CHPITRE 9. MOUVEMENT DU SOLIDE...................................... - 9. - 9.. Cinématique d un ensemble de points........................................ - 9. - 9... Introduction................................................... - 9. - 9... Equiprojectiité des itesses....................................... - 9. - 9..3. Degrés de liberté................................................ - 9.5-9..4. ngles d Euler................................................. - 9.6-9..5. Vitesse et accélération d un point : première approche................... - 9.7-9.. Mouements simples du solide............................................. - 9.9-9... Translation.................................................... - 9.9-9... Rotation..................................................... - 9.0-9..3. Conclusions.................................................. - 9.3-9.3. Mouement plan du corps solide........................................... - 9.3-9.3.. Définition.................................................... - 9.3-9.3.. Décomposition en une translation suiie d une rotation................. - 9.4-9.3.3. Décomposition en une suite de rotations infinitésimales................. - 9.9 - ) Principe de la méthode...................................... - 9.9 - ) Détermination et utilisation du C.I.R............................ - 9. - C) Discussion................................................ - 9. - D) ase et roulante........................................... - 9.4-9.3.4. Mécanismes : relations de Roger................................... - 9.6-9.4. Mouement composé du solide............................................ - 9.30-9.4.. Introduction.................................................. - 9.30-9.4.. Expression analytique de la itesse................................. - 9.30 - ) Première approche......................................... - 9.3 - ) Seconde approche.......................................... - 9.3-9.4.3. Composition de deux translations.................................. - 9.3-9.4.4. Composition de deux mouements de rotation......................... - 9.3 - ) Composition de deux rotations d axes parallèles................... - 9.33 - ) Composition de deux rotations d axes concourants................. - 9.36-9.4.5. Composition d un mouement de translation et d un mouement de rotation.. - 9.38 - ) et sont perpendiculaires..................................... - 9.38 - ) et sont parallèles.......................................... - 9.39 - C) et sont de directions quelconques.............................. - 9.40 - Version du 6 octobre 06 (4h35)
9.. Cinématique d un ensemble de points 9... Introduction CHPITRE 9. MOUVEMENT DU SOLIDE Un solide est un système mécanique constitué d un ensemble continu de points matériels. Le solide est supposé indéformable ce qui signifie que la distance entre deux quelconques de ces points reste constante lors de tout déplacement. Ce concept de solide est un modèle mathématique; dans la réalité, tous ces solides se déforment sous l effet des forces appliquées. Toutefois, dans bien des cas, les déformations seront très petites par rapport aux dimensions de solide et le modèle sera une approximation satisfaisante du solide réel. On sait que le mouement d un point M est entièrement spécifié si on se donne la fonction ectorielle : OM x y z x y z aec : x f t y f t z f 3 t Si on considère le mouement d un solide composé de n points M i, on pourrait le spécifier par n fonctions ectorielles du même type (n étant fini ou infini), et caractériser le mouement de chacun des points M i par sa trajectoire C i, sa itesse, son accélération a Mi (fig. 9..). Mi fig. 9.. - Trajectoire. Le problème que nous allons traiter est donc celui de la détermination, en fonction du temps, du champ des itesses et du champ des accélérations du solide : le champ instantané des itesses est l ensemble, à un instant donné, des ecteurs itesses de tous les points du solide; on définit de même le champ instantané des accélérations, qui est, à un instant donné, l ensemble des ecteurs accélérations de tous les points du solide. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9. -
On se rend immédiatement compte de la complexité d un problème de cinématique du solide! (déterminer le ecteur itesse de tous les points à un instant déterminé, puis recommencer ce traail pour chaque instant...). Il existe heureusement, d une part, des hypothèses de traail, d autre part des mouements simples, qui facilitent ces déterminations des champs de itesses et accélérations; nous montrerons que les mouements les plus complexes peuent à leur tour se décomposer en mouements plus simples. 9... Equiprojectiité des itesses Si le corps solide dont on étudie le mouement est indéformable, les mouements des différents points du solide ne sont pas indépendants les uns des autres : en effet, la distance séparant deux quelconques des points d un solide S indéformable reste inariable (fig. 9.3.) : fig. 9.. - Equiprojectiité des itesses. k k Cette relation exprime les liaisons qui existent entre les points d un solide, et qui, en fait, définissent le solide. En dériant cette relation, on obtient : d 0 dt Or : O O 0 O O cos cos cos cos J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9. -
