VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS MPSI Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés A. Bechata N. de Granrut
Table des matières Chapitre 1. Bases mathématiques................................ 1 1. Principaux types de raisonnement 1. Opérations sur les ensembles 3 3. Applications 3 4. Relation d équivalence, relation d ordre 3 Exercices 5 Corrigés 9 Chapitre. Nombres complexes................................. 19 1. Écriture cartésienne 19. Exponentielle d un imaginaire pur 0 3. Écriture exponentielle d un complexe 0 4. Racines n-ièmes d un complexe 1 5. Interprétation géométrique 6. Exponentielle d un complexe Exercices 3 Corrigés 7 Chapitre 3. Manipulations algébriques............................. 41 1. Symbole somme et produit 41. Sommes remarquables 4 Exercices 45 Corrigés 48 Chapitre 4. Fonctions usuelles.................................. 55 1. Dérivation 55. Bijections 56 3. Fonctions usuelles 57 4. Fonctions trigonométriques et réciproques 58 Exercices 60 Corrigés 63 Chapitre 5. Équations différentielles.............................. 75 1. Primitives 75. Équations différentielles linéaires 75 3. Résolution des EDL 1 76 4. Résolution des EDL à coefficients constants 77 Exercices 80 Corrigés 83 Chapitre 6. Suites numériques.................................. 95 1. Suites usuelles 95. Limites des suites numériques 96 3. Comparaison des suites usuelles 98 Exercices 100 Corrigés 104 Chapitre 7. Limites de fonctions, continuité......................... 117 1. Limite 117. Continuité 118 3. Intervalles et continuité 119 Exercices 11 Corrigés 15 Chapitre 8. Dérivabilité....................................... 137 1. Fonctions de classe C n. 137. Propriétés des fonctions de classe C n 138 3. Applications aux suites u n+1 = f (u n ) 140 Exercices 141 Corrigés 146 Chapitre 9. Études locales et asymptotiques......................... 161 1. Comparaison des fonctions 161. Comparaison des suites 163 3. Développements limités 163 Exercices 165 Corrigés 169 Chapitre 10. Arithmétique des entiers............................. 185 1. Divisibilité et division euclidienne 185. PGCD et algorithme d Euclide 186 3. Nombres premiers entre eux 187 4. Nombres premiers 188 5. Congruences 189 Exercices 190 Corrigés 194 III
Table des matières Chapitre 11. Structures algébriques............................... 05 1. Loi de composition interne 05. Groupes 05 3. Anneaux 07 4. Corps 08 Exercices 09 Corrigés 13 Chapitre 1. Polynômes et fractions rationnelles..................... 5 1. Propriétés arithmétiques des polynômes 5. Racines de polynômes 6 3. Fractions rationnelles 8 Exercices 9 Corrigés 33 Chapitre 13. Espaces vectoriels.................................. 45 1. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 45. Familles de vecteurs 46 3. Applications linéaires 47 4. Somme d un nombre fini de sous-espaces 48 5. Endomorphismes remarquables 49 Exercices 50 Corrigés 54 Chapitre 14. Espaces vectoriels de dimension finie.................... 65 1. Dimension d un espace vectoriel 65. Dimension d un sous-espace 66 3. Théorème du rang 67 4. Forme linéaire et hyperplan 67 Exercices 69 Corrigés 73 Chapitre 15. Matrices........................................ 83 1. Calcul matriciel 83. Matrices d applications linéaires 86 3. Matrices d endomorphismes 87 Exercices 88 Corrigés 93 Chapitre 16. Échelonnement et systèmes linéaires..................... 305 1. Opérations élémentaires 305. Systèmes linéaires 308 Exercices 310 Corrigés 313 Chapitre 17. Déterminants..................................... 