Matrices à coecients réels

Matrices à coecients réels Dans tout ce chapitre d, n, p et q sont des entiers naturels non nuls 1 Systèmes linéaires : 11 Généralités : Dénition 1 : On appelle système linéaire de n équations à p inconnues x 1, x 2,, x p et à coecients réels, tout système (S) du type suivant : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,p x p = b 2 (S) : a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,p x p = b n où les a i,j et les b i sont des nombres réels (i) Le n-uplet (b 1, b 2,, b n ) est appelé second membre du système (ii) Si b 1 = b 2 = = b n = 0, on dit que le système (S) est homogène où sans second membre (iii) On appelle solution de (S) tout p-uplet (x 1, x 2,, x p ) vériant les n équations de (S) (iv) Le système (S) est dit compatible s'il admet au moins une solution Sinon, on dit qu'il est incompatible, c'est-à-dire que son ensemble de solution est vide Dénition 2 : On appelle système homogène associé à (S) le système (S 0 ) obtenu à partir de (S) en remplaçant les b i par 0 Remarque : Un système homogène (S 0 ) est toujours compatible, car (0, 0,, 0) est une solution évidente de (S 0 ) 12 Exemples : Exemple 1 : x 1 + x 2 + x + x = 1 x Le système (S) : 1 + x 2 x x = 2 est incompatible, car si on fait la somme des quatre x 1 x 2 + x + x = x 1 x 2 x x = équations, on obtient une contradiction Par contre le système homogène associé est compatible, car (0, 0, 0, 0) en est une solution Exemple 2 : x 1 2x 2 + x = 2 Le système (S) : 2x 1 + x 2 + x = 7 est compatible, car (1, 2, ) en est une solution x 1 x 2 + 2x = Exemple 2 : Le système triangulaire supérieur (S) : 2x 1 + x 2 + x = 9 x 2 5x = 2x = 2 la méthode de la remontée (càd : du bas vers le haut) On trouve que (1, 1, 1) est son unique solution est compatible, on le résoud avec 1

2 Matrices à coecients réels : 21 Généralités : Dénitions : (a) On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coecients réels, toute application A de [ 1, n ] [ 1, p ] vers R On dit que A est de type (n, p) et on la note : a 1,1 a 1,2 a 1,p A = (a i,j ) 1 i n a 2,1 a 2,2 a 2,p = a n,1 a n,2 a n,p où les a i,j sont des réels, pour tout (i, j) [ 1, n ] [ 1, p ] Le premier indice i est l'indice de ligne Le deuxième indice j est l'indice de colonne Les a i,i sont appelés coecients diagonaux de A (b) Si n = p, on dit que la matrice A est carrée, on la note A = (a i,j ) 1 i,j n (c) Une matrice carrée A = (a i,j ) 1 i,j n est dite triangulaire supérieure si pour tout i, j dans [ 1, n ] : i > j a i,j = 0 (d) Une matrice carrée A = (a i,j ) 1 i,j n est dite triangulaire inférieure si pour tout i, j dans [ 1, n ] : i < j a i,j = 0 (e) Une matrice carrée A = (a i,j ) 1 i,j n est dite diagonale si pour tout i, j dans [ 1, n ] : i j a i,j = 0 C'est-à-dire que A est à la fois triangulaire supérieure et inférieure Notations : On note M n,p (R) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coecients réels Et M n (R) l'ensemble des matrices carrées à n lignes (et n colonnes) à coecients réels Exemples : (i) La matrice nulle de M n,p (R) notée 0 n,p c'est la matrice de type (n, p) dont tous les coecients sont nuls En particulier, on écrit 0 n = 0 n,n (ii) La matrice identité de M n (R) notée I n c'est la matrice carrée de type (n, n) dont tous les coecients sont nuls sauf ses coecients diagonaux qui sont égaux à 1 22 Opérations sur les matrices : (i) Soient A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i n deux matrices de M n,p (R), α et β deux réels, on dénit la matrice αa + βb de M n,p (R) par : αa + βb = (αa i,j + βb i,j ) 1 i n (ii) Soient A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i p 1 j q deux matrices à coecients réels, α et β deux nombres réels, on dénit le produit A B de A par B, noté aussi AB par : AB = (c i,j ) 1 i n, où c i,j = p a i,k b k,j, pour tous i [ 1, n ] et j [ 1, q ] k=1 1 j q Notons que ce produit est déni seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B 2