Les itesses de deux points quelconques d un solide ont des projections égales sur la droite qui les joint. On dit que le champ des itesses d un solide est équiprojectif. Une application intéressante de ce théorème est la détermination d une itesse par double équiprojectiité. Soit et deux itesses du solides connues intégralement (direction, sens et intensité). (On érifiera éidemment l équiprojectiité des itesses et sur ). Pour connaître la itesse du solide en un point C, il suffira de relier le point au point C et de projeter sur cette droite, on fait de même aec que l on projette sur C. Sachant que N CN et que M CM, en construisant le parallélogramme on troue la itesse en C. fig. 9.3. - Utilisation de l équiprojectiité des itesses pour connaître la itesse d un troisième point du solide. Remarque : Si le point C est aligné aec et on appliquera les relations de Roger (oir 9.3.4.). J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.3 -
pplication 9.. Le piston P, dans un cylindre ertical, est actionné par le leier O et la bielle C. Les dimensions sont les suiantes : O 30 cm ; C 0 3 ; d 0 3. La itesse angulaire du leier O autour de O est rad s. Déterminer. P Solution : Recherche des directions des itesses La itesse de P est égale à la itesse de C puisque mouement est une translation pure. CP fig. 9.4. - pplication 9.. est un solide indéformable dont le La itesse de ne sait être que perpendiculaire au leier rotation pure autour de O. Equiprojectiité des itesses La bielle C étant un solide, on peut utiliser la notion d équiprojectiité des itesses. La projection de sur la droite reliant C doit égaler la itesse de projetée sur C, c est-à-dire directement. Soit : cos C O O P C cos 0. 3 0. 693 m s cos 6 C O puisque le leier effectue une fig. 9.5. - Equiprojectiité des itesses. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.4 -
9..3. Degrés de liberté Tout comme on l a fait pour le point, il importe de pouoir repérer exactement la position d un solide. Ce repérage doit permettre à tout instant de déterminer exactement la position d un point arbitraire M i du système étudié, généralement par la fonction ectorielle OM i. Comme les distances entre deux points d un solide sont fixées, il suffira de connaître à chaque instant les positions exactes de trois de ses points non colinéaires pour en déduire celles des autres (fig. 9.6.). fig. 9.6. - Solide indéformable : degrés de liberté. ec : (x ; y ; z ); (x ; y ; z ); C (x C ; y C ; z C ) k ; k C ; k3 C. et Le nombre de degrés de liberté du solide est le nombre minimum de coordonnées indépendantes, nécessaires pour repérer la position du solide. Pour un solide se déplaçant librement dans l espace, on a besoin de 3 3 coordonnées pour,, C, ces neuf coordonnées deant érifier les 3 relations de constance des distances k, k et k 3 ; il y a donc 9 3 6 coordonnées indépendantes, c est-à-dire six degrés de liberté, pour un solide pouant se mouoir librement dans l espace. loin. Dans le cas d un mouement plan du solide, le nombre de degrés de liberté tombe à 3, oir plus S il existe des liaisons sur le solide, comme par exemple un point qui reste fixe, ou qui doit se déplacer sur une trajectoire précise, alors le nombre de degrés de liberté est éidemment réduit en conséquence. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.5 -
pplication 9.. Déterminer le nombre de degrés de liberté : a) d une bille roulant sur un plan; b) d un corps possédant un point fixe; c) d un corps possédant deux points fixes. Solution : a) Le centre de la sphère doit toujours rester à distance déterminée du sol; le mouement de ce centre ne fait donc interenir que deux coordonnées indépendantes, au lieu de trois. Le système ne possède donc que cinq degrés de liberté. b) Le fait de posséder un point fixe supprime trois coordonnées; il n y a donc que trois degrés de liberté. c) ec deux points fixes, la position du corps ne dépend plus que d un seul degré de liberté. 9..4. ngles d Euler On détermine traditionnellement les six coordonnées indépendantes d un solide S libre dans l espace en choisissant d abord un point de ce solide (souent le centre de masse G) auquel correspondent les trois premières coordonnées. Ensuite, on construit en ce point un trièdre XYZ lié au solide que l on repère, par rapport au trièdre de référence xyz, au moyen de trois angles caractéristiques, dits angles d Euler () (fig. 9.7.). Ces trois angles d Euler correspondent à trois rotations planes successies qui permettent de faire coïncider la base xyz aec la base XYZ, ce qui définit au passage deux bases intermédiaires orthonormées directes. fig. 9.7. - ngles d Euler : définition. () Euler Leonhard (707 [âle] - 783 [Saint-Pétersbourg]) : mathématicien et physicien suisse. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.6 -
On définit la droite N, intersection des plans xy et XY, comme étant la ligne des noeuds ou axe nodal. Les trois angles d Euler, que l on retroue notamment dans l étude du mouement gyroscopique, sont appelés : : angle de précession (rotation autour de l axe z); θ : angle de nutation (rotation autour de l axe nodal N ); Ψ : angle de rotation propre (rotation autour de l axe Z); La rotation de l ensemble pourra être déterminée par la connaissance du ecteur de Poisson () associé, soit : (éq. 9.37.) P z N Z 9..5. Vitesse et accélération d un point : première approche Soit un solide dont nous repérons la position par celle d un trièdre XYZ fixé à lui (fig. 9.8.). Tout point est ainsi fixe par rapport à ce trièdre mobile XYZ. fig. 9.8. - Vitesse et accélération. On peut appliquer directement les formules établies pour le mouement composé du point aec la simplification due à un mouement relatif nul, en effet, si le point est fixe par rapport au trièdre mobile, le mouement relatif est nul, d où : a a 0. On troue ainsi pour la itesse : (éq. 9.39.) r r Cor et pour l accélération : () Poisson Siméon Denis (78-840) : mathématicien, géomètre et physicien français. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.7 -