31 1. Permutation 31. Déterminant 31 3. Développement des déterminants 3 4. Formes n-linéaires alternées 33 5. Caractérisation des bases, isomorphismes et des inversibles 34 Exercices 36 Corrigés 331 Chapitre 18. Espaces euclidiens.................................. 345 1. Produit scalaire 345. Orthogonalité 346 3. Bases orthonormales 346 4. Projection orthogonale 347 5. Groupe orthogonal 348 Exercices 349 Corrigés 353 Chapitre 19. Calcul intégral.................................... 365 1. Intégrale d une fonction continue par morceaux 365. Intégration et dérivation 367 3. Formules de Taylor 367 Exercices 368 Corrigés 37 Chapitre 0. Séries numériques.................................. 385 1. Généralités 385. séries à termes positifs 386 3. Séries à termes quelconques 388 Exercices 389 Corrigés 393 Chapitre 1. Dénombrement................................... 407 1. Cardinal 407. Listes et combinaisons 408 Exercices 411 Corrigés 415 IV
Table des matières Chapitre. Probabilités sur un univers fini......................... 47 1. Espaces probabilisés 47. Probabilités conditionnelles 49 Exercices 43 Corrigés 437 Chapitre 3. Variables aléatoires................................. 451 1. Loi 451. Indépendance 45 3. Espérance 453 4. Variance, écart-type 454 Exercices 456 Corrigés 461 Chapitre 4. Problèmes de synthèse.............................. 477 Corrigés 483 V
MÉTHODE 11 Chapitre Structures algébriques 1. Loi de composition interne Définition 11.1. Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute application : E E E, c est-à-dire que : x,y E, x y E. Si est une loi de composition interne sur E, on dit : que est associative si : x,y,z E 3, x y z = x y z ; que est commutative si : x,y E, x y = y x ; que e E est un élément neutre pour si : x E, e x = e = x e ; que x E est inversible pour la loi s il existe y E tel que y x = e = x y ; qu une partie F de E est stable par si x,y F, x y F. Exemple L addition sur est une loi de composition interne, elle est associative et 0 est l élément neutre pour. Par contre, aucun élément de \{0} ne possède d inverse par +, car, si n 1, alors m, n + m 1 n + m 0.. Groupes Définition 11.. On appelle groupe tout couple (G, ) où G est un ensemble non vide et une loi de composition interne sur G. Cette loi doit être associative, posséder un élément neutre e G et tout élément de G est inversible. Pour tout x G, on note x 1 son unique inverse et, pour tout n, on définit x n par : x x 0 = e G, x n } {{ x } si n = n fois. (x n ) 1 si n... 05
Maths MPSI On dit que le groupe (G, ) est commutatif si est une loi commutative. Dans ce cas, on note plutôt «+» la loi (sauf si cela prête à confusion). L élément neutre se note 0 G, l inverse de tout élément x G se note x et, pour tout entier n, on définit nx par : x + + x si n 0x = 0 G, nx = n fois. (( n)x ) si n Définition 11.3. : Sous-groupe Soit (G, ) un groupe et H un ensemble. On dit que que H est un sous-groupe de (G, ) si (H G et (H, ) est un groupe). Théorème : Caractérisation des sous-groupes Soit (G, ) un groupe et H un ensemble. H est un sous-groupe de (G, ) si les quatre propriétés suivantes sont vérifiées : H G ; e G H; x,y H, x y H, x H, x 1 H. Théorème : Groupes usuels Les ensembles suivants sont des groupes commutatifs pour les lois habituelles d addition et de multiplication dans les nombres. (,+),,+, (,+), (,+).,, +,, (, ), +,, (, ). (, ), ( n, ) où l on a posé = {z, z = 1} et n = {z, z n = 1} avec n. Exemple Soit n, on note n = {na, a }. Montrons que (n,+) est un groupe en prouvant qu il s agit d un sous-groupe de (,+). On a évidemment n et (,+) est un groupe. 0 = 0 = n0 n. Si x,y n, alors il existe (a,b) tel que x = na et y = nb, donc : {}}{ {}}{ x + y = n(a + b) n et x = n( a ) n. Définition 11.4. : Ensemble des permutations Soit X un ensemble non vide, on note X l ensemble des applications f : X X qui sont bijectives. Tout élément de X s appelle une permutation de X. 06
