S PYRMIS Je te propose de construire des pyramides en te servant du cube G qui est supposé transparent. ttention, les pyramides ne sont pas transparentes : tu dois donc bien repérer les arêtes cachées. - Pyramide régulière à base carrée (type Khéops) onstruis la pyramide de sommet I et de base G - Pyramides non régulières à base carrée e sommet et de base G e sommet et de base e sommet et de base G..... - Tétraèdre régulier Il fait partie des cinq polyèdres réguliers; c'est le plus simple des cinq. onstruis la pyramide de sommet et de base G
SSINR S PYRMIS Pyramide de sommet et de base Pyramide de sommet I et de base G Pyramide de sommet et de base G Pyramide de sommet et de base G
Pyramides à base carrée. iche à imprimer sur transparent. Les trois schémas sont à découper, à superposer et à visionner au rétroprojecteur. ette observation permet de comparer le volume d une de ces pyramides et le volume du cube
LS PYRMIS abord un site particulièrement bien documenté sur les pyramides : http://mathsgeo.multimania.com/rep/pyr.htm - Représentation d une pyramide Un point, appelé sommet, et un polygone, appelé base, constituent les éléments définissant une pyramide. S La base est le polygone Le sommet est S. Les triangles S, S, S, S, S, S sont les faces latérales. Le segment [S] est la hauteur de la pyramide. [S] est perpendiculaire à la base donc à toutes les droites de la base, en particulier aux droites (), (), (), (), () et (). Si la base est placée dans un plan horizontal, la hauteur [S] est une verticale. Les triangles S, S, S, S, S, S sont des triangles rectangles en ; ils définissent des plans verticaux. Un tétraèdre (pyramide à quatre faces = pyramide à base triangulaire) S - Pyramide régulière Une pyramide est dite régulière si sa base est un polygone S régulier (triangle équilatéral carré, pentagone régulier, hexagone régulier ) Pour la pyramide S ci-contre : Sa base est le carré. Son sommet est S. Le pied de sa hauteur [S] est au centre du carré de base.
Le tétraèdre régulier Toutes ses faces sont des triangles équilatéraux identiques ; toutes ses arêtes sont donc égales. est un tétraèdre régulier :,,, sont des triangles équilatéraux. Α Ses six arêtes sont égales : = = = = =, pied de la hauteur du tétraèdre, issue de, est le centre de gravité du triangle. - Volume de la pyramide Les fiches précédentes ont permis d avoir une idée du volume d une pyramide. S une façon générale, le volume d une pyramide est le tiers du volume du prisme droit qui a la même base et la même hauteur. V(prisme) = ire(base) hauteur ire(base) hauteur V(pyramide) = Pour la pyramide ci-contre : ire() S Volume(S) = xemple : Volume de la pyramide IG (voir la fiche «Vers les pyramides») dont la base est un carré de côté 4 cm et dont la hauteur mesure 4 cm. I aire(g) hauteur V = IJ V = 4 4 64 V= = 1, cm 4 cm J G 4 cm
- Patron d une pyramide Pour réaliser le patron de la précédente pyramide régulière (IG), si sa base G est un carré de 4 cm de côté, il reste à calculer l arête I : Le triangle IJ est rectangle en J car (IJ) est perpendiculaire au plan G donc à (J). après la propriété de Pythagore : I = IJ + J (1) J est la moitié de la diagonale G du carré. Le triangle G est rectangle en ; d après la propriété de Pythagore : G = + G G = 4 + 4 G Or : = G J = G G onc : J = = = = 8 () 4 n reportant () dans (1) : I = IJ + J = 4 + 8 = 16 + 8 = 4 I 4,9 cm
xercices 1 L PYRMI - Trace les intersections des plans et avec les faces de la pyramide. olorie les parties de ces plans, visibles à l intérieur de la pyramide (si l on suppose celle-ci transparente). Recherche la droite d intersection (I) des plans et. - ans le plan, la droite (MN) coupe la droite () en K. ans le plan, la droite (KP) coupe la droite () en Q. Représente et colorie l intersection du tétraèdre et du plan MNP. - ette pyramide a son sommet S dans la face du pavé droit supposé transparent. Sachant que est l ombre du point, trouve l ombre S du sommet S de la pyramide. Trace ensuite et colorie l ombre de la pyramide. Les rayons du soleil sont parallèles.
xercices L PYRMI - S est une pyramide régulière d arête 5 cm.(toutes ses arêtes ont la même longueur). Trace la hauteur [S] de cette pyramide. alcule S. alcule les angles formés par les arêtes et les diagonales de la base. alcule le volume de la pyramide. - On donne un parallélépipède rectangle (pavé droit) G. On sait que : = 4 cm ; = 7 cm ; = 5,7 cm. Trace le tétraèdre G.(On suppose le pavé transparent) alcule les longueurs des arêtes de ce tétraèdre................... alcule le volume du tétraèdre G.(On procédera par soustractions) Le comparer au volume du pavé................
