3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 1 Exercice 1 (8 points) a. Effectue avec soin les différentes constructions suivantes. Trace un demi-cercle () de centre O et de diamètre [AB] sachant que AB = 10 cm. Place sur () un point C tel que l'angle a BAC mesure 40. Trace la tangente (d) à () en B. Celle-ci coupe la droite (AC) au point D. b. Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances AC et CB, après avoir justifié la nature du triangle ABC. c. Indique les mesures exactes des angles a ADB et a DBC en justifiant tes réponses. d. Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances CD, BD et AD. Exercice 2 (4 points) R 6,5 cm D Soit RDS un triangle rectangle en S. 2,5 cm S a. Exprime le sinus de l'angle a DRS en fonction des longueurs des côtés du triangle. b. Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle a DRS. Exercice 3: (6 pts) Factoriser les expressions suivantes : A = 36x² - 25 B = (8x 3)(3x + 7) (8x 3)(5x 4) C = 9x² - 12x + 4 D = 49 16 x² - 9 4 E = 1 x² + 2x + 4 F = (6m 3)² - (6m 3)(4m + 2) 4 Exercice 4: (4 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (4x + 5)² B = (6x 7)² C = (3x 2)(3x + 2) D = (2x + 5)² + (5x 3)² 1
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 2 Exercice 1 (8 points) a. Effectue avec soin les différentes constructions suivantes. Trace un demi-cercle () de centre O et de diamètre [AC] sachant que AC = 8 cm. Place sur () un point B tel que l'angle a CAB mesure 35. Trace la tangente (d) à () en C. Celle-ci coupe la droite (AB) au point D. b. Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances AB et BC, après avoir justifié la nature du triangle ABC. c. Indique les mesures exactes des angles a ADC et a BCD en justifiant tes réponses. d. Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances BD, CD et AD. Exercice 2 (4 points) Soit RDS un triangle rectangle en R. a. Exprime le cos de l'angle a DSR en fonction des longueurs des côtés du triangle. b. Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle a DSR. Exercice 3: (6 pts) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = (7x + 2)(3x + 7) (3x + 7)(5x 4) B = 4x² - 1 C = (4m 1)² + (4m - 1)(4m + 2) D = 1 9 x² - 4 3 x + 4 E = 25x² + 20x + 4 F = 36 25 x² - 9 4 Exercice 4: (4 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (5x 3)(5x + 3) B = (2x - 5)² + (5x + 3)² C = (2x + 3)² D = (7x 6)² 2
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 1 Exercice 1 (8 points) a Effectue avec soin les différentes constructions suivantes. Trace un demi-cercle () de centre O et de diamètre [AB] sachant que AB = 10 cm. Place sur () un point C tel que l'angle a BAC mesure 40. Trace la tangente (d) à () en B. Celle-ci coupe la droite (AC) au point D. b Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances AC et CB, après avoir justifié la nature du triangle ABC. c Indique les mesures exactes des angles a ADB et a DBC en justifiant tes réponses. d Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances CD, BD et AD. a b Le triangle ABC étant inscrit dans le cercle de diamètre [AB] est rectangle en C. On peut donc utiliser la trigonométrie dans ce triangle : cos a BAC = AC AB Soit : cos 40 = AC 10 Donc AC = 10 cos 40 7,7 cm sin a BAC = BC AB 3
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 1 Soit : sin 40 = BC 10 BC = 10 sin 40 6,4 cm c Le triangle ADB est rectangle en B puisque la droite (d) est perpendiculaire à (AB). Le triangle ADB étant rectangle en B alors les angles a BAD et a ADB sont complémentaires. Donc a ADB = 90 - a BAD = 90-40 = 50 Le triangle BCD étant rectangle en C alors les angles a BDC et a DBC sont complémentaires. Donc a DBC = 90 - a BDC = 90-50 = 40 d Calcul de CD : Le triangle BCD étant rectangle en C, on a : Soit : tan 50 = 10 sin 40 CD Donc CD tan 50 = 10 sin 40 sin 40 CD = 10 5,4 cm tan 50 tan a ADB = BC CD Calcul de BD : Dans le triangle ABD rectangle en B, on a : Soit : tan 40 = BD 10 tan a BAD = BD BA Donc BD = 10 tan 40 8,4 cm Calcul de AD : Dans le triangle ABD rectangle en B, on a : Soit : cos 40 = 10 AD Donc AD = 10 13,1 cm cos 40 cos a BAD = AB AD 4
