Chapitre 17 LA DROITE Dans ce chapitre, nous supposons le plan muni un repère orthonormé (O, i, ). 17.1 Coefficient angulaire une roite 17.1.1 Concept Consiérons une roite 0, comprenant O. 0 y = mx (avec m IR fixé) T(a,b ) P(0,p) 0 O i S(a,b) Propriété 17.1 Toutes les roites parallèles à 0 ont une équation e la forme : y = mx + p (p IR) Démonstration. En effet, soit P (0, p) le point une roite parallèle à 0, situé sur l axe es oronnées. La roite est l image e 0 par la translation e vecteur p. Si S(a, b) est un point quelconque e 0, son image par cette translation est le point T (a, b ) avec a = a et b = b + p. Du fait que S appartient à 0, nous avons b = ma. D où, b + p = ma + p 130
CHAPITRE 17. LA DROITE 131 ou Par conséquent, T est un point e la roite b = ma + p y = mx + p. Vocabulaire 17.2 Le coefficient m u terme en x ans les équations es roites parallèles à 0 est invariable. Il caractérise la irection e la roite et onc l inclinaison e la roite par rapport à l axe es abscisses. Il est appelé coefficient e irection ou coefficient angulaire 1. Par contre, le terme inépenant p varie une roite à l autre; c est l oronnée u point intersection e et e l axe, appelée oronnée à l origine. 17.1.2 Coefficient angulaire ans l équation e la roite Si l équation e la roite est écrite sous la forme explicite par rapport à y : y = mx + p, le coefficient angulaire e est le coefficient e x et est généralement ésigné par la lettre m. Si l équation e la roite est sous la forme implicite: ax + by + c = 0 (avec a et b non simultanément nuls), il suffit e ramener l équation à sa forme explicite par rapport à y pour faire apparaître le coefficient angulaire. Si b 0, le coefficient angulaire m e est alors puisque l équation e peut alors s écrire m = a b y = a b x c b. Cepenant, si b = 0, il ne sera pas possible isoler y. Dans ce cas, la roite est parallèle à l axe et n a pas e coefficient angulaire. Son équation est u type x = k. 17.1.3 Coefficient angulaire à partir e eux points Consiérons une roite non parallèle à l axe y = mx + p et eux points istincts P (x 1, y 1 ) et Q(x 2, y 2 ) e celle-ci. Nous avons ès lors { y1 = m x 1 + p y 2 = m x 2 + p 1 Lorsque le repère est orthonormé et seulement ans ce cas, le coefficient e irection porte également le nom e coefficient angulaire. Le physicien appelle ce coefficient pente e la roite.
CHAPITRE 17. LA DROITE 132 En soustrayant membre à membre ces eux égalités nous obtenons y 2 y 1 = m(x 2 x 1 ). Comme x 1 x 2, Q(x 2,y 2 ) m = y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 -y 1 = y Etant onné eux points une roite, le coefficient angulaire e celle-ci est le rapport entre l accroissement y e leurs oronnées et l accroissement x e leurs abscisses. m = y x O i P(x 1,y 1 ) x 2 -x 1 = x Remarque 17.3 Lorsque l accroissement es abscisses ( x) e eux points une roite vaut l unité, le coefficient angulaire est égal à l accroissement es oronnées ( y ) e ces eux points. m>0 +1 +1 m=0 +1 m<0 1 1 1 O 1 O 1 O 1 17.1.4 Coefficient angulaire et vecteur irecteur une roite Définition 17.4 Un vecteur irecteur une roite est un vecteur qui a la même irection que la roite. Consiérons un vecteur irecteur u e composantes (x u, y u ) une roite non parallèle à l axe. Soit P (a, b) un point e. Le point Q tel que P Q = u, appartient à. Ses cooronnées sont (a + x u, b + y u ), puisque OQ = OP + u. Dès lors, le coefficient angulaire e est ou m = y x = b + y u b a + x u a m = y u x u u(x u,y u ) i P(a,b) Q(a+x u,b+y u )
