Eléments d optique géométrique (partie 2)

Eléments d optique géométrique (partie 2) Table des matières 5) Systèmes centrés dans l approximation de Gauss...2 5.1) Systèmes centrés élémentaires dans l approximation de Gauss...2 5.1.1) Dioptre sphérique...2 5.1.2) Invariant fondamental du dioptre sphérique...3 5.1.3) Equations du dioptre sphérique...3 5.1.4) Dioptre plan...5 5.1.5) Lame à faces parallèles...5 5.1.6) Miroirs sphériques...5 5.2) Systèmes dioptriques à foyers...6 5.2.1) Foyers et plans principaux...6 5.2.2) Longueurs focales :...8 5.2.3) Vergence du système...8 5.2.4) Points nodaux...8 5.2.5) Application aux constructions géométriques...9 5.2.6) Equations des systèmes centrés...10

5) Systèmes centrés dans l approximation de Gauss CECI EST LE CHAPITRE LE PLUS IMPORTANT DU COURS! Définition : un système centré est constitué d une suite de milieux transparent et homogènes séparés par des dioptres et des miroirs dont les centres sont alignés sur un même axe, appelé axe principal. Toutefois, avant de faire l étude de systèmes centrés «compliqués», c est à dire de l association de plusieurs dioptres, il est important de connaître les propriétés du système centré élémentaire essentiel qu est le dioptre sphérique. Par la suite, nous aborderons les systèmes dioptriques à foyers et leurs éléments cardinaux. Intérêt : on va tenter de remplacer un système optique «vrai» (constitué par un nombre de 7 à 8 lentilles, par exemple), et dont nous ignorons pour l instant la constitution, par un système équivalent, caractérisé par quelques éléments caractéristiques de ses performances. Ceci facilite beaucoup l étude des sytèmes optiques compliqués. Ces éléments caractéristiques sont appelés éléments cardinaux du système équivalent. Enfin, il restera à considérer l association de deux systèmes centrés à foyers, pour aboutir à la «lentille optique», qui n est pas un système mince dans le cas général. L intérêt remarquable de la formule de Gullstrand, qui sera établie dans cette partie, réside dans le fait qu elle pourra ensuite être utilisée dans le cas général de l association de deux systèmes centrés, que ce soit des simples dioptres ou des lentilles. 5.1) Systèmes centrés élémentaires dans l approximation de Gauss 5.1.1) Dioptre sphérique La surface qui sépare deux milieu aux propriétés optiques différentes est appelée dioptre. Ce dioptre peut être de forme quelconque. Dans notre étude, on considère que les milieux sont séparés par des surfaces sphériques, ou dioptres sphériques. On montre que le dioptre sphérique est rigoureusement stigmatique pour deux points seulement : les points de Weierstrass. Sinon, dans les conditions de Gauss, il y a stigmatisme approché pour le dioptre sphérique.

5.1.2) Invariant fondamental du dioptre sphérique Cette relation désigne une propriété d invariance du dioptre sphérique, dont les conséquences sont essentielles, pour les relations de conjugaison (dans les conditions de Gauss) de tous les systèmes optiques. n 1 CA 1 IA 1 =n 2 CA 2 IA 2 (quantité invariable) Pour la démonstration, on utilise : l hypothèse que A 1 et A 2 sont conjugués les relations de Descartes : n 1 sin i 1 =n 2 sin i 2 les relations géométriques dans les triangles CA 1 I et CA 2 I 5.1.3) Equations du dioptre sphérique On part de l invariant du dioptre sphérique : n 1 CA 1 SA 1 =n 2 CA 2 SA 2 Ûn 1 CS SA 1 SA 1 SA 1 2 =n CS SA 2 SA 2 SA 2 Gauss vérifiées, on admet que SA 1» IA 1 et que SA 2» IA 2. de plus, comme on suppose les conditions de n 1 CS IA 1 n 1 =n 2 CS IA 2 n 2 => n 2 n 1 = n 2 n 1 SA 2 SA 1 SC De manière plus générale, on utilise plutôt les notations suivantes : A désigne le point objet, A son conjugué à travers le dioptre, n indice du milieu 1, n indice du milieu 2, p = SA', p = SA, et R = SC. La formule ci dessus devient alors : n ' p' n n' n = p R

On définit aussi le grandissement (longitudinal ici) par : g= n n ' p ' p

La vergence (ou puissance, ou convergence) du dioptre sphérique peut être définie de plusieurs manières différentes : par rapport à son foyer principal image, à son foyer principal objet, ou encore par rapport à son rayon de courbure. On appelle F, foyer principal objet, le point situé sur l axe principal, et qui donne d un point A une image à l infini. Dans ce cas, A est identique à + et on pose SF = f. La vergence du dioptre est définie par : V = n f = n SF. On définit de même un foyer principal image, noté F, pour le dioptre sphérique. Celui ci est obtenu cette fois en considérant l image A d un point objet réel A situé à l infini. Dans ce cas, A est confondu avec F. La formule correspondante est : V = n ' f ' = n ' SF ' On définit aussi la vergence du dioptre par rapport au rayon de courbure R : V = n ' n SC = n ' n R. En résumé, la vergence V du dioptre sphérique est donnée par : V = n' n R = n SF = n ' SF ' 5.1.4) Dioptre plan C est un dioptre sphérique dont le rayon de courbure est infini : R = SC = +. Donc la vergence d un dioptre plan est nulle. On en déduit facilement que n p = n ' p ' et g=1. 5.1.5) Lame à faces parallèles C est une association de deux dioptres plans parallèles. Cas pratique : traversée d une vitre par la lumière. Dans ce cas n 1 = n 3 = 1 (air) ; n 2 = 1,5. Le rayon émergent est parallèle au rayon incident, et le décalage dépend de l épaisseur traversée. 5.1.6) Miroirs sphériques Définition : un miroir sphérique est une surface sphérique réfléchissante.

