Liaison Collège Lycée Rentrée 04 Lycée Le Corbusier Lycée Charles de Gaulle Pour réussir son début de seconde La clef de la réussite c est bien sûr un travail régulier et approfondi tout au long de l année. Mais comme on ne peut construire que sur des bases solides, vous ne pourrez réussir en seconde que si les bases du collège sont bien assimilées. C est l objectif de ce recueil d eercices. Il faut que les notions de cours soient parfaitement sues et que vous soyez capable de faire les eercices proposés sans difficultés. Profitez de vos deu mois de vacances pour travailler toutes ces notions! N attendez pas la veille de la rentrée! Les professeurs de secondes s appuieront sur ce travail dès le jour de la rentrée. Bon courage! Vive les vacances!
I Développement Factorisation Réduction. Vocabulaire : Développer une epression signifie transformer une epression (souvent un produit) en une somme algébrique. Factoriser une epression signifie transformer une epression (souvent une somme algébrique) en un produit. Réduire une epression signifie simplifier son écriture : Eemples : en simplifiant l écriture des multiplications. en regroupant et en additionnant les termes de même nature.. Soit un nombre. Réduire : + ; ; + ; + = 5 ; = 6 ; + = 5 ; = 6 4. Réduire l epression suivante : A( ) = + 9 + 5 4 A ( ) = + 9 + 5 4 A ( ) = + 9 + 5 4 A ( ) = + 5 + 9 4 A ( ) = + 5 Factoriser Propriété : Pour tous nombres k, a et b : k ( a + b) = ka + kb. Développer Eemples : Soit un nombre. C( ) = 5 7 et factoriser D( ) = (5 )( + 4) + (5 ). Développer ( ) ( ) C( ) = 5 7 C( ) = 5 5 ( 7) C( ) = 5 + 5 7 C( ) = 5 + 5 D( ) = (5 )( + 4) + (5 ) D( ) = (5 )( + 4) + (5 ) [ ] D( ) = (5 ) ( + 4) + D( ) = (5 )( + 5) Propriété : Pour tous nombres a, b, c et d : ( a + b)( c + d ) = ac + ad + bc + bd Eemple : Développer et réduire H ( ) ( 6 4)( 7) H ( ) = ( 6 4)( 7) ( ) 8 4 8 ( ) 46 4 =. H ( ) = 6 + 6 ( 7) + ( 4 ) + ( 4 ) ( 7) H = + H = + Développer
Propriété : Pour tous nombres a, b et c : + ( a + b c) = a + b c ( a + b c) = a b + c Eemple : Développer et réduire J ( ) = ( + )( ) ( + )( + 8) J ( ) = ( + )( ) ( + )( + 8) ( ) ( ) ( ) ( ) J ( ) = + 6 + 6 + + 8 J ( ) = + 6 + 7 + 8 J ( ) = + 6 7 8 J ( ) = + 7 6 8 J ( ) = 6 4 Propriété : «identités remarquables» Factorisation Pour tous nombres a et b, on a : ( ) a + b = a + ab + b ( ) a b = a ab + b ( a + b) ( a b) = a b Développement Eemples :. Développer ( ) = ( + ), M( ) = (4 ), N( ) = ( 8)( + 8) L. Factoriser ( ) = 44 0 + 5, P( ) = 5, Q( ) = + + O. L( ) = ( + ) L( ) = ( ) + + ( ) = 4 + + 9 L M( ) = (4 ) M( ) = (4 ) 4 + M( ) = 6 8 + N( ) = ( 8)( + 8) N( ) = 8 N( ) = 64. O( ) = 44 0 + 5 O( ) = ( ) 5 + 5 O( ) = ( 5) P( ) = 5 ( ) ( )( ) P( ) = ( ) 5 P( ) = 5 + 5 Q( ) = + + Q( ) = + + Q( ) = ( + )
II Equations Inéquations. Propriétés : Lorsqu on ajoute un nombre positif ou négatif à chaque membre d une équation, on obtient une autre équation qui a les mêmes solutions. Lorsqu on multiplie ou qu on divise par un même nombre non nul les deu membres d une équation, on obtient une autre équation qui a les mêmes solutions. Un produit est nul si et seulement si, un de ses des facteurs est nul. Soit a un nombre strictement positif. L équation Eemples : + 5 =7 = 7-5 = = La solution est = a a deu solutions qui sont : a et a. Eemples : Equation produit nul ( + ) ( ) = 0 est une équation produit nul ( ) = 0 est une équation produit nul + = 0 ou = 0 = 0 ou = 0 = - ou = = 0 ou = = - ou = Les solutions sont 0 et Les solutions sont et Propriété : on a ajouté - 5 au deu membres de l'équation Propriété : on a divisé les deu