riangle rectangle et cercle 1 Vocabulaire n considère les triangles rectangles suivants : IJK est un triangle rectangle tel que : IJ = 1 cm ; IK = 13 cm et JK =. a. Écris trois phrases avec l'expression «... est rectangle en....». b. Écris trois phrases avec l'expression «... est l'hypoténuse de....». c. our chaque triangle, précise où se situe le centre de son cercle circonscrit et calcule son rayon. édiane a. onstruis ce triangle puis la médiane issue du sommet et celle issue du sommet. b. onstruis son cercle circonscrit et calcule son rayon. 3 À partir d'un rectangle 7 cm I est un rectangle de centre. a. Que représente le point pour le segment []? Justifie. b. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle I? ourquoi? c. ourquoi appartient-il aussi à ce cercle? 4 À partir d'un triangle isocèle a. race un triangle isocèle en. n appelle le milieu de []. b. ontre que le triangle est rectangle en. c. ontre que les cercles ( ) de diamètre [] et ( ) de diamètre [] se coupent en et. 6 oints cocycliques = 4 cm ; = 6 cm ; = 3 cm. a. ais une figure en vraie grandeur. b. émontre que le point appartient au cercle de diamètre []. c. émontre que les points,, et sont sur un même cercle dont tu préciseras le centre et le rayon. 7 ( ) est un cercle de centre. et sont deux points de ( ) non diamétralement opposés. La perpendiculaire en à () recoupe ( ) en. a. ais une figure. b. émontre que est le milieu de []. c. est un autre point du cercle. émontre que est un triangle rectangle. 8, I et sont trois points alignés dans cet ordre. ( ) est le cercle de diamètre [I] et ( ) est le cercle de diamètre [I]. oit un point de ( ) différent de I et. La droite (I) coupe ( ) en. a. ais une figure. b. émontre que les droites () et () sont parallèles. 9 alcule et. Justifie. 10 partir d'un triangle rectangle = oit I un triangle rectangle en. oit le milieu de [I]. Quelle est la nature du triangle I? Justifie ta réponse. = 8 cm 5 onstruis un cercle ( ) de centre I et de rayon. lace un point sur ( ) et trace un diamètre [] de ( ). Quelle est la nature du triangle? ourquoi? 11 partir d'un losange est un losange de centre et de périmètre 0 cm. I est le milieu du côté []. alcule I. Justifie. IL L - HI 1
1 vec un quadrillage a. eproduis la figure ci-dessus sur du papier quadrillé. b. lace sur la droite (d) les points et tels que les triangles et soient rectangles respectivement en et. Justifie. 13 riangles rectangles à gogo 8 cm 3 cm I 30 a. onstruis ces triangles sans utiliser l'équerre. b. écris et justifie ta construction dans chacun des cas. (d) K 4 cm héorème de ythagore 16 Écrire la relation our chacun des triangles suivants, recopie et complète la phrase : «Le triangle... est rectangle en..., son hypoténuse est... donc d'après le théorème de ythagore : a. b. 17 elations...² =...² +...²». c. d. XYZ tel que : (XY) (YZ). e. avec : = 90. H n utilisant les données de la figure ci-dessus, recopie et complète les égalités suivantes : ² =...² +...² ² =...²...² ² =...²...² ² =...² +...² H² =... H² =... 14 riangles encerclés our chaque question, trace un cercle de rayon 3 cm puis inscris dans celui-ci un triangle : a. isocèle ; b. équilatéral ; c. rectangle ; d. rectangle isocèle. xplique chacune de tes constructions. 15 [] est un diamètre du cercle. a. Indique les triangles rectangles d'hypoténuse []. ite la propriété du cours que tu utilises. b. xplique pourquoi le triangle ne peut pas être dans ta liste précédente. U V 18 Le théorème, dans quel triangle? our chacune des figures suivantes, indique en expliquant ta réponse, les triangles dans lesquels le théorème de ythagore peut s'appliquer et quelle(s) longueur(s) tu peux alors calculer (les mesures données sont en cm). a. b. 1 3 1,5 8 4 H, H et sont alignés. c. d. est un carré. 5 6,5 4,5 HI 1 - IL L
