TRANSFORMATIONS DU PLAN On appelle transformation plane (ou transformation du plan) dans lui-même tout procédé qui, à partir de n importe quel point M du plan, permet de construire un point M du plan. M est l image de M par cette transformation. M est unique. M est un antécédent du point M par cette transformation. Les isométries du plan sont les transformations qui conservent les distances : une figure et la figure transformée ont les mêmes dimensions (cas des translations, des symétries (orthogonale et centrale) et des rotations). Il existe aussi des transformations qui ne conservent pas les distances les homothéties. I. LES TRANSLATIONS. Dans le plan, on définit une relation R sur l ensemble des bipoints (= couple de points) de la manière suivante : (A, B) R (C, D) si et seulement si ABCD parallélogramme. Relation d équivalence : Réflexive (A, B) R (A, B) pour tout couple de points (A, B). Symétrique si (A, B) R (C, D) alors (C, D) R (A, B). Transitive si (A, B) R (C, D) et (C, D) R (E, F) alors (A, B) R (E, F). L ensemble des bipoints en relation avec le bipoint (A, B) est représenté par le vecteur. Vecteur est défini par sa direction (celle de la droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa longueur (la longueur de AB). Vecteur opposé même longueur mais pas même sens.
Étant donnés les points (fixes) A et A, la translation t en A en A associe à tout point M le point M tel que les segments [AM ] et [A M] aient le même milieu. On peut écrire t(m) = M M est l image de M par la translation t. Lorsque M n appartient pas à la droite (AA ), M est l image de M par la translation t si et seulement si AA MM est un parallélogramme. II. LA SYMÉTRIE CENTRALE. Le symétrique du point M par rapport à un point I est le point M tel que I soit milieu du segment [MM ]. NB : Lorsqu'une image a sa propre image par une symétrie de centre I, on dit que I est le centre de symétrie de celle-ci. Elle est invariante par la symétrie par rapport à ce centre. Une image ne peut avoir plus d un centre de symétrie. La symétrie de centre I est souvent notée s I. Théorème. Si une figure a deux axes de symétrie perpendiculaires alors elle a un centre de symétrie. Étant donné un point (fixe) O, la symétrie S de centre O associe à tout point M le point M tel que O soit le milieu du segment [MM ]. On peut écrire S (M) = M. On dit que M est l image de M par la symétrie S de centre O, ou que M est le symétrique de M par rapport à O. O est son propre symétrique par rapport à O. C est le seul point invariant par la symétrie de centre O.
III. LA SYMÉTRIE AXIALE OU ORTHOGONALE PAR RAPPORT À UN AXE. Le symétrique du point M par rapport à une droite est : - Le point M lui-même si M est sur. - Le point M tel que soit la médiatrice du segment [MM ]. Une figure possède un axe de symétrie si elle est globalement invariante par la symétrie orthogonale par rapport à un axe. Lorsqu une figure est sa propre image par une symétrie, on dit que est un axe de symétrie. Une figure et son image son superposable par pliage le long de l axe de symétrie. Étant donné une droite d, la symétrie S(d) d axe d associe à tout point M : S(d) est appelée symétrie d axe d ou symétrie orthogonale par rapport à d. S(d)(M) = M. On dit que M est l image de M par la symétrie S(d) d axe (d) ou que M est le symétrique de M par rapport à d. Les points situés sur l axe (d) sont les seuls points invariants par la symétrie axiale S d axe (d).
IV. ROTATIONS. Une rotation transforme une figure en une figure superposable. Cela signifie que la rotation conserve l alignement des points, les longueurs, les angles et les aires. L image du point M par la rotation de centre O et d angle α (alpha) est : - Le point M lui-même si M est confondu avec O. - Le point M tel que OM = OM et (OM, OM ) = α. Remarque : L angle α n est pas noté MÔM car il s agit d un angle orienté (sens des aiguilles d une montre ou sens inverse des aiguilles d une montre). Ici - 180 < α 180 plan orienté on décide du sens positif. Une symétrie centrale = rotation particulière (d angle 180 ) aussi appelée demi-tour. La rotation de centre O et d angle α est souvent notée r(o ; α) Orientation du plan. Soit O un point et C un cercle de centre O. On considère un point M variable se déplaçant sur C sans changer de sens. On dit que M effectue une rotation autour de O sur C. Il y a deux manières de déplacer M et donc, deux sens de rotation.
V. LES ISOMÉTRIES. Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs, les distances, les largeurs. C est donc un cas particulier de similitude. L image d une droite, les images de deux droites sécantes en un point, l image d un cercle, l image d un triangle par une symétrie centrale, une symétrie axiale, une translation et une rotation sont des isométries. Propriété 1 Les isométries transforment : - Des points alignés dans un ordre en points alignés dans le même ordre (conservation de l alignement). - Deux droites parallèles en deux droites parallèles (conservation du parallélisme). - Une intersection de droites en intersection des transformés des droites. - Un segment en segment de même longueur (conservation des longueurs). - Le milieu d un segment en milieu du segment transformé (conservation du milieu). - Un angle (non orienté) en angle de même mesure (conservation des angles). - Une figure en une figure de même aire (conservation de l aire). Propriété 2 Les symétries axiales et centrales, les translations, les rotations sont des isométries. Attention les homothéties ne sont pas des isométries, sauf lorsque k = 1 (cas de l identité) ou lorsque k = - 1 (cas d une symétrie centrale). Deux figures isométriques sont superposables, éventuellement après retournement (rotation). - Deux triangles sont isométriques si et seulement si leurs trois côtés sont de même longueur deux à deux. - Pour que deux triangles soient isométriques il suffit qu ils aient deux côtés de même longueur deux à deux et l angle défini par ces deux côté de même mesure. - Pour que deux triangles soient isométriques, il suffit qu ils aient un côté de même longueur et les deux angles ayant pour sommet les extrémités de ce côté de même mesure deux à deux.
VI. LES HOMOTHÉTIES. Une homothétie est une transformation géométrique d un espace affine dans lui-même, fixant un point O appelé centre de l homothétie. L image du point M par l homothétie de centre O et de rapport k est : - Le point M lui-même si M est confondu avec O. - Le point M tel que. Étant donné un point O et un réel strictement positif k, l homothétie h de centre O et de rapport k associe à tout point M le point M tel que OM = k OM et tel que si M O, M appartient à la demi-droite [OM). On dit que M est l image de M par l homothétie h de centre O et de rapport k ou que M est l homothétique de M par h. Ex : si k = 4 on a OM = 4 x OM. Image d une droite ou d un cercle par une homothétie. - L image d une droite par homothétie h est une droite qui lui est parallèle. - Les images de deux droites sécantes en I et de rayon R par l homothétie h sont deux droites sécantes en I = h(i). - L image du cercle de centre I et de rayon R par l homothétie h est le cercle de centre I = h(i) et de rayon R = k x R. Propriétés. - Étant donné un point O est un nombre réel strictement positif k différent de 1, O est le seul point invariant (par l homothétie de centre de et de rapport k). - Les homothéties de rapport k > 0 multiplient les distances par k. - Si k > 1, l effet d une homothétie de rapport k sur une distance est celui d un agrandissement. - Si 0 < k < 1, l effet d une homothétie sur une distance est celui d une réduction. - Les homothéties de rapport k 1 ne sont pas des isométries. Conséquences pour des figures usuelles. L image d un rectangle par une homothétie est un rectangle deux segments perpendiculaires sont transformés en deux segments perpendiculaires. L image d un losange par une homothétie est un losange c est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même longueur. Toutes les distances sont donc multipliées par le même nombre.