Notions de logique 1 Proposition Définition préliminaire : En mathématiques, on appelle proposition toute phrase correctement construite, dont on peut dire sans ambiguïté si elle est VRAIE ou FAUSSE. Exemples : 1. 3 + 2 = 5 est une proposition vraie ; 1 = 0 est une proposition fausse. 2. 3) + 1 = n est pas une proposition et cette expression n a d ailleurs aucun sens. Remarque : 1. On appelle expression bien formée (en abrégé ebf) toute phrase correctement construite. 2. L expression x > 3 contient une lettre (x) appelée variable. Cette expression n est pas une proposition tant qu on n a pas dit ce que représentait x : elle sous-entend seulement, pour qu il y ait quelque chance que cette expression ait un sens, que x R. Dans cet exemple, la variable réelle x est libre : cela signifie que si on lui donne une valeur réelle quelconque, l expression qui en résulte est bien formée. Dans le cas contraire, on dira que la variable est liée ou muette comme dans l exemple : Pour tout réel x, x 2 0. Ainsi, dans une démonstration, il ne doit y avoir aucune variable libre. Si l on écrit x > 2 sans dire ce qu est x, on n a aucun moyen de savoir si ce qui est écrit est vrai ou faux. Exercice 1. Les phrases suivantes sont-elles des propositions? Si oui, donner leur valeur de vérité. 1. (3 π) 2 = 3 π 2. 3 3 = 27 3. n 2 = 9 4. Il existe un entier naturel n tel que n 2 = 9. 5. Pour tout entier naturel n, n + 1 = 2n 3. 2 Les quantificateurs Exercice 2. Considérons l expression (x 2 > 9). 1. Que dire de la variable x dans cette expression? 2. Considérons la proposition suivante : (Pour tout réel x > 4, x 2 > 9). Cette proposition est-elle vraie? 3. Considérons la proposition suivante : (Il existe un réel x ]0; 1[, x 2 > 9). Cette proposition est-elle vraie? Ainsi, une expression du type (x 2 > 9) ne constitue pas une proposition tant que l on n a pas dit ce que désignait la lettre x, dans quel ensemble elle se trouvait, si cette expression concernant tous les éléments d un ensemble ou seulement certains d entre eux... C est le problème de la quantification des expressions mathématiques. 2.1 Le quantificateur universel Considérons la proposition suivante : (Pour tout x R, x 2 0). Cette phrase peut se dire en français : le carré d un nombre réel est un nombre positif. C est une proposition vraie. Elle signifie que TOUS les éléments de R ont un carré positif. La locution Pour tout est appelée quantificateur universel : il indique que la propriété qui le suit est vraie pour tous les éléments de l ensemble considéré. Notation mathématique :. On peut écrire : ( x R, x 2 0). Attention! Le quantificateur universel peut parfois se cacher, quand on énonce notamment une propriété en français. Par exemple, quand on énonce : un entier pair est un entier multiple de 2, l article indéfini souligné un signifie en fait tous les.... Si on note P l ensemble des entiers pairs, cette proposition s énonce : (pour tout n P, n est multiple de 2). Terminale S Notions de logique Page 1/8
Cependant, le mot un n a pas toujours le rôle d article indéfini. Dans la phrase, un singleton est un ensemble ayant un élément, le troisième un est un adjectif numéral. Il est souvent remplacé en mathématique par un et un seul. Exercice 3. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1. Pour tous réels a et b, (a + b) 1 = a 1 + b 1. 2. Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. 3. r Q, r Q. 4. Pour tout entier y > 10, y 2 > y. 2.2 Le quantificateur existentiel Considérons la proposition suivante : (Il existe un réel t, t 2 > 1). Cette phrase s énonce aussi : il existe un réel dont le carré est strictement supérieur à 1. Il s agit d une proposition vraie. Elle signifie que CERTAINS (et en tout cas, AU MOINS UN) éléments de l ensemble R ont un carré strictement supérieur à 1. La locution il existe est appelée quantificateur existentiel. Notation mathématique :. On peut écrire : ( t R, t 2 > 1). Exercice 4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1. Il existe un nombre réel u tel que u 2 = 2. 2. Il existe un complexe z tel que z 2 = 2. 3. Il existe un complexe a tel que a 2 = 0. 4. il existe un carré qui ne soit pas un losange. 5. t R, (t + 2) 2 = t 2 + 4 2.3 Attention aux mélanges... Exercice 5. Considérons les deux propositions suivantes : Proposition 1 : ( x R, y R, x > y). Proposition 2 : ( y R, x R, x > y). Ces propositions signifient-elle la même chose? Etudier la vérité de chacune de ces propositions. Exercice 6. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1. x R, y R, x + y = 0. 2. x R, y R, x + y = 0. 3. y R, x R, x + y = 0. À partir de différentes propositions, on peut en créer de nouvelles en utilisant des connecteurs. 3 Connecteurs et, ou 3.1 Le connecteur OU Considérons les propositions suivantes : 1. Proposition p : Pierre est élève de seconde ; 2. Proposition q : Pierre apprend l espagnol. Exercice 7. Dans quel(s) cas Pierre répondrait-il OUI à la question suivante : Es-tu élève de seconde ou apprends-tu l espagnol?? Définition : Soit p et q deux propositions. La proposition (p ou q) (appelée disjonction de p et q) est vraie lorsque p est vraie ou lorsque q est vraie. On la note aussi (p q). Terminale S Notions de logique Page 2/8