19 arré, racine carrée est un triangle rectangle en tel que : = 3 cm et = 1 cm. a. Joseph a écrit : «² = 6 + ; ² = 8 donc = 4 cm». Indique et analyse ses erreurs. b. alcule ² puis en utilisant la touche racine carrée de ta calculatrice, donne la valeur de approchée par défaut au millimètre près. 3 Je rédige et je calcule a. Le triangle est rectangle en avec = 5, m et = 4,8 m. alcule la valeur de arrondie au dixième. b. alcule dans le triangle, rectangle en tel que : = 60 mm et = 10,9 cm. c. alcule. onne la valeur approchée par excès au centième près. 6,8 cm 5, cm 0 oit un triangle rectangle en. a. Écris l'égalité de ythagore pour ce triangle. b. n donne : = 450 mm et = 360 mm. alcule ² puis, en utilisant la touche racine carrée de ta calculatrice, la longueur. c. alcule avec = 4,5 dm et =,7 dm. 1 est un triangle rectangle en. a. Écris l'égalité de ythagore pour ce triangle. b. Le tableau suivant présente plusieurs cas de dimensions du triangle. ecopie et complète-le en écrivant le détail de tes calculs (tu arrondiras au dixième si nécessaire) : n 1 n n 3 n 4 n 5...... 5,3 cm 9,1 cm 7 m 1 7,7 cm... 9 cm... m 8 cm 36 dm,8 cm... 53 cm est un triangle rectangle en tel que : = 48 mm et = 64 mm. a. onstruis ce triangle en vraie grandeur. b. Quelle longueur peux-tu calculer avec le théorème de ythagore? alcule cette longueur en rédigeant. Vérifie la cohérence de ton calcul sur ta figure. c. eprends les questions précédentes avec le triangle rectangle en tel que = 7,4 cm et =,4 cm. 4 alcule la valeur arrondie au millimètre de : a. la longueur de la diagonale d'un carré de côté ; b. la longueur de la diagonale d'un rectangle dont les dimensions sont 8,6 cm et 5,3 cm ; c. la longueur du côté d'un carré de diagonale 100 m. 5 aut d'obstacle héo veut franchir, avec une échelle, un mur de 3,50 m de haut devant lequel se trouve un fossé rempli d'eau, d'une largeur de 1,15 m. a. ais un schéma de la situation. b. Il doit poser l'échelle sur le sommet du mur. Quelle doit être la longueur minimum de cette échelle? rrondis au cm. 6 Jardinage Un massif de fleurs a la forme d'un triangle rectangle et le jardinier veut l'entourer d'une clôture. u moment de l'acheter, il s'aperçoit qu'il a oublié de mesurer un des côtés de l'angle droit. Les deux seules mesures dont il dispose sont, en mètres : 6,75 et 10,59. a. -t-il besoin d'aller mesurer le côté manquant? b. ide-le à calculer la longueur de la clôture qu'il doit acheter. 7 Le cric Le cric d'une voiture a la forme d'un losange de 1 cm de côté. À quelle hauteur soulève-t-il la voiture 3 cm lorsque la diagonale horizontale mesure 3 cm? rrondis au mm. IL L - HI 1
8 L'arc pour enfant La corde élastique a une longueur de 60 cm au repos. a. Quelle est la nouvelle longueur de la corde si on l'écarte de 11 cm en la tirant par son milieu? rrondis au cm. b. Il est conseillé de ne pas tirer la corde de plus de 8 cm. Quel est, en cm, l'écartement maximal conseillé? 9 ur la figure ci-contre : = 1, ; = 6 cm et = 1 cm. a. alcule la valeur arrondie au mm de. b. alcule, en justifiant, la valeur exacte de. 30 ans un quadrilatère 13, 10, émontre que = I. Justifie toutes les étapes. 31 est un triangle isocèle en tel que = 4, et = 5,4 cm. a. alcule la longueur de la hauteur relative à la base []. b. éduis-en l'aire de ce triangle. 3 alcule la mesure, approchée par excès au dixième près, de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 7 cm. éduis-en son aire. 6 cm I 34 ectangle ou non? a. Le triangle XYZ est tel que XY = 9,8 cm ; YZ = 8,1 cm ; XZ = 10, cm. xplique pourquoi il n'est pas rectangle. b. oit le triangle L tel que : L = 13,1 cm ; L = 11, cm ; = 6,6 cm. onstruis ce triangle en vraie grandeur. st-il rectangle? Justifie ta réponse. éciproque du théorème de ythagore 35 oit le triangle tel que = 3 cm ; = et = 4 cm. a. onstruis ce triangle en vraie grandeur. b. n utilisant ton équerre, peux-tu affirmer que ce triangle est rectangle? c. ais les calculs nécessaires pour pouvoir conclure. Écris le théorème utilisé. 