CHAPITRE 17. LA DROITE 133 Le coefficient angulaire une roite est onc le rapport entre la euxième composante et la première composante un vecteur irecteur e cette roite. Remarque 17.5 1. Une roite non parallèle à l axe y = mx + p amet le vecteur u (1, m) pour vecteur irecteur. 2. Une roite quelconque ax + by + c = 0 amet le vecteur u (b, a) pour vecteur irecteur. Si n est pas parallèle à l axe, son coefficient angulaire vaut a b et u (b, a) est un vecteur irecteur e. Si est parallèle à l axe, alors b = 0 et u (0, a) est un vecteur irecteur e (avec a 0). 17.1.5 Coefficient angulaire en fonction e l angle formé par la roite et l axe Consiérons la roite e coefficient angulaire m. 0 Traçons la roite 0 parallèle à passant par O, le cercle trigonométrique et la tangente à ce cercle en I e cooronnées (1, 0) ϕ i ϕ U(1,tg ϕ) I(1,0) Soit φ l angle orienté amplitue inférieure à 90, éterminé par le vecteur i (1, 0) et un vecteur irecteur e. Nous irons que φ est l angle inclinaison e sur l axe ou plus simplement l angle formé par et l axe. La roite 0 forme onc aussi un angle φ avec l axe. La tangente en I au cercle trigonométrique rencontre 0 en U e cooronnée (1, tg φ). Le vecteur u = OU est un vecteur irecteur e et onc m = tg φ 1 ou m = tg φ Le coefficient angulaire une roite est la tangente trigonométrique e l angle orienté qu elle forme avec l axe. Remarque 17.6 La roite e coefficient angulaire 1 forme un angle e 45 avec l axe ; celle e coefficient angulaire 1 forme un angle e 45 avec l axe.
CHAPITRE 17. LA DROITE 134 17.2 Conition e perpenicularité e eux roites Propriété 17.7 Les roites non parallèles à l axe y = mx + p et y = m x + p sont perpeniculaires si et seulement si mm = 1 ϕ ϕ i ϕ ϕ i Démonstration. Soient φ et φ les angles que forment respectivement les roites et avec l axe. Puisque et sont perpeniculaires, nous avons φ = φ + 90 ou φ = φ 90. Les roites et étant non parallèles à l axe, les angles φ et φ sont ifférents e 0 et e ±90. Dès lors, m = tg φ = tg (φ ± 90 ) = tg (90 φ) (Les tangentes angles opposés sont opposées) = 1 tg φ (Les tangentes angles complémentaires sont inverses l une e l autre.) = 1 m Donc, mm = 1 Corollaire 17.8 Les roites ax + by + c = 0 et a x + b y + c = 0 sont perpeniculaires si et seulement si Démonstration. aa + bb = 0 Si et sont non parallèles à l axe, le coefficient angulaire m (non nul) e la roite vaut a b, m celui e (non nul lui aussi!) vaut a b. Par la propriété précéente, nous avons a b. a b = 1 ou aa + bb = 0.
CHAPITRE 17. LA DROITE 135 Si est parallèle à l axe, b = 0. La roite est alors parallèle à l axe et a = 0. Dès lors, aa + bb = a0 + 0b = 0 Le même raisonnement peut être fait si est parallèle à l axe et à Corollaire 17.9 Toute roite perpeniculaire à amet n (a, b) comme vecteur irecteur. ax + by + c = 0 Démonstration. Soit une roite perpeniculaire à. Si a et b sont es réels non nuls, la roite a un coefficient angulaire qui vaut a b. Le coefficient angulaire m e vérifie onc la relation a b m = 1 ou m = b a et le vecteur n (a, b) est un vecteur irecteur e. Si b est nul, a est non nul. La roite ax + c = 0 est parallèle à l axe et la roite à l axe. Le vecteur n (a, 0) est également parallèle à l axe et est onc un vecteur irecteur e. Si a est nul, b non nul. La roite by + c = 0 est parallèle à l axe et la roite à l axe. Le vecteur n (0, b) est également parallèle à l axe et est onc un vecteur irecteur e. 17.3 Equations e la roite 17.3.1 Droite 0 passant par O Soit U 0 (U O). OU est un vecteur-irecteur e O. A tout point P e 0, on peut associer un réel r tel que OP = r. OU et inversement. L équation est appelée équation vectorielle e 0. OP = r. OU (r IR) Si, ans