Remarques Attention! En mathématiques, le connecteur ou, à la différence du français, n est jamais exclusif. Quand dans un menu de restaurant, il est écrit fromage ou dessert, cela sous-entend souvent qu on ne peut pas prendre un fromage puis un dessert. En mathématiques, au contraire, dire choisir A ou B signifie qu on peut choisir A, ou choisir B, ou les deux en même temps : on dit que le ou mathématiques est inclusif. Exercice 8. Donner la valeur de vérité des propositions suivantes : 1. 2 + 5 = 7. 2. 2 + 4 = 7. 3. (2 + 4 = 7) ou (2 + 5 = 7). 4. (2, 5 N) ou ( 2 Q). 5. x R, (x < 1 ou x 1). 6. ( x R, x < 1) ou ( x R, x 1) Exercice 9. Compléter la table de vérité du connecteur OU : p q p q Exercice 10. Le connecteur OU exclusif : soit p et q deux propositions. La proposition p q est vrai lorsque l une seulement des propositions p ou q l est. Dresser la table de vérité de ce connecteur : 3.2 Le connecteur ET p q p q Définition : Soit p et q deux propositions. La proposition (p et q) (appelée conjonction de p et q) est vraie lorsque p est vraie et lorsque q est vraie. On la note aussi (p q). Exercice 11. Compléter la table de vérité du connecteur OU : p q p q Exercice 12. Donner la valeur de vérité des propositions suivantes : 1. (2 + 4 = 7) et (2 + 5 = 7). 2. (2 = 1) et (2 > 1). 3. (2, 5 N) et 2 Q. 4. t R, ( t Q et t 2 = 2.) 5. Pour tout entier pair n, n 2 est multiple de 4 et n est multiple de 3. 6. Il existe entier pair n, n 2 est multiple de 4 et n est multiple de 3. Remarques Attention aux interférences entre le français et les mathématiques! La phrase : les solutions dans R de l équation x 2 = 4 sont les réels 2 et 2 est correcte, mais ici, et sert à formuler une énumération et non à formuler la conjonction de deux propositions. Terminale S Notions de logique Page 3/8
4 Le connecteur NON Exercice 13. Considérons les proposition suivante : Aujourd hui, il pleut. Enoncé le contraire de cette proposition. Si cette proposition est vraie, que dire de son contraire? Si cette proposition est fausse, que dire de son contraire? Définition : Soit p une proposition. La proposition (non p) (appelée contraire de p) est vraie lorsque p est fausse et fausse lorsque p est vraie. On la note aussi aussi p. Remarques Ainsi, pour prouver qu une proposition est vraie, on peut prouver que son contraire est........ C est ce qu on appelle le raisonnement par l absurde. Exercice 14. Compléter la table de vérité du connecteur non : p V F non p Exercice 15. Soit p une proposition. Montrer que, quel que soit la valeur de vérité de p, 1. p ou (non p) est une proposition vraie. (C est le principe du tiers exclu.) 2. p et (non p) est une proposition fausse. Exercice 16. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Dans tous les cas, formuler la proposition contraire. 1. 2 10. 2. Tous les humains sont blonds. 3. Tous les humains sont des mammifères. 4. n N, n > 10. 5. x R, x 2 0. 6. Il existe un entier n tel que n Q. Exercice 17. Soit p et q deux propositions. Montrer que les propositions non(p ou q) et ((non p) et (non q)) ont toujours les mêmes valeurs de vérité. On pourra compléter la table suivante : p q p ou q non (p ou q) non p non q (non p) et (non q) Remarques On peut retenir que le passage au contraire transforme le connecteur et en ou. 4.1 Maniement de la négation et des quantificateurs Méthode n 1 : Pour montrer qu une propriété universelle est fausse, il suffit d exhiber un contre-exemple à cette propriété. Exercice 18. Prouver que la proposition (Pour tout entier naturel n, 2 n + 3 n = 5 n ) est fausse. Si une proposition débutant par le quantificateur Pour tout est fausse, c est donc que son contraire est........ Exercice 19. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Dans tous les cas, écrire leur négation. 1. Pour tout entier relatif n, n 2 est un entier naturel. 2. Quel que soit le rectangle ABCD, ABCD est un carré. 3. Tous les éléments de l ensemble {2; 3; 5; 7; 10} sont des entiers impairs. Terminale S Notions de logique Page 4/8