a a (éq. 9.40.) formules dans lesquelles, représente la itesse angulaire du solide et l accélération angulaire du solide. En fait, si on se rappelle que dans le mouement composé du point, P (ecteur de Poisson) représente le ecteur rotation instantanée du trièdre, dans notre cas il représente le ecteur rotation instantané du solide S. Le ecteur (ou P ) reste le même, quel que soit le choix du trièdre lié au solide : en effet, si on prend le trièdre X Y Z, on aura, pour tout point : et, en particulier : ce qui donne : et sachant que : ce qui implique nécessairement que,. insi donc, (ou P ) ne dépend pas du choix du repère XYZ, mais est bien caractéristique du mouement du solide. Remarque : Par la suite on prendra la notation P et P pour, respectiement, la itesse et l accélération angulaire d un solide quelconque S. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.8 -
9.. Mouements simples du solide 9... Translation Définition : Un solide effectue un mouement de translation si une droite quelconque du solide en mouement se déplace en restant parallèle à elle-même (fig. 9.9.). fig. 9.9. - Mouement simple du solide. insi : k et D D k et ce à tout instant ( k et k constant en grandeur et en direction). l instant t, on a : D d O dt d O dt d OD dt O... D d O k O dt d O k k O dt et donc aussi a a a... D Dans le mouement de translation tous les points du corps décrient les mêmes trajectoires (superposables) et à chaque instant ils possèdent des itesses et des accélérations égales en module et en direction. Conformément aux formules établies en 9..5., le mouement de translation est caractérisé par : Translation P P 0 On peut donc parler, dans le mouement de translation, de itesse du solide et d accélération J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.9 -
du solide, égales à la itesse et à l accélération de n importe lequel de ses points. (Pour tous les mouements autres que la translation, les points du solide se déplacent aec des itesses et des accélérations différentes, et pour ces mouements les expressions itesse du solide ou accélération du solide n ont pas de sens). Remarques : ) translation ne signifie pas mouement rectiligne : il existe des translations rectilignes et curilignes. La figure 9.0. représente deux roues qui sont supposées rouler sur un rail, qui est fixe. Les mouements des deux roues sont solidarisés par une bielle. Cette bielle est animée d un mouement de translation bien que tous ses points décrient des cycloïdes. fig. 9.0. - Solide en translation. 9... Rotation ) Si les trajectoires des points du solide sont des droites on aura une trajectoire rectiligne. Définition : Un solide effectue un mouement de rotation si deux points du solide (ou en tous cas deux points qui lui sont inariablement liés) restent fixes (fig. 9..). Soient et ces deux points fixes tels que : 0 a a 0 fig. 9.. - Solide en rotation. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.0 -
Or, par 9..5., on sait que : P de ce fait : 0, ce qui entraîne que : soit P 0 Solide au repos soit / / Solide en rotation P et ainsi,, non nul, doit être de direction constante (mais de module éentuellement ariable!). P Tous les points de la droite sont fixes; par exemple, pour le point D, quelconque sur : D 0 0 0 D P La droite est l axe de la rotation. Tous les points du solide, hors de l axe de rotation, décrient un mouement circulaire dans un plan perpendiculaire à cet axe; le solide étant indéformable, tous les points du solide ont même itesse angulaire. insi, pour le point M : M P M P M P M P M OM OM O P P M est bien en permanence perpendiculaire à, et M P DM sin ce qui implique : r r. M P L accélération de M est bien celle due à un mouement circulaire : a a a a 0 M M n M t a M n P P M P P M P P OM a M n est bien à P dirigé de M ers O et OM OM P a M M M t P P OM aec P a M t est bien à P J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9. -
La loi du mouement de rotation est ainsi entièrement connue si on connaît : l axe de la rotation; la loi f t autour de cet axe, dont se déduisent la itesse angulaire P et l accélération angulaire P, toutes deux alignées suiant l axe. On pourrait dès lors définir des mouements de rotation uniforme, des mouements de rotation uniformément ariée, etc. P et P peuent être considérés comme des ecteurs glissants, sur l axe de rotation, puisqu ils concernent tous les points du solide. pplication 9.4. Un poids fait tourner un arbre de rayon r et un pignon de rayon r, monté sur le même axe que l arbre. Le mouement du poids débute de l état de repos et s effectue aec une accélération constante a. Déterminer la loi de rotation du pignon de rayon r qui s engrène aec le pignon de rayon r. Solution : La itesse scalaire de aut : a t, dirigée ers le bas. Recherche de la itesse angulaire ω Les points de la jante de l arbre auront la même itesse : a t r a t r fig. 9.. - pplication 9.4. Condition de non glissement u point de contact de deux solides, s il n y a pas de glissement, les itesses sont égales. Vu qu au point C la itesse scalaire C doit être la même : C r r r r a t r r r Or : r a t dt 0 r r où 0 est la position angulaire du pignon de rayon r à l instant t 0. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9. -
