II - 13 Flxion astiqu Philipp.Bouillard@ulb.ac.b vrsion 18 juillt 011 Flxion astiqu an matériau élastiqu parfaitmnt astiqu critèrs d dimnsionnmnt momnt astiqu rotul astiqu hpothèss pas influnc d N t T, constant Brnoulli Flxion astiqu II - 13 -
Sctions doublmnt smétriqus [Fr, 000, Vol. ] Flxion astiqu II - 13-3 Dimnsionnmnt élastiqu (rap) momnt élastiqu maximal max courbur élastiqu maximal I z σ 1 R EI z Flxion astiqu II - 13-4
Dimnsionnmnt élastoastiqu ls fibrs supériurs t infériurs astifint simultanémnt équation d équilibr d translation (N 0) σ da 0 A l ax nutr st donc toujours au cntr d gravité la distanc (voir figur) st donné par ε Flxion astiqu II - 13-5 l momnt ultim st donné par A σ σ S σda A da A / ( A ) σ Charg ultim da momnt statiqu d la dmi-sction Z modul astiqu (m 3 ) Flxion astiqu II - 13-6
Gain dû à la asticité dans la sction Sction rctangulair largur b, hautur h modul d résistanc élastiqu I max modul d résistanc astiqu S gain (factur d form) z bh 6 h h 4 bh 8 bh σ 6 bh 4 ( A ) b σ ϕ 1.5 Flxion astiqu II - 13-7 Flxion astiqu an : profil idéal on dispos d 3 critèrs rndmnt élastiqu (rap) rndmnt astiqu factur d form ϕ η η th msur la résrv d résistanc n flxion I / sup/ inf ( I / sup/ inf ) th Z Z th Flxion astiqu II - 13-8
Flxion astiqu an : profil idéal η /3 η 0.76 ϕ1.15 η 1/ η 0.64 ϕ1.7 η 1/3 η 0.5 ϕ1.5 η 1/4 η 0.4 ϕ1.7 η 1/6 η 0.33 ϕ ϕ n st pas l sul critèr! Flxion astiqu II - 13-9 Déchargmnt partons d lors d un déchargmnt, il subsist un courbur prmannt t ds contraints résidulls σ rsd ± σ I max [Fr, 000, Vol. ] Flxion astiqu II - 13-10
Sctions à un sul ax d smétri élastiqu élastoastiqu astiqu la position d l ax nutr st donné par ( A ) 0 σda σ A A 0 1 Flxion astiqu II - 13-11 Ax nutr astiqu [Fr, 000, Vol. ] l ax nutr astiqu divis la sction n airs égals l momnt astiqu st donné dirctmnt par A Z ( 1 + ) Flxion astiqu II - 13-1
Piècs composés l ax nutr s détrmin par l équation σda A 0 souvnt résolu par tâtonnmnts Flxion astiqu II - 13-13 Loi momnt-courbur rlation à chaqu instant ntr momnt t courbur on préfèr un diagramm non dimnsionnl / n fonction d / I z max σ EI z Flxion astiqu II - 13-14
Sction rctangulair [Fr, 000, Vol. ] Flxion astiqu II - 13-15 Etat élastiqu courbur élastiqu EI z EIz EI z Flxion astiqu II - 13-16
II - 13-17 Flxion astiqu Etat élastoastiqu l momnt élastoastiqu put êtr calculé aisémnt par calcul ds résultants t bras d lvir (voir figur) + + h 3 4 1 h 3 4 1 4 bh 3 4 h b 3 4 b 1 h h b σ σ σ σ II - 13-18 Flxion astiqu Etat élastoastiqu Or, à l état élastiqu (Brnoulli) h lorsqu h avc ε ε 3 1 1
Etat astiqu 1.5 Flxion astiqu II - 13-19 Lois momnt-courbur pour sctions droits astiqu élastiqu [Fr, 000, Vol. ] élastoastiqu [Fr, 000, Vol. ] Flxion astiqu II - 13-0
notion d rotul astiqu courb momnt-courbur Flxion astiqu an la poutr a un comportmnt élastiqu parfaitmnt astiqu : ll rst élastiqu jusqu à l instant où l momnt astiqu st attint, puis ll fléchit astiqumnt à momnt constant. pas d astification du à T ou à N localisation ds déformations (d la courbur) Flxion astiqu II - 13-1 Rotul astiqu [Fr, 000, Vol. ] rél localisation d courbur dans CD AC t DB rstnt élastiqus modèl simifié localisation d courbur n E poutr quasi-articulé n E Flxion astiqu II - 13 -
Rotul astiqu rotul st un trm abusif car la rotation n st pas libr [Fr, 000, Vol. ] Flxion astiqu II - 13-3 Charg limit ds structurs hprstatiqus poutr bi-ncastré 3x hprstatiqu charg total : Q ql momnt élastiqu maximal [Fr, 000, Vol. ] max A B ql 1 charg limit élastiqu Q 1 L Flxion astiqu II - 13-4
Charg limit ds structurs hprstatiqus ls momnts d ncastrmnt provoqunt l apparition d dux rotuls astiqus : la poutr st isostatiqu. Ls momnts d ncastrmnt valnt donc au maximum max A B qrl 1 [Fr, 000, Vol. ] Flxion astiqu II - 13-5 Charg limit ds structurs hprstatiqus si on continu à augmntr q, il apparaît un troisièm rotul astiqu. La poutr st isostatiqu t on a 3rL q 8 Q mécanism d ruin charg limit astiqu 16 L Flxion astiqu II - 13-6
Gain dû à l hprstaticité résrv d résistanc ds structurs hprstatiqus Q Q 16 1 4 ϕ 3 gain dû à la rdistribution ntr ls sctions Flxion astiqu II - 13-7 Courb charg-flèch astiqu élastiqu élastoastiqu [Fr, 000, Vol. ] doit rstr faibl par hpothès Flxion astiqu II - 13-8