evoir 1 - La Pyramide de Kheops (5 siècles av.j-) est une pyramide régulière. lle a une hauteur de 18 mètres et une base carrée de 0 m de côté. a) alcule son volume. b) Si cette pyramide était constituée de blocs parallélépipédiques dont les trois dimensions sont 1 m, m, et 50 cm, quel serait le nombre de ces blocs? - S est un tétraèdre régulier dont l'arête mesure 10 cm. [S] est sa hauteur. a) Quelles sont les particularités des droites (I) et (J)? Que peux-tu dire du point pour le triangle? b) émontre que : I² = 75 et que: ² = 100. c) alcule la hauteur S (à 1/1000 cm près) puis le volume de ce tétraèdre.
evoir L unité de longueur est le centimètre. x désigne un nombre strictement positif. a) est un trapèze rectangle de bases [] et [] et de hauteur [] tel que : = x ; = x ; =. alcule l aire de ce trapèze en fonction de x. On rappelle que l aire d un trapèze est : somme des bases hauteur b) Une pyramide P de sommet S a pour base ce trapèze et pour hauteur S = 4x. Montre que le volume de cette pyramide est : V = 6x². alcule V si x est égal à,5. Pour quelle valeur de x, V est-il égal à 54 cm? c) Soit le milieu de [S]. On coupe la pyramide P par un plan passant par et parallèle à la base. e plan coupe la pyramide selon le quadrilatère. Quelle est l aire de? (On l exprimera en fonction de x). Quel est le volume V de la pyramide S? (L exprimer en fonction de V). alcule V si x =,5.
S PYRMIS (ORRIGÉ) Je te propose de construire des pyramides en te servant du cube G qui est supposé transparent. ttention, les pyramides ne sont pas transparentes : tu dois donc bien repérer les arêtes cachées. - Pyramide régulière à base carrée (type Khéops) onstruis la pyramide de sommet I et de base G Ses faces sont des triangles isocèles Sa hauteur est la verticale passant pari. lle passe par le centre du carré de base Si tu disposes d un récipient ayant la forme du cube G et d un autre récipient ayant la forme de la pyramide IG tu peux constater qu il faut le liquide contenu dans trois pyramides pour remplir le cube Tu en conclus alors que le volume de la pyramide est le tiers du volume du cube. - Pyramides non régulières à base carrée G G G e sommet et de base G e sommet et de base e sommet et de base G Sa hauteur est [] Sa hauteur est [], en particulier Sa hauteur est [] Ses faces et G son t des perpendiculaire à [] et [] triangles rectangles isocèles. es trois pyramides sont identiques : elles ont la même hauteur (4 cm), la même base (un carré de 4 cm de côté) et les mêmes faces latérales (dont deux sont des triangles rectangles isocèles) - Tétraèdre régulier Il fait partie des cinq polyèdres réguliers; c'est le plus simple des cinq. onstruis la pyramide de sommet et de base G Ses six arêtes sont égales (diagonales des faces du cube) Ses quatre faces sont des triangles équilatéraux identiques. ette pyramide s appelle tétraèdre régulier. Les cinq polyèdres réguliers sont : ce tétraèdre, le cube (hexaèdre), l icosaèdre, l octaèdre et le dodécaèdre.
xercices 1 (orrigé) L PYRMI - Trace les intersections des plans et avec les faces de la pyramide. olorie les parties de ces plans, visibles à l intérieur de la pyramide (si l on suppose celle-ci transparente). Recherche la droite d intersection (I) des plans et. Ι Le point I est à l intersection des droites () et () de la base. Les plans et se coupent selon la droite (I) - ans le plan, la droite (MN) coupe la droite () en K. ans le plan, la droite (KP) coupe la droite () en Q. Représente et colorie l intersection du tétraèdre et du plan MNP. Q Le plan MNPQ est l intersection cherchée. - ette pyramide a son sommet S dans la face du pavé droit supposé transparent. Sachant que est l ombre du point, trouve l ombre S du sommet S de la pyramide. Trace ensuite et colorie l ombre de la pyramide. Les rayons du soleil sont parallèles. L ombre de l horizontale [S] est [S ] parallèle à [S] La surface grisée est donc l ombre de la pyramide S'
xercices (orrigé) L PYRMI - S est une pyramide régulière d arête 5 cm.(toutes ses arêtes ont la même longueur). Trace la hauteur [S] de cette pyramide. alcule S. S = + = 5 + 5 = 150 = donc 150 = = = 1,5 4 4 S = S = 5 1,5 = 1,5 S 17,7 cm alcule les angles formés par les arêtes et les diagonales de la base. On remarque que : = S. Le triangle S est isocèle rectangle donc S = 45 e même : S = S = S = 45. alcule le volume de la pyramide. ire() S 5 17, 7 V = 687 cm - On donne un parallélépipède rectangle (pavé droit) G. On sait que : = 4 cm ; = 7 cm ; = 5,7 cm. Trace le tétraèdre G.(On suppose le pavé transparent) alcule les longueurs des arêtes de ce tétraèdre. = + = 7 + 5, 7 = 81, 49 = G 9 cm = + = 5, 7 + 4 = 48, 49 = G 7 cm = + = 7 + 4 = 65 = G 8 cm alcule le volume du tétraèdre G.(On procédera par soustractions) Le comparer au volume du pavé. V(G) = V(G) V() V(G) V(G) V(G) V(G) = V(G) 4 V() = 4 V(G) V(G) = = = 7 5,7 4 V(G) = = 5,cm G...