9..3. Conclusions De l expression déduite en 9..5., et des expressions du mouement de translation et du mouement de rotation, on peut conclure que tout mouement du solide peut se décomposer en une translation combinée à une rotation. Par exemple, un mouement hélicoïdal d un solide est un mouement dans lequel une droite (l axe du mouement) du solide reste fixe en pouant glisser sur elle-même; un point du corps - non situé sur l axe - décrit une hélice circulaire autour de cet axe; tous les points du solide décrient simultanément autour de l axe des hélices circulaires de même pas (mais de rayons différents). 9.3. Mouement plan du corps solide 9.3.. Définition Définition : On entend par mouement plan le mouement du solide dans lequel tous ses points se déplacent parallèlement à un plan fixe π : / / M M Solide (fig. 9.3.). Soit le trièdre Oxyz, tel que Oxy est parallèle à π; soit σ l intersection du solide S aec Oxy. Il suffit, pour connaître entièrement le mouement du solide S, d étudier le mouement de σ dans le plan Oxy; en effet, tous les points d une droite du solide, perpendiculaire au plan π, se déplacent de façon identique (oir les trajectoires C, C et C superposables ). k z aec k constant d où : do d O dt dt 0 do k z dt fig. 9.3. - Mouement plan du solide. Par ailleurs, on peut écrire dans tous les cas : P J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.3 -
0 P soit P 0 translation / / soit P z P / / rotation d' axe L étude du mouement pourra se faire dans le plan Oxy, aec un ecteur P ce plan (fig. 9.4.). perpendiculaire à fig. 9.4. - Mouement de rotation plan. Le nombre de degrés de liberté est égal à trois : le repérage du solide σ dans le plan Oxy peut se faire par les 3 coordonnées : x et y, fonction du temps; θ, angle d une droite de σ passant par, également fonction du temps. Dans ce cas, on aura :. 9.3.. Décomposition en une translation suiie d une rotation P z fig. 9.5. - Translation + rotation du solide. Examinons deux positions successies σ et σ, aux instants t et t t t (fig. 9.5.). Il est facile de oir que la section σ, et aec elle tout le solide, peuent être amenés de σ à σ en deux étapes; il faut d abord déplacer le solide jusqu en σ, par translation de façon que arrie en et arrie en ; puis on fait tourner la section σ autour de, de l angle Δθ. Il en découle que le mouement plan du corps solide est composé d un mouement de translation dans lequel tous les points se déplacent de la même façon J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.4 -
que, et d un mouement de rotation autour de point. Dès lors, pour Δt tendant ers 0, on a : (éq. 9.0.) formule dans laquelle signifie itesse de par rapport à considéré comme fixe. Dans ce cas-ci le point effectue une rotation autour de. La même décomposition peut se faire au nieau des accélérations : a a a a a t a a n (éq. 9..) formule dans laquelle a signifie accélération de par rapport à considéré comme fixe. effectuant une rotation autour de, nous aons donc une composante normale et une composante tangentielle. Graphiquement, la construction de la itesse d un point quelconque du solide, se fait à partir de de la façon suiante (fig. 9.6.) : on reporte tel quel en ; ensuite on trace, perpendiculairement à, et de module (dans le sens de la rotation); il suffit ensuite d additionner ectoriellement ces deux ecteurs pour obtenir. fig. 9.6. - Vecteur itesse : translation + rotation. La procédure est identique pour les accélérations ( à reporter perpendiculairement à ; à reporter suiant, de ers, oir figure 9.7.). J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.5 -
fig. 9.7. - Vecteur accélération : translation + rotation. pplication 9.5. Soit une locomotie à deux essieux reliés par une barre, dont M est le point milieu, reliant les manielles O et O. Si les roues I et II roulent sans glisser sur le rail, déterminer la itesse et l accélération du point M pour les quatre positions,, 3 et 4. Données : r 0. 4 m, O O r 0. m. La itesse de la locomotie est donnée par t m s t 0 O ; en, est en. fig. 9.8. - pplication 9.5. Solution : Le solide M Il décrit un mouement de translation (de rotation), donc : M et a a M Loi des itesses O O O O O t O x O O z 5 t. 5 r O 0. sin x 0. cos y z fig. 9.9. - Mise en place des références. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.6 -
x y z t t 0 0 5. 5 M x 0. sin 0. cos 0 0. 5 cos 05. sin t t x t Remarque : Nous aurions pu aussi utiliser la notion de CIR (oir 9.3.3.) pour trouer l expression de la itesse. Loi des accélérations a ao a O a a O O t O n O O O O ao O x 5 O O z x y z a O 0 0 5 cos sin t 0. sin 0. cos 0 x y a O O t n P 5. 5 0. sin x 0. cos y a a cos 5 t. 5 0. sin M x sin 5 t. 5 0. cos y y Loi de déplacement 5 t dt. 5 t O t 0. 5 t t [éq. θ.] Calcul des itesses et des accélérations pour les différentes positions ) 0 t 0 (en utilisant [éq. θ.] ) M 5. x a M 3 x 5. y a ) t 0. 437 s ou 43. s M 5. M 3. 5 m s m s M 874. x 0. 937 y m s M. 09 a M. 39 x 0. y a M. 59 m s 3) t 0. 77 s M 3 7. x M 3 7. m s a M 3 0. x 7. 5 y a 7. 59 m s 4) 3 4 t 0. 96 s M 4. 9 x 46. y M 4 37. m s M 3 J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.7 -
a M 4. 67 x 0. y a M 4. 7 m s pplication 9.6. Trouer la itesse et l accélération du point de la jante d une roue qui roule sans glissement sur un rail rectiligne, quand la itesse du centre de la roue est égale à constante. Solution : Recherche de la itesse : ppliquons la formule générale aec : et : r On troue la aleur de la itesse angulaire en partant du fait que le point D de la roue ne glisse pas sur le rail; ce qui implique : 0 D D où : D r D fig. 9.0. - pplication 9.6. Solution. Finalement, on troue que : r et donc : r Le parallélogramme construit sur et est un losange. On démontre facilement que a une direction perpendiculaire à D et que cos. Recherche de l accélération : appliquons la formule générale Pour l accélération de ; on troue : a a a a a a t n ec : a 0; 0 ; ; r r a J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.8 -