MÉTHODE CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Théorème : Groupe des permutations L ensemble (S X, ) (ensemble des permutations de X muni de la composition) est un groupe (non commutatif sauf si X possède un seul élément). 3. Anneaux Définition 11.5. On appelle anneau tout triplet (A,+, ) où A est un ensemble non vide, + et deux lois de compositions internes telles que : (A,+) est un groupe (d élément neutre 0 A ) ; est associative sur A, admet un élément neutre noté 1 A et est distributive par rapport à «+», c est-à-dire que : x,y,z A 3, x y + z = x y + (x z ), y + z x = y x + (z x ). Si x,y sont deux éléments de A, on dit qu ils commutent si x y = y x. Si la loi est commutative, on dit que l anneau (A,+, ) est commutatif. Théorème : Anneaux usuels Les ensembles (,+, ),,+,, (,+, ), (,+, ) sont des anneaux commutatifs (pour l addition et la multiplication usuelle). Exemple a On note =, (a,n) (ensemble des nombres décimaux). Montrons 10n que (,+, ) est un anneau commutatif. Si x,y, il existe (a,b) et (n,m) tels que x = a 10 et y = b n 10, donc : m x y = {}}{ a 10 m b 10 n ab et x y =. 10 n+m 10n+m Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = 0 = 0 10, 1 0 = 1 10. 0 Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans, et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans. Par conséquent, (,+, ) est un anneau commutatif. 07
Maths MPSI Définition 11.6. : Inversibles d un anneau Si (A,+, ) est un anneau, on note A l ensemble des inversibles de A pour la loi, c est-à-dire : A = x A, y A, x y = 1 A = y x. Théorème : Groupe des inversibles d un anneau Soit (A,+, ) un anneau, alors ( A, ) est un groupe. Théorème : Formule du binôme Soit (A,+, ) un anneau et a,b A deux éléments qui commutent, alors, pour tout entier naturel n, on a : n n (a + b) n = a k b n k. k k =0 Théorème : Formule de Bernoulli Soit (A,+, ) un anneau et a,b A deux éléments qui commutent, alors pour tout entier naturel n, on a : n 1 a n b n = (a b) a k b n 1 k. k =0 4. Corps Définition 11.7. On appelle corps tout anneau (K,+, ) commutatif dont tous les éléments différents de 0 A sont inversibles pour la loi. Théorème : Corps usuels Les ensembles,+,, (,+, ), (,+, ) sont des corps (pour l addition et la multiplication usuelle). 08
Exercices Structures algébriques Exercices guidés Exercice A (10 min.) Soit (G, ) un groupe. On pose : Montrer que (Z (G ), ) est un groupe. Z (G ) = x G, y G, x y = y x. Exercice B (0 min.) a On note = b, (a,b) avec b un entier impair. 1) Montrer que (,+, ) est un anneau. Est-ce un corps? ) Déterminer les inversibles de. Exercice C (15 min.) Soit G un sous-groupe de (, ). On suppose que G = g 1,..., g n est un ensemble fini formé de n éléments distincts. 1) Soit z G. Montrer que z g = g. ) En déduire que G = n. g G g G Exercices Exercice 1 (5 min.) Soit (G, ) un groupe tel que x G, x = e G. Montrer que est commutative. Indication : On pourra considérer x y avec x,y G. Exercice (0 min.) Soit (G, ) un groupe. On note : F G = x G, n x, x n x = e G. 1) On suppose que (G, ) est commutatif. Montrer que (F G, ) est un groupe. 09 EXERCICES