le repère (O, i, ), on a U = (x U, y U ) et P = (x, y), alors ans la base i, on a OU = (x U, y U ) et OP = (x, y). L équation vectorielle e 0 evient alors { x = r xu qui sont les équations paramétriques e 0. y = r y U (r IR) Les composantes (x U, y U ) un vecteur-irecteur e 0 sont appelées paramètres irecteurs e 0 ( et e toute roite parallèle à 0!). Ils sont éfinis à un multiple près. Pour obtenir l équation cartésienne e 0, c-à-. l équation que oivent vérifier les cooronnées (x, y) un point quelconque e cette roite, il suffit éliminer le paramètre r entre les équations paramétriques e 0. On obtient onc
CHAPITRE 17. LA DROITE 136 0 x = 0 (si x U = 0) : équation cartésienne e l axe, 0 y = 0 (si y U = 0) : équation cartésienne e l axe, 0 y = y U xu.x (si x U 0) ou encore y = mx si m est le coefficient angulaire. 17.3.2 Droite passant par un point A et parallèle à 0 Consiérons la roite 0 e vecteur-irecteur OU. Puisque 0, OU est encore appelé vecteur-irecteur e. A tout point P e, on peut associer un réel r tel que AP = r. OU et inversement. Cette équation peut encore s écrire sous la forme OP = OA + r. OU (r IR) et est appelée équation vectorielle e. Si, ans le repère (O, i, ), on a U = (x U, y U ), P = (x, y) et A = (x A, y A ) alors, ans la base i, on a OU = (xu, y U ), OP = (x, y) et OA = (xa, y A ). L équation vectorielle e evient alors { x = xa + r. x 0 y = y A + r. y 0 (r IR) qui sont les équations paramétriques e. En éliminant le paramètre r entre les équations paramétriques e, on obtient : x = x A (si x 0 = 0) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; y = y A (si y 0 = 0) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; y y A = y 0 x 0 (x x A ) (si x 0 0) ou y y A = m(x x A ) si m est le coefficient angulaire. 17.3.3 Droite passant par 2 points A et B Voir cas précéent avec OU = OB OA L équation est appelée équation vectorielle e AB. OP = OA + r.( OB OA) (r IR) Les équations { x = xa + r.(x B x A ) y = y A + r.(y B y A ) sont les équations paramétriques e AB. (r IR) En éliminant le paramètre r entre les équations paramétriques e AB, on obtient : AB x = x A (si x B = x A ) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; AB y = y A (si y B = y A ) : équation cartésienne une parallèle à l axe ; AB y y A = y B y A x B x A (x x A ) (si x B x A ) roite ont la pente est y B y A x B x A.
CHAPITRE 17. LA DROITE 137 17.4 Exercices 1. Détermine sur la roite 2x 3y + 5 = 0 (a) les cooronnées es points A, B et C abscisses respectives 1, 5, 3; (b) les cooronnées es points D, E et F oronnées respectives 1, 5, 3; (c) l abscisse et l oronnée à l origine. 2. Détermine le coefficient angulaire e la roite (a) l 3x + 5y 2 = 0, (b) m passant par les points e cooronnées ( 5, 1) et (3, 2), (c) n perpeniculaire à la roite équation 3x 4y + 5 = 0, () p amettant u ( 2, 3) comme vecteur irecteur, (e) q faisant un angle orienté e 60 avec l axe. 3. Ecris l équation e la roite (a) g e coefficient angulaire 2 ont l oronnée à l origine est 3; (b) h parallèle à la roite 3x + 6y 1 = 0 et qui passe par A( 3, 5); (c) i passant par les points B(5, 0) et C(0, 3); () passant par les points D( 3, 2) et E( 3, 7); (e) k perpeniculaire à la roite x 2y + 6 = 0 et passant par l origine. 4. Parmi les roites qui passent par le point M(2, 1), quelle est l équation e celle qui (a) passe par A(1, 2); (b) passe par B(2, 3); (c) est parallèle à la roite k 3x + y 5 = 0; () est perpeniculaire à la roite l 2x 3 = 0; (e) passe par le point intersection es roites m 2x + 5y 4 = 0 et n y 2x + 4 = 0. 