a r et ainsi : a r est dirigée en permanence ers le centre de la roue. 9.3.3. Décomposition en une suite de rotations infinitésimales ) Principe de la méthode Une autre méthode simple et concrète de détermination des itesses des points du solide en mouement plan est basée sur la notion de centre instantané de rotation. Examinons deux positions successies σ et σ, aux instants t et t t t (fig. 9..). Il est facile de oir que la section σ, et aec elle tout le solide, peuent être amenés de σ à σ par une rotation unique autour de C.F.R., le centre fictif de rotation amenant en par une rotation d amplitude θ, et en par une rotation de même amplitude. Le C.F.R., qui n est pas nécessairement un des points du solide, est le point d intersection des médiatrices de et. fig. 9.. - Centre fictif de rotation. Dès lors, lorsque Δt tend ers 0, le centre fictif de rotation deient le centre instantané de rotation (C.I.R.), que nous désignerons par I. Sa détermination (fig. 9..) est simple : quand t 0, a la même direction que (tangente à la trajectoire de ), et 0 ; a la même direction que, et 0 ; les deux médiatrices dont question ci-dessus se réduisent, dès lors, aux deux perpendiculaires à et à, dont le point d intersection est I. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.9 -
fig. 9.. - Centre instantané de rotation. Ce point I, centre de la rotation, est donc le seul point du mouement dont la itesse instantanée est nulle : I 0 à l instant t Remarque : La même conclusion serait obtenue en appliquant la relation d équiprojectiité des itesses, sur I et sur I. Dès lors, si on reprend la relation établie en 9..5., il ient : I I I 0 I I I 0 On oit que les itesses scalaires des points du solide sont proportionnelles à leurs distances au centre instantané de rotation. Il faut noter que le C.I.R., caractérisé par le fait que sa itesse instantanée est nulle, n est pas nécessairement un point fixe; à différents instants peuent correspondre des positions différentes du C.I.R., qui est donc un point qui éolue aussi suiant une certaine trajectoire. Nous aurons à déterminer plus loin le lieu des positions successies du C.I.R., au cours du temps. Remarque importante : La technique du C.I.R. s aère particulièrement efficace pour la détermination des itesses des points d un solide, par application des formules des itesses dans un mouement circulaire. Mais il ne faut surtout pas généraliser ce mouement circulaire pour le calcul des accélérations des points : en effet, I est un point pour lequel I, à l instant t, est nul; cela n implique pas que soit nul! a I J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.0 -
Dès lors, par 9..5. : I a ai I I et toute la difficulté réside dans la détermination de a I. ) Détermination et utilisation du C.I.R. Soit une figure σ en mouement dans son plan, et deux points et de cette figure. La connaissance de et de la direction de suffit pour déterminer I et calculer ω P (fig. 9.3.) : par, on mène une perpendiculaire à ; par, une perpendiculaire à la direction de : le point de rencontre de ces perpendiculaires est I, le C.I.R.. fig. 9.3. - Détermination du C.I.R. La itesse angulaire instantanée est donnée par : I La itesse instantanée d un point M quelconque sera, perpendiculaire à IM, de module : M IM M IM I J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9. -
pplication 9.7. La latte M, de longueur b, se déplace dans un plan de telle sorte que parcourt l axe Ox et, l axe Oy;. On donne x f t. Déterminer la trajectoire décrite par M et la itesse. M Solution : Equation de la trajectoire du point M x M b cos x cosb y M b sin fig. 9.4. - pplication 9.7. En éliminant α, on obtient : y b x b équation d un ellipse (d où le nom d ellipsographe donné à ce dispositif). Recherche de la itesse du point M Les directions de et sont imposées, d où on troue (pour tout instant t) la position de I; la fig. 9.5. - pplication 9.7. Détermination du C.I.R. itesse M est perpendiculaire à IM, et aut : M IM M I IM I aec : x Remarque : On aurait pu aussi dérier l équation de la trajectoire (principe du mouement simple du point). Il faut connaître dans ce cas f t. C) Discussion Soit et les itesses de deux des points d un solide. ) Si et ne sont pas parallèles, alors I est à distance finie (oir détermination par ) cidessus). ) Si et sont parallèles, quatre cas peuent se présenter : (fig. 9.6.) : I est rejeté à l infini, et le mouement correspond à une translation; J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9. -
fig. 9.6. - C.I.R. à l infini. et est sur la perpendiculaire à, menée par (fig. 9.7.) : I est sur, de façon à donner une ariation linéaire des itesses; fig. 9.7. - C.I.R. forces parallèles de grandeurs différentes. 0 et 0 ; alors I est directement confondu aec ; et n est pas sur la perpendiculaire à menée par (fig. 9.8.) : cette situation est impossible en réalité, car un C.I.R. rejeté à l infini représenterait un mouement de translation, pour lequel on aurait. fig. 9.8. - Situation impossible. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.3 -