Deux cas sont possibles : miroir convexe (bombé ) : dans ce cas, le rayon de courbure R est positif. miroir concave (creux) : le rayon de courbure est négatif. Pour obtenir les relations de conjugaison des miroirs sphériques, il suffit de considérer que la réflexion sur le miroir est analogue à une réfraction dans un milieu d indice n = n. Le changement de signe de l indice équivaut à un changement de sens de propagation de la lumière. Ainsi, la formule : n ' p' n n' n = devient p R sphériques, avec origine au sommet. 1 SA ' 1 SA = 2 SC, formule de conjugaison des miroirs N.B. : les constructions relatives aux miroirs sphériques ne sont pas abordés dans ce cours. 5.2) Systèmes dioptriques à foyers 5.2.1) Foyers et plans principaux a) Foyers et plans focaux (P.F.) Soit un point objet A situé sur l axe principal. Plan Focal Image (P.F.I.) : Si A est à l infini, l image de A, notée A, sera située en F (donc sur l axe). Le plan perpendiculaire à l axe principal, et contenant F, sera appelé plan focal image Le plan focal image est noté entre crochets : [ F ] désigne le P.F.I. Tous les points qui appartiennent à [ F ], et différents de F, sont appelés foyers secondaires image.

Plan Focal Objet (P.F.O.) : Si l image A, donnée par le système, est située à l infini, c est que l objet est situé en un point F (sur l axe). Le plan perpendiculaire à l axe principal, et contenant F, sera appelé plan focal objet. Le plan focal objet est noté entre crochets : [ F ] désigne le P.F.O. Tous les points qui appartienent à [ F ], et différents de F, sont appelés foyers secondaires objet. Les constructions ci dessous illustrent la notion de plans focaux (et celle de plans principaux, définis plus loin). b) Plans principaux (P.P.) Définition : ce sont deux plans conjugués pour lesquels le grandissement transversal du système est égal à +1 (voir figures ci dessus). Ce couple de plans, s il existe, est unique. L intersection des plans principaux avex l axe donne les points principaux. Notations : Points principaux : Point principal objet : H ; point principal image : H (H et H sont conjugués pour le système). Plans principaux : Plan principal objet : [ P ] ; Plan principal image : [ P ] Le plan principal objet est le lieu des points de rencontre des supports des rayons incidents parallèles à l axe avec les supports (centres de courbure des surfaces sphériques) des rayons émergents correspondants, passants par F.

De même, le plan principal image est le lieu de rencontre des supports des rayons incidents passant par F avec les supports (centres de courbure des surfaces sphériques) des rayons émergents correspondants, parallèles à l axe. 5.2.2) Longueurs focales : Par définition : Longueur focale objet : f =HF Longueur focale image f '=H ' F ' Propriétés : elles sont toujours de signe contraires : indice du milieu image. 5.2.3) Vergence du système f ' f = n ' n avec n, indice du milieu objet et n v = n f = n' v désigne la vergence du système. Si v est positive, le système est convergent, si v est f ' négative, le système est divergent. Remarque : si la vergence du système est nulle, on parle de système afocal (pas de plans principaux). 5.2.4) Points nodaux Ce sont deux points N et N de l axe tels que les supports des rayons incident et émergent soient parallèles. Pour ces deux points, le grossissement G est tel que : Propriétés : FN=H ' F '= f ' ; F ' N '=HF= f. G= α ' α =+1 Définition : NN '=HH ' est l interstice du système.

En résumé, les éléments cardinaux d un système centré sont : les foyers principaux objet F et image F ; les points principaux objet H et image H (grandissement transversal γ = +1) ; les points nodaux objet N et image N (grossissement G = +1) ; Ceux ci permettent ensuite de déterminer : sa vergence v = n f = n HF = n ' f ' = n' H ' F ' les plans focaux objet [ F ] et image [F ] ; les plans principaux objet [P] et image [P ] (grandissement transversal = +1) ; Ainsi, le système étudié, même compliqué se résume à un schéma équivalent. 5.2.5) Application aux constructions géométriques Les constructions géométriques se font hors de l axe principal, alors que les calculs concernent les points situés sur l axe principal. La construction de l image d un objet sous entend que la condition d aplanétisme est vérifée. a) image d un point situé hors de l axe. Pour construire l image d un point A, soit A, situé sur l axe principal, on se sert de l image B d un point B. b) rayon émergent correspondant à un incident donné (soit SB) B appartient au plan perpendiculaire à l axe principal, et qui contient A. L aplanétisme du système entraîne que l image A de A est dans le même plan que l image B de B. Principe de la construction : deux rayons incidents parallèles entre eux se coupe dans un foyer secondaire ϕ, c est à dire dans le plan focal image [ F ]. Pour cela : On considère que SB provient du point A situé à l infini : un rayon passant par F émerge parllèlement à l axe, d où A (= image de A situé à l ). l image de B : elle est B dans le plan [ P ]. enfin, l émergent est B A.

La relation algébrique suivante est évidente sur la construction : F ' A ' = fq 5.2.6) Equations des systèmes centrés