BREVET BLANC MAI 2013 MATHEMATIQUES COLLEGE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/5 à 5/5. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet. L annexe page 5/5 est à détacher et à rendre avec votre copie. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Maîtrise de la langue 3 points 4 points 4 points 5 points 9 points 3 points 8 points 4 points 1/11
Exercice 1 Pour chacune des questions ci-dessous, écrire les étapes des calculs. 1. On pose A= 5 7 + 1 7 5 + 1 2 Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d une fraction irréductible. 2. On pose B = 15 10 3 7 10 7 5 10 2. Calculer B. Présenter le résultat sous la forme scientifique. 3. On pose C=2 50 5 8+3 200. Calculer C. Présenter le résultat sous la forme a 2 où a est un entier. Exercice 2 On donne la feuille de calcul ci-contre. La colonne B donne les valeurs de l expression 2 2 3 9 pour quelques valeurs de de la colonne A. 1. Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, quelle valeur va-t-on obtenir dans la cellule B17? 2. À l aide du tableur, trouver 2 solutions de l équation : 2x 2 3x 9 = 0. 3. L unité de longueur est le cm. Donner une valeur de x pour laquelle l aire du rectangle ci-dessous est égale à 5 cm 2. Justifier. 2/11
Exercice 3 : Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n est demandée. 1 2 3 4 Réponses Questions A B C Quelle expression est égale à 6 si on choisit la -3² 6( + 1) 5² + 1 valeur x = 1? Le développement de ( + 3)(2 + 4) 2(5 + 6) 2² 2² + 20 + 24 2² + 24 est : La factorisation de 9² - 16 est : (3-4)² (3 + 4)(3-4) (3 + 4)² Les solutions de l équation (x 5)(3x + 4) = 0 sont : 4 3 et 5-4 3 et 5 4 3 et 5 Exercice 4 : On effectue le programme de calcul suivant : Choisir un nombre Ajouter 3 Calculer le carré du nombre obtenu Lui retrancher le carré du nombre de départ Ecrire le résultat final 1) lorsque le nombre choisi est 2, quel est le résultat final? 2) Le nombre choisi au départ étant x, exprimez le résultat final en fonction de x. 3) On considère l expression P = (x + 3)² - x². Développez puis réduisez P. 4) Quel nombre x doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 39? 3/11
Exercice 5 : Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : 1,20 par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : 0,50 par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35. 1. Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an. 2. a. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre A. b. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre B. 3. Soit f et g les deux fonctions définies par : f : x 1,2x et g : x 7 0,5x +35. a. L affirmation ci-dessous est-elle correcte? Expliquer pourquoi. «f et g sont toutes les deux des fonctions linéaires». b. Représenter sur la feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions f et g. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 en ordonnée. 4. Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. 5. Déterminer l offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l année. 6. Si on dépense 80, combien de morceaux peut-on télécharger avec l offre B? Donner la réponse à partir du graphique et à partir de la résolution d une équation. Exercice 6 : Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à 108 cm 3. Sa hauteur [SH] mesure 9 cm. Le volume d une pyramide est donné par la relation : Volume d une pyramide = aire de la base hauteur 3. 1. Vérifier que l aire de ABCD est bien 36 cm 2. En déduire la valeur de AB. 2. Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à 12 + 6 2 cm. 4/11
Exercice 7 Sur la figure ci-contre, OD = 4 cm ; OC = 5 cm ; AC = 3 cm ; OE = 6 cm ; OF = 7,5 cm. La représentation ci-contre n est pas en vraie grandeur. 1. Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Calculer OB. 3. Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles. 4. Quelle est la nature du triangle OEF? Justifier.+ 5. Calculer au degré près la mesure de l angle a OCD. 6. Quelle est la mesure au degré près de l angle a EFO? Annexe à rendre avec la copie pour l exercice 5 Numéro de candidat : 5/11