5. Détermine l équation cartésienne e la perpeniculaire à 3x 2y + 3 = 0 passant par A = (1, 2). 6. Si A = ( 2, 4) et B = (4, 3) étermine l équation cartésienne e la méiatrice e [AB]. 7. Détermine la mesure e l angle aigu formé par les roites 1 3x+y+3 = 0 et 2 x+3y 6 = 0. 8. Détermine les équations cartésienne es roites passant par (0, 2) et faisant avec la roite 2x + 3y 6 = 0 un angle ω tel que tg ω = 5. 9. Démontre que les méianes un triangle sont concourantes (centre e gravité). 10. Démontre que les méiatrices un triangle sont concourantes (centre u cercle circonscrit). 11. Démontre que les hauteurs un triangle sont concourantes (orthocentre). 12. Démontre que ans un triangle équilatéral, le centre e gravité, le centre u cercle circonscrit et l orthocentre sont istincts et alignés (roite Euler) 13. Dans un repère orthonormé, on onne la roite équation x = 2y et le point P = (2, 2). Ecrire l équation e la roite qui passe par P et fait avec un angle e 45. 14. Le triangle ABC amet pour sommets les points intersection es roites équations 4x + 3y 12 = 0, x 3y 8 = 0 et x + y = 0. Trouve les cooronnées es sommets. 15. Les côtés un triangle se trouvent sur les roites équations 3x 2y + 1 = 0, 7x + y + 25 = 0 et x + 5y 11 = 0. Calcule l aire e ce triangle.
CHAPITRE 17. LA DROITE 138 16. Donner les équations paramétriques et l équation cartésienne e la roite passant par A(1, 2) et e vecteur irecteur u (1, 2). 17. Donner les équations paramétriques et l équation cartésienne e la roite passant par A(1, 1) et e vecteur normal n (3, 2). 18. Soit la roite équations paramétriques. { x = 1 + 3λ y = 3 + λ, onner une équation cartésienne e 19. Soit la roite équation cartésienne 2x + 3y + 1 = 0. Donner les équation paramétriques e cette roite. { x = 2 + 5λ 20. Soit la roite équations paramétriques, onner un vecteur irecteur e y = 3 + 10λ et son coefficient e irection. ( ) ( ) ( ) x 5 3 21. Soit la roite équations paramétriques = + k, onner y 3 2 (a) un vecteur irecteur e ; (b) son coefficient e irection; (c) son équation cartésienne.
CHAPITRE 17. LA DROITE 139 17.5 Distance un point à une roite Définition 17.10 La istance entre un point P et une roite est la plus petite istance qui sépare ce point P aux points e la roite. Remarque 17.11 P P' Sur la figure ci-essus, (P, ) = P P où P perpeniculaire à menée par P. Propriété 17.12 est le point e qui se trouve également sur la Consiérons le point P(x p, y P ) et la roite ax + by + c = 0. La istance entre le point P et la roite, notée (P, ), se étermine par Remarques 17.13 (P, ) = a x P + b y P + c a2 + b 2 Dans le numérateur, on utilise l équation implicite e la roite et on y remplace le couple (x, y) par le couple (x P, y P ), cooronnées u point P. Une istance étant touours positive, la présence e la valeur absolue au numérateur n est pas surprenante. Exemples 17.14 1. Recherchons la istance entre le point P (4, 5) et la roite 8x + 6y 3 = 0. (P, ) = 8. 4 + 6. 5 3 82 + 6 2 = 5 100 = 5 10 = 1 2 2. Recherchons la istance entre le point P (2, 1) et la roite y = 4 3 x + 1 3. Il nous faut l équation implicite e : Ainsi, Exercice 17.15 (P, ) = 4x + 3y 1 = 0. 4. 2 + 3. 1 1 42 + 3 2 = 10 25 = 10 5 = 2 Rechercher l équation cartésienne u cercle C e centre C(3; 1) et tangent à la roite 4x + 3y 34 = 0. Nous savons que C (x 3) 2 + (y + 1) 2 = R 2
CHAPITRE 17. LA DROITE 140 Il reste à éterminer le rayon R. C est la istance entre le centre C et la roite comme le montre la figure suivante. x Ainsi, On a onc R = CP = (C, ) = 4 3 + 3 ( 1) 34 42 + 3 2 = 25 25 = 25 5 = 5 C (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 25