Calcul littéral 1 Notion de calcul littéral, établir et comprendre une expression littérale On est allé courrir dans la cour. Le parcourt était composé de deux parties. Une partie de 20 m que l on devait faire une seule fois et une boucle de 40 m que l on devait faire plusieurs fois. J ai fait 20 + 2 40 = 100m J ai fait 3 fois la boucle, j ai donc parcouru 3 40 + 20 = 140m Marcel a fait 5 fois la boucle, il a donc parcouru 5 40 + 20 = 220m Robert a fait 8 fois la boucle, il a donc parcouru 8 40 + 20 = 340m Firmin a fait 500 fois la boucle, il a donc parcouru... Hubert a fait 1000 fois la boucle, il a donc parcouru... En fait on constate que c est toujours la même méthode de calcul. Pour obtenir la distance parcourue, j ai multiplié le nombre de tours par 40 et j ai ajouté 20. Donc pour obtenir la distance parcourue il suffit de faire : distance parcourue = nombre de tours 40 + 20 Ainsi si on appelle t le nombre de tours, la distance parcourue est de distance parcourue = t 40 + 20 Définition 1 Une expression littérale, c est un calcul dans lequel apparaît une lettre qui représente un nombre indéfini.
Exemples 1 exemple en géométrie 1. la longeur du segment [AB] est x + x + 1 = 2 x + 1 2. l aire de ce rectangles est a b x x 1 a A D C B H b J G I 2 Suppression du signe multiplié et carré d un nombre Carré d un nombre Définition 2 Le carré d un nombre c est le produit du nombre par lui même. Exemples 2 Pour écrire le carré d un nombre on met un petit 2 en haut à droite du nombre : 5 au carré s écrit 5 2 5 2 = 5 5 = 25 17 2 = 17 17 = 289 Compléter : 1. 8 2 =... 2. 12 2 =... 3. 3 2 + 4 2 =... 4. 169 =... 2 Remarque 1 Il ne faut pas confondre avec la multiplication par 2. Suppression du signe
Théorème 1 On n est pas obligé d écrire un signe, sauf quand il est situé entre deux chiffres. Exemples 3 5+2 3 =11 : le signe ne peut pas être supprimé car il est placé entre deux chiffres. 8+2 x =15 : le signe peut être supprimé car il est placé entre un chiffre et une lettre. On peut l écrire 8+2x=15. 4 (9+3)=48 : le signe peut être supprimé car il est placé entre un chiffre et une parenthèse, on peut l écrire 4(9+3). 5+x y = 7 : le signe peut être supprimé car il est entre deux lettres. Peut-on supprimer le signe dans les calculs suivants? 1. 5 x 3 4 2. 9 (5 + 3 x) 3. 9 4 6 6 coller la feuille ici 3 Remplacer une lettre par un nombre dans un calcul littéral Exemples 4 On calcule le périmètre d un cercle en utilisant la formule suivante : périmètre=π d (d représente le diamètre du cercle) Calculer le périmètre d un cercle de diamètre 15 cm, Calculer le périmètre d un cercle de diamètre 8 cm. Définition 3 Quand on a une formule et que l on souhaite la calculer pour une certaine valeur des lettres, il suffit de remplacer les lettres par les valeurs qui sont données et de faire le calcul.
Exemples 5 Un professeur est payé en suivant une formule qui dépend de son âge et de ses primes. Salaire = 4, 05 I + p (1) I s appelle l indice, et p représente les primes. Calculer le salaire des professeurs suivants : 1. M. Meuris I = 650 et p = 200 2. M. Dieudonné I=500 et p = 400 3. M. Courtal I = 500 et p=300 4. Mme Guiller I = 550 et p = 200 Exemples 6 La distance parcourue sur un stade se calcule avec la formule : t est le nombre de tours parcourus. distance = 400 t (2) Quelle distance parcourt un coureur qui fait 5 tours de stade? Quelle distance parcourt un coureur qui fait 10 tours de stade? Quelle distance parcourt un coureur qui fait 12 tours de stade? Quelle distance parcourt un coureur qui fait 20 tours de stade? 4 Tester une égalité Définition 4 Tester une égalité c est remplacer la valeur de x par la valeur qui est donnée et contrôler si elle tombe juste. 5 Equation coller la feuille ici Exemples 7 Tester les égalités suivantes : x + 7 = 8 pour x = 0 pour x = 4 pour x = 1 pour x = 5 2x + 5 = 8 pour x = 8 pour x = 0 pour x = 1 vrai
Définition 5 équation Quand on cherche la valeur que doit prendre une lettre pour que le test soit vrai on dit que l on résout l équation. Exemples 8 Résoudre les équations suivantes x + 3 = 9 2x = 5 3x + 7 = 10 5x 8 = 37 x 2 = 16 x 2 + 5 = 174 2(x + 7) = 25 5x + 5x + 1 = 16 9x + 6 = 11 Exemples 9 une autre équation Quelle doit être la longueur d un rectangle dont la largeur est 5cm pour que son aire soit 45cm 2 6 Distributivité coller la feuille ici Dans l activité on a vu que l aire du grand rectangle était égale à la somme des aires des deux petits rectangles. Donc on peut écrire : Aire du rectangle ABCD = Aire du rectangle AEFD + Aire du rectangle EFCB Donc on peut écrire : k (a + b) = k a + k b Théorème 2 (en français) Le produit d un nombre par la somme de deux autres nombres est égal à la somme des produits du premier nombre par chacun des deux autres.
Théorème 3 (en mathématiques) Si on prend trois nombres, a, b et k Alors on peut toujours écrire : k (a + b) = k a + k b (3) Exemples 10 Vérifier que chaque égalité est vraie. 1. 5 (2 + 7) = 5 2 + 5 7 2. 4 8 + 4 6 = 4 (8 + 6) 3. 9(5 + 2) = 9 5 + 9 2 4. 5 (x + 2) = 5 x + 5 2 Exemples 11 Pour chaque égalité, dire si on a appliqué correctement la distributivité. 1. 5 (2 + 7) = 5 25 7 2. xy + 2x = x(2 + y) 3. 5 (x + 2) = 5 x 5 2 4. 17 (8 3) = 17 8 17 3 Remarque 2 La formule existe aussi avec un signe "-" à la place du signe "+" k (a b) = k a k b (4) Définition 6 Quand on utilise la distributivité dans le sens k (a + b) = k a + k b on dit que l on développe. Quand on utilise la distributivité dans le sens k a + k b = k (a + b) on dit que l on factorise. Remarque 3 A l aide de la distributivité on peut effectuer des calculs beaucoup plus simplement.
87 101 = 87 (100 + 1) = 87 100 + 87 1 = 8700 + 87 = 8787 999 32 = 32 (1000 1) = 32 1000 32 1 = 32000 32 = 31968 75 101 = 99 24 = 1001 42 = 782 101 =