Maths MPSI ) On suppose que G = = f : bijective, qui est un groupe pour la composition. Montrer que (F G, ) n est pas un groupe. Indication : On pourra utiliser les fonctions : f 1 : x x et f : x 1 x. Exercice 3 (0 min.) Soit (G, ) un groupe. Pour tout a G, on note : G G Φ a : x a x a 1 et I G = {Φ a, a G }. 1) Soit (a,b) G. Déterminer c G tel que Φ a Φ b = Φ c. En déduire que Φ a est une bijection et expliciter (Φ a ) 1. ) Montrer que (I G, ) est un groupe et l expliciter lorsque (G, ) est commutatif. Exercice 4 (10 min.) Soit (G, ) un groupe fini. On considère une partie H non vide de G, stable par et telle que e G H. Montrer que H est un sous-groupe de G. Indication : Pour x H fixé, on pourra montrer que l application f : y y x est une bijection de H sur H. Exercice 5 (10 min.) Soit P une partie de 3. On note : H P = σ {1,,3}, / (x 1,x,x 3 ) P, x σ(1),x σ(),x σ(3) P. Montrer que (H P, ) est un groupe. Rappelons que S {1,,3} désigne les permutations (bijections) de l ensemble {1,, 3}. Exercice 6 (15 min.) On note H = x + y 3, x,y /x 3y = 1. 1) Justifier que H. ) Établir que (H, ) est un sous-groupe de (, ). Exercice 7 (10 min.) Soit (G,+) un groupe commutatif. Pour tout élément x de G, on note : x + A = {x + a, a A}. Montrer que H = {x G, A = x + A} est un sous-groupe de G. Exercice 8 (0 min.) πi Soit j = exp, on rappelle que 1 + j + j = 0. On note : 3 j = a + b j, (a,b). Montrer que j,+, est un anneau commutatif. 10
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Exercice 9 (30 min.) πi Soit j = exp, on note j = a + b j, (a,b). On admet que j,+, 3 est un anneau commutatif. 1) Établir que, si z j, alors z. ) Soit z j. Prouver que z = 1 si, et seulement si, z est inversible. 3) Démontrer que j possède un nombre fini d inversibles et les expliciter. Exercice 10 (10 min.) On note = a + b, (a,b). Montrer que,+, est un anneau commutatif. Exercice 11 (10 min.) On note = a + b, (a,b). On admet que,+, est un anneau. 1) Soit z = a +b avec (a,b). On suppose que a b = ±1. Montrer que z est inversible dans. ) Expliciter un élément z ±1 inversible dans. En déduire que admet une infinité d éléments inversibles. Exercice 1 (15 min.) On note = a + b, (a,b). On admet que,+, est un anneau commutatif. 1) Montrer que, si a + b = 0 avec (a,b), alors a = b = 0. ) Soit (a,b,c,d ). On pose : z = a + b, z = c + d, w = a b, w = c d. On suppose que z est inversible dans d inverse z. a) Justifier que w est inversible et que son inverse est w. b) En déduire que a b = ±1. Exercice 13 (15 min.) On note [i ] = a + bi, (a,b). Montrer que [i ],+, est un corps. Exercice 14 (15 min.) On note = a + b, (a,b). Montrer que,+, est un corps. Exercice 15 (15 min.) On note = a + b, (a,b). On admet que,+, est un corps. Soit K un corps tel que K. 1) Montrer que K. ) On suppose que K. Montrer que K =. 11 EXERCICES
Maths MPSI Exercice 16 (10 min.) Soit (A,+, ) un anneau commutatif possédant un nombre fini d éléments et tel que : x,y A, x y = 0 x = 0 ou y = 0. Montrer que (A,+, ) est un corps. 1
Corrigés Structures algébriques Corrigés des exercices guidés Exercice A Montrons qu il s agit d un sous-groupe de (G, ). Il est immédiat que Z (G ) G et que (G, ) est un groupe. e G Z (G ), car : Soit x,x Z (G ), on a : y G, e G y = y = y e G. y G, x x y = x x y = y x x Z (G ) = x y x = x Z (G ) y x x = y x x, donc x x Z (G ). En outre, on a : y G, x y = y x e G y = x 1 y x x 1 y = x 1 y x y x 1 = x 1 y x x 1 x 1 y x 1 = x 1 y x 1 Z (G ), ce qui démontre que Z (G ) est un sous-groupe de (G, ), donc (Z (G ), ) est un groupe. Exercice B 1) Soit x,y, il existe (a,a ), (b,b ) ( ) tels x = a b, y = a des entiers impairs. On a : x y = {}}{ ab a b bb, x y = impair {}}{ a a bb impair b et b,b sont Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = 0 1, 1 = 1 1.. Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans, et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres 13 CORRIGÉS