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 1 Exercice 2 (4 points) Soit RDS un triangle rectangle en S. R 6,5 cm D 2,5 cm S a. Exprime le sinus de l'angle a DRS en fonction des longueurs des côtés du triangle. b. Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle a DRS. a) Dans le triangle RDS rectangle en S, on a : sin a DRS = SD RD = 2,5 6,5 = 5 13 b) A l aide de la touche sin -1 de la calculatrice, on obtient a DRS 23. Exercice 3: (6 pts) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = 36x² - 25 B = (8x 3)(3x + 7) (8x 3)(5x 4) C = 9x² - 12x + 4 D = 49 16 x² - 9 4 E = 1 x² + 2x + 4 F = (6m 3)² - (6m 3)(4m + 2) 4 A = (6x+5)(6x-5) B = (8x - 3)[3x+7-(5x-4)] = (8x 3)(3x+7-5x+4) = (8x-3)(-2x+11) C = (3x)² -2 3x 2 + 2² = (3x-2)² D = 7 4 x ²- 3 2 ² = 7 4 x + 3 2 7 4 x - 3 2 E = 1 2 x ² +2 1 2 x 2 + 2² = 1 2 x + 2 ² F = (6m 3)(6m 3 4m 2) = (6m 3)(2m 5) 5
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 1 Exercice 4: (4 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (4x + 5)² B = (6x 7)² C = (3x 2)(3x + 2) D = (2x + 5)² + (5x 3)² A = (4x)² + 2 4x 5 + 5² = 16x² + 40x + 25 B = (6x)² - 2 6x 7 + 7² = 36x² - 84x + 49 C = (3x)² - 2² = 9x² - 4 D = (2x)² + 2 2x 5 + 5² + (5x)² - 2 5x 3 + 3² D = 4x² + 20x + 25 + 25x² - 30x + 9 = 29x² - 10x + 34 6
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 2 Exercice 1 (8 points) a. Effectue avec soin les différentes constructions suivantes. Trace un demi-cercle () de centre O et de diamètre [AC] sachant que AC = 8 cm. Place sur () un point B tel que l'angle a CAB mesure 35. Trace la tangente (d) à () en C. Celle-ci coupe la droite (AB) au point D. b. Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances AB et BC, après avoir justifié la nature du triangle ABC. c. Indique les mesures exactes des angles a ADC et a BCD en justifiant tes réponses. d. Calcule au dixième de centimètre près les mesures des distances BD, CD et AD. b Le triangle ABC étant inscrit dans le cercle de diamètre [AC] est rectangle en B. On peut donc utiliser la trigonométrie dans ce triangle : cos a BAC = AB AC Soit : cos 35 = AB 8 Donc AB = 8 cos 35 6,6 cm sin a BAC = BC AC Soit : sin 35 = BC 8 7
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 2 BC = 8 sin 35 4,6 cm c Le triangle ADC est rectangle en C puisque la droite (d) est perpendiculaire à (AC). Le triangle ADC étant rectangle en C alors les angles a CAD et a ADC sont complémentaires. Donc a ADC = 90 - a CAD = 90-35 = 55 Le triangle BCD étant rectangle en B alors les angles a BDC et a BCD sont complémentaires. Donc a BCD = 90 - a BDC = 90-55 = 35 d Calcul de BD : Le triangle ACD étant rectangle en B, on a : Soit : tan 55 = 8 sin 35 BD Donc BD tan 55 = 8 sin 35 sin 35 BD = 8 3,2 cm tan 55 tan a ADC = BC BD Calcul de CD : Dans le triangle ABD rectangle en C, on a : tan a CAD = CD AC Soit : tan 35 = CD 8 Donc CD = 8 tan 35 5,6 cm Calcul de AD : Dans le triangle ABD rectangle en C, on a : Soit : cos 35 = 8 AD Donc AD = 8 9,8 cm cos 35 cos a CAD = AC AD 8
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 2 Exercice 2 (4 points) Soit RDS un triangle rectangle en R. a. Exprime le cos de l'angle a DSR en fonction des longueurs des côtés du triangle. b. Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle a DSR. a) Dans le triangle RDS rectangle en R, on a : Soit cos a DSR = 1,5 5,5 = 3 11 cos a DSR = RS DS b) A l aide de la touche cos -1 de la calculatrice, on obtient a DSR 74. Exercice 3: (6 pts) Factoriser, si possible, les expressions suivantes : A = (7x + 2)(3x + 7) (3x + 7)(5x 4) B = 4x² - 1 C = (4m 1)² + (4m - 1)(4m + 2) D = 1 9 x² - 4 3 x + 4 E = 25x² + 20x + 4 F = 36 25 x² - 9 4 A = (3x + 7)[(7x + 2) (5x 4)] = (3x + 7)(7x + 2 5x + 4) = (3x + 7)(2x + 6) A = 2(3x 7)(x + 3) B = (2x)² - 1² = (2x + 1)(2x 1) C = (4m 1)[(4m 1) + (4m + 2)] = (4m 1)(8m + 1) D = 1 3 x ² - 2 1 3 x 2 + 2² = 1 3 x - 2 ² E = (5x)² + 2 5x 2 + 2² = (5x + 2)² F = 6 5 x ² - 3 2 ² = 6 5 x + 3 2 6 5 x - 3 2 9
3 ème B DS4 calcul littéral -trigonométrie 2012-2013 sujet 2 Exercice 4: (4 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : A = (5x 3)(5x + 3) B = (2x - 5)² + (5x + 3)² C = (2x + 3)² D = (7x 6)² A = (5x)² - 3 ² = 25x² - 9 B = (2x)² - 2 2x 5 + 5² + (5x)² + 2 5x 3 + 3 ² B = 4x² - 20x + 25 + 25x² + 30x + 9 = 29x² + 10x + 34 C = (2x)² + 2 2x 3 + 3² = 4x² + 12x + 9 D = (7x)² - 2 7x 6 + 6² = 49x² - 84x + 36 10