Exemple : Soient A = ( x 1 x 2 x n ) et B = y 1 y 2, alors : AB = n y n x k y k et BA = (x j y i ) 1 i,j n Remarque : (i) Pour toute matrice A M n (R) : AI n = I n A = A (ii) Le produit matriciel n'est pas commutatif : voir l'exemple précédent (iii) Attention, le produit de deux matrices peut être nul sans qu'aucune de ces deux matrices ne soit nulle ) ( ) 1 1 On peut prendre : A = ( 1 1 1 1 et B = Propriété : Soient A, B et C trois matrices de types respectifs (n, p), (p, q) et (q, r), alors : Le produit matriciel est donc associatif (AB)C = A(BC) 2 Matrices symétriques et antisymétriques : (i) Soit A = (a i,j ) 1 i n une matrice de M n,p (R), on appelle transposée de A la matrice de type (p, n) dénie par : t A = (b i,j ) 1 i p, où b i,j = a j,i, pour tous i [ 1, p ] et j [ 1, n ] 1 j n Notons que les lines de t A sont les colonnes de A et vice-versa (ii) Une matrice carrée A = (a i,j ) 1 i,j n est dite symétrique si t A = A, et elle est dite antisymétrique si t A = A Notons que les coecients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont tous nuls Propriétés : (i) Soient A, B deux matrices de M n,p (R), α et β deux nombres réels, on a : t (αa + βb) = α t A + β t B Ainsi, si A et B sont symétriques (resp antisymétriques), alors αa + βb est symétrique (resp antisymétrique) (ii) Si A est de type (n, p) et B est de type (p, q), alors : Exercice : t (AB) = t B t A 1 Montrer que pour toute matrice A de M n (R) il existe un couple unique de matrices (B, C), B symétrique et C antisymétrique telles que A = B + C 2 Donner B et C au cas où A est symétrique Donner B et C au cas où A est antisymétrique Donner B et C, si A = 1 1 2 2 0 5 2 Matrices carrées inversibles : Une matrice carrée A de M n (R) est dite inversible s'il existe une matrice B dans M n (R) telle que AB = BA = I n Une telle matrice B est unique, on l'appelle inverse de A et on la note A Remarque : (i) Supposons l'existence de B et C dans M n (R) telles que : AB = BA = I n et AC = CA = I n, alors : B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C D'où l'unicité de l'inverse k=1

(ii) Notons que I n est inversible et elle est égal à son propre inverse (iii) Une matrice diagonale D = diag(λ 1, λ 2,, λ n ) est inversible si, et seulement si les réels λ 1, λ 2,, λ n sont tous non nuls, et dans ce cas : D = diag( 1 λ 1, 1 1 λ 2,, λ n ) Exercice (: ) a b Soit A = dans M c d 2 (R) 1 Montrer que A 2 (a + d)a + (ad bc)i 2 = 0 2 2 Montrer que si ad bc 0, alors A est inversible et donner son inverse A Montrer que la réciproque de la question précédente est vraie et que : ( ) A 1 d b = ad bc c a Calculer les inverses des matrices suivantes, si c'est possible : ( ) ( ) ( ) 2 5 cos θ sin θ A =, M = R 0 6 0 θ = sin θ cos θ ( cos θ sin θ et S θ = sin θ cos θ ) où θ R Propriétés : Si A et B sont deux matrices inversibles de M n (R), alors AB et t A sont inversibles et on a : (i) (AB) = B A (ii) ( t A) = t (A ) Question : Si A 1, A 2,, A n sont des matrices inversibles de M n (R), calculer (A 1 A 2 A n ), t (A 1 A 2 A n ) et ( t (A 1 A 2 A n )) Exercice : Soient A et B deux matrices de M n (R), on dit que A est semblable à B s'il existe une matrice inversible P telle que B = P AP 1 Montrer qu'on a dénit ainsi une relation d'équivalence sur M n (R) 2 Montrer que si A est semblable à B, alors t A est semblable à t B Déterminer la classe d'équivalence de la matrice I n 25 Inversion d'une matrice par l'algorithme de Gauss-Jordan : 2 1 1 Calculons l'inverse de la matrice A = 1 2 1, en utilisant les opérations élémentaires sur 1 1 2 les linges des matrices A et I : A = 2 1 1 1 2 1 ; I = 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 L 1 L 1 ; L 2 2L 2 L 1 ; L 2L L 1 : 2 1 1 1 0 0 0 1 ; 2 0 0 1 0 2 L 1 L 1 ; L 2 L 2 ; L L L 2 : 2 1 1 1 0 0 0 1 ; 2 0 0 0 8 2 2 6 L L ; L 2 8L 2 L ; L 1 8L 1 L : 16 8 0 10 2 2 0 2 0 ; 6 18 6 0 0 8 2 2 6 L L ; L 2 L 2 ; L 1 L 1 L 2 : 8 0 0 6 2 2 0 2 0 ; 6 18 6 0 0 8 2 2 6

