DM 11 QUELQUES PROPRIÉTÉS DU TÉTRAEDRE TS Dans tout le problème, on considère un tétraèdre ABCD. PARTIE A Dans cette partie, on suppose que le tétraèdre ABCD est régulier : cela signifie que toutes ses arêtes ont même longueur a. (Ses faces sont donc des triangles équilatéraux) On note : P, Q, R, S, U et V les milieux respectifs des segments [BC], [AD], [AB], [CD], [AC] et [BD] A' le centre de gravité de la face BCD. G le centre de gravité du tétraèdre ABCD (c'est-à-dire l'isobarycentre des sommets A, B, C et D) 1. Démontrer les propriétés d'orthogonalités suivantes : (a) Les arêtes opposées du tétraèdre régulier sont orthogonales. (b) Chaque médiane (1) du tétraèdre régulier est orthogonale à la face opposée. (c) Chaque bimédiane () du tétraèdre régulier est orthogonale aux arêtes qu'elle joint. (d)les bimédianes du tétraèdre régulier sont orthogonales deux à deux.. Démontrer les propriétés suivantes relatives au centre de gravité du tétraèdre : (a) Le médianes du tétraèdre régulier sont concourantes en G Préciser la position de G sur les médianes. (b) Les bimédianes du tétraèdre régulier sont concourantes en G Préciser la position de G sur les bimédianes. (c) Démontrer les égalités suivantes : GA + GB + GC + GD = 1 4 (AB + AC + AD + BC + BD + CD ) GA + GB + GC + GD = PQ + RS + UV PARTIE B Question ouverte : parmi les 7 propriétés ci-dessus, lesquelles restent valables dans un tétraèdre quelconque? (Dans les cas affirmatifs, soit on expliquera pourquoi la démonstration faite dans la partie A reste valable, soit on fera une démonstration plus générale. Dans les cas infirmatifs, on donnera un contre-exemple : on pourra pour cela se placer dans un repère orthonormé ayant pour origine l'un des sommets du tétraèdre.) (1) Est appelée médiane d'un tétraèdre, la droite ou le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée. () Est appelée bimédiane d'un tétraèdre, la droite ou le segment joignant les milieux des arêtes opposées. TS DM 11 : quelques propriétés du tétraèdre Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
DM 11 QUELQUES PROPRIÉTÉS DU TÉTRAEDRE TS A R U Q B G V P A' D S C PARTIE A 1. (a) Puisque le tétraèdre est régulier, on a : CA = CB DA = DB Par ailleurs, puisque R est le milieu de [AB] : RA = RB On constate que les points C, D et R sont équidistants de A et B. (CDR) est donc le plan médiateur du segment [AB]. Donc la droite (AB) est orthogonale à toute droite du plan (CDR) en particulier à (CD). On a montré : (AB) (CD) On montre de même : (AC) (BD) et (AD) (BC) C'est-à-dire : les arêtes opposées du tétraèdre régulier sont orthogonales Autre méthode avec le produit scalaire : AB. CD AS + SB. CD = AS. CD + SB. CD = ( ) Les points C, D et R ne sont pas alignés, ils définissent donc bien un plan. ACD étant un triangle équilatéral, le point A se projette orthogonalement en S sur la droite (CD) donc : AS. CD = 0 De même : SB. CD = 0 TS DM 11 : quelques propriétés du tétraèdre Page G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
On a montré : On montre de même : C'est-à-dire : AB. CD = 0 (AB) (CD) (AC) (BD) et (AD) (BC) les arêtes opposées du tétraèdre régulier sont orthogonales (b) Montrons que la médiane (AA') est orthogonale au plan (BCD) : On constate que (ABS) est la plan médiateur du segment [BD], donc : (AA') (BD) De même, (ADP) est le plan médiateur de [BC], donc : (AA') (BC) La droite (AA') est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BCD) donc : (AA') (BCD) La médiane (AA') est orthogonale à la face opposée On raisonne de même avec les médianes (BB'), (CC') et (DD'). Autre méthode avec le produit scalaire : AA. BD AB+ AC + AD. BD = AB. BD + AC. BD + AD. BD = ( ) Or : AB a. BD = AC. BD = 0 (d'après la question 1.(a)) AD a. BD = AA. BD = 0 On montre de même que : AA. BC = 0 La droite (AA') est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BCD) donc : (AA') (BCD) La médiane (AA') est orthogonale à la face opposée On raisonne de même avec les médianes (BB'), (CC') et (DD'). Conclusion : chaque médiane du tétraèdre régulier est orthogonale à la face opposée. (c) On a vu que (CDR) est le plan médiateur su segment [AB]. Par conséquent : (RS) (AB) De même, (ABS) est le plan médiateur du segment [CD] donc : (RS) (CD) On raisonne de même avec les autres bimédianes. Conclusion : chaque bimédiane du tétraèdre régulier est orthogonale aux arêtes qu'elle joint. (d)étudions l'orthogonalité des bimédianes (PQ) et (RS) : 4 PQ. RS PR+ RQ RQ+ QS CA+ BC = 4 ( ). ( ) = ( ). ( BC + AC ). (a) D'après l'associativité du barycentre, on a : = BC AC = a a = 0 G = bar A B C D A A = bar 1 1 1 1 1 Donc : G (AA') TS DM 11 : quelques propriétés du tétraèdre Page G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
