COURS: TRIGONOMÉTRIE. 1 Relations trigonométriques CHAPITRE 4. Extrait du programme de la classe de troisième :

HPITRE 4 URS: TRIGNMÉTRIE Etrait du programme de la classe de troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Triangle rectangle : relations trigonométriques onnaître et utiliser dans le triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs de deu côtés du triangle. Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées : du sinus, du cosinus et de la tangente d un angle aigu donné de l angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente La définition du cosinus a été vue en quatrième. Le sinus et la tangente d un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à partir du quart de cercle trigonométrique. n établira les formules : cos 2 +sin 2 = et tan = sin cos. n n utilisera pas d autre unité que le degré décimal. Relations trigonométriques Définition : Soit un triangle rectangle en ; on notera α l angle. lors on a : cos α= ôté adjacent Hypoténuse = sin α= ôté opposé Hypoténuse = tan α= ôté opposé ôté adjacent = Illustration : ôté opposé à α ôté adjacent à α Hypoténuse α 3 ème Page /4 ours Trigonométrie

2 Pour quoi faire?... 2.... Pour calculer des longueurs Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d un des côtés ainsi que la mesure de l un des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deu autres côtés. Par eemple, supposons que dans le triangle rectangle en, on ait = 2 cm et α=30. lors on peut calculer la longueur du côté [ ] en utilisant la formule de la tangente : d où tan α= = tan α = 2 20.8 cm tan30 De même on peut calculer la longueur du côté [ ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en utilisant la formule du sinus : sin α= d où = sin α = 2 = 24 cm sin30 2.2...Pour calculer des mesures d angles Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deu des côtés, on peut calculer les mesures des deu angles aigus du triangle. Par eemple, supposons que dans le triangle rectangle en, on ait = 2 cm et = 6 cm. lors on peut calculer la mesure de l angle en utilisant la formule de la tangente : tan = = 2 6 = 0,75 d où, à l aide de la calculatrice et de sa touche tan tan, 36,9 omme les deu angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure approchée de l angle par : = 90 90 36,9= 53, 3 ème Page 2/4 ours Trigonométrie

3 Formules trigonométriques Propriété n : Soit la mesure, en degrés, d un angle aigu α quelconque. lors on a, pour toute valeur de : 0<cos < et 0<sin < Preuve : ela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le côté le plus long : supposons que soit la mesure en degrés d un angle α= dans un triangle rectangle en (voir figure page ). n a alors cos = cos α= avec < (car [ ] est l hypoténuse), et donc il vient cos <. De plus, comme et sont des longueurs, on a > 0 et > 0 ; par conséquent cos = cos α= > 0 Propriété n 2 : Soit la mesure, en degrés, d un angle aigu α quelconque. lors on a, pour toute valeur de : cos 2 + sin 2 = Remarques : n écrit cos 2 pour (cos ) 2, et ceci dans le but d éviter toute confusion avec cos 2, dans le cas où l on oublierait d écrire les parenthèses... ette formule peut permettre d obtenir le sinus d un angle aigu lorsque l on connaît son cosinus, et vice-versa. Preuve : Supposons que soit la mesure en degrés d un angle α= dans un triangle rectangle en (voir figure page ). n a alors cos = cos α= et sin = sin α=. insi on peut écrire que ( ) 2 ( ) 2 cos 2 + sin 2 = + = 2 2 + 2 2 = 2 + 2 2 r, le triangle étant rectangle en, le théorème de Pythagore nous dit que 2 + 2 = 2. n peut donc conclure : cos 2 + sin 2 = 2 + 2 2 = 2 2 = Propriété n 3 : Soit la mesure, en degrés, d un angle aigu α quelconque. lors on a, pour toute valeur de : tan = sin cos Preuve : Supposons que soit la mesure en degrés d un angle α= dans un triangle rectangle en (voir figure page ). n a alors cos = cos α= et sin = sin α=. insi on peut écrire que sin cos = = = = = tan 3 ème Page 3/4 ours Trigonométrie

4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi? Hipparque de Nicée -90/-20 elui que l on peut considérer comme le père historique de la trigonométrie (trigonos = triangle, et metron = mesure en grec) est sans doute HIPPRQUE DE NI- EE, brillant astronome grec de l antiquité (né dans l actuelle Turquie au IIème siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (donnant des valeurs de ce que l on appelle aujourd hui des sinus d angles), et qui s en servit pour recenser les positions eactes de plus de 000 étoiles au moyen de l une de ses inventions, l astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres sur l horizon). es mesures d angles permirent l essor de la navigation, qui nécessite de connaître précisément la position des étoiles sur la voûte céleste. Il est à noter que c est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés, empruntée au abyloniens, toujours d actualité aujourd hui. PTLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et compléta l oeuvre d HIPPRQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, intitulé l lmageste, traité complet d astronomie, compilant le savoir scientifique des Grecs de l antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques etrêmement précises. Ptolémée 90/68 l Khwarizmi 780/850 Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout rabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien indien RYHT, mais surtout les mathématiciens arabes L KHWRIZMI et L WF ("inventeur" de la tangente) à agdad. L KHWRIZMI est un immense mathématicien, né dans l actuel uzbékistan au IXème siècle, et considéré comme le père de l algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son oeuvre majeure, intitulée Kitab al-mukhtasar fi Hisab al-jabr w al-muqàbala, traitant de la résolution des équations) L astronome et mathématicien allemand REGIMNTNUS, au XVème siècle, est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. près avoir pris connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie comme branche à part entière des mathématiques (aujourd hui on dirait même "pilier" des mathématiques!), indépendante de l astronomie, dans un traité fondateur intitulé De triangulis planis etspherici libri quinque, una cum tabuli sinuus, publié de façon posthume en 56. Regiomontanus 436/476 Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus et cosinus sont certainement celles les plus rencontrées dans les sciences! En astronomie (depuis l ntiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alternatif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hertziennes?), en mécanique, etc... 3 ème Page 4/4 ours Trigonométrie

HPITRE 4 FIHE D EXERIES : TRIGNMÉTRIE QUTIDIENNE EXERIE Un panneau routier Le panneau routier représenté ci-contre avertit le conducteur d une descente dangereuse en annonçant une déclivité de 0 %.. D après vous, que signifie concrètement ce panneau? 2. n a la situation suivante : 00 m 0 m α a) ombien vaut l angle α? b) Sachant que la descente est longue de 3700 mètres, quelle sera la dénivellation totale? EXERIE 2 Le théodolite L instrument représenté ci-contre, utilisé en topographie, est un théodolite ; c est un appareil posé sur un trépied que le géomètre epert utilise pour mesurer des angles et des distances sur un terrain, une parcelle. L opérateur peut utiliser cet appareil pour mesurer l altitude d un point donné ; par eemple, on a schématisé la situation suivante, où est l emplacement de l oeil de l observateur (lunette du théodolite) : H β α n connaît l altitude du point : la distance H vaut,85 m. Le théodolite permet de mesurer les mesures des angles α et β : on a ainsi α=2 et β=37.. ompléter : tan α=......... et tan β=......... 2. Démontrer que l on a H tan α = H tan β 3. En déduire la valeur de H. 4. ombien vaut la distance H? 3 ème Page /2 Fiche d eercices trigonométrie

EXERIE 3 Goooooooooooaaaaaaaal!!!! Sur un stade de football, le point de penalty est situé à m de la ligne de but. Les buts ont une largeur de 7,32 m.. Faire un dessin pour représenter la situation. n appellera P le point de penalty, et les deu poteau de but, et I le point situé au milieu des deu poteau. 2. Quel est l angle de tir d un footballeur lorsqu il tire un penalty? EXERIE 4 La pyramide de Kheops La pyramide de Kheops, en Egypte, est une pyramide dont la base est un carré DE de 230 mètres de côté, de centre H. Le sommet de la pyramide culmine à 37 mètres d altitude.. Faire un dessin en perspective cavalière. 2. alculer les longueurs H (demi-diagonale de la base) et (longueur d une arète). 3. alculer la mesure au degré près de l angle H 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices trigonométrie

HPITRE 5 URS : ERITURES LITTÉRLES ; IDENTITÉS REMRQULES Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Écritures littérales ; identités remarquables Factoriser des epressions telles que : (+ )(+ 2) 5(+ 2) ; (2+ ) 2 + (2+ )(+ 3) onnaître les égalités : (a+ b)(a b)=a 2 b 2 ; (a+ b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2 ; (a b) 2 = a 2 2ab+ b 2. et les utiliser sur des epressions numériques ou littérales simples telles que : 0 2 = (00+) 2 = 00 2 + 200+ ; ( + 5) 2 4 = ( + 5) 2 2 2 = (+ 5+2)(+ 5 2) La reconnaissance de la forme d une epression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travau s articuleront sur deu aes : utilisation d epressions littérales pour des calculs numériques ; utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes. Les activités viseront à assurer la maîtrise du développement d epressions simples ; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l autonomie des élèves que dans des situations très simples. n consolidera les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 0. Développer un produit Définition : Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique Rappel : une somme algébrique est une suite d additions et de soustractions, impliquant des nombres et/ou des lettres Nous avons, pour réaliser cela, plusieurs moyens à disposition :. Distributivité simple Produit Somme algébrique k(a+ b) ka+ kb k(a b) ka kb 3 ème Page /3 ours calcul littéral

pplications et eemples : alcul mental : 3 99 = 3 (00 ) = 3 00 3 = 300 3 = 287 25 04 = 25 (00+4) = 25 00+25 4 = 2500+00 = 2600 Développement d une epression littérale : 3(5a+ 7) = 3 5a+ 3 7 = 5a+ 2 2(5 4) = 2 5 ( 2) 4 = 0+8.2 Distributivité double Produit Somme algébrique (a+ b)(c+ d ) ac+ ad+ bc+ bd pplications et eemples : Développement d une epression littérale : (3 a)(4a+ 2) = 3 4a + 3 2 a 4a a 2 = 2a+ 6 4a 2 2a = 4a 2 + 0a+ 6 (3 2)( 4) = 3 + 3 ( 4) 2 2 ( 4) = 3 2 2 2+8 = 2 2 + 2 : Pour ne pas se tromper dans les signes, il est utile de se souvenir que, par eemple, 3 2 est la somme de 3 et de 2, et que 4 est la somme de et de 4. insi, pour le calcul précédent, on a : (3 2)( 4) = (3+ ( 2))(+( 4))=(3) + (3) ( 4) + ( 2) + ( 2) ( 4) =....3 Identités remarquables pplications et eemples : Produit Somme algébrique arré d une somme (a+ b) 2 a 2 + 2ab+ b 2 arré d une différence (a b) 2 a 2 2ab+ b 2 Produit d une somme par une différence (a b)(a+ b) a 2 b 2 alcul mental : 0 2 = (00+) 2 = 00 2 + 2 00+ 2 = 0000+200+ = 020 9 2 = (20 ) 2 = 20 2 2 20+ 2 = 400 40+ = 36 39 4 = (40 )(40+) = 40 2 2 = 600 = 599 Développement d une epression littérale : (y+ 7) 2 = y 2 + 2 y 7+7 2 = y 2 + 4y+ 49 ( 3) 2 = 2 2 3+ (3) 2 = 6+ 9 2 (20 8)(20+8) = 20 2 (8) 2 = 400 64 2 2 Factoriser une somme algébrique Définition : Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit Développer En fait, pour résumer : Produit Somme algébrique Factoriser 3 ème Page 2/3 ours calcul littéral