L 1 L1 8 ; L 2 L2 2 ; L L I = 1 0 0 0 1 0 ; 0 0 1 8 : Il en résulte que A est inversible et que A = = 26 Matrices échelonnées-systèmes échelonnés : Écriture matricielle d'un système linéaire On considère le système linéaire : (i) La matrice A = (a i,j ) 1 i n b 1 matrice colonne B = a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,p x p = b 2 (S) : a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,p x p = b n b n de M n,p (R) est appelée matrice du système (S), la est dite second membre de (S), et la matrice colonne X = est dite vecteur colonne des inconnues Notons que : (S) AX = B : c'est l'écriture matricielle de (S) (ii) La matrice A = (a i,j ) 1 i n est dite échelonnée ou en échelons s'il existe un entier naturel r compris entre 1 et min(n, p) et une suite j 1, j 2,, j r d'entiers telle que 1 j 1 < j 2 < < j r p vériant : Pour 1 i r : a i,ji 0 Pour 1 i r et 1 j j i 1 : a i,j = 0 C'est-à-dire que les a i,ji sont les premiers coecients non nuls des r premières lignes, on les appelle pivots Notons qu'il n'y a qu'un seul pivot par ligne Pour r + 1 i n et : a i,j = 0 C'est-à-dire que les n r dernières linges de A sont nulles (iii) Le système linéaire (S) : AX = B est dit échelonné si sa matrice A est échelonnée L'entier r est appelé rang du système (S) Les inconnues x j1, x j2,, x jr sont dites inconnues principales, et les autres sont dites des inconnues secondaires Les a i,ji avec 1 i r, sont les pivots de (S) Exemple : 6x 2 + x + 2x + x 5 + 5x 6 = 2x + x + x 5 8x 6 = 2 Le système linéaire : (S) : x + 9x 6 = est échelonné de rang r =, car sa 0 = a 0 = b 0 6 2 1 5 0 0 2 1 8 matrice A = 0 0 0 0 9 est échelonnée 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Les inconnues principales sont x 2, x et x Les inconnues secondaires sont x 1, x 5 et x 6 Les pivots 6, 2 et Remarques : (i) Si r = n, alors (S) est compatible (ii) Si r < n, les n r dernières équations ont leurs premiers membres nuls Donc (S) est compatible si, et seulement si, b r+1 = b r+2 = = b n = 0 x 1 x p 5

Dans ce cas, on fait passer les inconnues secondaires dans le second membre et on les considère comme des paramètres (p r paramètres), et on résoud le système triangulaire obtenu par la méthode de la remontée (iii) Si p = r, la solution quand elle existe est unique (iv) Si n = p = r, le système (S) est dit de Cramer, il possède une solution unique (v) L'ensemble de solutions de (S), qu'on notera S, peut être vide, un singleton ou inni 27 Méthode de Gauss : Deux systèmes linéaires sont dits équivalents s'ils possèdent le même ensemble de solutions Principe de la méthode de Gauss : La méthode de Gauss consiste à transformer un système linéaire (S) en un système linéaire équivalent échelonné (donc facile à résoudre), en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes de (S) : (i) Permuter les deux lignes L i et L j, on note : L i L j (ii) Multiplier la ligne L i par un réel λ non nul, on note : L i λl i (iii) Ajouter à la ligne L i un multiple d'une autre ligne L j, on note : L i L i + λl j Exercice : On considère le système linéaire : (S) : 1 Montrer que 2 (S) est compatible si, et seulement si a = 9 Résoudre (S) Sous-espaces vectoriels de R d : x + 2y + 2x z + t = 1 x + y + z t = 1 x + y + 7z + 2t = 1 2x + y 8z + t = a 1 Familles libres-familles liées de R d : 2 Sous-espaces vectoriels de R d : Bases d'un sous-espaces vectoriels de R d : Rang : 5 Sous-espaces anes de R d : 6