membres de l'équation par Eercice + = 5 =... =... =... =... La solution est. Eemples : Equation carré : L'équation = a deu solutions qui sont : et. Propriété : on a... Propriété : on a... Propriété : Pour tous nombres a, b et Si a < b alors a + c < b + c et a c < b c Si a b a < b et c > 0 alors a c < b c et <. c c Si a b a < b et c < 0 alors a c > b c et >. c c Eemples : > Propriété : on a additionné au - + 9 > 4 > + deu membres de l'inéquation - > 4-9 > 4 - > - 5 Propriété : on a divisé les deu 4 5 > membres de l'inéquation par < > 5 < Propriété : on a.. Propriété :.... 4
Repères du plan III Les fonctions affines. Un repère du plan est constitué de deu aes gradués sécants ayant la même origine. Tout point M du plan peut alors être repéré de façon unique par un couple de coordonnées, souvent notées ( ; y ), où est l abscisse du point M et y est l ordonnée du point M. Sur l eemple ci-contre, le point O est l origine du repère, il a pour coordonnées (0 ; 0), le point M a pour coordonnées ( ; ), le point N a pour coordonnées ( ; ). Un eemple de fonction linéaire On note f la fonction définie pour tout nombre par f ( ) =. - Images Pour déterminer l image d un nombre, on remplace par ce nombre dans l epression de f. Par eemple, pour déterminer l image du nombre par f, on calcule : f () = = 6. L image du nombre par f est donc 6. On dit alors que est un antécédent de 6 par f. Compléter le tableau ci-dessous : 0 f ( ) 6 - Représentation graphique La représentation graphique d une fonction dans un repère du plan est l ensemble des points de coordonnées ( ; f ( )). On sait que la représentation graphique d une fonction linéaire dans un repère est une droite passant par l origine. Pour la représenter, il suffit donc de placer un point autre que l origine appartenant à cette droite. Dans cet eemple, on a vu que si =, on obtient f () = 6. Le point M de coordonnées ( ;6 ) appartient donc à la droite et on obtient alors la représentation graphique ci-contre. Les fonctions affines On dit qu une fonction f est une fonction affine s il eiste deu nombres a et b tels que pour tout nombre, f ( ) = a + b. La représentation graphique d une fonction affine dans un repère est une droite. 5
IV Différentes méthodes pour démontrer une égalité A = B. On est souvent amené à démontrer une égalité (égalité reliant des epressions littérales, numériques). Appelons A et B les epressions à comparer pour montrer l égalité «A nombres ou des epressions numériques. On a le choi souvent entre plusieurs méthodes : ère méthode : = B» où les deu membres A et B sont des On part d un seul des deu membres et on transforme son écriture pour obtenir l autre membre. Soit de gauche à droite : A =... =... = B, soit de droite à gauche: B =... =... = A. Conclusion : A = B Eemple : Prouver que pour tout nombre, ( ) Posons A B ( ) = 6 + 0 et = 4 Développons B : B ( ) = 4 ( ) B = 8 + 6 B = + 6 B = 6 + 0 = A 6 + 0 = 4 ème méthode : On transforme séparément les membres A et B pour obtenir le même résultat C. A =... =... = C donc A = B B =... =... = C ème méthode : On démontre une égalité équivalente : A B = 0. Pour cela, on transforme l écriture de la différence A B jusqu à obtenir la valeur 0. Cette méthode sera surtout utilisée avec des epressions algébriques. A B =... =... = 0 donc A = B Eemple : Démontrer que l on a : Calculons A puis B. A = B = 4 6 4 A = B = 6 A = B = Conclusion : =. Posons 4 6 Pour tout nombre, ( ) 6 + 0 = 4. Remarque : Nous sommes partis de l epression B pour arriver à celle de A, d où l égalité. A = et B = 4 6 Conclusion : Puisque A = et B = alors A = B c'est-à-dire Remarque : Ici, C =. =. 4 6 Autre méthode : Calculons A B. A B = 4 6 4 A B = A B = A B = 0 Conclusion : Puisque A B = 0 alors A = B c'est-à-dire =. 4 6 6