2. vec un facteur commun n utilise la propriété de simple distributivité, mais "à l envers" : Somme algébrique Produit ka+ kb k(a+ b) ka kb k(a b) Dans les sommes algébriques de gauche, il y a deu termes, chacun étant un produit de deu facteurs. omme k se retrouve dans les deu termes, on dit que c est un facteur commun au deu termes. n dit également que l on a "mis k en facteur". pplications et eemples : alcul mental : 3 62+3 38 = 3 (62+38) = 3 00 = 300 8. 34.8 8. 34.8 = (8. 8.) 34.8 = 0 34.8 = 348 Factorisation d une epression littérale grâce à un facteur commun : 4a 2 + 3a = 4 a a+ 3 a = a(4a+ 3) (+ 7)(5 4) 2(5 4) = (5 4) (+ 7 2) = (5 4)(+ 5) (+ 3) 2 5(+ 3) = (+ 3) (+ 3 5) = (+ 3)( 2) 2.2 vec les identités remarquables Là aussi, on utilise les identités remarquables vues au paragraphe.3, mais "dans l autre sens" : Somme algébrique Produit a 2 + 2ab+ b 2 (a+ b) 2 a 2 2ab+ b 2 (a b) 2 a 2 b 2 (a b)(a+ b) pplications à la factorisation d epressions littérales : y 2 + 4y+ 4 = y 2 + 2 y 2 + 2 2 = (y+ 2) 2 9 2 6+ = (3) 2 2 3 + 2 = (3 ) 2 (+ 5) 2 9 = (+ 5) 2 3 2 = [(+ 5) 3] [(+ 5)+3] = (+ 2) (+ 8) 3 ème Page 3/3 ours calcul littéral

HPITRE 5 FIHE D EXERIES : FTRISTIN EXERIE Factoriser les epressions suivantes en mettant en facteur : =3 8 =5 2 2 =( 2) 3 D=4 2 ( 3) E =6 3 EXERIE 2 Factoriser les epressions suivantes en mettant 3 en facteur : =3( 3)+8( 3) =5( 3) 2 ( 3) =(+ 2)( 3)+3( 3) D=( 3) 2 2( 3) E =(4 6) 2( 3) F =( 3) 2 ( 3) EXERIE 3 Factoriser les epressions suivantes en utilisant un facteur commun : =3( 2)+(+ 3)( 2) =5( 3) (2+ ) =(+ 5) 2 + ( 5)(+ 5) D=(7+ ) 2(7+ ) 2 E =(+ 9)( 5)+2(6 30) EXERIE 4 ompléter les identités remarquables suivantes : ( 7) 2 =.............................. (2...) 2 =... 4+ (...+8) 2 = 25 2 +...+...... (+...)(...) =... 8 (...+...) 2 = 4 2 + 2+ 9 (......) 2 = 2 8+ 6 (......)(...+...) = 9 2 36 EXERIE 5 Factoriser en utilisant une identité remarquable : = 2 + 0+ 25 =00 25 2 = 2+ 36 2 D=(+ 7) 2 E =6 2 8+ F =49 (2+ 3) 2 3 ème Page / Fiche d eercices: factorisation

HPITRE 5 FIHE D EXERIES : FTRISTIN (NIVEU 2) EXERIE Factoriser les epressions suivantes : =(3 ) 2 9 =4 2 ( 5) 2 =4 2 20+ 25 D = 4 2 + + E =(2+ 3) 2 (5 ) 2 F =8+4 2 + 36 ( G =00 (3+ 0) 2 H= + 2) 3 2 ( 3 + 2 3 I =9(+ ) 2 36 J = 4 9 (2+ 2 )2 K = 2 9+( 3)(2+ 5) L =5(4 )+6 2 ) 2 M= 2 25+ 5 N =4 2 + 4+ (2+ )( 5) EXERIE 2 omme au brevet... ntilles 2004 n donne l epression D = (3+ 5)(6 )+(3+ 5) 2.. Développer D, puis réduire. 2. Factoriser D. 3. alculer D pour = 3. mérique du sud novembre 2002 n considère l epression : D = (3 5)(5 2) (3 5) 2.. Développer puis réduire D. 2. Factoriser D. 3. alculer D pour =. Martinique septembre 2002 n donne D = (5 3) 2 8.. Développer et réduire D. 2. Factoriser D. 3. alculer D pour = 2 3 miens 97. Développer et réduire D = (a+ 5) 2 (a 5) 2. 2. n pose D = 0 005 2 9 995 2. Sans utiliser la calculatrice, en se servant de la question, trouver la valeur de D (indiquer les étapes du calcul). Nouvelle-alédonie décembre 2002 Soit l epression = 9 2 49+(3+ 7)(2+ 3).. Développer l epression. 2. Factoriser 9 2 49, puis l epression. uest 2002. Développer et réduire P = (+ 2)(+ 2). 2. Factoriser l epression : Q = (+ 7) 2 25. 3. est un triangle rectangle en ; désigne un nombre positif ; = + 7 ; = 5. Faire un schéma et montrer que 2 = 2 + 4+ 24. 3 ème Page / Fiche d eercices factorisation 2

HPITRE 5 FIHE D EXERIES : FTRISTIN (NIVEU 3) Premier eemple n se donne l epression = 2 6+ 5 Quelques factorisations plus subtiles.... Montrer que l on a, pour tout nombre, = ( 3) 2 4. 2. En déduire une factorisation de Deuième eemple n se donne l epression = 9 2 + 2 7. Montrer que l on a, pour tout nombre, = (2+ 3) 2 6. 2. En déduire une factorisation de Troisième eemple n se donne l epression = 4 2 + 20+ 9. ompléter : 4 2 + 20+...=(......+...) 2 2. En déduire que l on peut écrire sous la forme = (...+...) 2... 3. En déduire une factorisation de. lasse Page / Fiche d eercices

HPITRE 6 URS : GÉMÉTRIE DNS L ESPE Etrait du programme de la classe de 3 ème : Sphère NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES - Savoir que la section d une sphère par un plan est un cercle. - Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. - Représenter une sphère et certains de ses grands cercles. n mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de points diamétralement opposés. n eaminera le cas particulier où le plan est tangent à la sphère. n fera le rapprochement avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour les questions relatives au méridiens et au parallèles. Problèmes de sections planes de solides - onnaître la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. - onnaître la nature des sections de cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son ae. - Représenter et déterminer les sections d un cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle à la base. Des manipulations préalables (sections de solides en polystyrène par eemple) permettent de conjecturer ou d illustrer la nature des sections planes étudiées. e sera une occasion de faire des calculs de longueur et d utiliser les propriétés rencontrées dans d autre rubriques ou au cours des années antérieures. À propos de pyramides, les activités se limiteront à celles dont la hauteur est une arête latérale et au pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par ailleurs. 3 ème Page /5 ours Géométrie Espace

Sphère et boule ; section d une sphère par un plan Définitions : Si est un point de l espace et R est un nombre positif donné : La sphère de centre et de rayon R est l ensemble des points de l espace situés à une distance de eactement égale à R. La boule de centre et de rayon R est l ensemble des points de l espace situés à une distance de inférieure ou égale à R. Un grand cercle d une sphère de centre et de rayon R est un cercle de centre et de rayon R. N R R R,, sont des points de la sphère, et est le centre de cette sphère, qui a pour rayon R = = =. Le segments [N S] est un diamètre de la sphère. Deu grands cercles de la sphère sont tracés ici, dont l un d eu a pour diamètre [NS] S Si on imagine que cette sphère représente le globe terrestre, alors les points N et S seraient les pôles Nord et Sud ; le grand cercle qui passe par les deu pôles serait un méridien, et l autre grand cercle (situé dans un plan perpendiculaire à l ae des pôles) serait l équateur. Tout point de la surface du globe terrestre est repéré par deu nombres, appelés longitude (calculée par rapport à un méridien bien particulier, celui de Greenwich) et latitude (calculée par rapport à l équateur) : voir par ailleurs. Propriétés : ire d une sphère, volume d une boule Si R est un nombre positif donné : L aire d une sphère de rayon R est égale à 4πR 2. Eemples : Le volume d une boule de rayon R est égal à 4 3 πr 3. L aire d une sphère de rayon 7 cm est égale à : 4 π 7 2 = 96π 66 cm 2 le volume de la boule de même rayon 7 cm est égal à : 4 3 π 73 = 372 3 π 437 cm 3 Propriété : La section d une sphère par un plan est un cercle. Plus précisément, considérons une sphère de centre et de rayon R. n se donne un plan P, et on appelle [NS] le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan P. Enfin, soit H le point d intersection de (NS) et de P. n dit que H est la distance du centre au plan P. Plusieurs cas se présentent, selon la valeur de la distance H : 3 ème Page 2/5 ours Géométrie Espace

lorsque 0< H < R, la section de la sphère de centre et de rayon R par le plan P est un cercle de centre H. Pour tout point M de ce cercle, le triangle HM est rectangle en H. alculons le rayon r de ce cercle en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle HM rectangle en H : M 2 = H 2 + H M 2 soit R 2 = H 2 + r 2 donc r = R 2 H 2 Eemple : Soit S la sphère de centre et de rayon R = 5 cm coupée par un plan P tel que H = 3 cm. La section obtenue est le cercle de centre H et de rayon r = 4 cm, car r = R 2 H 2 = 5 2 3 2 = 6=4. Fig. : cas où 0< H < R lorsque H = 0, lorsque H = R, lorsque H > R, le cercle de section a même centre et même rayon que la sphère : c est alors un grand cercle de la sphère, il partage la sphère en deu hémisphères (voir Fig. 2) le cercle de section a pour rayon 0 : il est réduit à un point. n dit que le plan P est tangent à la sphère en S (voir Fig. 3). le plan P ne coupe pas la sphère. Fig. 2 : cas où H = 0 Fig. 3 : cas où H = R 3 ème Page 3/5 ours Géométrie Espace