Méthode n 2 : Pour écrire la négation d une propriété universelle, on remplace le quantificateur universel par le quantificateur existentiel, et la proposition qui suit la quantification par son contraire. Méthode n 3 : Pour montrer qu une propriété existentielle est vraie, il suffit d exhiber un exemple qui valide cette proposition. Exercice 20. Prouver que la proposition suivante est vraie : (Il existe un entier relatif n, 3n 2 4 = 23). Méthode n 4 : Pour écrire la négation d une propriété existentielle, on remplace le quantificateur existentiel par le quantificateur universel, et la proposition qui suit la quantification par son contraire. Exercice 21. Soit (u n ) une suite de nombre réels. La définition de la suite (u n ) tend vers + est : A > 0, N N, n N, u n > A Écrire la définition de la suite (u n ) ne tend pas vers +. 5 Implications 5.1 Définition Considérons la proposition suivante : S il pleut, alors il y a des nuages. Elle signifie que que si la proposition (il pleut) est vraie, alors la proposition (il y a des nuages) est vraie aussi. Une telle proposition est appelée en mathématique une implication. On peut noter : (il pleut) (il y a des nuages) Un autre exemple - un professeur très autoritaire annonce fermement : Si un élève bavarde, alors il est puni. Cette proposition a le même sens que un élève ne bavarde pas ou alors il est puni. Exercice 22. En revenant à la définition du connecteur ou, indiquer dans quel(s) cas la proposition un élève ne bavarde pas ou alors il est puni est vraie, et dans quel(s) cas elle est fausse. Propriété : Soit p et q deux propositions. La proposition (p q) a toujours la même valeur de vérité que la proposition (non p ou q). Exercice 23. En s appuyant sur la définition ci-dessus, compléter la table de vérité suivante : Remarques p q non p (non p ou q) p q 1. Il peut paraître étonnant que si p est fausse, alors, quelle que soit la valeur de vérité de q, la proposition (p q) est vraie. C est un choix fait par les mathématiciens, et qui se comprend : le FAUX ne se produisant par définition jamais (sauf dans quelques copies), il peut bien impliquer tout et son contraire... 2. Attention! Prouver que l implication (p q) est vraie ne prouve pas que q est vraie. Considérons l implication suivante : Si Blanche-Neige est reine du Royaume-Uni, alors Blanche-Neige est aussi reine d Australie. Cette implication est vraie ; prouve-t-elle pour autant que Blanche-Neige est reine d Australie? Terminale S Notions de logique Page 5/8
3. n a pas le même sens que la conjonction donc. L usage de l implication sert pour nous à énoncer des propriétés. Par exemple, citons le très célèbre : Soit A, B et C trois points du plan. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2. Lorsque l on utilise cette proposition, on procède ainsi : (a) Je sais que ABC est un triangle rectangle en A. (b) Or, si le triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2. (c) J en déduis que AB 2 + AC 2 = BC 2. Mais on rédige plus légèrement : Je sais que ABC est un triangle rectangle en A, donc (comprendre : d après le théorème de Pythagore ) AB 2 + AC 2 = BC 2. Méthode : Prouver que l implication (p q) est vraie, on suppose que p est vraie, et par un raisonnement bien construit, on en déduit que q est vraie. Exercice 24. Prouver que les implications suivantes sont vraies. 1. Soit x R. Si x > 2, alors x 2 > 1. 2. Soit n N. Si n est multiple de 3, alors n 2 est divisible par 9. 3. Soit EFG un triangle. Si EF = 2, EG = 3 et FG = 13, alors EFG est rectangle. 5.2 Négation d une implication Exercice 25. Rappelons-nous que (p q) signifie en fait (non p ou q). À partir de là, donner la négation de (p q) Méthode : Prouver que l implication (p q) est fausse, on peut prouver que l on peut simultanément avoir p vraie et q fausse. Exercice 26. Prouver que les implications suivantes sont fausses. 1. Soit x R. Si x > 0 alors x > 1. 2. Soit u et v deux vecteurs. Si u = v, alors u = v. Exercice 27. Rappeler la définition de la fonction f est croissante sur l intervalle I. Définir ensuite : la fonction f n est pas croissante sur l intervalle I. 5.3 Contraposée et réciproque Considérons les proposition suivante : (1) : S il n y a pas de nuages, alors il ne pleut pas. (2) : S il y a des nuages, alors il pleut. (1) est la contraposée de l implication : S il pleut, alors il y a des nuages. (2) est la réciproque de cette même proposition. Définition : Soient p et q deux propositions. La contraposée de l implication (p q) est l implication (non q non p). La réciproque de l implication (p q) est (q p). Propriétés : Soient p et q deux propositions. Si l implication (p q) est vraie, alors la contraposée (non q non q) est vraie aussi. Attention! La réciproque de l implication (p q) peut ne pas être vraie, même si (p q) l est. Terminale S Notions de logique Page 6/8
