Activités Numériques (11 points) Exercice 1 ( 6 points) : Pour toutes les questions, écrire les différentes étapes du calcul. 1) Calculer et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat. 2) a) Donner la valeur décimale arrondie au centième de. b) Ecrire sous la forme où et sont des entiers relatifs, étant le plus petit possible. 3) Montrer que est un nombre entier 4) Ecrire sous la forme où, et sont des nombres entiers, étant le plus petit possible. 5) Montrer que est un nombre entier. (valeur approchée) (écriture scientifique) (valeur décimale) (valeur exacte) donc est bien un nombre entier donc est bien un nombre entier. Exercice 2 (5 points) : On donne 1) Développer et réduire. 2) Factoriser. 3) Calculer pour. On utilise la forme développée :
4) Résoudre l équation. C est une équation produit nul. Si un produit de facteurs est nul, alors l un au moins de ses facteurs est nul. ou Donc : Activités Géométriques (11,5 points) B Exercice 1 (5,5 points) : est un triangle tel que cm, cm et cm. est le point de la demi-droite tel que cm. La droite perpendiculaire à passant par coupe en. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. 1) Montrer que le triangle est rectangle. D une part : D autre part : On constate que triangle est rectangle en. donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le 2) Montrer que les droites et sont parallèles. Puisque est un triangle rectangle en, les droites et sont perpendiculaires. De plus, on sait que les droites et sont perpendiculaires. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles. Donc les droites et sont parallèles. 3) Calculer la longueur., donc, et. cm. Les droites et sont sécantes en. Les droites et sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a : A C M P On utilise : On obtient : La longueur mesure 3,75 cm. Exercice 2 (6 points) : C est un cercle de diamètre tel que cm. est le point du cercle tel que cm. est le point de la demi-droite tel que cm. est le point de la demi-droite tel que cm. 1) Faire une figure.
2) Démontrer que les droites et sont parallèles. Les points,,, et,, sont alignés dans le même ordre. D'une part : D autre part : On constate que : Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles. 3) Déterminer la nature du triangle, puis celle du triangle. Le triangle est inscrit dans le cercle de diamètre. Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. Donc le triangle est rectangle en. Ceci signifie que les droites et sont perpendiculaires. Or, les droites et sont parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l autre. Donc les droites et sont perpendiculaires. Donc le triangle est rectangle en. 4) Choisir parmi les quatre nombres suivants celui qui est égal à : a) 0,7 b) 1,4 c) 0,49 d) 2. D après les calculs du 2), le triangle est une réduction du triangle, de facteur 0,7. Si les longueurs sont multipliées par un coefficient, les aires sont multipliées par le coefficient. Donc le quotient recherché est 0,7² = 0,49. Problème (13,5 points) B Les 2 parties sont indépendantes. Monsieur Jean possède un terrain qu il souhaite partager en deux lots de même aire. Ce terrain a la forme d un triangle rectangle en tel que m et m. Il décide de partager son terrain en un lot triangulaire M A N C
et un lot ayant la forme d un trapèze comme indiqué dur la figure ci-contre avec parallèle à. L aire de ce terrain est 2000 m 2, donc l aire de chaque parcelle est de 1000 m 2. Partie A Dans cette partie m. 1) Calculer. Les droites et sont sécantes en. Les droites et sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a : On utilise : On obtient : La longueur mesure 56 m. 2) Comparer les aires du triangle et du trapèze après les avoir calculées. Aire du triangle : Aire du trapèze : L aire du trapèze mesure 1020 m². On a. L aire du triangle mesure 980 m². 3) Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point à plus de 35 m de ou à moins de 35 m de? En plaçant le point à moins de 35 m de, l aire du triangle est encore inférieure à celle du trapèze, donc il faut placer le point à plus de 35 m de. Partie B On veut déterminer la distance pour laquelle l aire du triangle est égale à 1000 m 2. On pose. 1) Exprimer en fonction de. On a démontré dans la Partie A l'égalité suivante : Donc :
2) Démontrer que l aire du triangle, exprimée en m 2, a pour mesure. Aire du triangle : 3) Soit f la fonction qui au nombre, compris entre 0 et 50, associe l aire du triangle. On note a) Calculer l image par f de 45. L image par f de 45 est 1620. b) Calculer l antécédent par f de 45. On cherche à résoudre l'équation. C est une équation du type, avec, donc elle admet deux solutions : et Or est une longueur, donc, donc : L'antécédent de 45 est. 4) Ci-après, on a construit la courbe représentant la fonction f. a) Le point appartient-il à cette courbe? La réponse s appuiera sur un calcul. Donc le point appartient à cette courbe. b) A l aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point pour que les deux parcelles aient la même aire. On donnera une valeur approchée et on tracera les pointillés facilitant la lecture. Si les deux parcelles ont la même aire, l aire du triangle est égale à 1000. Graphiquement, c est le cas lorsque. c) En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. On l écrira sous la forme, où et sont deux nombres entiers. En déduire la valeur approchée de la distance pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. On cherche à résoudre l'équation :
C est une équation du type, avec, donc elle admet deux solutions : et Or est une longueur, donc, donc : Donc les deux parcelles ont le même aire lorsque m.