2 Section d un cube, d un pavé, d un cylindre par un plan La section d un cube par un plan parallèle à une face est un carré : La section d un cube par un plan parallèle à une arète est un rectangle : La section d un pavé par un plan parallèle à une face est un rectangle : La section d un pavé par un plan parallèle à une arète est un rectangle : 3 ème Page 4/5 ours Géométrie Espace

La section d un cylindre par un plan parallèle à la base est un cercle de même rayon que le cercle de base : La section d un cylindre par un plan parallèle à l ae est un rectangle : 3 Section d une pyramide, d un cône par un plan La section d un cône par un plan parallèle à la base est un cercle : Voici la section d une pyramide par un plan parallèle à la base : e cercle de section est une réduction du cercle de base ; le coefficient de réduction k est égal à k =. Le rayon de ce cercle de section est alors égal à k R Le polygone de section D est une réduction du polygone de base D ; le coefficient de réduction k est égal à k = E E = E E =... Les longueurs des côtés de ce polygone de section sont alors égales à celles des côtés du polygone de base, multipliées par k : = k, etc. 3 ème Page 5/5 ours Géométrie Espace

HPITRE 5 DÉUVERTE : LE GLE TERRESTRE Figure : W N S E La Terre est assimilable à une boule d environ 6400 km de rayon. ppelons le centre de la Terre. Le point N représente le pôle Nord, le point S le pôle Sud. Sur la sphère représentant la surface terrestre, un grand cercle de centre passant par N et S est appelé méridien. Le grand cercle de centre et tracé dans un plan perpendiculaire au diamètre [N S] est, lui, appelé l équateur. Ici est tracé le méridien qui sert de référence, appelé méridien de Greenwich (car il passe par Greenwich, petite ville située non lion de Londres) haque point à la surface de la Terre peut être repéré grâce à deu nombres : la longitude et la latitude. La longitude est calculée par rapport au méridien de Greenwich, la latitude par rapport à l équateur ; par eemple, le point sur cette figure, qui représente la position de la ville de hicago, a pour longitude = 87, et pour latitude = 4 Figure 2 : W N S I E Le cercle de centre et passant par, parallèle au plan de l équateur, est appelé parallèle, justement. e n est pas ce que l on appelle un grand cercle (car il n a pas pour centre). La situation d Istanbul, ville située sur le même parallèle que hicago (et qui a donc la même latitude, mais pas la même longitude), est représentée par le point I. Les question à traiter sont les suivantes :. onnaissant les coordonnées (longitude et latitude) des deu villes, quel est le chemin le plus court pour les joindre en avion? en suivant le parallèle passant par I et? (voir figure 2), ou en suivant le grand cercle passant par I et? (voir figure 3) 2. Quelle est l aire totale, en km 2, de la surface terrestre? Quel est le volume total, en km 3, de la Terre? (donner les réponses sous forme scientifique) Figure 3 : N Voici ce dont vous avez besoin pour répondre à ces questions : oordonnées géographiques de hicago : Latitude 4 Nord, longitude 87 uest. I oordonnées géographiques d Istanbul : Latitude 4 Nord, longitude 28 Est. W E = 4200 km, I = 79 Formule pour calculer la longueur d un arc de cercle défini par un angle de mesure α : L= 2 π R α 360 ire d une sphère de rayon R : = 4 π R 2. Volume d une boule de rayon R : V = 4 3 π R 3 S 3 ème Page / ctivité de découverte: le globe terrestre

HPITRE 6 FIHE D EXERIES : SETINS PLNES EXERIE L unité de longueur est le centimètre. n considère le pavé droit DE FG H ci-contre, dans lequel = 6, D = 3 et E = 4 ; de plus, M est un point de l arête [] tel que M =.. Quelques calculs : a) alculer le volume, en cm 3, de ce pavé droit. b) alculer les longueurs, E et M. E H F G c) alcule une mesure, au degré près, des angles MG et E. 2. Quelques sections : a) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à la face FG et passant par M. b) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à l arête [F ] et passant par et. D M c) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à l arête [F ] et passant par M et. EXERIE 2 L unité est le centimètre. n considère le cylindre cicontre, dont la base a pour rayon R = 5 et dont la hauteur est h = 8. Les points M et N sont sur la circonférence du disque formant la base supérieure, et MN est un angle droit. N M. alculer la longueur M N, puis la mesure de l angle M au degré près. 2. Tracer en vraie grandeur : P a) la section de ce cylindre par le plan passant par P et parallèle à la base. b) la section de ce cylindre par le plan passant par M et N, et parallèle à l ae du cylindre. 3 ème Page /2 Fiche d eercices: sections planes

EXERIE 3 n considère une pyramide de hauteur S = 0 cm et dont la base est un triangle tel que = 4,5 cm, = 7,5 cm et = 6 cm. S. Montrer que est un triangle rectangle ; calculer son aire. 2. alculer la valeur eacte du volume de cette pyramide. 3. Soit le point de l arête [S] tel que S = 8 cm. n coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et passant par ce point. n obtient les points sur [S ] et sur [S ]. a) Dessiner en vraie grandeur le triangle, en donnant ses dimensions précises. De quelle nature est ce triangle? Quelle est son aire? b) La pyramide S est une réduction de la pyramide S ; quel est le rapport de cette réduction? c) alculer le volume de la pyramide S. n donnera la valeur eacte puis la valeur arrondie au mm 3. EXERIE 4 n considère un cône de révolution de hauteur S=8cm et dont la base est un disque de 3 cm de rayon. et sont deu points diamétralement opposés sur la circonférence du disque de base. S. De quelle nature est le triangle S? alculer la mesure au degré près de l angle S. 2. alculer la valeur eacte du volume de ce cône. 3. Soit le milieu de [S]. n considère la section du cône par le plan parallèle à la base et passant par ce point. a) Dessiner en vraie grandeur cette section. b) Le petit cône est une réduction du grand cône ; donner le rapport de cette réduction, et en déduire la valeur eacte du volume du petit cône. 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices: sections planes

HPITRE 6 FIHE D EXERIES : LES SLIDES. Voici plusieurs solides, représentés en perspective cavalière : H G E F 2 3 E D D H E F G F 4 D D 5 6 E D F H G 7 E D E 8 F D 9 a) Donner le nom de chacun d entre eu. b) En ce qui concerne les polyèdres (solides de l espace délimité par des faces polygonales), compléter le tableau suivant : Solide Nombre de sommets S Nombre d arêtes Nombre de faces F Voyez-vous une relation entre le nombre d arêtes, le nombre des sommets et le nombre de faces?........................................................................................................... est ce que l on appelle la relation d Euler, valable pour tous les polyèdres "sans trous". 3 ème Page /2 Fiche d eercices: les solides

2. alculez le volume de chacun des solides ci-dessous, en vous souvenant de cette "règle" simple : Pour tous les solides "droits" (prismes, cubes, pavés, cylindres), le volume est égal à l aire de la base multipliée par la hauteur du solide : V = h Pour tous les solides "pointus" (cônes, pyramides, tétraèdres), le volume est égal au tiers de l aire de la base multipliée par la hauteur du solide : V = 3 h H G E F h D R = 4, E = 3, D = 2,5 V =.................................... R = 3cm, h= 5cm V =.................................... E D h D D est un carré de côté 8 cm, h= cm V =.................................... est rectangle en, = 5 cm, = 4 cm, D = 7 cm V =.................................... F E h D R est rectangle et isocèle en, = = F = 5 cm V =.................................... R = 6 cm, h= 8 cm. V =.................................... 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices: les solides

HPITRE 6 FIHE D EXERIES : IRE ET VLUME DE L SPHÈRE ire d une sphère et volume d une boule L aire d une sphère de rayon R est égale à 4πR 2. Le volume d une boule de rayon R est égal à 4 3 πr3. Volume d un cylindre et d un cône Rappel de cours : Le volume d un cône de rayon R et de hauteur h est égal à πr2 h 3 Le volume d un cylindre de rayon R et de hauteur h est égal àπr 2 h. EXERIE alculer l aire et le volume de chacun des solides suivants : as n : = 25 cm as n 2 : = 3476 km as n 3 : M =,2 m M EXERIE 2 alculer le volume de chacun des solides suivants : as n : = 2 cm as n 2 : = = 5 cm as n 3 : P = 5 mm, N = 2 mm N P EXERIE 3. Quel est le rayon d une sphère dont l aire est égale à 200 cm 2? Quel est le volume que peut contenir cette sphère? 2. Puis-je verser le contenu (liquide) d une sphère de 5 cm de rayon dans un cylindre creu de 5 cm de rayon et de 7 cm de hauteur? 3. Un verre parallélépipédique (longueur 3cm, largeur 3 cm, hauteur 8 cm) contient 63 ml d eau. Quelle est la hauteur d eau dans ce récipient? n y plonge deu glaçons sphériques de 2 cm de diamètre. L eau va-t-elle déborder du verre? 3 ème Page / Fiche d eercices: aire et volume de la sphère

