y + Z z r 2 2 2 α x 2 τ = r r { V ( 2 / ) } = M y + N z O 2 2 O 0 r r r X x + Y y + Z z r 32 32 32 α x 32 τ (3 2) = r r r { V (3 / 2) } = r px x + M y + N z O 32 2 2 pα x O 32 r r r Y y + Z z 3 3 0 τ ( 3) = r r r { V (3 / ) } = r L x + M y + N z O 3 3 3 u x O 3 { ( 2) } { } { } On considère que cet ensemble matériel est en équilibre sous l action de deux torseurs extérieurs : r r r Xex + Yey + Zez r r r Lex + Mey + Nez { τ ( E 2) } = et { τ ( E 3) } O Etude statique : r r r Xe' x + Ye' y + Ze' z = r r r Le' x + Me' y + Ne' z O On applique le PFS à l arbre vis 2 : { τ 2) } + { ( 2) } + { (3 2) } { 0} E τ τ Puis, on applique le PFS à l écrou tige 3 : { τ 3) } + { ( 3) } { ( 2 3) } { 0} E τ τ On obtient au total 2 équations: X 2 + X 32 + Xe = 0 Y 2 + Y 32 + Ye = 0 Z 2 + Z 32 + Ze = 0 px 32 + Le = 0 (a) M 2 + M 32 + Me = 0 N 2 + N 32 + Ne = 0 X 32 + Xe'= 0 (b) Y 3 Y 32 + Ye'= 0 Z 3 Z 32 + Ze'= 0 px 32 + L 3 + Le'= 0 M 3 M 32 + Me'= 0 N 3 N 32 + Ne'= 0 On remarque que l équilibre de l ensemble ne peut avoir lieu que si les composantes Xe' et Le sont liées (relation imposée par (a) et (b)). Au total, on obtient donc équations indépendantes (sur un total initial de 2) liant 5 inconnues statiques. Le degré d hyperstatisme vaut donc : h = Ns rs = 5 = 4 X 2 + X 32 + Xe = 0 Y 2 + Y 32 + Ye = 0 Z 2 + Z 32 + Ze = 0 px 32 + Le = 0 X 32 + Xe'= 0 avec Le = pxe' M 2 + M 32 + Me = 0 N 2 + N 32 + Ne = 0 Y 3 Y 32 + Ye'= 0 Z 3 Z 32 + Ze'= 0 px 32 + L 3 + Le'= 0 M 3 M 32 + Me'= 0 N 3 N 32 + Ne'= 0 Etude cinématique : On exprime la fermeture cinématique :: { V ( 3 / 2) } + { V (2 / ) } + { V ( / 3) } = { 0} On obtient alors deux équations scalaires indépendantes : α 32 +α 2 = 0 pα 32 + u 3 = 0 Le degré de mobilité vaut donc : m = Nc rc = 3 2 = (avec mu = et mi = 0) On peut retrouver la valeur de h en utilisant la relation : h = m + 6 Nc = + 6 3 = 4. Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 8 sur 2
Chaînes de solides 5- Chaînes fermées complexes Une chaîne fermée complexe possède un nombre de liaisons supérieur au nombre de solides. L étude d une chaîne complexe reprend la même démarche que celle d une chaîne simple. Mais la présence de plusieurs cycles amène à des relations prenant en compte le nombre cyclomatique. Etude statique et hyperstatisme : Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d appliquer (n-) fois le PFS. L un des solides étant fixe ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-) isolements un certain nombre d équations statiques indépendantes. Ces équations font intervenir au total Ns inconnues statiques. On notera «rs» le nombre d équations statiques indépendantes et «Ns» le nombre total d inconnues statiques. On appelle h le degré d hyperstatisme d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs : h = Ns - rs Etude cinématique et mobilité: Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d écrire plusieurs fermetures cinématiques, en l occurrence γ fermetures On obtient alors un système d au plus 6γ équations cinématiques indépendantes. Ces équations font intervenir au total Nc inconnues cinématiques. On notera «rc» le nombre d équations cinématiques indépendantes et «Nc» le nombre total d inconnues cinématiques. On appelle m le degré de mobilité d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc: m = Nc - rc Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse. D où une certaine difficulté à déterminer le degré d hyperstatisme d une chaîne fermée simple. Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s exprimer par la relation suivante : m = 6(n-) rs En utilisant la relation remarquable nc i + ns i = 6, on peut exprimer le degré d hyperstatisme plus simplement : On peut écrire : Nc + Ns = n nc i + ns i = 6 l i= De plus : rs = 6 (n-) m = 6 (l - γ) m = (Nc + Ns) - 6γ - m D où : h = Ns rs = Ns ( (Nc + Ns) 6γ m ) n i= Ce qui nous donne la relation finale suivante : h = m + 6γ - Nc Dans le cas d un problème plan, cette relation devient : h = m + 3γ - Nc Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 9 sur 2
Chaînes de solides TABLEAU DES LIAISONS Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 :36 Page 0 sur 2
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