Exercice 1 Pour chacune des questions ci-dessous, écrire les étapes des calculs. 1. On pose A= 5 7 + 1 7 5 + 1 2 Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d une fraction irréductible. 2. On pose B = 15 10 3 7 10 7 5 10 2. Calculer B. Présenter le résultat sous la forme scientifique. 3. On pose C=2 50 5 8+3 200. Calculer C. Présenter le résultat sous la forme a 2 où a est un entier. 1. A = 5 7 + 1 7 5 2 2 + 1 2 = 5 7 + 1 7 10 + 1 = 5 2 7 + 1 7 11 2 = 5 2 7 2 + 11 10 + 11 = = 21 14 14 14 = 7 3 7 2 = 3 2 2. B = 5 3 7 10-3+7 5 10² 3. C = 2 25 2 5 4 2 + 3 100 2 = 21 104 10² = 21 10² = 2,1 103 (écriture scientifique) C = 2 25 2 5 4 2 + 3 100 2 C = 2 5 2 5 2 2 + 3 10 2 C = 10 2-10 2 + 30 2 C = 30 2. Exercice 2 On donne la feuille de calcul ci-contre. La colonne B donne les valeurs de l expression 2x 2 3x 9 pour quelques valeurs de x de la colonne A. 1. Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, quelle valeur va-t-on obtenir dans la cellule B17? 2. À l aide du tableur, trouver 2 solutions de l équation : 2x 2 3x 9 = 0. 3. L unité de longueur est le cm. Donner une valeur de x pour laquelle l aire du rectangle ci-dessous est égale à 5 cm 2. Justifier. 6/11
1. Si on tape 6 dans la cellule A17, on obtiendra : 2 6² -3 6 9 = 2 36 18 9 = 72 27 = 45 2. On cherche dans le tableau les cellules de la colonne B égales à 0 et on lit la valeur correspondante de la même ligne dans la cellule de la colonne A. On trouve les cellules A3 et A12 dont les valeurs sont -1,5 et 3. -1,5 et 3 sont donc deux solutions de l équation 2x² - 3x 9 = 0. 3. L aire du rectangle ABCD est donnée par : AB AD = (2x + 3)(x 3) = 2x x 2x 3 + 3 x 3 3 Soit : 2x² - 6x + 3x 9 = 2x² -3x 9 On retrouve l expression de la colonne B du tableur. Pour x = 3,5, 2x² - 3x 9 = 5 d après les cellules A13 et B13 du tableur. Donc Pour x = 3,5 l aire du rectangle ABCD est égale à 5 cm². La valeur x = -2 ne convient pas car -2 < 0 et comme AB > 0 alors x > 3. Exercice 3 : Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n est demandée. 1 2 3 4 Réponses Questions A B C Quelle expression est égale à 6 si on choisit la -3x² 6(x + 1) 5x² + 1 C valeur x = 1? Le développement de (x + 3)(2x + 4) 2(5x + 6) 2x² 2x² + 20x + 24 2x² + 24 A est : La factorisation de 9x² - 16 est : (3x - 4)² (3x + 4)(3x - 4) (3x + 4)² B Les solutions de l équation (x 5)(3x + 4) = 0 sont : 4 3 et 5-4 3 et 5 4 3 et 5 B 7/11
Exercice 4 : On effectue le programme de calcul suivant : Choisir un nombre Ajouter 3 Calculer le carré du nombre obtenu Lui retrancher le carré du nombre de départ Ecrire le résultat final 1) lorsque le nombre choisi est 2, quel est le résultat final? 2) Le nombre choisi au départ étant x, exprimez le résultat final en fonction de x. 3) On considère l expression P = (x + 3)² - x². Développez puis réduisez P. 4) Quel nombre x doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 39? 1) (2 + 3)² - 2² = 5² - 2² = 25 4 = 21 Si le nombre choisi est 2, le résultat final est 21. 2) (x + 3)² -x² est le résultat final exprimé en fonction de x. 3) P = x² + 2 x 3 + 3² - x² = 6x + 9 4) P = 39 si 6x + 9 = 39 Soit : 6x + 9 9 = 39-9 Soit : 6x = 30 Soit 6x 6 = 30 6 Soit x = 5 Pour obtenir 39 comme résultat final, on doit choisir 5 comme nombre de départ. Exercice 5 : Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : 1,20 par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : 0,50 par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35. 1. Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an. 2. a. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre A. b. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre B. 3. Soit f et g les deux fonctions définies par : f : x 1,2x et g : x 0,5x +35. a. L affirmation ci-dessous est-elle correcte? Expliquer pourquoi. «f et g sont toutes les deux des fonctions linéaires». b. Représenter sur la feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions f et g. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 en ordonnée. 8/11
4. Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. 5. Déterminer l offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l année. 6. Si on dépense 80, combien de morceaux peut-on télécharger avec l offre B? Donner la réponse à partir du graphique et à partir de la résolution d une équation. 1. Pour l offre A, 30 morceaux téléchargés correspondent à un prix de 1,2 30 = 36. Pour l offre B, 30 morceaux téléchargés correspondent à un prix de 0,5 30 + 35 = 50. 2. a. Pour l offre A : 1,2x b. Pour l offre B : 0,5x + 35. 3. a. f est une fonction linéaire de coefficient 1,2 car f(x) est de la forme ax. g n est pas une fonction linéaire car g(x) est de la forme ax + b avec b 0. (g est une fonction affine non linéaire). b. Tableau de valeurs x 0 30 60 f(x) 0 36 72 g(x) 35 41 65 9/11
4. On lit l abscisse du point d interesection des deux droites : 50. Pour 50 morceaux téléchargés, les prix sont les mêmes. 5. On compare les ordonnées des points de deux droites d abscisse égale à 60. Pour l offre A, on lit 72 et pour l offre B 65. Donc pour 60 morceaux, l offre la plus avantageuse est l offre B. 6. Graphiquement : On lit l abscisse du point d ordonnée 80 de la droite correspondant à l offre B. Soit 90 morceaux. Par la résolution d une équation : On résout l équation g(x) = 80 Soit 0,5x + 35 = 80 Soit 0,5x + 35 35 = 80 35 Soit 0,5x = 45 Soit 2 0,5x = 2 45 Soit x = 90. Avec 80, on peut télécharger 90 morceaux avec l offre B. Exercice 6 : Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à 108 cm 3. Sa hauteur [SH] mesure 9 cm. Le volume d une pyramide est donné par la relation : Volume d une pyramide = aire de la base hauteur 3. 1. Vérifier que l aire de ABCD est bien 36 cm 2. En déduire la valeur de AB. 2. Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à 12 + 6 2 cm. 1. Aire de la base = 3 Volume Hauteur = 3 108 = 108 = 36 cm² 9 3 Aire de la base = AB² = 36 = 6² Donc AB = 6 cm 2. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC est rectangle en B : AC² = AB² + BC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72 Donc AC = 72 = 36 2 = 36 2 = 6 2 cm Périmètre de ABC = AB + BC + AC = 6 + 6 + 6 2 = 12 + 6 2 cm. 10/11
Exercice 7 Sur la figure ci-contre, OD = 4 cm ; OC = 5 cm ; AC = 3 cm ; OE = 6 cm ; OF = 7,5 cm. La représentation ci-contre n est pas en vraie grandeur. 1. Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Calculer OB. 3. Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles. 4. Quelle est la nature du triangle OEF? Justifier. 5. Calculer au degré près la mesure de l angle a OCD. 6. Quelle est la mesure au degré près de l angle a EFO? 1. Les droites (AB) et (CD) étant perpendiculaires à la même droite (OB) sont parallèles. 2. Les droites (AB) et (CD) étant parallèles, C appartenant à [AO] et D à [OB], on peur appliquer le théorème de Thalès dans les triangles OCD et OAB : OC OA = OD OB = CD AB OA = OC + AC = 5 + 3 = 8 cm Soit : 5 8 = 4 OB Donc 5 OB = 8 4 OB = 32 5 = 6,4 cm 3. OE OD = 6 4 = 3 OF et 2 OC = 7,5 5 = 15 10 = 3 2 Les points E, O et D d une part et les points F, O et C d autre part sont alignés dans cet ordre et OE OD = OF, donc selon la réciproque de théorème de Thalès les droites (EF) et (CD) sont parallèles. OC 4. Les droites (EF) et (CD) sont parallèles et (CD) est perpendiculaire à (OE). Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc les droites (OE) et (EF) sont perpendiculaires. Donc le triangle OEF est rectangle en E. 5. Dans le triangle OCD rectangle en D, on a sin a OCD = OD OC Soit : sin a OCD = 4 5 A l aide de la calculatrice, on obtient a OCD 53 6. Les angles alternes-internes a OCD et a EFO déterminés par les droites parallèles (CD) et (EF) et par la sécante (DE) sont de même mesure. Donc a EFO = a OCD 53. 11/11