Maths MPSI dans. Ainsi, (,+, ) est un anneau. Par contre, ce n est pas un corps. En effet, le nombre = 1, mais il n existe aucun élément x = a b ((a,b) avec b impair) tel que : a x = 1 b = 1 b impair = a pair ce quiest impossible. Par conséquent, (,+, ) n est pas un corps. ) Soit x = a b ((a,b) avec b impair) un élément inversible de, il existe y = a b ((a,b ) avec b impair) tel que : x y = 1 a a bb = 1 a a = bb. Comme bb est un entier impair, on est assuré que a a est un entier impair, donc il est indispensable que a ne soit pas un entier pair (le produit d un entier pair par un entier est un entier pair). Réciproquement, si x = a b avec (a,b) et a,b des entiers impairs, alors x 0 et 1 x = b a, car (b,a ) et a est un entier impair. Par conséquent, les inversibles de sont exactement les éléments de la forme a b avec (a,b) et a,b sont des entiers impairs. Exercice C 1) Puisque G est un sous-groupe de (, ), pour tout b G, z g G. On peut, donc G G considérer f :. Elle est injective, car : g z g g, g G, f g = f g z g = z g z 1 g = g. L application f étant injective entre deux ensembles finis de même cardinal, elle est bijective. On peut alors effectuer le changement de variable h = f g g = f 1 (h), ce qui nous donne : z g = g G g G f h=f (g) g = g =f 1 (h) h f 1 (G )=G h = h = h G g =h ) D après la question précédente et par multiplicativité de, on a : g = z g = z g = z n g z n = 1 g G g G g G g G (en divisant par g qui est non nul). Ceci fournit l inclusion G n. Comme G et n g G sont deux ensembles finis de même cardinal, on en déduit que G = n. g G g G g. 14
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Corrigés des exercices Exercice 1 Pour tout x,y G, on a : x y = e G x y x y = e G x x y x y = x x =e G y x y = x y y x y = x y y =e G y x = x y. Exercice 1) Montrons que F G est un sous-groupe de (G, ). On a évidemment F G G et (G, ) est un groupe. e G F G, car (e G ) 1 = e G. Si x,y F G, il existe n x,n y ( ) tel que : x n x = eg y n x y n x n y = y = e x n x n y y n x n y = (x n x ) n y y n y n x G est commutative = (e G ) n y (e G ) n x = e G e G = e G, donc x y F G. En outre, on a : x 1 n x = x n x = (x n x ) 1 = (e G ) 1 = e G, donc x 1 F G. Par conséquent, F G est un sous-groupe de (G, ), donc (F, ) est un groupe. ) Il est immédiat que les f 1 et f sont des bijections de sur, donc appartiennent à. Un calcul direct montre que : x, f 1 (x) = f 1 f 1 (x) = f 1 ( x) = ( x) = x f 1 = Id f 1 F G. x, f (x) = f f (x) = f (1 x) = 1 (1 x) = x f = Id f F G. Si l on pose f 3 = f f 1, un autre calcul montre que : x, f 3 (x) = f f 1 (x) = f ( x) = 1 ( x) = x + 1. Une récurrence immédiate montre que : n, x, f 3 n (x) = x + n x. Par conséquent, pour tout entier n, f 3 n Id, donc f 3 = f f 1 / F G, ce entraîne que (F G, ) n est pas un groupe. 15 CORRIGÉS
Maths MPSI Exercice 3 1) Pour tout x G, on a : donc : On remarque également que : ce qui nous donne pour tout a G : (Φ a Φ b )(x) = Φ a (Φ b (x)) = Φ a b x b 1 = a b x b 1 a 1 = (a b) x b 1 a 1 = (a b) x (a b) 1 = Φ a b (x ), (a,b) G, Φ a Φ b = Φ a b. Φ eg : x e G x (e G ) 1 = x Φ eg = Id G, Φ a Φ a 1 = Φ a a 1 = Φ eg = Id G Φ a 1 Φ a = Φ a 1 a = Φ eg = Id G donc Φ a est bijective et (Φ a ) 1 = Φ a 1. ) Montrons que I G est un sous-groupe de ( G, ) (ensemble des applications f : G G bijectives). D après la question précédente, on a l inclusion I G G et ( G, ) est un groupe. On a également e G = Id G = Φ eg I G. Pour tout f, g (I G ), il existe a,b G tel que f = Φ a et g = Φ b alors : f g = Φ a Φ b = Φ a b I G, f 1 = Φ a 1 I G, donc I G est un sous-groupe de ( G, ), ce qui démontre que (I G, ) est un groupe. Si (G, ) est commutatif, on a pour tout a G : x G, Φ a (x) = a x a 1 = a a 1 x = e G x = x, donc Φ a = Id. Ceci démontre l inclusion I G {Id G } et, comme {Id G } I G, on peut affirmer que I G = {Id G }. Exercice 4 Soit x H, pour tout y H, f y = y x H (car H est stable par ), donc f : H H. L application f est injective, car y,y H, f y = f y y x = y x y x x 1 = y x x 1 y e G = y e G y = y. x 1 Comme H est une partie de G qui est un ensemble fini, alors H est aussi un ensemble fini. L application f : H H est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, donc elle est bijective. En particulier, il existe y H tel que : f y = e G y x = e G y x x 1 = e G x 1 x 1 = y H. x 1 Par conséquent, H est un sous-ensemble non vide de G, il est stable par et par passage à l inverse, donc c est un sous-groupe de (G, ). 16
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Exercice 5 Il est immédiat que H {1,,3} et {1,,3}, est un groupe. e {1,,3} = Id {1,,3} H, car : (x 1,x,x 3 ) P, x Id(1),x Id(),x Id(3) = (x1,x,x 3 ) P. Soit σ,σ H, alors, pour tout (x 1,x,x 3 ) P, on a : xσ(1),x σ(),x σ(3) P (car σ H). Comme σ H, on en déduit que : xσ (σ(1)),x σ (σ()),x σ (σ(3)) P x(σ σ)(1),x (σ σ)(),x (σ σ)() P donc σ σ H. Comme {1,, 3} est un ensemble fini, {1,,3} est aussi un ensemble fini. Puisque H est un sous-ensemble non vide de {1,,3} contenant e {1,,3} et stable par, on en déduit (en utilisant l exercice 4) que H est un sous-groupe de {1,,3},, donc (H, ) est un groupe. Exercice 6 1) Soit z H, il existe x,y tel que z = x + y 3 avec : x 3y = 1 x + 3y x y 3 = 1 z 0 H. } {{ } =z ) D après la question précédente, on a H et (, ) est un groupe. 1 H avec 1 = 1 + 0 3 avec (1, 0) et 1 3.0 = 1. Soit (z,z ) H, il existe x,x,y,y 4 tel que : z = x + y 3, x 3y = 1 z = x + y 3, (x ) 3 y = 1. On peut, alors écrire : et on a : z z = xx + 3y y + x y + x y 3 xx + 3y y 3 x y + x y = x x + 6xx y y + 9y y 3 x y + xx y y + x y = x x 3 y 3 x 3 y y = x 3 y x 3y = 1 1 = 1, donc z z H. Pour finir, on a : 1 z = 1 x + y 3 = x y 3 = x y 3 x + y 3 x y 3 x 3y = x + y 3 H, ce qui démontre que (H, ) est un sous- avec x 3 y = x 3y = 1 donc 1 z groupe de (, ). 17 CORRIGÉS
Maths MPSI Exercice 7 Par définition, on a H G et (G,+) est un groupe. 0 G H, car : 0 A + A = {0 A + a, a A} = {a, a A} = A. Soit (h,h ) H, donc h + A = A et h + A = A, ce qui permet d écrire : h + h + A = h + h + a, a A = {h + b, b b=h +a h + A } donc h + h H. En outre, on a : = {h + b, b A} = h + A = A, A = {a, a A} = { h + h + a, a A} = { h + b, b h + A } b=h+a =A = { h + b, b A} = h + A, donc h H, ce qui démontre que H est un sous-groupe de G. Exercice 8 Soit x,y j, il existe (a,a,b,b ) 4 tel que x = a + b j, y = a + b j, alors on a : x y = a a + b b j j, x y = a a + ab j + ba j + bb j = a a + ab j + ba j + bb 1 j = a a bb + ab + ba bb j j. Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de j. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur j. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur j. En outre, on a : 0 = 0 + 0.j j, 1 = 1 + 0.j j. Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans j, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans j. On en déduit que j,+, est un anneau commutatif. Exercice 9 1) Soit z j, il existe (a,a ) tel que z = a + b j, donc : z = z z = a + b j a + b j = a + ab j + j + b j j π = a + ab cos + b j = a ab + b. 3 Ainsi, z est un entier relatif (comme somme et produit de tels nombres) et un réel positif (c est le carré d un réel), donc c est un entier naturel. =A 18