On montre de même : G (BB'), G (CC') et G (DD') Les médianes passent toutes par G, elle sont donc concourantes en G. De plus, de la relation GA + GA = 0, on déduit : AG = 4 AA Le centre de gravité G du tétraèdre ABCD est situé aux de la médiane [AA'] en partant de A. 4 (b) Toujours par la propriété de l'associativité du barycentre, on a : G = bar A B C D R S = bar 1 1 1 1 Donc : On montre de même : G (RS) G (PQ) et G (UV) Les bimédianes du tétraèdre régulier sont donc concourantes en G. De plus, G est situé au milieu de chacune de ces bimédianes. (c) On rappelle que la hauteur h d'un triangle équilatéral de côté a est : On a donc : h = a GA = 16 9 AA' = 16 9 (AB BA' ) = 16 9 (AB 9 4 BS ) = 16 9 (a 9 4 4 a ) = 8 a De même : GB = GC = GD = 8 a GA + GB + GC + GD = a = 1 4 (AB + AC + AD + BC + BD + CD ) Pour la deuxième égalité : GA + GB + GC + GD = 9GA' + GB + GC + GD = 1GA' + AB + AC + AD GA + GB + GC + GD = 1GA' + 4(A'S + B'V + A'P ) = 4(GP + GS + GU ) GA + GB + GC + GD = PQ + RS + UV PARTIE B 1. (a) Cette propriété est fausse dans un tétraèdre quelconque. O, i, j, k de l'espace et donnons un contre-exemple : Plaçons-nous dans un repère orthonormé ( ) A = O, B(6, 0, 0), C(0, 6, 0) et D(0, 6, 6) 0 AD 6 6 et 6 BC 6 0 Donc (AD) et (BC) ne sont pas orthogonales. AD. BC = 6 0 TS DM 11 : quelques propriétés du tétraèdre Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
(b) Cette propriété est fausse dans un tétraèdre quelconque. Il suffit de reprendre le contre-exemple précédent. Le centre de gravité A' de BCD a pour coordonnées : AA 4 A'(, 4, ) et 6 BC 6 0 AA. BC = 1 0 La médiane (AA') n'est pas orthogonale à la droite (BC) donc elle n'est pas orthogonale au plan (BCD). (c) Cette propriété est fausse dans un tétraèdre quelconque. Il suffit de reprendre le contre-exemple précédent. Le milieu R de [AB] a pour coordonnées : R(, 0, 0) Le milieu S de [CD] a pour coordonnées : S(0, 6, ) 6 AB 0 0 et RS 6 AB. RS = 18 0 La bimédiane (RS) n'est pas orthogonale à la droite (AB). (d)cette propriété est fausse dans un tétraèdre quelconque. Il suffit de reprendre le contre-exemple précédent. Le milieu P de [BC] a pour coordonnées : P(,, 0) Le milieu Q de [AD] a pour coordonnées : Q(0,, ) PQ 0 et RS 6 PQ. RS = 9 0 Les bimédianes (PQ) et (RS) ne sont pas orthogonales.. (a) et (b) Ces deux propriétés restent vraies dans un tétraèdre quelconque. En effet, leur démonstration n'utilise à aucun moment le fait que le tétraèdre est régulier. (c) Ces égalités restent vraies dans un tétraèdre quelconque. La démonstration faite dans la partie A doit être modifiée. Par définition du centre de gravité G de A, B, C et D, on a : GA + GB + GC + GD = 0 ( GA+ GB+ GC+ GD) En développant, on obtient : = 0 GA + GB + GC + GD + ( GA. GB + GA. GC + GA. GD + GB. GC + GB. GD + GC. GD ) = 0 Or, d'après la formule d'al-kashi appliquée au triangle ABC, on a : AB = = ( AG+ GB) = ( GB GA) AB = GA + GB GA. GB ( ) GA. GB = GA + GB AB TS DM 11 : quelques propriétés du tétraèdre Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
De même : GA. GC = GA + GC AC GA. GD = GA + GD AD GB. GC = GB + GC BC GB. GD = GB + GD BD GC. GD = GC + GD CD En remplaçant dans ( ), on obtient : GA + GB + GC + GD + (GA + GB + GC + GD AB AC AD BC BD CD ) = 0 4(GA + GB + GC + GD ) = AB + AC + AD + BC + BD + CD GA + GB + GC + GD = 1 4 (AB + AC + AD + BC + BD + CD ) Montrons la deuxième relation. On sait que les bimédianes se coupent en leur milieu qui est le point G (question. (b)), on a donc : PQ + RS + UV = 4(GP + GR + GU ) D'après la formule de la médiane appliquée dans le triangle GBC puis dans GAD, on a : GB + GC = GP + 1 BC et GA + GD = GP + 1 AD En additionnant : 4GP = GA + GB + GC + GD 1 BC 1 AD De même dans les triangles GAB et GCD : Et dans GAC et GBD : 4GR = GA + GB + GC + GD 1 AB 1 CD 4GU = GA + GB + GC + GD 1 AC 1 BD PQ + RS + UV = (GA + GB + GC + GD ) 1 (AB + AC + AD + BC + BD + CD ) Et d'après la première relation vue ci-dessus : PQ + RS + UV = (GA + GB + GC + GD ) (GA + GB + GC + GD ) PQ + RS + UV = GA + GB + GC + GD TS DM 11 : quelques propriétés du tétraèdre Page 6 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/