HPITRE 6 EXERIE : SETINS PLNES DE L SPHÈRE Ici on voit que le plan vient sectionner la sphère de centre de rayon R selon un cercle ;. alculer le rayon de ce cercle de section : a) dans le cas où H = 2 cm et R = 5 cm, b) dans le cas où N H = 2 cm et R= 0 cm, c) dans le cas où R = 5 cm et HM = 26, 2. Quelle est la distance du plan de section au centre de la sphère : a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm, b) dans le cas où R = 2 cm et HM = 35 HPITRE 6 EXERIE : SETINS PLNES DE L SPHÈRE Ici on voit que le plan vient sectionner la sphère de centre de rayon R selon un cercle ;. alculer le rayon de ce cercle de section : a) dans le cas où H = 2 cm et R = 5 cm, b) dans le cas où N H = 2 cm et R= 0 cm, c) dans le cas où R = 5 cm et HM = 26, 2. Quelle est la distance du plan de section au centre de la sphère : a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm, b) dans le cas où R = 2 cm et HM = 35

nnee : réduction et agrandissement d une figure, d un solide Définition : ppliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c est multiplier les dimensions de cette figure (ou de ce solide) par un nombre k supérieur à. ppliquer une réduction à une figure ou à un solide, c est multiplier les dimensions de cette figure (ou de ce solide) par un nombre k compris entre 0 et. Par eemple : D D est une réduction de rapport k = 0,5 d un rectangle D de dimensions 6 cm et 8 cm ; toutes les dimensions du rectangle D sont multipliées par 0,5 : D n remarque que, si les dimensions du rectangle sont divisées par 2 (c est-à-dire multipliées par 0,5), l aire du rectangle est, elle, divisée par 4 (c est-à-dire multipliée par 0,25). Le cube D E F G H est un agrandissement de rapport k = 2 d un cube DE FG H de côté 2 cm : toutes les dimensions de ce cube sont multipliées par 2. n remarque que, si les dimensions du cube sont multipliées par 2, le volume du cube est, lui, multiplié par 8. H D D H E E G F G F Propriété : Lorsque l on réduit ou agrandit une figure d un rapport k, alors l aire de cette figure est multipliée par k 2. Lorsque l on réduit ou agrandit un solide d un rapport k, alors le volume de ce solide est multiplié par k 3. Par eemple : Si on agrandit une figure d un rapport 3, alors l aire de cette figure est multipliée par 3 2 = 9. Si on réduit un solide d un rapport 0,2, alors le volume de ce solide est multiplié par 0,2 3 = 0,008 3 ème Page / nnee ours Géométrie Espace

HPITRE 7 URS : EQUTINS ET INÉQUTINS Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Équations et inéquations du er degré rdre et multiplication Inéquation du premier degré à une inconnue Résolution de problèmes du premier degré ou s y ramenant Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l ordre inverse si a est strictement négatif. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses solutions sur une droite graduée. Résoudre une équation mise sous la forme. = 0, où et désignent deu epressions du premier degré de la même variable. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation [ou un système de deu équations] du premier degré. n pourra s appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres. L étude du signe d un produit ou d un quotient de deu epressions du premier ordre de la même variable est, elle, hors programme. Les problèmes sont issus des différentes parties du programme. comme en classe de 4e, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l équation et interprétation du résultat. Equations du premier degré Définitions : Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l équation. Une solution de cette équation est une valeur de l inconnue pour laquelle l égalité est vraie. Résoudre une équation, c est en trouver toutes les solutions. Par eemple 3 7=5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est 3 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5. 4 est une solution de l équation 3 7=5 car, lorsque je remplace l inconnue par 4 dans l équation, l égalité est vérifiée : 3 4 7= 2 7=5 2 n est pas une solution de l équation 3 7 = 5 car, lorsque je remplace par 2, l égalité n est pas vérifiée : 3 2 7=6 7= 5!! 3 ème Page /3 ours Equations Inéquations

Règles de manipulation des égalités : Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède eactement les mêmes solutions que l équation initiale. Pour ce faire, nous avons deu règles à notre disposition : Règle n : n ne change pas l ensemble des solutions d une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre au deu membres de l équation. Règle n 2 : n ne change pas l ensemble des solutions d une équation en multipliant (ou divisant) les deu membres de l équation par un même nombre non nul. Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue (ou s y ramenant). e sont des équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s écrire sous la forme a = b, avec a 0. ette équation a alors une unique solution, qui est b a. Par eemple, l équation 3 5=7 est une équation du premier degré : résolvons-la En utilisant la règle, on voit que l on peut ajouter 5 au deu membres de l équation : 3 5+5=7+5, c est-à-dire 3 = 2. En utilisant la règle 2, on voit que l on peut diviser par 3 chaque membre de l équation : 3 3 = 2, c est à dire = 4. 3 on conclut par une phrase : l équation 3 7=5 admet une unique solution, qui est 4. 2 Equations-produits Définition : Une équation-produit est une équation qui s écrit sous la forme (a+ b)(c+ d)=0 (il peut y avoir plus de deu facteurs) Remarque : cette équation (a+b)(c+d)= 0 est une équation du second degré ; en effet, si on développait le membre de gauche, l inconnue apparaîtrait avec une puissance 2. Prenons par eemple l équation (+ )(3 6)=0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l équation 3 2 3 6=0. Mais nous ne savons pas encore, en Troisième, résoudre ce type d équation... omment faire? Propriété : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l un des facteurs est nul. utrement dit, dire que " = 0" équivaut à dire que "= 0 ou = 0". Méthode : insi, le produit (a+ b)(c+ d) sera nul si, et seulement si, l un des facteurs ((a+ b) ou (c+ d)) est nul : (a+ b)(c + d )=0 si et seulement si a+ b= 0 ou c + d = 0. n se ramène ainsi à la résolution de deu équations du premier degré!! Propriété : Les solutions de l équation (a+b)(c+d)= 0 sont les solutions de chacune des équations a+b= 0 et c+ d = 0 Par eemple : résolvons l équation (3 7)(2 + 5) = 0 Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l un des facteurs est nul. 3 7=0 ou 2+ 5=0 3 = 7 ou 2= 5 = 7 3 ou = 5 2 insi, l équation (3 7)(2+ 5)=0 admet deu solutions, qui sont 7 3 et 5 2 3 ème Page 2/3 ours Equations Inéquations

3 Inéquations du premier degré Définitions : Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l inéquation. Une solution de cette inéquation est une valeur de l inconnue pour laquelle l inégalité est vraie. Résoudre une inéquation, c est en trouver toutes les solutions. Par eemple 3 7>5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) est 3 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe >, donc) est 5. 6 est une solution de l inéquation 3 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue par 6 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : 3 6 7=8 7=>5 0 est une autre solution de l inéquation 3 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue par 0 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : 3 0 7=30 7=23>5 2 n est pas une solution de l inéquation 3 7 > 5 car, lorsque je remplace par 2, l inégalité n est pas vérifiée : 3 2 7=6 7= 5!! Règles de manipulation des inégalités : Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle inéquation obtenue après transformation possède eactement les mêmes solutions que l inéquation initiale. Pour ce faire, nous avons trois règles à notre disposition : Règle n : n ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre au deu membres de l inéquation. Règle n 2 : n ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deu membres de l inéquation par un même nombre strictement positif. Règle n 3 : n ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deu membres de l inéquation par un même nombre strictement négatif, à condition de changer le sens de l inégalité. Par eemple, l inéquation 3 5 > 7 est une équation du premier degré : résolvons-la En utilisant la règle, on voit que l on peut ajouter 5 au deu membres de l inéquation : 3 5+5>7+5 3 > 2. En utilisant la règle 2, on voit que l on peut diviser par 3 chaque membre de l inéquation : 3 3 > 2 3 > 4. n conclut par une phrase : l inéquation 3 7>5 admet pour solutions les nombres strictement supérieurs à 4. n peut représenter l ensemble des solutions sur un ae, en hachurant la partie de la droite graduée constituée des nombres qui ne sont pas solutions : I 4 solutions ttention au sens du crochet! Le crochet n est pas tourné vers les solutions, car 4 n est pas solution de l inéquation 3 7>5. 3 ème Page 3/3 ours Equations Inéquations

HPITRE 7 FIHE D EXERIES : RÉSLUTINS D INÉQUTINS EXERIE Inégalités larges Notation : : Les symboles et signifient respectivement "supérieur ou égal à" et "inférieur ou égal à". Les inégalités suivantes sont-elles vraies ou fausses?. 3<5 V F 3<3 V F 3 5 V F 8 7 V F 3 3 V F 8< 7 V F 8 8 V F 8< 8 V F 8 0 V F EXERIE 2 Pour chacune des inéquations suivantes, cochez la ou les solutions éventuelles parmi les nombres proposés : + 7<3 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 3 < 5 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 2 4 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 2+ = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 6> 4 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 5 2+ 9 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 EXERIE 3 Repasser en rouge l ensemble des solutions des inéquations suivantes, et hachurer l ensemble des nombres qui ne sont pas solutions, comme dans l eemple ci-dessous : < 2 solutions I 2 > I 2 I 3 I < 0 I 3 I 3 ème Page /2 Fiche d eercices: inéquations

EXERIE 4 Résolutions d inéquations Pour résoudre une inéquation : Premier eemple 2 7< 3 2 7+7 < 3+7 n élimine le "-7" du premier membre en ajoutant 2< 4 7 à chaque membre 2 2 < 4 2 < 2 n isole en divisant chaque membre par 2. omme 2>0, on ne change pas le sens de l inégalité solutions I 2 n représente graphiquement l ensemble des solutions 5+ 4 5 + 4 Deuième eemple n élimine le "+" du premier membre en 5 5 5 5 5 5 retranchant à chaque membre n isole en divisant chaque membre par 5. omme 5<0, on change le sens de l inégalité. solutions I n représente graphiquement l ensemble des solutions Sur le même modèle, résolvez les inéquations suivantes (on présentera les ensembles de solutions à l aide d une phrase, puis à l aide d une représentation graphique) : a. 2+ 7> 5 b. 3+ 7 c. + 7<6 d. 2+ 3 6 5 e. 3( )< 9 f. 5 4 2 4 g. 2 3 > 8 5 h. 4 + 2 3 8 i. 3( 2) (2 7)<2+ j. 3( ) 3( 3+ 5) 0 k. 2 >2 (7+ ) l. 4+ 9 3(3+2) m. 3( )<5 (4+2) n. 3( ) 5 (4+2) EXERIE 5 Mise en inéquation La société L propose un abonnement téléphonique de 5 par mois et 0,20 par minute de communication. La société L propose un abonnement téléphonique de 4 par mois et 0,25 par minute de communication. n désigne par le nombre de minutes de communication par mois.. Eprimer en fonction de le montant d une facture de L, puis le montant d une facture de L. 2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir L? 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices: inéquations