pplication 9.8. Traiter l application 9.6. par la technique du C.I.R. Solution : Recherche de la position du CIR Le point de contact D de la roue (qui ne glisse pas) est le C.I.R., car D 0. Recherche de Par conséquent, I, et de plus : I I cos D I r En particulier : E est perpendiculaire à r cos r fig. 9.9. - pplication 9.8. C.I.R. D) ase et roulante Définition : On appelle base le lieu des positions successies du C.I.R., dans le plan Oxy dans lequel on étudie le mouement. Définition : On appelle roulante le lieu des positions successies du C.I.R., repérées par rapport au solide σ qui effectue le mouement. On peut démontrer que la roulante, mobile, roule sans glisser sur la base, fixe. Déterminer la base et la roulante à partir du C.I.R. entre solides n offre que peu d intérêts. Par contre, dans beaucoup de mécanismes, certains solides ont entre eux des mouements de roulement et de ce fait la base et la roulante sont matériellement réalisées, ce ne sont plus des courbes théoriques. Exemples : une roue qui roule sans glisser, une poulie sur son câble. fig. 9.30. - ase et roulante. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.4 -
fig. 9.3. - ase et roulante. pplication 9.9. Une échelle, de longueur l, est appuyée d une part sur un sol horizontal et d autre part sur un mur ertical. Déterminer la base et la roulante du mouement lorsque l échelle glisse à la fois sur le sol et sur le mur. Solution : Position du C.I.R. Chaque instant, par exemple t, le C.I.R. I est situé à l intersection des normales en et des trajectoires rectilignes de et. Si les coordonnées de sont (0; y) et celles de (x; 0), alors, les coordonnées de I sont (x; y); de plus, dans le triangle O, on a x y l. Recherche de la base La base est donc un quart de circonférence centrée en O et de rayon égal à l. Soit D le point milieu du segment ; le point I est à la distance constante l du point D. fig. 9.3. - pplication 9.9. Recherche de la roulante La roulante est donc la demi-circonférence du centre D et de rayon. l Interprétation Nous pourrions remplacer le glissement de l échelle par un roulement sans glissement du solide échelle + roulante roulant sur le solide base. J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.5 -
9.3.4. Mécanismes : relations de Roger Dans un mécanisme comportant plusieurs corps en mouement dans un même plan, chaque corps qui n est pas en mouement de translation possède à l instant donné son propre C.I.R. et sa propre itesse angulaire. Dès lors, le point de liaison entre deux corps doit respecter, au nieau de sa itesse et de son accélération, aussi bien les champs de itesse et d accélération du premier corps que ceux du second corps. D autre part, si, pour un solide σ, on connaît les itesses et accélérations de deux de ses points et, alors pour tout point D sur le segment, la itesse D (respectiement l accélération a D ) est une ariation linéaire entre et (respectiement entre a et a ). fig. 9.33. - Relation de Roger. D Soit : D k k. Si et sont connus, on peut écrire ( ère relation de Roger (3) ) : p D p D k D D p k k p k k D De même si a et sont connus on peut écrire ( ème a relation de Roger) : a a p p p a D a p k k a D a p D p p D p p a a k a a a k a k a D D (3) Roger (958 [ruxelles] - ) : Tof peï J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.6 -
pplication 9.0. La bielle, reliée au culbuteur C, est fixée à la manielle O qui tourne uniformément autour de l axe O aec la itesse angulaire O 4 rad s constante. Les dimensions sont les suiantes : O r 05. m ; r m ; C r m. Pour la position montrée sur le schéma, angle O et angle C, déterminer l accélération des points et 4 fig. 9.34. - pplication 9.0. M de la bielle (M est milieu de ). Solution : La résolution peut être purement géométrique, puisque les itesses et accélérations ont des directions immédiatement déterminées (oir dessin). Recherche des expressions de la itesse et de l accélération du point Le C.I.R. de la manielle O est le point I, confondu aec O; pour le mouement circulaire de, on troue : r 4 05. m s O et donc : y fig. 9.35. - pplication 9.0. : détermination des itesses. et : J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.7 -
a n r 4 05. 8 m s O a t r 0 m s O Recherche de la itesse et de l accélération du point Le C.I.R. du culbuteur C est le point I C ; pour le mouement circulaire de, on troue : r C C et : a n r C C a n r C C mais et ne sont pas encore connus! C C Recherche de la itesse du point Le C.I.R. de la bielle est connu, puisque et la direction de le sont! I 3 est l intersection du prolongement de O aec le prolongement de C. Ce point I 3 n est pas fixe (au contraire de I et I ). l instant considéré : I 3 r et I 3 r insi, on troue, pour l instant considéré : I rad s 3 I 05. et dès lors, la itesse du point aut : I r m s 3 et donc : x y 3 Recherche de C D autre part, on a que : C 4 rad s C C C r Recherche de l accélération du point Pour trouer l accélération de, on ne a plus utiliser le C.I.R. de (puisqu il se déplace...). Mais dans un premier temps, on peut écrire : a a a a a a t n a r mais :? t a r 4 m s n Ensuite, pour le même point, on peut aussi écrire : a a a a a a C C C C t C n J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.8 -
ac t C r mais :? C C C a C 4 r 8 m s C n C Géométriquement, si on combine ces résultats, on troue : fig. 9.36. - pplication 9.0. : détermination de l accélération. a C t a C Les deux termes et sont connus en direction mais pas en grandeur; mais n l intersection de leurs directions fixe leur grandeur, et par la même occasion, a ; on obtient : 8 sin 4 ac 4 4 r 8 rad s t C C cos 4 a 8 8 cos 4 cos 0 r 0 rad s t 4 4 Dans la position considérée, et dans le système d axes représenté, on a ainsi : 4 et : a x y a 4. 65 m s Recherche de la itesse et de l accélération du point M milieu de pplication des relations de Roger. M y x y x y et : a a a 8 4 M x x y x y J-P. auche - R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.9 -
9.4. Mouement composé du solide 9.4.. Introduction La définition de la composition du mouement est identique à celle du chapitre 8. : le solide est en mouement relatif par rapport à un système d axes O x y z et simultanément ce système est en mouement d entraînement par rapport à un système d axes Oxyz, considéré comme immobile. Le mouement du solide S par rapport à Oxyz est dit mouement absolu de S. Nous limiterons l étude à la détermination des itesses. 9.4.. Expression analytique de la itesse Pour exprimer la itesse nous aons deux approches possibles : soit partir de l expression du mouement simple du solide ( 9..5.); soit partir de l expression du mouement composé du point ( 8...). fig. 9.37. - Mouement composé du solide. R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.30 -
) Première approche La formule (éq. 9.39.) déeloppée précédemment (mouement simple du solide) et adaptée au cas de figure présent, reste bien sûr alable. M étant un point du solide S, nous aons : M O P O M ou OM OO P O M (éq. 9.303.) Mais elle n est applicable que si on peut déterminer P, ecteur itesse instantanée de rotation du solide en mouement par rapport au repère fixe Oxyz ou encore ecteur de Poisson d un trièdre O x y z lié au solide. Nous cherchons donc à identifier ) Seconde approche P pour les différents mouements composés du solide. Introduisons un trièdre fixe Oxyz dans le référentiel inertiel et un autre trièdre O x y z en mouement et auquel sera associé le ecteur de Poisson (ecteur itesse de rotation du trièdre O x y z par rapport au trièdre Oxyz). Le solide en mouement composé dans pourra être donc considéré en mouement relatif par rapport au trièdre O x y z qui lui-même est en mouement par rapport à. P L équation du mouement composé du point deient : M a M e M r La itesse d entraînement est en fait la itesse du point M considéré comme fixe dans le trièdre O x y z : O M OO O M M e O P P Quant à la itesse relatie, c est la itesse du point M dans le trièdre O x y z considéré comme fixe. Cela reient à un mouement simple du solide. Soit : O M M r O O P O O étant la itesse de O par rapport au trièdre O x y z considéré comme fixe; P étant le ecteur itesse de rotation du solide S (du repère O x y z ) par rapport au trièdre O x y z (considéré comme fixe). Nous aons donc l expression analytique de la itesse : M a OM OO P O M O O P O M itesse d' entrai nement itesse relatie (éq. 9.3.) R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.3 -
Dès lors, nous pouons établir l égalité entre les deux relations (éq. 9.95. et éq. 9.304.) : OM OO O M P OO P O M O O P O M itesse d' entrai nement itesse relatie (éq. 9.33.) 9.4.3. Composition de deux translations Nous aons u ( 9...) que le mouement de translation du solide est entièrement défini par la itesse OM et l accélération OM d un de ses points. Elles sont identiques pour tous les points du solide. Le solide est en mouement de translation par rapport au trièdre O x y z, d où : P 0 Le trièdre O x y z est lui-même en mouement de translation dans Oxyz, d où : P 0 La formule de base (éq. 9.304.) deient dès lors : OM OO O O aec : O O (simple translation) O O OM OO O O OO Le mouement absolu de S dans est une translation : P 0 9.4.4. Composition de deux mouements de rotation Dans la composition de deux mouements de rotation, nous aurons donc : Un solide S en rotation autour d un axe a aec une itesse angulaire P (itesse relatie); L axe a lui-même mobile, en rotation autour d un axe a aec une itesse angulaire P (itesse d entraînement). Le mouement absolu sera le mouement de S par rapport à l axe de rotation a considéré comme immobile. Diers cas peuent se présenter : ) Les axes a et a sont parallèles : P et P de même sens ou P et P de sens contraires; ) Les axes a et a sont concourants; R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.3 -
3) Les axes a et a sont deux droites gauches l une par rapport à l autre. ) Composition de deux rotations d axes parallèles Le solide S tourne autour de l axe a qui lui-même tourne autour de l axe a. Le mouement absolu de S est un mouement plan. fig. 9.38. - Composition de rotations d axes parallèles. Prenons l équation générale (éq. 9.304.) : OM OO P O M O O P O M itesse d' entrai nement itesse relatie aec : OO 0 0 O O O M O O O M (les centres sont confondus) L équation deient : OM P OO O M P O M OM O O O M ou : P P P (éq. 9.333.) R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.33 -
on obtient : Et utilisant la première approche (éq. 9.95.), adaptée à notre cas, on obtient : OM O M O O O M P Et sachant que O n effectue qu une rotation autour de l axe a : O O O O P OM O O O M P P (éq. 9.336.) Conclusion (en comparant aec éq. 9.35.) : P P P Exprimons la itesse d une autre manière, repartons de l équation (éq. 9.35.) : OM O O O M P P P P OO O M P O M O M O M P P P O M P O M OO OM O M O O a) Si P P P P P 0 (éq. 9.339.) Les ecteurs P et P sont opposés, leur somme ectorielle est nulle : P 0. Il n y a donc pas de rotation absolue. La somme de ces mouements de rotation se ramène donc à un mouement de translation. Si on compare (éq. 9.33.) aec (éq. 9.38.) on peut en déduire que : O O O O P P b) Si P P 0 On a une rotation autour d un axe parallèle à a et à a passant par un point (fixe) I appartenant à la droite passant par O et O. La position de ce point I est donné par (éq. 9.33.) : R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.34 -