36 onne tous les triangles rectangles dont les mesures des côtés sont parmi les valeurs suivantes : 6 cm ; 8, cm ; 10 cm ; 1,8 cm ; ; 8 cm. 37 ans chacun des cas ci-dessous : Identifie le plus long côté du triangle. alcule, d'une part, le carré de la longueur de ce côté. alcule, d'autre part, la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. ompare les résultats obtenus et conclus. a. = 4, ; = 6 cm ; = 7,. b. = 3,6 cm ; = 6 cm ; = 7 cm. c. =64 mm ; = 7 mm ; = 65. d. = 3, dam ; = 5,6 m ; = 19, m. 33 vec des angles Le triangle est rectangle en : = 7 cm et = 45. a. alcule la mesure de l'angle. b. alcule, en justifiant, et (tu arrondiras au mm). 45 38 pprendre à rédiger ans chacun des cas suivants, démontre que le triangle est un triangle rectangle. récise à chaque fois en quel point. a. = ; = 39 cm et = 6. b. = 3,5 m ; = 3,97 m et =,8 m. c. = 8,9 dm ; = 3,9 dm et = 80 cm. d. = 33 mm ; = 65 mm et = 56 mm. HI 1 - IL L
39 Jouer au professeur! Voici l'énoncé d'un problème : est un triangle tel que = ; = 4 cm et = 7 cm. émontre que le triangle est un triangle rectangle. Quentin a rédigé sur sa copie le texte : 43 u parallélogramme au losange L est un parallélogramme tel que : L = 58 mm ; L = 80 mm et = 84 mm. émontre que L est un losange. 44 leurs sur une étagère ur un mur vertical, rnaud a installé une étagère pour y poser des pots de fleurs. Les mesures qu'il a utilisées sont les suivantes : = 4 cm ; = 58 cm et = 40 cm. L'étagère d'rnaud est-elle horizontale? Justifie. a. xplique pourquoi le raisonnement de Quentin est faux. b. ecopie la démonstration de Quentin en la corrigeant. 40 omparaison Voici ce que l'on peut voir sur une copie : «² = 3,64² ² = 13,496 ² + ² = 0,7² + 3,65² ² + ² = 0,079 + 13,35 ² + ² = 13,3954 onc ² ² + ². 'après le théorème de ythagore, n'est pas rectangle.» st-ce juste? Justifie ta réponse et corrige cette copie le cas échéant. 41 Le triangle UI est tel que : UI = ; U = 1,4 cm et I = 4,8 cm. a. onstruis ce triangle en vraie grandeur. b. ar la symétrie de centre, construis les points et symétriques respectifs des points U et I. c. Quelle semble être la nature de UI? émontre ta conjecture. 4 u parallélogramme au rectangle n considère le parallélogramme ci-contre dessiné à main levée. émontre que le parallélogramme est un rectangle. 7 cm 8,7 5, 45 onstruction d'un mur our apprendre son métier, un apprenti maçon a monté un mur en briques de 0,90 m de hauteur. on patron arrive pour vérifier 1 m son travail : il marque un point sur le mur à 80 cm du sol et un point à 60 cm du pied du mur. Il sol mesure alors la distance entre les points et et il obtient 1 m. L'apprenti a-t-il bien construit son mur perpendiculaire au sol? Justifie. 46 roites perpendiculaires eux droites (d 1 ) et (d ) sont sécantes en ; est un point de (d 1) tel que : = 11,9 cm et est un point de (d ) tel que : = 1 cm. n sait d'autre part que : = 16,9 cm. émontre que les droites (d 1) et (d ) sont perpendiculaires. 47 Le collier de lémence 1 1 11 10 9 8 3 4 5 lémence possède un collier qui contient 1 perles espacées régulièrement. lle affirme pouvoir vérifier à l'aide de son collier qu'un triangle est rectangle. our cela, elle a besoin de former un triangle et de tendre son collier. lle numérote ses perles de 1 à 1. a. essine le collier de lémence dans une position qui lui permet d'obtenir un angle droit. b. xplique et justifie ton choix. 6 7 IL L - HI 1