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES ) Soit z j, il existe (a,a ) tel que z = a + b j. Implication directe : Supposons que z 1 = 1 z z = 1 z z = z = a + b j = a + b 1 j j +j = 1 = (a b) + ( b) j j, donc z est inversible dans j (et son inverse est simplement 1 z ) Implication réciproque : Supposons que z soit inversible dans j, alors il existe z j tel que : z z = 1 z z = 1 z z = 1. Comme z et z sont des entiers naturels dont le produit vaut 1, on a nécessairement : z = z = 1. 3) Soit z j, il existe (a,a ) tel que z = a + b j. Alors, z est inversible si et seulement si : z = 1 a ab + b = 1 () : ab = a + b 1. Il est opportun de rappeler une majoration célèbre : x,y, x y 1 x + y (elle découle du développement x y ), donc : a + b 1 = ab ab 1 a + b 1 a + b 1 a + b a = a a + b a 1 b = b a + b b 1, car a et b sont des entiers relatifs. Il n y a qu un nombre fini de valeurs possibles pour a et pour b, donc il n y a qu un nombre fini d inversibles de j. Déterminons les. Premier cas : a = 0. D après la relation (), on a : b = 1 b = ±1 z = ±j. Deuxième cas : a = 1. D après la relation (), on a : b = b b (b 1) = 0 b {0, 1} z 1, 1 + j. Troisième cas : a = 1. D après la relation (), on a : b = b b (b + 1) = 0 b {0, 1} z 1, 1 j. On en déduit que les inversibles de j sont contenus dans l ensemble A = ±1,±j,± 1 + j et chaque élément de A est un inversible de j (car ils appartiennent à j et leur module au carré vaut 1), donc les inversibles de j forment l ensemble A. 19 CORRIGÉS
Maths MPSI Exercice 10 Soit x,y, il existe (a,a,b,b ) 4 tel que : x = a + b, y = a + b x y = a a + b b, x y = a a + bb + ab + ba. Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = 0 + 0., 1 = 1 + 0.. Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans. Ainsi,,+, est un anneau commutatif. Exercice 11 1) Puisque l on a : ±1 = a b = a + b a b z ± a b = 1, =y [ ] on en déduit que z est inversible dans (car y tel que x y = 1). ) Puisque 1 1 = 1, on en déduit que z = 1 + est inversible. Les inversibles d un anneau formant un groupe multiplicatif, donc n, z n est aussi inversible. Comme z > 1, la suite (z n ) n tend vers +, donc elle contient une infinité d éléments distincts. A fortiori, l ensemble des inversibles de est infini. Exercice 1 1) Soit (a,b) tel que a +b = 0 a = b. Si b 0, alors on a : = a b, ce qui est impossible, donc b = 0, ce qui entraine que a = 0. ) a) Par définition, on a : z z = 1 (a c + bd ) + (a d + bc) (a c + bd 1) + (a d + bc) = 0 a c + bd 1 = 0 () cf. q1 a d + bc = 0 w w = (a c + bd ) (a d + bc) = 1, =1 d après () =0 d après () donc w est inversible dans et son inverse est w. 0
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES b) z est inversible dans et son inverse est z, donc z z = 1. D après la question précédente, on a w w = 1. On peut, alors affirmer que z et w sont non nuls et on a dans les égalités : z = 1 z w = 1 z w = 1 z w a b 1 = c d. w Puisque a b et c d sont deux entiers relatifs inverses l un de l autre, la seule possibilité est qu ils soient égaux et valent ±1. Exercice 13 Soit x,y [i ], il existe (a,b,a,b ) 4 tel que x = a + ib et y = a + ib, donc : x y = a a } {{ } x y = a a bb } {{ } + i b b [i ] + i ab + a b [i ]. Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de [i ]. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur [i ]. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur [i ]. En outre, on a : 0 = 0 = 0 + i 0 [i ], 1 = 1 = 1 + i 0 [i ]. Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans [i ], on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans [i ]. Ainsi, [i ],+, est un anneau commutatif. Soit x [i ]\{0}, il existe (a,b) tel que x = a + ib. Comme x 0, on est assuré que a 0 ou b 0, donc a ib 0, et on a : 1 x = 1 a + ib = a ib (a + ib)(a ib) = a b i [i ]. a + b }{{ a } + b On a déterminé un élément y = 1 x [i ] tel que x y = 1, donc tout élément non nul de [i ] admet un inverse dans [i ], ce qui démontre que [i ],+, est un corps. Exercice 14 Soit x,y, il existe (a,a,b,b ) 4 tel que : x = a + b, y = a + b x y = a a + b b, x y = a a + bb + ab + ba. 1 CORRIGÉS
