Modélisation cinématique des mécanismes 1- Définitions 1.1- Solide On appelle un solide une pièce indéformable. Une pièce est indéformable si et seulement si toutes les distances entre deux points quelconques de cette pièce restent identiques à n importe quel instant. 1.2- Groupe solidifiant ou Classe d équivalence On appelle Groupe solidifiant ou Classe d équivalence d un mécanisme l ensemble des solides fixes les uns par rapport aux autres lors du fonctionnement du mécanisme. Une classe d équivalence ou un groupe solidifiant forme alors un solide. 1.3- Liaisons On appelle liaison entre deux classes d équivalence un ensemble de contacts entre ces classes d équivalences qui suppriment des mobilités ou degrés de liberté entre ces classes d équivalence. 2- Degrés de liberté ou de mobilités Tout corps solide possède par rapport à un second corps solide six possibilités différentes de mouvement. Tout autre mouvement est composé de ces possibilités. Ces possibilités sont appelées les degrés de liberté ou degrés de mobilité du premier solide par rapport au second solide. Ces six degrés de liberté sont : Trois Rotations et Trois Translations Degré de liaison : L inverse de degré de liberté est degré de liaison. C est à dire que pour chaque degré de liberté supprimé entre deux classes d équivalence, on crée un degré de liaison. 3.1- Liaison ponctuelle 3- Les liaisons normalisées Elle est obtenue avec un contact uniquement ponctuel (Souvent une sphère sur un plan). Ce contact est caractérisé par la normale du plan tangent commun à ces deux surfaces. Elle supprime : 1 Translation (Suivant la normale) 3.2- Liaison linéaire rectiligne Elle est obtenue avec un contact uniquement linéaire rectiligne (Souvent un cylindre sur un plan). Ce contact est caractérisé par la normale du plan tangent et la direction de la ligne de contact Elle supprime : 1 Translation (Suivant la normale) Et : 1 Rotation ( à la ligne et la normale) 3.3- Liaison linéaire annulaire Elle est obtenue avec un contact uniquement linéaire circulaire (Souvent une sphère dans un cylindre). Ce contact est caractérisé par l axe du cylindre dans lequel est la sphère. Elle supprime : 2 Translations ( à l axe ) MPSI - Modelisation des liaisons.docx page 1/6
3.4- Liaison appui plan Elle est obtenue avec un contact uniquement plan. Ce contact est caractérisé par la normale du contact entre les deux plans. Elle supprime : 1 Translation (suivant la Normale) Et : 2 Rotations ( à la normale) 3.5- Liaison rotule ou sphérique Elle est obtenue avec un contact uniquement sphérique. Ce contact est caractérisé par le centre de la sphère. Elle supprime : 3 Translations 3.6- Liaison sphérique à doigt Elle est obtenue avec un contact sphérique additionné avec un contact ponctuel. Elle peut également être obtenue avec des joints de transmission (Cardan) Cette liaison est caractérisée par la direction normale au plan défini par le centre de la sphère et la normale du contact ponctuel. C est l axe de la liaison. Elle supprime : 3 Translations Et : 1 Rotation (Suivant l axe) 3.7- Liaison pivot glissant Elle est obtenue avec un contact cylindrique uniquement. Cette liaison est caractérisée par l axe du cylindre. Elle supprime : 2 Translations ( à l axe) Et : 2 Rotations ( à l axe) 3.8- Liaison pivot Elle est obtenue avec un contact cylindrique additionné à un autre contact plan ou ponctuel. Elle est caractérisée par l axe du cylindre. Elle supprime : 3 Translations Et : 2 Rotations ( à l axe) 3.9- Liaison Glissière Elle est obtenue avec plusieurs contacts plans (Contact prismatique). Elle est caractérisée par l axe perpendiculaire aux normales des plans. Elle supprime : 2 Translations ( à l axe) Et : 3 Rotations 3.1- Liaison Hélicoïdale Elle est obtenue avec un contact cylindrique et un contact ponctuel ou autre sur une surface hélicoïdale. Elle supprime : 2 Translations ( à l axe) Et : 2 Rotations ( à l axe) Translation et rotation restantes sont liées MPSI - Modelisation des liaisons.docx page 2/6
4- Tableau de synthèse des liaisons normalisées Nom de la liaison degrés de liberté première orientation en projection orthogonale Représentation en perspective degrés de liberté deuxième orientation en projection orthogonale Représentation en perspective degrés de liberté troisième orientation en projection orthogonale Représentation en perspective Ponctuelle Linéaire rectiligne Linéaire annulaire Appui plan Sphérique ou rotule Sphérique à doigt Pivot glissant Pivot Hélicoïdale Glissière De normale (O,) De normale (O,) et de direction (O) De normale (O,) et de direction (O) De normale (O,) De normale (O,) et de direction (O) De normale (O,) et de direction (O) De normale (O,) De normale (O,) et de direction (O) De normale (O,) et de direction (O) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) De normale (O,) De normale (O,) De normale (O,) Liaison sans orientation particuliaire Liaison sans orientation particuliaire Liaison sans orientation particuliaire D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) D'axe (O,) MPSI - Modelisation des liaisons.docx page 3/6
5- Graphe des liaisons d un mécanisme Le graphe des liaisons est un schéma sur lequel on indique : Chacune des classes d équivalence par un cercle avec le numéro de la classe d équivalence (ou le nom ou une lettre) Chacune des liaisons par un trait reliant les classes d équivalence liées Parfois le bâti de la machine est indiqué par un symbole de masse ou un double cercle ou un coloriage intérieur du cercle Exemple de graphe des liaisons Bâti Piston Pignon Vilebrequin Bielle 6- Torseur cinématique du mouvement entre deux solides 6.1- Vecteur rotation Le vecteur rotation du solide 1 par rapport au solide est le vecteur défini par la rotation d une base B 1 ( 1, 1, 1 ) fixe sur le solide 1 par rapport à une base B (,, ) fixe sur le solide. Ce vecteur est défini par les caractéristiques suivantes : Il est colinéaire à l axe de rotation de R 1 par rapport à R Son sens est défini par la règle de la main droite grâce au sens de rotation Sa norme est la valeur absolue de la vitesse de rotation de la base B 1 par rapport à la base B. Elle s exprime en en rad.s 1. 6.2- Torseur cinématique du mouvement entre deux solides Le torseur cinématique d un solide 1 par rapport à un solide : {V(1/)} est le torseur défini par : Sa résultante : le vecteur rotation de 1 par rapport à noté : Ω 1/ Son moment en A : V A 1/ le vecteur vitesse du point A appartenant à 1 (le point A est fixe dans 1) par rapport à D où le torseur cinématique : 6.3- Transport du torseur cinématique {V(1/)} = A Ω 1/ V A 1/ On démontre alors la relation de Varignon : {V(1/)} = A = B Ω 1/ V B 1/ V B 1/ = V A 1/ + BA Ω 1/ Ω 1/ V A 1/ MPSI - Modelisation des liaisons.docx page 4/6
6.4- Liaison et torseur cinématique Si deux solides 1 et sont en liaison de centre A alors les composantes non nulles du torseur cinématique du mouvement de 1 par rapport à en A centre de la liaison correspondent aux degrés de liberté restant de la liaison. Exemple : Soit la liaison de degrés de liberté : R T R ω 1/ 1/ v A 1/ Alors : {V A (1/)} = ω 1/ A 7- Liaisons équivalentes 7.1- Cas de deux liaisons en parallèles Soit deux solides 1 et 2 entre lesquels il existe deux liaisons différentes L A et L B dont les centres A et B peuvent également être différents. Alors il est possible de trouver en un point donné une liaison équivalente à elle toute seule aux deux autre liaisons : L équi.1,2. L' 1,2 L équi1,2 1 2 1 2 L" 1,2 Pour chacune de ces liaisons on peut écrire un torseur cinématique dont la forme est différente. Cependant tous ces torseurs sont égaux. Il en résulte des équations scalaires (6 équations maximum) permettant d en déduire les composantes nulles et donc la liaison équivalente. {V équi (1/2)} = {V A (1/2)} = {V B (1/2)} Exemple : Trouver la liaison équivalente en A aux deux liaisons ci-contre A 2 B ω {V A (1/2)} = ω ω ω v = {V B (1/2)} = B B ω ω d 1 BA Ω 1/2 = -d ω ω ω = d.ω Ζ d.ω ω Donc : {V A (1/2)} = B ω + d.ω ω d.ω Or {V A (1/2)} = {V B (1/2)} Donc : v B = ω = et ω = Donc : ω {V équi (1/2)} = B La liaison équivalente est donc une liaison pivot d axe (B, ) MPSI - Modelisation des liaisons.docx page 5/6
6.2- Cas de deux liaisons en série Soit trois solides 1, 2 et 3 entre lesquels il existe deux liaisons dont les centres A et B peuvent être différents : L A entre les solides 1 et 2 et L B entre les solides 2 et 3. Alors il est possible de trouver en un point donné une liaison équivalente à elle toute seule aux deux autre liaisons : L équi.1,3. L 1,2 L 2,3 1 2 3 1 L 1,3 3 La loi de composition des mouvements permet alors d obtenir le torseur cinématique de la liaison équivalente part l addition des deux torseurs cinématiques des deux liaisons : {V équi (1/3)} = {V A (1/2)} + {V B (2/3)} Exemple : Trouver la liaison équivalente en A aux deux liaisons ci-contre 1 A B 2 3 ω 1/2 {V équi (1/3)} = ω 1/2 ω 1/2 v B + B 2/3 Or AB Ω 2/3 = AB = ω 1/2 Donc : {V équi (1/3)} = ω 1/2 ω 1/2 v B + 2/3 ω 1/2 v B {V équi (1/3)} = 2/3 ω 1/2 ω 1/2 La liaison équivalente est donc une liaison linéaire annulaire d axe (A, ) MPSI - Modelisation des liaisons.docx page 6/6