Exercice 28. Donner la contraposée des implications suivantes : 1. Pour tout entier n, si n est multiple de 4, alors n est pair. 2. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2. 3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors MB = MC. Exercice 29. Les implications suivantes sont-elles vraies? Que dire de leur réciproque? 1. Soient x et y deux réels. Si xy = 0, alors x = 0 ou y = 0. 2. Soit a un réel. Si a = 1, alors a 2 = 1. 3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors MB = MC. Méthode : Pour montrer qu une implication est vraie, on peut montrer que sa contraposée l est. Exercice 30. Montrer que si un entier n est pas multiple de 3, alors il n est pas multiple de 12. 5.4 Falloir et suffire Considérons la proposition suivante : S il pleut, alors il y a des nuages. Exercice 31. Peut-il pleuvoir s il n y a pas de nuages? Pleut-il nécessairement lorsque le temps est nuageux? On peut dire de façon équivalente : Pour qu il pleuve, il faut qu il y ait des nuages. La condition il y a des nuages est nécessaire pour qu il pleuve. On peut aussi dire : Pour qu il y ait des nuages, il suffit qu il pleuve. La condition il pleut est suffisante pour qu il y ait des nuages. Exercice 32. Compléter avec faut ou suffit. 1. Pour qu un entier soit pair, il........... que cet entier soit un multiple de 6. 2. Pour qu un quadrilatère soit un parallélogramme, il..... qu il ait deux côtés de même longueur. 3. Pour qu un quadrilatère soit un carré, il........... qu il soit un losange. 4. Soit n un entier naturel. Pour que n < 10, il........... que n < 13. 5. Soit a, b et c trois réels tels que a < c. Pour que b < c, il..... que b a. 6. Pour qu un être humain soit européen, il........ qu il soit néerlandais. 7. Pour qu un animal soit un mammifère, il..... qu il ait une colonne vertébrale. 6 Equivalences Définition : Deux propositions p et q sont équivalentes lorsqu elles sont soit toutes les deux vraies en même temps soit toutes les deux fausses en même temps. On écrit alors (p q). Exemples : Pour tout réel x, la proposition (x 2 = 1) équivaut à (x = 1 ou x = 1). La proposition (2 N) est équivalente à ( 1 Z). Remarque : lorsque l équivalence (p q) est vraie, on peut aussi dire : pour que p, il faut et il suffit que q ou bien p si et seulement si q. Terminale S Notions de logique Page 7/8
Exercice 33. Compléter les phrases suivantes : 1. Pour tous réels x et y, xy = 0 si, et seulement si,........ 2. Pour tous réels x et y, xy 0 si, et seulement si,........ Attention! la locution "si et seulement si sert à formuler des propriétés et ne figure que très rarement dans une démonstration. Prouver que l équivalence (p q) est vraie ne prouve en rien que q est vraie. Si on vous demande de prouver qu un triangle EFG est rectangle en G et que vous écrivez : EFG est rectangle en G ssi GF 2 +GE 2 = EF 2, vous ne répondez pas à la question posée. Vous ne faites que réciter, en une seule phrase, le théorème de Pythagore et sa réciproque. De même si l on vous demande de prouver : Pour tout réel x, f(x) 1 + x, où f(x) = x 2 + x + 1 et que vous écrivez : x R, f(x) 1 + x f(x) (1 + x) 0 x 2 0 vous écrivez (dans le meilleur des cas) un raisonnement correct mais vous êtes hors sujet... Exercice 34. Considérer par exemple la propriété : Soit d et d deux droites dirigées respectivement par les vecteurs U et V. d//d U et V sont colinéaires Et rédiger maintenant les deux exercices suivants : 1. Dans un repère (O; i, j ), considérons les points A(2; 3), B(4; 7) et d une droite dirigée par par le vecteur U (1; 2). Prouver que (AB) et d sont parallèles. 2. Dans un repère (O; i, j ), considérons les points E(0; 3) et F(3; 0). est une droite dirigée par le vecteur V (1; 1). et (EF) sont-elles parallèles? Méthode : Pour prouver que l équivalence (p q) est vraie, on peut prouver que les implications (p q) et (q p) sont vraies. Pour prouver qu une équivalence est fausse, il suffit de prouver que l une des deux implications qui la constitue est fausse. Exercice 35. 1. Soit a, b 2 réels. Prouver que : a 2 + b 2 1 ( a 1 et b 1) 2. Soit A, B et G trois points du plan. Prouver que : GA + 2 GB = 0 AG = 2 AB 3 Terminale S Notions de logique Page 8/8