Applications I Calcul littéral Eercice Développer puis réduire les epressions suivantes. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A( ) = 6. B( ) = 5 + C( ) = + 5 + 4 D( ) = (6 ) ( )( ) E( ) = + Eercice Factoriser les epressions suivantes. F( ) = 6 G ( ) = 4( + ) (5 )( + ) H ( ) = 6 + + Eercice Soit H ( ) = ( + ) ( 5 )( + ). Développer et réduire H ( ).. Factoriser H ( ).. Reprendre les mêmes questions avec l'epression K ( ) = ( )( + ) ( ) Eercice 4. Déterminer parmi les epressions ci-dessous celles qu on peut : a. Factoriser. b. Développer. A ( ) = 5 4 B( ) = ( )(5 + ) C( ) = 4 ( + ) ( ) = 6 + 9 ( ) = ( ) 6 D( ) = ( + )( ) + ( + )( + ) E F. a. Développer quatre de ces epressions. b. Factoriser quatre de ces epressions. 7
I Equations - Inéquations. Eercice Résoudre les équations suivantes. a) 4 + = 0 b) = 0 c) = d) 7 = 0 e) = 44 f) 4 + = + g) (4 7)( ) = 0 h) = 5 i) 8 = 0 j) ( ) = 4 9 k) m) 9 = 7 = 5 n) 7-8 = - + 4 o) ( + ) + ( + )( + ) = 0 4 l) = 48 Indication : Pour la dernière question, on pourra factoriser l'epression afin de se ramener à une équation produit nul. Eercice Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur un ae gradué. a) + < 0 b) 7 > c) - + < 0 d) 5-7 < 8 e) - + 5 f) -( ) g) + < 0 4 Eercice Quels sont les nombres dont le double est égal au carré du double? Eercice 4 Soit A() = 4( - ) ( + ). Développer l'epression A(). Calculer la valeur de A() pour =. Résoudre l'équation A() = 0 8
III Eercices sur les fonctions affines Eercice Soit f la fonction linéaire définie pour tout nombre par f ( ) =.. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : 0 f ( ) 6. Déterminer les antécédents des nombres 5 et par la fonction f.. Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. Eercice Soit g la fonction définie pour tout nombre par g( ) =. Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction g. Eercice Soit f la fonction définie pour tout nombre par f ( ) = +.. Calculer f et f ( ).. Un logiciel de géométrie nous donne comme représentation graphique de cette fonction la droite (d) cidessous : a. Quelle semble être la nature de cette fonction? b. Montrer que pour tout nombre, f ( ) =. Conclure en précisant le coefficient directeur. 9
IV Pour aller plus loin. Eercice Répondre par VRAI ou FAUX au affirmations suivantes et justifier :. Pour tout nombre : ( ) + + = +. Il eiste un réel tel que : ( ) + + = +. Si a et b sont des nombres qui vérifient + = alors a = 0 et b = 0. ( a b) 0 4. a et b strictement positifs, on a : a + b = a + b Eercice On considère l epression suivante définie pour tout nombre : f ( ) = ( )(6 9) ( ). Développer et réduire l epression f ( ).. Montrer pour tout nombre que f ( ) = ( ) ( ). Calculer f ( ) pour = et = en utilisant la forme la mieu appropriée. 4. Utiliser la forme la mieu adaptée pour résoudre les équations suivantes : a) f ( ) = 0 b) f ( ) = 9 Eercice. Lire l énoncé de l eercice suivant et préciser : (a) Dans quelle question doit-on résoudre une équation? (b) Dans quelle question doit-on calculer une epression pour une valeur donnée de la variable? (c) Dans quelle question doit-on transformer une epression en utilisant le calcul littéral. Soit f la fonction définie pour toute valeur de par f ( ) = + 5 a. Donner les images de et par la fonction f. b. Montrer que pour toute valeur du nombre, ( ) = ( )( + 5) c. Quels sont les antécédents de 0 par la fonction f? f.. Faire l eercice. 0