Maths MPSI Par conséquent, + et sont des lois de compositions internes de. Les lois + et sont associatives et commutatives sur, donc sur. La distributivité de la multiplication sur l addition étant vraie sur, elle est encore vraie sur. En outre, on a : 0 = 0 + 0., 1 = 1 + 0.. Puisque + et admettent comme éléments neutres respectifs 0 et 1 dans et que ces deux éléments sont dans, on en déduit de + et admettent des éléments neutres dans. Ainsi,,+, est un anneau commutatif. En outre, si x = a +b 0, vérifions que a b 0. On procède par l absurde en supposant que a b = 0. Si b 0, alors on a : = a, ce qui est impossible, donc : b b = 0 a = b = 0 x = a + b = 0, ce qui est absurde, d où a b 0. On peut alors écrire : 1 x = = 1 a + b = a b a + b a b a b +. a b }{{ a } b On a déterminé un élément y = 1 x tel que x y = 1, donc tout élément non nul de admet un inverse dans, ce qui démontre que,+, est un corps. Exercice 15 1) ) Puisque K est un corps inclus dans, on a 1K = 1 = 1 K, donc : n, n1 = n K K stable par inverse n, 1 n K K stable (n,m), n 1 par produit m = n m K K. 3) D après l hypothèse, il existe x K \. Soit (a,b) tel que x = a +b. Comme a K, on a x a = b K. Si b = 0, alors x = a, ce qui est absurde, donc b 0. Comme b K et b K \{0}, on en déduit que b 1 b = K. Par conséquent, pour tout y, il existe (c,d ) tel que y = c + d. Puisque c,d K et K, on en déduit que y = c + d K d où l inclusion K. L inclusion réciproque est immédiate, ce qui fournit l égalité souhaitée.
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES Exercice 16 Il suffit de montrer que chaque élément non nul de A possède un inverse dans A. Soit x A\{0 A }, pour tout y A, x y A (car A est un anneau). Par conséquent, on peut A A considérer l application f :. Elle est injective, car : a xa a,a A, f (a ) = f a xa = xa x a x a = 0 x a a = 0 par hypothèse x = 0 A (impossible) ou a a = 0 a = a. de l énoncé a a = 0 A Puisque f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, on peut affirmer que f est une bijection. Par conséquent, 1 A admet un antécédent par f, c est-àdire qu il existe y A tel que : f y = 1 A x y = 1 A. Comme la loi est commutative, on a aussi y x = 1 A, donc x est inversible dans A, quel que soit x A\{0 A } ce qui démontre que (A,+, ) est un corps. 3 CORRIGÉS
VUIBERT MATHS MPSI MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES Des ouvrages pour faire la différence : des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser efficacement, de nombreux exercices intégralement corrigés pour s entraîner et se mettre en situation d épreuve : exercices guidés, exercices d application et problèmes de synthèse. SOMMAIRE 1. Bases mathématiques. Nombres complexes 3. Manipulations algébriques 4. Fonctions usuelles 5. Équations différentielles 6. Suites 7. Limites de fonctions, continuité 8. Dérivabilité 9. Études locales et asymptotiques 10. Arithmétique des entiers 11. Structures algébriques 1. Polynômes et fractions rationnelles 13. Espaces vectoriels 14. Espaces vectoriels de dimension finie 15. Matrices 16. Échelonnement et systèmes linéaires 17. Déterminants 18. Espaces euclidiens 19. Calcul intégral 0. Séries numériques 1. Dénombrement. Probabilités sur un univers fini 3. Variables aléatoires 4. Problèmes de synthèse Les auteurs : Abdellah Bechata est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Malherbe à Caen Nicolas de Granrut est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Franklin Roosevelt à Reims ISBN : 978--311-4016- www..fr