RECTANGLE I- Définition: Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits ABCD est un rectangle Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits II- Remarque: Si ABCD un rectangle, alors (AB) est parallèle à (DC) et(ad) est parallèle à (BC) Donc: Tout rectangle est un parallélogramme III- Symétries: Un rectangle possède: - deux axes de symétrie - un centre de symétrie IV- Propriétés des côtés: Soit ABCD un rectangle Alors: (AB) est parallèle à (DC) (AD) est parallèle à (BC) AB = DC et AD = BC Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur V- Propriétés des diagonales: Soit ABCD un rectangle et O le point d'intersection de ses diagonales Alors: O est le milieu de [AC] O est le milieu de [BD] AC = BD Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur 1
VI- Quadrilatère ayant trois angles droits: Construire un quadrilatère ABCD tel que A = B = D = 90 On obtient la figure ci-contre, qui est un rectangle Si un quadrilatère a trois angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle VII- Parallélogramme ayant un angle droit: 1) Propriété: Construire un parallélogramme ABCD tel que A = 90 1) On trace deux segments [AB] et [AD] perpendiculaires 2) On trace la parallèle à (AB) passant par D et la parallèle à (AD) passant par B. Elles se coupent en C On obtient la figure ci-contre, qui est un rectangle Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle. 2) Exemple d'utilisation: Montrer que KLMN est un rectangle Le codage indique que les angles KLN et LNM sont égaux. Donc (KL) est parallèle à (NM) car: Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles. De plus KL = NM Donc KLMN est un parallélogramme car: Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. De plus l'angle LMN est un angle droit. Donc KLMN est un rectangle car: Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle. 2
3) Attention: La phrase "Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle" est fausse si on y remplace le mot "parallélogramme" par le mot "quadrilatère". Un quadrilatère ayant un angle droit n'est pas obligatoirement un rectangle, comme le montre la figure ci-contre VIII - Parallélogramme ayant ses diagonales de la même longueur: 1) Propriété: Construire un parallélogramme ABCD tel que AC = BD Remarque: Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que les diagonales se coupent en leur milieu. On trace donc deux segments [AC] et [BD] de même longueur et ayant le même milieu O: On obtient la figure ci-contre, où ABCD est un rectangle Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. 2) Exemple d'utilisation: Soit IJK un triangle isocèle en K 1) Construire les points L symétrique de I par rapport à K et M symétrique de J par rapport à K 2) Montrer que IJLM est un rectangle 1) On obtient la figure ci-contre. 2) Par construction des symétriques on a: K milieu de [IL] et [JM], donc IJLM est un parallélogramme car: Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme De plus, d'après le codage, IL = JM Donc IJLM est un rectangle car: Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. 3) Attention: La phrase "Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle" est fausse si on y remplace le mot "parallélogramme" par le mot "quadrilatère". Un quadrilatère ayant ses diagonales de la même longueur n'est pas obligatoirement un rectangle, comme le montre la figure ci-contre Sur cette figure on a AC = BD et ABCD n'est pas un rectangle 3
IX - Exercices: Exercice 1: Sur la figure ci-contre: C est un cercle de centre O [PR] et [QS] sont deux diamètres de ce cercle Montrer que PQRS est un rectangle Exercice 2: 1) Calculer la mesure de l'angle GH 2) La parallèle à (GH) passant par I et la parallèle à (HI) passant par G se coupent en J. Montrer que GHIJ est un rectangle 4
RECTANGLE - CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: Exercice 2: Comme [PR] et [QS] sont deux diamètres et O le centre de ce cercle, on a: O milieu de [PR] et [QS] et PR = QS Comme O est le milieu de [PR] et [QS], PQRS est un parallélogramme car: Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme Comme, de plus, PR = QS, PQRS est un rectangle car: Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. 1) La somme des angles d'un triangle est égale à 180 Donc: GHI = 180 - (27 + 63) = 180-90 = 90 2) On obtient la figure ci-contre. Comme (GH) est parallèle à (JI) et (GJ) est parallèle à (HI), alors GHIJ est un parallélogramme. De plus, d'après la première question, l'angle GHI est un angle droit. Donc GHIJ est un rectangle car: Si un parallélogramme a un angle droit alors ce parallélogramme est un rectangle 5