Fonction logarithme népérien Introduction La fonction eponentielle est continue strictement croissante de R à valeurs dans ]0; + [. Le théorème des valeurs intermédiaires permet donc d affirmer que : Pour tout v de ]0; + [ il eiste une unique valeur u telle que : On peut donc définir la fonction qui à toute valeur de ]0; + [ associe son antécédent par la fonction eponentielle. On dit de cette fonction qu elle est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. Elle sera notée : et nommée fonction v + u = e On remarquera que la dualité ep - ln est la, même que la dualité fonction carrée - fonction racine carrée Représentation graphique de la fonction ln = e Le point M(u, v) appartient à la représentation graphique de la fonction eponentielle si et seulement si le point appartient à la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. Les deu courbes sont smétriques par rapport à la droite d équation v v + u + u = ln() 1 20 janvier 2015
DÉFINITION Définition La fonction eponentielle est une bijection de R sur ]0; + [ C est-à-dire que pour tout k ]0; + [, l équation e = k a une solution unique dans R. Cette unique solution est notée : On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à un réel strictement positif, fait correspondre l unique réel tel que e =. La fonction logarithme népérien est notée ln, c est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. ln : ]0; + [ R ln() Premières popriétés Pour tout réel strictement positif, on a e ln() = Pour tout réel, on a ln (e ) = ln1 = car : ln(e) = car : Remarque ]0; + [ et = ln() équivaut à R et e = L image d un réel > 0 par la fonction ln pourra se noter ln au lieu de ln() FONCTION DÉRIVÉE DE LA FONCTION ln Epression de la fonction dérivée 2 20 janvier 2015
Propriété La fonction ln est dérivable sur ]0; + [ avec : (ln()) = 1 Eercice 1. On admet que les fonctions ci-dessous sont dérivables sur ]0; + [ Calculer les fonctions dérivées : f() = 55 3ln() g() = ((ln() + 1) (5 ln() ) h() = (ln() + 1) 2 2. On admet que les fonctions ci-dessous sont dérivables sur leur ensemble de définition Calculer les fonctions dérivées : f() = ln() + g() = ln() h() = ln (2e + 1) 2 + 1 ln() + Variations de la fonction ln Variations Pour tout de ]0; + [ (ln()) = 1 Donc (ln()) > 0 sur ]0; + [ La fonction ln est donc strictement croissante sur ]0; + [ Conséquence de la stricte croissance Pour tous réels a et b de ]0; + [, ln a = ln b équivaut à a = b ln a < ln b équivaut à a < b. ln a > ln b équivaut à a > b. ln a > 0 équivaut à a > 1 ln a < 0 équivaut à 0 < a < 1. 3 20 janvier 2015
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION LN Propriété Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(ab) = ( ) 1 ln = ( a a ) ln = b pour tout n N, ln (a n ) = ln ( a ) = Démonstration Eemple d utilisation Déterminer le plus petit n tels que : 3 n 10 12. ETUDE DE LA FONCTION ln Limites usuelles de la fonction ln Epérimentation Observons le comportement de la fonction ln dans le tableau de valeurs ci-dessous : 10 50 100 500 1000 5000 10000 ln() 2,3 3,91 4,60 6,21 6,90 8,51 9,21 La fonction est certes croissante mais très faiblement On peut ainsi douter du comportement de la fonction ln au voisinage de + Le calcul de ln ( 10 50), par eemple, ne fait que confirmer cet état de fait : ln ( 10 50) 115 Cependant l égalité : ln (e ) = prouve que la fonction ln peut atteindre toute valeur aussi grande soit elle De même l égalité ln ( e ) = prouve que la fonction ln peut atteindre toute valeur aussi petite soit elle On admet donc Théorème 1. lim ln = + + 2. lim ln = 0 + Remarque Ce théorème sera démontré plus rigoureusement après le chapitre sur les limites de fonction 4 20 janvier 2015
Tableau de variation et courbe représentant la fonction ln La fonction ln est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0; + [. 0 + signe de ln + + variation de ln = ln() Eercice 1 Dans un repère orthonormal, C est la courbe reprèsentative de la fonction ln. Déterminer une équation de la tangente D à C au point d abscisse 1 Eercice 2 f est la fonction définie sur ]0; + [ par f() = (ln ) 2. 1. Etudier les limites de f en 0 et en +. 2. Déterminer la fonction dérivée de f. 3. Etudier le signe de f () et en déduire le sens de variation de f. 4. Dresser le tableau de variation de f. 5. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. FONCTION ln u Propriété Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la fonction f définie sur I par f() = ln(u()) est dérivable sur I et : pour tout I, f () = Démonstration On retiendra : On applique le théorème de dérivation d une fonction composée à la fonction U suivie de la foncion ln. La fonction U est dérivable sur I, et la fonction ln est dérivable sur ]0; + [, donc la fonction U suivie de la foncion ln est dérivable sur I et pour tout réel de I : (ln(u)) () = ln (U()) U () = U () U(). 5 20 janvier 2015
Eemple ] f est la fonction définie sur I = π 2 ; π [ par : f() = ln(cos ). 2 C est sa courbe représentative dans un repére orthonormé. 1. Montrer que l ae des ordonnées est un ae de smétrie de C. 2. Etudier la limite de f en π 2. 3. Déterminer la fonction dérivée de f. En déduire le sens de variation de f sur [ 4. Dresser le tableau de variation de f sur 0; π [. 2 [ 0; π [. 2 = f() 6 20 janvier 2015