OI O I O O I 0 P P P O I P P P O O Ce point I est en fait un point de l axe instantané de rotation, axe qui est parallèle aux axes a et a. La itesse absolue d un point M appartenant au solide S, s obtient aisément à partir de cet axe instantané de rotation. OM IM IM M a P P P Et comme IM, IM. P M En conclusion, la composition de rotations d axes parallèles est : P soit une rotation d axe parallèle aux deux autres P 0 ; soit une translation de itesse perpendiculaire aux axes de rotation P 0. pplication 9.. La pédale de bicyclette : Soit la itesse angulaire d entraînement du pédalier : P. Soit la itesse angulaire relatie de la pédale par rapport au pédalier :. P Les deux itesses angulaires ont même norme et on suppose que la pédale reste horizontale dans ce mouement composé. Solution : Positionnement du système d axe et projection des ecteurs P P x O O x P P x pédale x P P On remarquera que les ecteurs P et P forment un couple. Recherche de la itesse Comme la pédale est constamment horizontale, cela eut dire que tous les points du solide pédale ont la même itesse de translation circulaire. fig. 9.39. - pplication 9.. Cette itesse ( OO O O ) est, à tout instant perpendiculaire au plan formé par les ecteurs R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.35 -
P ; P et aut : P O O et comme P P, nous aons : O O O O P P Conclusion : la itesse de translation circulaire du solide aut le moment formé par les deux ecteurs P et P. Conclusion importante : On peut dire qu un couple de ecteurs itesses angulaires est équialent à un ecteur itesse de translation et inersement. ) Composition de deux rotations d axes concourants Soient : a un axe de rotation immobile et a un axe de rotation en mouement autour de a ; O étant le point d intersection des deux axes a et a ; P la itesse de rotation autour de l axe a ; la itesse de rotation autour de l axe a. P Prenons un exemple : fig. 9.40. - Compositions de rotations d axes concourants. Le robot R fait tourner la meule R autour de l axe a aec une itesse angulaire lui-même un mouement de rotation autour de l axe a caractérisé par la itesse angulaire. P P et il a Si les axes de rotation a et a se coupent en un point O, on a O OO 0. Ce point appartient R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.36 -
donc à l axe instantané de rotation du mouement absolu. Recherche la itesse d un point M appartenant à la meule. Soit la formule générale : OM OO O M O M M a P O O P aec, sachant que nous aons que des mouement de rotations : OO 0 O O 0 d où : OM P OO O M P O M O O O M P P P Si on compare cette dernière équation aec (éq. 9.95.) : OM OO O M on constate que : P OO OO P O M 0 P OO P O M P P P Conclusion : La composition de deux rotations d axes concourants, est une rotation d axe passant par le point d intersection, ligne d action de la résultante des ecteurs P et P (ligne d action du ecteur de Poisson du solide qui est aussi l axe instantané de rotation). Etant donné que le point O est un point de l axe instantané de rotation, nous pouons aussi écrire que la itesse d un point M est égale à : OM O M O M P P P R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.37 -
9.4.5. Composition d un mouement de translation et d un mouement de rotation Lors de l étude du mouement plan, nous aons décomposé celui-ci en une translation suiie d une rotation. En passant à la limite ( t 0 ), le mouement était en fait décomposé en une translation et une rotation instantanée. Nous aons également u que le même mouement plan pouait être décomposé en une suite de rotation infinitésimale autour d un CIR. Il s agit ici du problème inerse de composition d un mouement de translation et d un mouement de rotation. Cette composition se ramène donc à la recherche d une rotation simple du solide autour d un axe instantané de rotation. Une façon simple d aborder ce problème est de considérer les ecteurs pour la rotation. ) et sont perpendiculaires Nous aons u ( 9.4.4. ) qu un couple de ecteurs être remplacé par le ecteur de cette translation. pour la translation et représentait une translation et pouait donc fig. 9.4. - et ω sont perpendiculaires. La réciproque est raie. Nous pouons remplacer le ecteur par un couple de ecteurs et égaux en module à, distant d une longueur OP telle que : OP OP leurs sens résultant du sens de. ppliquons (de sens opposé à ) en O. Nous nous trouons deant un ensemble de 3 ecteurs, et dont deux et sont R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.38 -
réciproques et s annulent donc. Le système ( ; ) se ramène donc à une rotation autour d un axe instantané de rotation passant par P. P Remarque : Ce résultat concorde aec l étude du mouement plan : pour la décomposition en translation + rotation. ) et sont parallèles P est indépendant du pôle choisi fig. 9.4. - et ω sont parallèles. On oit immédiatement qu il s agit d un mouement hélicoïdal du solide. Un point M quelconque du solide parcourt une trajectoire, sur une surface cylindrique, dont l axe est l axe de rotation du mouement. La distribution des itesses des points du solide est alors : M a OM OO P O M O O P O M O O 0 O O 0 P P D où : OO O M M a P et comme et sont parallèles, on peut remplacer OO par k ( k ) et donc : M a k P P O M R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.39 -
C) et sont de directions quelconques Le problème se ramène aux deux cas précédents en décomposant suiant une perpendiculaire à cet axe. suiant l axe de rotation et On obtient donc un mouement hélicoïdal dont l axe de rotation est un axe instantané d où le nom d axe instantané hélicoïdal. R. Itterbeek Mécanique - Mouement du solide Page - 9.40 -