HPITRE 8 URS : RINES RRÉES Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES alculs élémentaires sur les radicau (racines carrées) Racine carrée d un nombre positif. Produit et quotient de deu radicau Savoir que, si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a. Sur des eemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités : ( a ) 2 = a, a 2 = a. Déterminer, sur des eemples numériques, les nombres tels que 2 = a, où a désigne un nombre positif. Sur des eemples numériques, où a et b sont deu nombres positifs, utiliser les égalités : ab= a b, a b = a b La touche de la calculatrice, qui a déjà été utilisée en classe de quatrième, fournit une valeur approchée d une racine carrée. Le travail mentionné sur les identités remarquables permet d écrire ( )( des ) égalités comme : 2+ 2 =, ( ) 2= + 2 3+2 2. es résultats, que l on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d un nombre positif, permettent d écrire des égalités telles que : 45=3 5, 4 3 = 2 3, 5 = 5 5. n habituera ainsi les élèves à écrire un nombre sous la forme la mieu adaptée au problème posé. Définition Définition : Soit a un nombre positif. Il eiste un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est appelé racine carrée de a, et est noté a. Vocabulaire : Le symbole est appelé radical ; dans l epression a, a est appelé radicande. Par eemple : Il eiste un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c est 3. n a donc 9=3 Il eiste un unique nombre positif dont le carré est égal à 2, que l on note 2. e nombre n est ni un nombre décimal, ni un nombre rationnel ; on ne peut écrire sa valeur eacte que sous la forme 2, mais on peut en donner une valeur approchée à la calculatrice, en utilisant la touche 2 : 2,4423562 Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits ; voici la liste des premiers carrés parfaits : a 4 9 6 25 36 49 64 8 00 2 44 69 96 225 a 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 3 ème Page /3 ours racines carrées

Premières propriétés : Pour tout nombre a positif, on a ( a ) 2 { = a a Pour tout nombre a, on a 2 = a si a 0. a 2 = a si a 0. La preuve de ces égalités est directement reliée à la définition précédente, à savoir : a est le nombre positif dont le carré est égal à a, ce qui se traduit par ( a ) 2 = a a 2 est le nombre positif dont le carré est égal à a 2. Par eemple, pour a= 3, cela donne 3 2 = 9=3 ( a 2 = a si a 0.). Pour a= 5, cela donne ( 5) 2 = 25=5= ( 5) ( a 2 = a si a 0.) 2 Produit, quotient de racines carrées Propriété : Pour tous nombres positifs a et b, on a a b= a b Preuve ( : a ) 2= ( a ) ( a ) b b b = ( a a ) ( b ) b = ( a ) ( 2 b ) 2= a b r, par définition, a b est l unique nombre positif dont le carré est égal à a b. n a donc a b= a b Propriété : Pour tous nombres positifs a et b (b 0), on a Preuve : ( ) 2 ( ) 2 a a a a a a = = = ( b ) 2 = a b b b b b b a r, par définition, a a b = b b est l unique nombre positif dont le carré est égal à a. n a donc b a a b = b Eemples d utilisation : 2 8= 2 8= 36=6 45= 9 5= 9 5=3 5=3 5 9 9 6 = = 3 6 4 9 9 5 = = 3 5 5 3 27 = 3 27 = 9 = = 9 3 Un eercice important : Ecrire 45+2 5 3 20 sous la forme la plus simple possible. 45+2 5 5 20 = 9 5+2 5 5 4 5 = 9 5+2 5 5 4 5 = 3 5+2 5 5 2 5 = 3 5+2 5 0 5 = (3+2 0) 5 = 5 5 ttention : En règle générale, a+ b a+ b Voyez l eemple suivant : 6+9 6+ 9 ; en effet : 6+ 9=4+3=7 mais 6+9= 25=5 3 ème Page 2/3 ours racines carrées

3 Equation 2 = a Un résultat important : Si a > 0, l équation 2 = a a deu solutions, qui sont a et a Si a = 0, l équation 2 = a a une seule solution, qui est 0. Si a < 0, l équation n a aucune solution Preuve : Si a> 0 alors 2 = a 2 a= 0 2 ( a ) 2 = 0 ( a )( + a ) = 0 Un produit est nul si et seulement si au moins l un des facteurs est nul a= 0 ou + a= 0 = a ou = a Par eemple : l équation 2 + 4=0, qui équivaut à 2 = 4, n a pas de solution ; en effet, un carré est toujours positif. l équation 2 2 + 3 = 3+ 2, qui équivaut à 2 = 0, a une unique solution, qui est = 0. l équation 3 2 6=9, qui équivaut à 2 = 5, a deu solutions, qui sont 5 et 5. 4 omment éliminer le radical du dénominateur d une fraction? Premier eemple : n considère le nombre = 2 3+ 5 2 n va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 2. n obtient alors : = (2 3+) 2 5 2 = 2 3 2+ 2 = 2 6+ 2 2 5 2 0 Deuième eemple : 2 n considère le nombre = 2+ n va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par ( 2 ), qui est appelée epression conjuguée de ( 2 ). n obtient alors : ( ) 2 2 = ( ) ( ) = 2 2 ( ) 2+ 2 2 = 2 2 2 5 En géométrie Diagonale d un carré Soit D un carré de côté d 2 = 2 = 2 + 2 = 2 + 2 = +=2 d où d = = 2 D Hauteur d un triangle équilatéral Soit un triangle équilatéral de côté h 2 = H 2 = 2 H 2 = 2 ( ) 2= 2 4 = 3 4 d où 3 h= H = 4 = 3 = 3 4 2 d = 2 45 30 h= 60 H 3 2 n en déduit les valeurs eactes des cosinus, sinus et tangentes des angles de 30, 45 et 60 degrés : Mesure de l angle (en degrés) 30 45 60 Sinus de l angle osinus de l angle Tangente de l angle 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 ème Page 3/3 ours racines carrées

HPITRE 8 FIHE D EXERIES : RINES RRÉES EXERIE alculer mentalement : =............ 0=............ 400=............ 0 000=............ 0,09=............ 800=............ 0,003 6=............ 5 20=............ 6 8 3 2=............ 25 =............ =............ 44+25=............ 2 8 8 =............ 2=............,44=............ ( ) 2 =............ ( ) 2= 4............,7 2 =............ 6+ 9=............ 00=............ 3 2 + 4 2 =............ 3 2 + 4 2 =............ 3 2 4 2 =............ ( 3+4 ) 2=............ EXERIE 2 alculer à l aide de la calculatrice : 36+64=............ 36+ 64=............ 36+64=............ 25 4=............ 25 4=............ 00 4 =............ 00 =............ 4 4 8=............ Toujours à la calculatrice, donner un arrondi au centième près des nombres suivants : 2+ 3............ 2+ + 5 2 3........................ + 2 + 2............ EXERIE 3 Ecrire plus simplement, après avoir développé et réduit les epressions numériques suivantes : Eemple : ( 3 2 ) 2 = 3 2 2 3 2+2 2 = 3 4 3+4=7 4 3 ( 3)( +3)=........................................................................................ (5+ 3) 2 =.................................................................................................. ( 2)(+ 2)=........................................................................................... ( 5 2) 2 =.................................................................................................. ( 5 3)( 5+ 3)=....................................................................................... ( 7+ 2) 2 =................................................................................................ EXERIE 4 Ecrire plus simplement les epressions numériques suivantes : Eemples : 20= 4 5= 4 5=2 5 2 2 48= 4 3 2 6 3= 4 3 2 6 3=2 3 2 4 3=2 3 8 3= 6 3 75=....................................................................................................... 08=...................................................................................................... 40 60=... 48+ 27=................................................................................................ 2 500 3 75=............................................................................................ 3 ème Page /2 Fiche d eercices

5 24 54+2 50=...................................................................................... 3 63+5 49+7 2=................................................................................... 3 8+7 72 5 2+4 8=............................................................................ EXERIE 5 Ecrire les nombres suivants avec un dénominateur entier : 0 =............................. 2 4 7 =............................. EXERIE 6 n pose = + 3 et y = 2 3. n mettra les résultats sous la forme a+ b 3, où a et b sont des entiers.. alculer +y et y. 2. alculer 2 et y 2. 3. alculer 2 y 2 de deu manières différentes. EXERIE 8 Résoudre les équations suivantes : 3 5 =............................ 5 2 3 =............................ 2+ =......................... 3 3 2 =....................... EXERIE 7 n donne = 2 2 7 n mettra les résultats sous la forme a+ b 2, où a et b sont des entiers.. alculer pour = 2 2. alculer pour = 5 2 3. alculer pour = 2 2+ 2 = 6...................................................................................................... 2 = 4...................................................................................................... 3 2 = 27..................................................................................................... 4 2 = 49..................................................................................................... 5 2 = 25................................................................................................. 5 2 = 3 2 + 242............................................................................................. 3 2 + 2=2( 2 + )........................................................................................... 25 4 2 9 4 = 0................................................................................................. 2 9 2 = 2...................................................................................................... 7 2 = 0.................................................................................................... 3 2 25=0................................................................................................. 5+2 2 = 3................................................................................................... 2 = 8....................................................................................................... EXERIE 9 Quelques problèmes à résoudre... Problème n Déterminer trois nombres entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à 3 874. Problème n 2 Une pyramide à base carrée a une hauteur de 0 cm, et un volume de 480 cm 3. Quel est le côté du carré de base? Problème n 3 Une sphère a pour aire 628 cm 2. Quel est son rayon? (n prendraπ=3,4). Problème n 4 Un carré D de centre est tel que =3 cm. alculer le côté du carré D, puis calculer l aire eacte de ce carré. EXERIE 0 Est-il vrai que les nombres = 2+ 3 et = 7+4 3 sont égau? Justifier votre réponse. 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices

HPITRE 9 URS : TRNSLTINS ET VETEURS = = = = onnaître et utiliser l écriture vectorielle D pour eprimer que la translation qui transforme en transforme aussi en D. Si= n écrirau d une longueur. Lier cette écriture vectorielle += a=et= au parallélogramme D éventuellement aplati. même milieu. alors on D D. = = Utiliser l égalité somme et la relier à la composée de deu translations. onstruire un représentant du vecteur somme à l aide d un parallélogramme. vecteur nul0 élèves sur l égalité vectorielle Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Vecteurs et translations Égalité vectorielle omposition de deu translations ; de deu vecteurs. ette rubrique prend en compte les acquis du cycle central sur les parallélogrammes et sur la translation. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans les couples (, ), (, ), (, )... de points homologues par une même translation, d un même objet nommé vecteur. =.... L un des objectifs est que les élèves se représentent un vecteur à partir d une direction, d un sens et n mettra en évidence la caractérisation d une égalité vectorielle à l aide de milieu de [D] et [ ] : D alors les segments [D] et [ ] ont le Si les segments [D] et [ ] ont le même milieu, Des activités de construction conduiront à l idée que la composée de deu translations est une translation. À partir de ce résultat, à établir ou admettre, on définira la somme de deu vecteurs. n introduira le =... ainsi que l opposé d un vecteur. ucune compétence n est eigible des = ni, plus généralement, sur la soustraction vectorielle. omposition de deu symétries centrales. Savoir que l image d une figure par deu symétries centrales successives de centres différents est aussi l image de cette figure par une translation. onnaître le vecteur de la translation composée de deu symétries centrales. Des activités de construction permettront de conjecturer 2 le résultat de composition de deu symétries centrales. La démonstration sera l occasion de revoir la configuration des milieu dans un triangle. n pourra utiliser, pour sa commodité, la notation pour désigner +. Tout commentaire sur le produit d un vecteur par un entier est hors programme, ainsi que la notation "o" pour désigner la composée. 3 ème Page /4 ours translations et vecteurs

Notion de vecteur = = = que,et Définition : Si, par une translation donnée, les points,, ont pour images respectives les points,, alors on dit que les couples de points (, ), (, ), (, u ) définissent un vecteur. Si on noteu ce vecteur, alors on peut écrire u, et on dit sont des représentants du vecteuru. aractéristiques d un vecteur : Si et sont deu points distincts, alors on peut entièrement déterminer le vecteur par : sa direction (celle de la droite ()), son sens (de vers ) et sa longueur, ou norme (celle du segment []). Vocabulaire : Dans ce cas, le point est appelé origine du vecteur, et le point en est l etrémité. 2 Vecteurs égau Définition : n dit que deu vecteursu etv sont égau que s ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Définition : Si et sont deu points distincts du plan, alors le vecteur a la même direction et la même longueur que le vecteur, mais il n a pas le même sens. n dit est le vecteur opposé au vecteur note =, on. Propriétés : Soient,, et D quatre points du plan. Si les vecteurset teurs D sont égau, alors D est un parallélogramme (éventuellement aplati). Si D est un parallélogramme (éventuellement aplati), alors les vecteurs et et D sont égau (tout comme les vec- D). Propriétés : Soient,, et D quatre points du plan. Si les vecteurset teurs D sont égau, alors les segments [D] [ ] ont le même milieu. Si les segments [D] [ ] ont le même milieu, alors les vecteurs et et D sont égau (tout comme les vec- D). u D I v ou D D 3 ème Page 2/4 ours translations et vecteurs

que= omment placer un point défini par une égalité vectorielle :, et sont trois points du plan. n veut placer le point D tel D. Sur un quadrillage : n commence par repérer, à peu près, la zone dans laquelle sera situé le point D (étape ). Puis on utilise le quadrillage pour construire le quatrième sommet du parallélogramme D (étape 2) ; ici, on décale de deu carreau vers la droite et de cinq carreau vers le bas. Sur du papier blanc : n commence par repérer, à peu près, la zone dans laquelle sera situé le point D (étape ). Puis on utilise le compas pour construire le quatrième sommet du parallélogramme D (étape 2) ; ici, on trace un arc de cercle de centre de rayon, puis un second arc de cercle de centre de rayon. que= Propriété : Dire I Soient, I et trois points distincts du plan. I revient à dire que I est le milieu de [] D I D 3 Somme de deu vecteurs Propriété : La composée de deu translations de vecteursu etv est elle-même une translation, dont le vecteur est appelé somme des vecteursu etv, et est notéu +v. u u + v v v u u + v 3 ème Page 3/4 ours translations et vecteurs

Relation de hasles : Si, avec les notations précédentes, et est un représentant deu, est un représentant dev, alors on peut écrire la relation +=, connue sous le nom de relation de hasles. Remarque : n peut retenir que "faire la translation de vecteur, puis faire la translation de vecteur, cela revient à faire directement la translation de vecteur." Définition : Si et sont deu points distincts, on a, d après la relation de hasles, + =, qui correspond à un déplacement nul. Le vecteur = est par conséquent que que appelé vecteur nul, et on note0. omment construire la somme de deu vecteurs : est un point du plan,u etv sont deu vecteurs. n veut placer le point tel =u +v. En mettant les vecteurs "bout à bout" : En prenant des représentants de même origine : n construit le point M tel M =u, puis on n construit des représentants des vecteursu construit le représentant du vecteurv ayant ce point M pour origine ; un représentant du vecteuru +v est le vecteur etv d origine, et on appelle M et N les etrémités de ces deu représentants. n construit. le point comme quatrième sommet du parallélogramme M N ; un représentant du vecteur u +v est le vecteur. M v M u u + v u u u + v u v v N v 4 omposée de deu symétries centrales Propriété : Soient et deu points distincts du plan. La composée de la symétrie de centre et de la symétrie de centre est une translation de vecteur + 2 (que l on notera par analogie avec le calcul numérique) 2 3 ème Page 4/4 ours translations et vecteurs

HPITRE 9 FIHE D EXERIES : VETEURS () EXERIE. onstruire les points,,, D, images respectives de,,, D par la translation de vecteuru. 2. onstruire les points 2, 2, 2, D 2, images respectives des points,,, D par la translation de vecteurv. 3. onstruire le point 3 image de par la translation de vecteur D, le point 3 image de par la translation de vecteur D, le point 3 image de par la translation de vecteur D et enfin le point D 3 image de D par la translation de vecteur. 4. u vu de la figure, écrire un maimum d égalités de vecteurs. v D u EXERIE 2 onstruire : le point image de par la translation de vecteuru, le point image de par la translation de vecteur, le point image de par la translation de vecteur que que= E. le point D tel DD, le point E tel E E u E D 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE 9 FIHE D EXERIES : VETEURS (2) EXERIE Sur la figure ci-dessous :. construis l image de la figure F par la translation de. 2. construis l image de la figure G par la translation de vecteur D. 3. construis l image de la figure H par la translation de vecteur F E. 4. construis l image de la figure I par la translation de vecteur G H. 5. construis l image de la figure H par la translation de D. 6. construis l image de la figure J par la translation de vecteur DE. I E J G H F D H F G 3 ème Page /2 Fiche d eercices

EXERIE 2 Sur la figure ci-dessous :. construis l image du carré par la translation de vecteur E. 2. construis l image du triangle par la translation de. 3. construis l image du cercle par la translation de D. 4. construis l image de la droite par la translation de vecteur D. E D 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices

. M =u HPITRE 9 FIHE D EXERIES : VETEURS (3) Placer les points M et N dans chacun des cas suivants : +v et N =u 2. M =v et N =u +v v u v 3.=et= + M N u 4.=et= + M N 5.=et= + DM DN E 6.= +et= E+ E M D N D D D E E 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE 9 FIHE D EXERIES : DÉMNTRER VE LES VETEURS EXERIE DN Guadeloupe 2003 onstruire un parallélogramme E FG H et I, milieu de [E F ].. Faire une figure. que= EG+ E H. a) Quelle est l image de E? b) Quelle est l image de F? Justifier. 4. onstruire le point K tel E K que E H. Montrer que J est le milieu de [E K ]. =et= + EXERIE 2 DN entres étrangers (ordeau) 2006 2. a) Placer les points R et M tels R M 2. n considère la translation de vecteur 3. onstruire le point J, translaté du point I par la translation de vecteur E H. Que représente le point J pour le segment [G H]? Justifier la réponse.. Tracer un triangle isocèle de sommet principal tel que = 4 cm et = 5 cm. b) Quelle est la nature du quadrilatère R? Justifier. c) Préciser la nature du quadrilatère M. Justifier. 3. Démontrer que le point est le milieu du segment [MR]. EXERIE 3 DN Lyon 2005 Pour cet eercice, compléter la figure donnée ci-dessous.. que=que= + n a placé trois points, et.. onstruire le point E tel E est un parallélogramme. 2. a) onstruire le point F tel F. b) Quelle est la nature du quadrilatère F? n ne demande pas de justification. 3. Démontrer F E. Que peut-on en déduire pour le point? 3 ème Page / Fiche d eercices

. M =u HPITRE 9 FIHE D EXERIES : VETEURS (3) Placer les points M et N dans chacun des cas suivants : +v et N =u 2. M =v et N =u +v v u v 3.=et= + M N u 4.=et= + M N 5.=et= + DM DN E 6.= +et= E+ E M D N D D D E E 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE 0 URS : VETEURS & REPÈRES Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES oordonnées d un vecteur dans le plan muni d un repère Lire sur un graphique les coordonnées d un vecteur. Représenter, dans le plan muni d un repère, un vecteur dont on donne les coordonnées. alculer les coordonnées d un vecteur connaissant les coordonnées des etrémités de l un quelconque de ses représentants. alculer les coordonnées du milieu d un segment. Les coordonnées d un vecteur seront introduites à partir de la composition de deu translations selon les aes. Distance de deu points dans un repère orthonormé du plan Le plan étant muni d un repère orthonormé, calculer la distance de deu points dont on donne les coordonnées. Le calcul de la distance de deu points se fera en référence au théorème de Pythagore, de façon à visualiser ce que représentent différence des abscisses et différence des ordonnées. Repères du plan Il eiste différentes sortes de repères du plan : y y M M Les repères quelconques M Les repères orthogonau, dans lesquels les aes sont perpendiculaires. Dans chacun des cas ici représentés, le point M a pour coordonnées (3; 2). Les repères orthonormés, dans lesquels les aes sont perpendiculaires, et les unités sur chaque ae sont égales. 3 ème Page /3 ours vecteurs et repères

2 oordonnées d un vecteur dans un repère est Dans chacun des cas suivants,u est un vecteur, dont un représentant dans un repère du plan. Pour passer de à, on effectue deu translations successives : La première parallèlement à l ae des abscisses, de a carreau dans le sens de l ae (alors comptés positivement) ou dans le sens opposé à l ae (alors comptés négativement) ; la seconde parallèlement à l ae des ordonnées de b carreau dans le sens de l ae (alors comptés positivement) ou dans le sens opposé à l ae (alors comptés négativement) ; Le couple (a;b) sont les coordonnées du vecteuru. y y 4 +3 5 Le vecteur u a pour coordonnées ( 5;3) Le vecteur u a pour coordonnées ( 4; 7) alcul des coordonnées d un : Si, dans un repère du plan, les coordonnées des points et sont respectivement ( ; y ) et ( ; y ), alors les coordonnées du vecteur sont ( ; y y ). Eemple : Si on a (, 3) et (4,3) alors le vecteur a pour coordonnées (4 ( ); 3 ( 3)), c est-à-dire (5; 6). Remarque n : ttention à l ordre des lettres!! n fait : (abscisse de l etrémité abscisse de l origine ; ordonnée de l etrémité ordonnée de l origine) Remarque n 2 : Les coordonnées du vecteuru sont les coordonnées de l etrémité du représentant de ce vecteur, ayant l origine du repère comme origine : y 7 6 +6 5 +5 Le vecteur u a pour coordonnées (5;6) Vecteurs égau : Deu vecteurs sont égau s ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. 3 ème Page 2/3 ours vecteurs et repères

3 Milieu d un segment alcul des coordonnées du milieu d un segment : Si, dans un repère du plan, les coordonnées des points et sont respectivement ( ; y ) et ( ; y ), ( + alors les coordonnées du point I milieu de [] sont ; y + y ). 2 2 Preuve : y Dire que I est le milieu de [] revient à dire que les + vecteurset I I sont égau. r les coordonnées du 2 y +y I dans le repère sont ( I ; y I y ) Les coordonnées du vecteur I dans le repère sont ( I ; y y I ) 2 I es deu vecteurs étant égau, leurs coordonnées sont égales entre elles, et il vient : I = I y I y = y y I I + I = + y I + y I = y + y 2 I = + 2y I = y + y I = + y 2 I = y +y 2 Eemple : Si on a (, 3) et (4,3) alors le point I milieu de [] a pour coordonnées ( +4 c est-à-dire (,5;0). ; 3+3 2 2 ), 4 Distance entre deu points dans un repère orthonormé alcul de la distance entre deu points : Dans un repère orthonormé, si les coordonnées des points et sont respectivement ( ; y ) et ( ; y ), alors la distance entre les points et est donnée par : = ( ) 2 + (y y ) 2 y Preuve : y H L idée est d utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle H. Pour que H soit rectangle en H, il faut bien que le repère soit orthogonal. De plus, pour eprimer les distances H et H dans la même unité, il faut que les unités portées par les deu aes soient égales, y et donc que le repère soit orthonormé. Une fois cette condition remplie, on a donc H rectangle en H, et 2 = H 2 + H 2. r la distance H est égale soit à, soit à (cela dépend de savoir lequel est le plus "à droite"). Quoi qu il en soit, on a H 2 = ( ) 2 (car, de toutes façons, deu nombres opposés ont le même carré : ( ) 2 = ( ) 2...). De même, la distance H est égale soit à y y, soit à y y (cela dépend de savoir lequel est le plus "haut"). Quoi qu il en soit, on a H 2 = (y y ) 2 (car, de toutes façons, (y y ) 2 = (y y ) 2...). n a donc bien 2 = H 2 + H 2 = ( ) 2 + (y y ) 2, et donc la formule annoncée. y y Eemple : Si dans un repère orthonormé on a (, 3) et (4,3) alors la distance vaut (4 ( )) 2 + (3 ( 3)) 2 = 5 2 + 6 2 = 25+36= 6 7,8 unités. 3 ème Page 3/3 ours vecteurs et repères

HPITRE URS : FNTINS LINÉIRES & FFINES Etrait du programme de la classe de troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Fonction linéaire. onnaître la notation a, pour une valeur numérique de a fiée. La définition d une fonction linéaire, de coefficient a, s appuie sur l étude des situations de proportionnalité rencontrées dans les classes précédentes. n pourra recourir à des tableau de proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspondance est "je multiplie par a". Pour des pourcentages d augmentation ou de diminution, une mise en évidence similaire peut être faite ; par eemple, augmenter de 5 % c est multiplier par,05 et diminuer de 5 % c est multiplier par 0,95. Fonction affine. Fonction affine et fonction linéaire associée. Déterminer l epression algébrique d une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre non nul et de son image. Représenter graphiquement une fonction linéaire. Lire sur la représentation graphique d une fonction linéaire l image d un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. onnaître la notation a + b pour des valeurs numériques de a et b fiées. Déterminer une fonction affine par la donnée de deu nombres et de leurs images. Représenter graphiquement une fonction affine. Lire sur la représentation graphique d une fonction affine l image d un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. L étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d utiliser la notion d image. n introduira la notation a, pour la fonction. À propos de la notation des images f (2), f ( 0,25),..., on remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu en calcul algébrique. L énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine ; cette droite a une équation de la forme y = a. n interprétera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de la droite. est une occasion de prendre conscience de l eistence de fonctions dont la représentation graphique n est pas une droite (par eemple, en eaminant comment varie l aire d un carré quand la longueur de son côté varie de à 3). Pour des valeurs de a et b numériquement fiée, le processus de correspondance sera aussi eplicité sous la forme "je multiplie par a, puis j ajoute b". La représentation graphique de la fonction affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire associée. est une droite, qui a une équation de la forme y = a + b. n interprétera graphiquement le coefficient directeur a et l ordonnée à l origine b ; on remarquera la proportionnalité des accroissements de et y. Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de deu points pris sur la droite et à eploiter la représentation graphique. n fera remarquer qu une fonction linéaire est une fonction affine. Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de fonctions non affines peuvent servir de support à la construction de tableau de valeurs ou à la recherche de particularités d une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un intervalle donné, maimum, minimum. ucune connaissance spécifique n est eigible sur ce sujet. 3 ème Page /6 ours fonctions

Fonction linéaire. Définitions L unité de longueur est le centimètre. Notons la longueur du côté d un carré et y le périmètre de ce carré. n trouve : 0,8 3 y 4 3,2 2 4 n obtient un tableau de proportionnalité : le périmètre d un carré est proportionnel à son côté et 4 est le coefficient de proportionnalité. n peut écrire y = 4 ou y = 4. Définition : Soit a un nombre quelconque «fie». Si, à chaque nombre, on peut associer son produit par a (c est à dire y = a ), alors on définit la fonction linéaire de coefficient a, que l on notera f : a. Vocabulaire et notation : La fonction qui, à chaque nombre, associe le périmètre du carré de côté est une fonction linéaire de coefficient 4, que nous pouvons noter f : 4. L image de 0,8 par cette fonction est 3,2, ce que l on peut noter f (0, 8) = 3, 2 (et qui se lit " f de 0, 8 est égal à 3, 2") Fonction linéaire de coefficient a : Nombre Image a a Remarque : Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (dans laquelle le coefficient de proportionnalité est égal à a). Pour passer d un nombre à son image, on multiplie par a..2 Représentation graphique d une fonction linéaire Propriété : Dans un repère, la représentation graphique d une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l origine du repère. Représenter graphiquement une fonction linéaire 3 2 3 2 2 3 4 y i-contre est représentée graphiquement la fonction linéaire f de coefficient 0, 6, que l on peut noter f : 0,6 omme f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l origine du repère. De plus, pour trouver un second point de cette droite, on peut calculer l image de 3 : f (3)=0,6 3=,8. Je place le point de coordonnées (3;,8). En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction : 2 0 3 y 0,8 3 ème Page 2/6 ours fonctions

Lire sur la représentation graphique d une fonction linéaire l image d un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. 4y 3 2 3 2 2 3 4 2 3 4 i-contre est représentée graphiquement une fonction linéaire f de coefficient a, que l on peut noter f : a Pour lire l image (par eemple) du nombre 4 sur cette représentation graphique, on commence par repérer le point de la droite dont l abscisse est 4, puis on lit l ordonnée de ce point. Ici, on peut lire que l image de 4 est 3, c est-à-dire que f (4)=3 De plus, pour trouver le nombre dont l image est,2 par cette fonction linéaire, on commence par repérer le point de la droite dont l ordonnée est,2, puis on lit l abscisse de ce point. Ici, on peut lire que le nombre dont l image est,2 est,6, c est-à-dire que f (,6) =,2. Déterminer le coefficient d une fonction linéaire, lorsqu on connaît un nombre et son image Dans l eemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefficient a inconnu, que l on note f : a. r nous avons vu que l image de 4 par cette fonction est égale à 3 ; cela signifie que 3= a 4, ce qui nous permet de déterminer le coefficient de la fonction : a= 3 4 = 0,75. Remarque : ce nombre a n est autre que le coefficient de proportionnalité du tableau suivant : 4,6 y 3,2 a Définitions : Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient a. n dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d) et que y = a est une équation de la droite (d). 4y Interprétation graphique du coefficient directeur : +.2 3 2 Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient,2 ; le coefficient directeur de la droite (d) est donc,2, et son équation est y =,2. Graphiquement, voici comment lire le coefficient directeur : + 3 2 2.2 3 4 2 + 3.2 4 3 ème Page 3/6 ours fonctions

.3 Fonction linéaire et pourcentage alculer avec des pourcentages : t Prendre t % d un nombre, c est multiplier ce nombre par 00 (. ugmenter un nombre de t %, c est multiplier ce nombre par + t ). ( 00 Diminuer un nombre de t %, c est multiplier ce nombre par t ). 00 Eemples Prendre 5 % de c est effectuer 5. cette action, on associe la fonction linéaire 0,5. 00 ( Diminuer un nombre de 2 % c est effectuer 2 ) = 0,88. cette action, on associe la 00 fonction linéaire 0,88. ( ugmenter un nombre de 3 % c est effectuer + 3 ) =,03. cette action, on associe la 00 fonction linéaire,03. 2 Fonction affine 2. Définitions Définition : Soient a et b deu nombres quelconques «fies». Si, à chaque nombre, on peut associer le nombre a + b, alors on définit une fonction affine, que l on notera f : a+ b. n dit que a est la fontion linéaire associée à la fonction affine a+ b. Vocabulaire et notation : La fonction qui, à chaque nombre, associe le nombre 2+3 est une fonction affine (où a= 2, et b= 3), que nous pouvons noter f : 2+3. L image de 5 par cette fonction est 2 5+3= 3, ce que l on peut noter f (5) = 3. Fonction affine Nombre Image a a+ b a +b Remarque : Pour passer d un nombre à son image, on multiplie par a, puis on ajoute b. Remarque 2 : Lorsque b= 0 n obtient f : a, c est à dire une fonction linéaire. 2.2 Représentation graphique d une fonction linéaire Propriété : Dans un repère, la représentation graphique d une fonction affine est une droite : passant par le point de coordonnées (0;b) qui est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée 3 ème Page 4/6 ours fonctions

Représenter graphiquement une fonction affine i-contre est représentée graphiquement la fonction y affine f : 0,5+ 3 5 omme f est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite qui passe par 4 3 2 3 2 2 3 4 le point de coordonnées (0; 3 ). De plus, pour trouver un second point de cette droite, on peut calculer, par eemple, l image de 4 : f (4)=0,5 4+3=5. Je place le point de coordonnées (4;5). En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction : 0 4 y 3 5 Remarquez que la droite représentant cette fonction ( 0,5+ 3) est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée ( 0,5). Lire sur la représentation graphique d une fonction affine l image d un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. y 4 3 2 3 2 2 3 4 2 i-contre est représentée graphiquement une fonction affine f : a+ b Pour lire l image (par eemple) du nombre 2 sur cette représentation graphique, on commence par repérer le point de la droite dont l abscisse est 2, puis on lit l ordonnée de ce point. Ici, on peut lire que l image de 2 est 5, c est-à-dire que f ( 2)=5 De plus, pour trouver le nombre dont l image est, 6 par cette fonction, on commence par repérer le point de la droite dont l ordonnée est,6, puis on lit l abscisse de ce point. Ici, on peut lire que le nombre dont l image est, 6 est 2, 4, c està-dire que f (2,4)=,6. Définitions : Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction affine f : a+ b. n dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d), que b est l ordonnée à l origine, et que y = a+ b est une équation de la droite (d). Interprétation graphique du coefficient directeur et de l ordonnée à l origine : + 0,7 y Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction affine 0,7+,5 ; le coefficient directeur de la droite (d) est donc 0, 7, son ordonnée à l origine est, 5 et son équation est y = 0,7 +,5. Graphiquement, voici comment lire le coefficient directeur et l ordonnée à l origine : 4 3 2 2 3 ème Page 5/6 ours fonctions 2 + 0,7

Déterminer l epression d une fonction affine, lorsqu on donne deu nombres et leurs images Eemple : Déterminer la fonction affine f tel que f ()=4 et f (3)=8. Une application affine est de la forme a+ b. De f ()=4, on tire a +b = 4, c est-à-dire a+ b= 4 (égalité n ) De f (3)=8, on tire a 3+b = 8, c est-à-dire 3a+ b= 8 (égalité n 2) alcul de a : Si on soustrait membre à membre les deu égalités encadrées ci-dessus, on obtient (a+ b) (3a+ b)= 4 8, ce qui nous donne a+ b 3a b = 4, c est-à-dire 2a= 4, ce qui nous permet d obtenir la valeur de a : a= 4 2 = 2. alcul de b : n reprend l une des deu égalités (n ou n 2), et on remplace a par la valeur trouvée, pour calculer la valeur de b : omme on a trouvé a = 2, on reprend (par eemple) l égalité n, et on y remplace a par 2 : a+ b= 4 qui donne 2+b= 4, et donc b= 4 2=2. La fonction affine recherchée, qui vérifie f ()=3 et f (3)=8, est donc la fonction f : 2+ 2 2.3 Proportionnalité des accroissements Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité ; ce n est pas le cas d une fonction affine, comme on peut s en convaincre en observant le tableau de valeurs de la fonction f : 0,2, reproduit ci-dessous : 2 4 7 f () 0,8 0,6 0,2 0,4,2 e tableau n est manifestement pas un tableau de proportionnalité. ependant, regardons ce qui se passe lorsque l on regarde les accroissements de cette fonction : Lorsque augmente de... 2 3 4 5 6 7 alors f () augmente de... 0,2 0,4 0,6 0,8,2,4 e tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est 0,2! eci nous amène à énoncer la propriété suivante : Propriété : Soit f une fonction affine a+ b. Si varie (c est à dire augmente ou diminue) d un nombre h, alors son image f () varie de ah. utrement dit, si 2 = h, alors f ( ) f ( 2 )=ah : les accroissements de f () sont proportionnels au accroissements de, et le coefficient de proportionnalité est a. Déterminer l epression d une fonction affine, lorsqu on donne deu nombres et leurs images (2) Soit f une fonction affine, telle que f ()=5 et f (4)=7. alcul de a : omme on sait que les accroissements de f () sont proportionnels au accroissements de, et que le coefficient de proportionnalité est a, on peut écrire que f (4) f ()= a (4 ), ce qui nous donne 7 5=a(4 ), c est-à-dire a= 7 5 4 = 2 3 alcul de b : n sait que f est une fonction affine, et donc qu on peut écrire son epression : f : a+b ; en particulier, on a f ()= a +b. r, on a vu que a= 2 3 : on a donc f ()= 2 3 +b. De plus, on sait que f ()=5; on a donc 5= 2 3 + b, qui donne b= 5 2 3 = 3 3 La fonction affine recherchée, qui vérifie f ()=5 et f (4)=7, est donc f : 2 3 + 3 3 3 ème Page 6/6 ours fonctions

HPITRE FIHE D EXERIES : FNTINS LINÉIRES () EXERIE La fonction associée à la situation est-elle une fonction linéaire? Si oui, donner son coefficient :. f () désigne le périmètre (en cm) d un cercle de rayon cm :......................................... 2. g () désigne le volume (en cm 3 ) d un cube d arête cm :.............................................. 3. h() désigne le pri (en ) de kg de pommes vendues à 2,40 le kg :.............................. 4. k() désigne le volume d une pyramide de hauteur et dont l aire de la base carrée est 9 cm 2 :...... 5. l() désigne le volume d un cône de hauteur 0 cm, et dont le rayon de la base vaut 5 cm :........... 6. u() désigne l aire (en cm 2 ) d une figure plane dont l aire mesure cm 2, après un agrandissement de rapport,5 :............................................................................................. 7. v() désigne le volume (en cm 3 ) d un solide dont le volume mesure cm 3, après une réduction de rapport 3 0 :.............................................................................................. EXERIE 2. Soit f la fonction linéaire de coefficient 2,5. a) ompléter : La fonction f est définie par f :....... b) alculer l image de 6 par la fonction f : f (6)=...................................................... alculer l image de 3,5 par la fonction f :......................................................... c) alculer le nombre qui a pour image 0 par f :...................................................... alculer le nombre qui a pour image 5 par la fonction f :.......................................... 3 2. Soit f la fonction linéaire de coefficient 7 3. a) ompléter : La fonction f est définie par f :....... b) alculer l image de 2,4 par la fonction f :........................................................... alculer f ( 3 5) :...................................................................................... c) alculer le nombre qui a pour image 4 par f :...................................................... alculer le nombre qui a pour image 5 3 par la fonction f :.......................................... 3. Soit f la fonction linéaire telle que f (3) = 9. a) ompléter : La fonction f est définie par f :....... b) alculer f ( 5 6) :..................................................................................... alculer f ( 0,7) :.................................................................................... c) alculer le nombre qui a pour image 5 par f :..................................................... alculer le nombre qui a pour image 7 par la fonction f :......................................... 4. alculer le coefficient de la fonction linéaire f dans chacun des cas suivants : a) L image de 5 est 20 : f :............ d) f (6)= 5 :...................................... b) L image de 3 est 5 :........................... e). f ( 2 3) = 2 :...................................... c) 2 est l image de 8 :............................ f). f ( 8)= 8 :................................... 5. Dans chaque cas, calculer le coefficient de la fonction linéaire f, et compléter le tableau de valeurs : a) 5 3 f () 7 2, 2 7 b) 3 3 7 f () 4 4,4 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE FIHE D EXERIES : FNTINS LINÉIRES (2) EXERIE Parmi ces représentations graphiques, lesquelles sont celles d une fonction linéaire? y y y y y y EXERIE 2 La droite (d) représente une fonction linéaire f : y. Lire l image du nombre 2 :.......................... 2. Lire l image du nombre :........................ 3. Lire le nombre dont l image est 2 :.................. 4. Lire le nombre dont l image est :................ 5. Quel est le coefficient de cette fonction linéaire?.. 6. