CHAPITRE 1 Nombres Entiers Relations et opérations Sous-ensembles remarquables Sommaire A) L'ensemble N des nombres entiers "naturels" 1) Propriétés de l addition 2) Propriétés de la multiplication 3) règles du calcul des puissances 4) propriétés de la relation 5) Maximum et minimum : 6) propriétés de la relation 7) décomposition en facteurs premiers, PGCD, PPCM 8) division euclidienne 9) Parties remarquables de l ensemble N des entiers "naturels" 10) L ensemble N 2 = N x N B) l'ensemble Z des nombres entiers "relatifs" 1) Valeur absolue d un entier relatif 2) Comparaison de deux entiers relatifs 3) Addition des entiers relatifs 4) Multiplication des entiers relatifs 5) identités remarquables 6) Retour sur la valeur absolue G.L. - CHAPITRE 1-1
Avertissement : La construction théorique des ensembles de nombres entiers, rationnels, réels, complexes IN, Q, IR, C, n est pas au programme du DAEU-B. Le lecteur trouvera ici les règles de calcul et les propriétés des nombres et des ensembles numériques à connaître pour la suite. Pour chaque ensemble de nombres, nous précisons les opérations et les relations qui relient ces nombres, ainsi que les parties (sous-ensembles) remarquables. A) L'ensemble N des nombres entiers "naturels" Un entier naturel est par exemple le résultat d un comptage d objets d un ensemble (aspect cardinal ) ou de l énumération d une liste (aspect ordinal ). Dans l ensemble IN, on définit des opérations (addition, multiplication) et des relations telles que : égal notée =, inférieur ou égal, notée, ou bien divise, notée. Exemples : 2 5, 3 12. N.B. : ces relations donnent naissance à leur tour à des opérations telles que max, min, pgcd, ppcm. 1) Propriétés de l addition : Exemples a + b = b + a 2 + 3 = 3 + 2 = 5 a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 a + 0 = 0 + a = a 3 + 0 = 0 + 3 = 3 ainsi que : a + c = b + c a = b (règle de simplification) a + 2 = b + 2 a = b 2) Propriétés de la multiplication : Exemples a b = b a 2. 3 = 3. 2 = 6 a (b c) = (a b) c 2. (3. 5) = 2. 15 = (2. 3).5 = 6. 5 a. 1 = 1. a = a 3. 1 = 1. 3 = 3 a. 0 = 0. a = 0 2. 0 = 0. 2 = 0 De plus, si un produit a. b est nul, alors l un au moins des deux termes est nul. Propriétés vis à vis de l addition : a (b + c) = a b + a c 2 (3 + 1) = 2. 3 + 2. 1 Enfin : c a = c b et c 0 a = b 3. a = 3. b a = b (règle de simplification) D où les importantes propriétés concernant carré, cube d une somme : (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + 2 a b + b 2 (2 + 3) 2 = 2 2 + 2. 2. 3 + 3 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a² b + 3 a b² + b 3 (2 + 3) 3 = 2 3 + 3. 2 2. 3 + 3. 2. 3 2 + 3 2 G.L. - CHAPITRE 1-2
3) règles du calcul des puissances : a b a c = a b+c 2 2. 2 3 = (2.2).(2.2.2) = 2 2+3 = 2 5 = 32 ( a b ) c = a b c (2 2 ) 3 = (2.2).(2.2).(2.2) = 2 2.3 = 2 6 = 64 ( a b ) n = a n. b n (2.3) 2 = (2.3).(2.3) = 2 2.3 2 = 4.9 = 6 2 = 36 4) propriétés de la relation : Etant donné 2 entiers a et b, la relation : a b est vraie si b est le résultat d une addition d un entier c à l entier a, soit : b = a + c. Cette relation a inférieur ou égal à b vérifie les propriétés suivantes. a b et b a a = b Exemples a b et b c a c 2 3 et 3 5 2 5 ainsi que : a b et c d a + c b + d 2 5 et 3 7 2 + 3 5 + 7 a b et c d a. c b. d 2 5 et 3 7 2. 3 5. 7 en revanche, prendre garde ci-dessous à la "règle fausse" : a b et c d a - c b - d 5 7 et 1 3 5-1 7-3 5) Maximum et minimum : Etant donné deux entiers a et b, on définit les opérations : M = max { a ; b } par : M = a si a b, M = b si a b. max { 3 ; 5 } = 5 De même : M = min { a ; b } par : M = a si a b, M = b si a b. min { 3 ; 5 } = 3 6) propriétés de la relation : Exemples a b et b a a = b a b et b c a c 2 6 et 6 18 2 18 ainsi que : a b et a c a (b + c) 7 21 et 7 35 7 56 Tout entier a possède des diviseurs (au moins deux : 1 & a lui-même), et une infinité de multiples : 2a, 3a, 4a, etc... l entier 31 n a comme diviseurs que 1 et 31 : il est premier. On notera D ( a ) l ensemble de ses diviseurs et M ( a ) celui de ses multiples. Deux entiers a et b ont des diviseurs communs (au moins le nombre 1) et des multiples communs (notamment le produit axb). Ci-dessous, 3 cas typiques : a b D (a) D (b) PGCD PPCM Observations 5 7 {1 ; 5} {1 ; 7} 1 35 5 et 7 sont premiers 8 9 {1 ; 2 ; 4 ; 8} {1 ; 3 ; 9} 1 72 8 et 9 premiers entre eux 12 18 {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18} 6 36 a x b = PGCD x PPCM G.L. - CHAPITRE 1-3
7) décomposition en facteurs premiers, PGCD, PPCM L'idée est de déterminer tous les nombres premiers par lesquels un nombre donné est divisible, et avec quel exposant. Exemple : 72 = 2 3 x 3 2. Cela permet de trouver rapidement pour 2 nombres ainsi décomposés le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM), comme indiqué ci-dessous. Exemple : les nombres 210 et 360 210 2 360 2 360 = 2 3 x 3 2 x 5 1 = 2 3 x 3 2 x 5 1 x 7 0. 105 3 180 2 Pour chaque facteur premier 2, 3, 5, 35 5 90 2 etc on peut choisir l exposant le plus 7 7 45 3 petit, ou le plus grand, ce qui donne : PGCD = 2 1 x 3 1 x 5 1 x 7 0 = 30. 1 1 15 3 PPCM = 2 3 x 3 2 x 5 1 x 7 1 = 2520. 5 5 210 = 2 1 x 3 1 x 5 1 x 7 1. 1 1 Liste des diviseurs : tout diviseur de 360 s écrit : 2 a x 3 b x 5 c. Pour les exposants : 0 a 3, 0 b 2, 0 c 1, cela fait 4 possibilités pour a, 3 pour b, 2 pour c, donc en tout 24 diviseurs. Pour 210, cela n en fait que : 2 x 2 x 2 x 2 = 16. Comptage type «cadenas à rouleaux». 8) division euclidienne : 0 0 0 360 : les valeurs possibles 1 1 1 pour les exposants a, b et c 2 2 figurent dans les colonnes 3 Soient 2 entiers a et b (b 0). Supposons a > b. Parmi les multiples de b {2.b, 3.b, 4.b, etc...}, on note q.b le dernier qui précède a, et l on calcule le reste : r = a - q.b. Ainsi : a = b.q + r avec r < b. a b (a = dividende, b = diviseur) r q Exemple : a = 25 et b = 8, les multiples de 8 sont : 8*1=8, 8*2=16, 8*3=24, 8*4=32, etc... le dernier précédant 25 est 8*3=24, le reste : r = 25-3*8 = 1. Quotient q = 3, reste r = 1. Si b a, alors le reste r est égal à 0, et réciproquement. Exemple : si a < b, alors : a = 0 x b + a; Quotient 0 et reste a. Notation : si b divise a, alors on peut écrire : q = a / b. 9) Parties remarquables de l ensemble N des entiers "naturels" : Etant donné un entier a, on considère les sous-ensembles suivants entiers inférieurs ou égaux à a : I a = { 0, 1, 2,..., a-1, a } = {n / n a} entiers supérieurs ou égaux à a : S a = {a, a+1, a+2,...,... } = {n / n a} entiers multiples de a : M a = { a, 2a, 3a,... } = { n / a n } = { p.a / p N } entiers diviseurs de a : D a = { 1,..., a } = { m N / m a } Exemple : étant donné 2 entiers a et b, le sous-ensemble S a I b représente l intervalle de tous les entiers compris entre a et b inclus. On en compte exactement : b - a + 1. G.L. - CHAPITRE 1-4
10) L ensemble N 2 = N x N : Quand je m intéresse à 2 entiers x et y, c est à dire au couple ( x, y ), je peux les représenter dans le quadrillage ci-contre par un point d abscisse x et d ordonnée y : Exemple 1 : le point ( 2, 3 ). Exemple 2 : un groupe de 5 élèves comprend x filles et 5 garçons. Représenter dans le quadrillage tous les cas possibles. Exemple 3 ; entourer tous les points tels que x y. Exemple 4 : entourer tous les points tels que : y = x + 1. Exemple 5 : entourer les points ( x, y ) tels que x divise y. Devinette : Une équipe de sportifs est rassemblée en plusieurs rangées, lignes et colonnes. On distingue le plus grand de chaque ligne (entouré d un cercle), et l on désigne par X le plus petit de ceux-ci (cercle double-trait). De même, on distingue le plus petit de chaque colonne (entouré d un carré), et l on désigne par Y le plus grand de ceux-ci (carré double-trait). Quel est le plus grand des deux sportifs X et Y? G.L. - CHAPITRE 1-5
B) l'ensemble Z des nombres entiers "relatifs" : Etant donné 2 entiers naturels a et b, on veut pouvoir effectuer dans tous les cas une soustraction c = b - a, dont le résultat c vérifie : a + c = b, y compris si a > b. On note : c = b - a et -c = a - b. Le nombre c est positif si a < b, négatif si a > b. Ainsi pour a = 2 et b = 5 : 5-2 = 3, et : 2-5 = - 3. Les deux nombres 3 et -3 sont opposés. Étant donné un entier relatif a, on note -a son opposé, ainsi : - l opposé de a = 3 est : -a = -3 - l opposé de a = -3 est : -a = -(-3) = 3. Il en résulte l ensemble Z des nombres entiers relatifs. 1) Valeur absolue d un entier relatif : Étant donné un entier relatif a, on note a le nombre dont la valeur est : a si a est positif, 3 = 3 l opposé de a si a est négatif. - 3 = 3 2) Comparaison de deux entiers relatifs : Étant donné deux entiers relatifs a et b, on définit a < b par : a et b sont positifs et : a < b 2 < 5 a négatif et b positif -(2) < 5 a et b négatifs et : a > b (-5) < -(2) On peut comparer les opposés a et b : a b -b -a 2 5-5 -2 3) Addition des entiers relatifs : - Si a et b sont de mêmes signes, on calcule la somme s = a + b en distinguant 2 cas : - Si a et b 0, la somme s = a + b est un nombre positif et se calcule comme dans l ensemble IN des entiers naturels s = 2 + 3 = 5 - Si a et b 0, la somme a + b est un nombre négatif de valeur absolue a + b s = (-2) + (-3) = -5 0 2 5 - Si a et b sont de signes contraires, on calcule la somme s = a + b en distinguant 3 cas : - si a > b, le signe de s est celui de a s = (-3) + 2 a pour signe celui de -3 et et s = a - b pour valeur absolue 3-2 = 1 ==> s = -1. - si a < b, le signe de s est celui de b s = (4) + (-7) a pour signe celui de -7 et et s = b - a pour valeur absolue 7-4 = 3 ==> s = -3. 0 - si a = b, alors s = 0. 5 + (-5) = 0. G.L. - CHAPITRE 1-6
Bilan de la somme s = a + b Signe : celui du plus grand nombre en valeur absolue ( sauf nombres opposés : s = 0 ) Valeur absolue : somme / différence de a et b selon signes égaux / opposés 4) Multiplication des entiers relatifs : Règle des signes : + x + = + et + x - = - x + = - 2 x -3 = -6 ainsi que : - x - = + -2 x -3 = +6 Inégalités : si a b, alors a.c b.c si c 0, 2 5 ==> 2. 3 5. 3 soit 6 15 a.c b.c si c 0 2 5 ==> 2. (-3) 5. (-3) soit -6-15. si 0 a b et 0 c d, alors : a. c b. d 2 5 et 3 7 2. 3 5. 7 N.B. l inégalité a. c b. d n est garantie que si a et b sont positifs. Par exemple : -3-2 et -5-3 mais l inégalité suivante est fausse : -3. -5-2. -3, Signe : Bilan du produit p = a x b + si a et b sont de même signe, - si a et b sont de signe distinct. Valeur absolue : le produit des valeurs absolues a et b Exemple : une bille qui roule entre 2 joueurs J 1 et J 2 qui se la renvoient à des vitesses V 1 = - 2 et V 2 = - 3. Sa vitesse après les 2 rebonds est alors : V 3 = - 2 x - 3 = + 6. 5) identités remarquables : But : transformer des sommes en produits et inversement. a) Carrés : (a + b)² = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a² + 2 a b + b² (a - b)² = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a² - 2 a b + b² (a + b) ( a - b) = a a - a b + b a - b b = a² - b² b) Cubes : (a + b) 3 = a 3 + 3 a² b + 3 a b² + b 3 3 3 a - b = (a - b) (a² + a b + b²) (a - b) 3 = a 3-3 a² b + 3 a b² - b 3 a 3 + b 3 = (a + b) (a² - a b + b²) 6) Retour sur la valeur absolue : Pour tout entier relatif a, a = sup { a ; -a } (voir III). Ex. : -3 = 3 = sup { -3 ; 3 } = 3. La valeur absolue vérifie la propriété a 0, et les règles suivantes : a. b = a. b -3. 2 = -3. 2 Pour la somme, il n y a pas d égalité, mais seulement une inégalité : a + b a + b -5 + 2-5 + 2 car 3 7 Enfin pour une différence, nous avons une double inégalité : a - b a - b a + b. G.L. - CHAPITRE 1-7