CRPE S4C. Autour du CALCUL LITTERAL Corrigé Mise en route. Voici plusieurs développements de l expression E = 5( x ) ( x 4) om L'analyse préalable du calcul est indispensable dans le calcul littéral Elève A : 5x + + x + = 8x + 5 erreur dans la multiplication de 5 par, puis dans les signes Elève B : 5x + 5 + x = 8x + erreur de signe en multipliant - par x Elève C : 5x + 5 x = x + juste v. Compte tenu des indications d unités dans la formule, on peut remplacer directement : d 0vt v 90² 0 90 0,5 5400cm 54m. Attention, la formule n est valable qu avec les unités indiquées dans l énoncé.. at. À propos de «a² + b²» hs. Soit d 0vt.c Elève D : 5x + - x - = x + 5 erreur dans la multiplication de 5 par, erreur d addition (a b)² (a b)² a ² ab b² a ² ab b² a ² b² (a ² b²) a ² b² Pour démontrer qu une égalité est vérifiée, on peut soit partir du premier membre, le transformer pour arriver im au deuxième membre, soit calculer séparément les deux membres et conclure.. La figure est formée de deux carrés de côtés a et b, son aire est égale à a² b². Les dimensions données 8 et correspondent respectivement à a+b et à a-b. (a b)² (a b)² 8² ²,5cm² Pa r A Pour s exercer Exercice. Application d'une formule a. Le tonneau V= h (D² +d²) h (D² +d²) 80 ( D² +50²) Il faut veiller à la correspondance des unités (cm et cm ) V=5l 5dm 5000cm Ex : G5 007 ; ex6 : Aix 00 ; ex7 : Dijon 00 ; ex.8 : Créteil 000 Parimaths.com CRPE 00-0 Catherine Marchetti -Jacques CMJ Digitally signed by Catherine Marchetti-Jacques DN: cn=catherine MarchettiJacques, o=parimaths.com, ou, email=info@parimaths.com, c=fr Date: 0.07.4 0:48:5 +0'00'
80 (D² +50²) 5000 80 (D² +50²)=5000 =700000 700000 D²= 500 84,95 D 64, cm 80 b. Le verre à moitié plein L expression «remplir à moitié» demande une précision : moitié de la hauteur (usuel) ou moitié du volume. La question posée amène donc à comparer les deux quantités : V= R² h=,5² 0 65,4cm Le verre rempli à moitié du volume contiendra environ,7cm. Le verre rempli à moitié de la hauteur est représenté par un petit cône de hauteur 5cm, mais dont le rayon est lui aussi réduit de moitié (cf théorème de Thalès dans l espace). Il contiendra donc : V'= R² h=,5² 5 8,cm On peut aussi appliquer la propriété suivante obtenue à partir du théorème de Thalès : «Dans le cas d un agrandissement ou d une réduction de rapport k (ici k= ), les aires sont transformées dans le rapport k² et les volumes dans le rapport k ; ici V ' ( ) V V 65,4 8 8,cm 8 A vous de conclure sur ce que vous pouvez demander quand on vous remplit votre verre «à moitié»! Exercice. Application de la distributivité (Développement et réduction) A 4( x 5) 4x 0 B x( x 7) x² 4x C 5 (x 7) 5 x 7 x D 5 (x 7) 5 x 7 x E x( x ) x( x ) x x x x x x F 5(x 7) x( x 5) 0x 5 x 0x 5 x G ( x )( x ) x 5x 6 H (5 x)( x 6) 5x 0 x² 6 x x² x 0 I (x )( x 5) x² 0x x 5 x² x 5 J 8( x)( x ) 8(x 6 x x) 8( x x 6) 8x 8x 48 K (x )( x ) (x )( x 5) x 6x x 6x 5x x 5 8x 0x 8 L x x x x x x x x x x x x x x x x x ( 5)( ) ( 4)( ) 5 5 ( 4 4) 5 5 4 4 9 Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ
Exercice Ecriture et valeur d un nombre, moyenne 57 75 57 57 75 75 08 S 57 75 57 57 75 75 08 M 58 6 6 abc acb bac bca cab cba a 0² c 0 b b0² a 0 c b0² c0 a a0² b0 c c0² a0 b c0² b0 a ( abc) ( a b c) M 7( a b c) 6. M 7( a b c) 70 d'où a b c 0 On peut donc choisir trois chiffres dont la somme est égale à 0 : a b c 7 7, 7, 7, 7,, 7 6 6, 6, 6, 6, 6, 6 4 5 45, 54, 45, 45, 54, 54 5 5, 5, 5, 5, 5, 5 Exercice 4. Application de la distributivité (Factorisation) A 9 a² a a(a ) B 5( b ) b( b ) ( b )(5 b) C x(- x) - ( x -) x(- x) (- x) (- x)( x ) D ( x -)( x ) ( x - 5)( x -) ( x -)( x x - 5) ( x -)( x - ) E ( x )² x 6 ( x )² ( x ) ( x )( x 5) F (x - 4)( x 5) - (x )(x - 4) (x - 4)( x 5 - x -) (x - 4)(-x 4) G ( x )² ( x )( x ) ( x )( x x ) ( x )( x 4) H 5(x )² (x )( x -) (x )(5( x ) ( x -)) (x )(x 4) I ( x )( x - 4) - ( x - 4)² ( x - 4)(( x ) - ( x - 4)) ( x - 4)(x - x 4) ( x - 4)(x 7) J 4 x² - x( x 5) ( x)² - x( x 5) x(x - x - 5) x( x - 5) Exercice 5. Avec les identités remarquables Développer et réduire A (5x -)(5 x ) 5 x² - B (x 5)² (x - 5)² 4 x² 0x 5 4 x² - 0x 5 8 x² 50 C (x 5 y)(x - 5 y) 4 x² - 5 y² D (x )( x ) ( x )( x - ) x² 6x x x² - 4 4 x² 7x - E (x 7)² 4 x² 8x 49 F (7x - )² 49 x² - 4x 9 G (x - 7)² - (x 7)² 9 x² - 4x 49 - (9 x² 4x 49) 9 x² - 4x 49-9 x² - 4x - 49-84x H (x 5)² x(x - 5) 4 x² 0x 5 6 x² -5x 0 x² 5x 5 Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ
Factoriser I 64x 69 (8 x) (8x )(8x ) J 49x 4x 9 x (7 x) (7x ) K (x 7) 6 (x 7) 4 (x 7 4)(x 7 4) (x )(x ) L 5 0x 4x 5 0 x ( x) (x 5) M ( x 8) 5 ( x 8 5)( x 8 5) ( x )( x ) N 9x 48x 64 ( x) 4x 8 (x 8) O 6 x ( x ) (6x x )(6 x x ) (7x )(5 x ) P (x 5) (x 5) (x 5 x 5)(x 5 x 5) (4 x)(0) 40x Exercice 6 Identités remarquables, démonstration d une propriété vraie, contre exemple. Proposition A Cette proposition est vraie car le chiffre des unités du produit de deux nombres est égal au chiffre des unités du produit des chiffres des unités de ces nombres. Si le chiffre des unités de n est, le chiffre des unités de n est égal au chiffre des unités de x, c est-à-dire à 4. On pouvait aussi démontrer directement ce résultat en écrivant n sous la forme n = 0d + (d désigne le nombre de dizaines de n) On a alors : n² (0 d )² 00 d² 40d 4 0(0 d² 4 d) 4 Le chiffre des unités de n est 4. Proposition B Cette proposition n est pas vraie, il suffit de trouver un contre-exemple : l écriture de 4 se termine par 4 mais l écriture du carré de 4 (96) ne se termine pas par 6.. a) Dans l écriture du nombre a 5, la plus grande valeur possible de a est 9, donc n 95 d ' où n² 905 et n s écrit avec au plus 4 chiffres. b) n = 0a + 5 D' où : n² (0 a 5)² 00 a² 00a 5 00( a² a) 5 Dans la division euclidienne de n par 00, le reste est 5 (5<00) et le quotient est a²+a a² a a( a ) n se termine par 5 et le nombre de centaines de n est a( a ). Exercice 7 Généralisation algébrique, identité remarquable 65 45 et 6 7 00 5 45 On remarque que : 45 05 et 4 5 00 5 05 75 6565 et 7 8 00 5 6565 Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ
a. Généralisation : Soit a un entier supérieur ou égal à, dans les exemples donnés, a vaut successivement 6, 4, 7). On a alors : a( a ) 00 5 ( a5) b. Vérifions cette relation dans deux exemples : 705 49705 70 7 00 5 et 85 75 8900 5 Démonstration de la relation : si a représente le nombre de dizaines du nombre N choisi N a a a a a a a (0 5) 00 00 5 00 5 ( ) 00 5 On a bien ( a5) a( a ) 00 5 Exercice 8 Identité remarquable, contre exemple, condition nécessaire et suffisante Soit N un nombre entier naturel, u son chiffre des unités dans son écriture en base 0, et d le nombre de dizaines de N : N 0 d u On peut alors écrire N (0 d u) 00d 0d u u 0 (0 d du) u. Le chiffre des unités de N est donc celui de u. On cherche alors quelles sont les valeurs possibles pour le chiffre des unités du carré d un entier naturel compris entre 0 et 9 : u 0 4 5 6 7 8 9 u 0 4 9 6 5 6 49 64 8 Ainsi, si A est le carré d un nombre entier naturel, son chiffre des unités est nécessairement 0,, 4, 5, 6 ou 9. Cette condition n est pas suffisante, car par exemple 4 n est pas le carré d un entier naturel. b. On reprend N 0 d u. N( N ) (0 d u)(0d u ) 00d 0du 0d 0du u u 0 0d du d u u. Le chiffre des unités de NN ( ) est donc celui de u u. u 0 4 5 6 7 8 9 u u 0 6 0 0 4 56 7 90 Ainsi, si A est le produit de deux entiers consécutifs, son chiffre des unités est nécessairement 0, ou 6. Cette condition n est pas suffisante, car par exemple n est pas le produit de deux entiers naturels consécutifs. Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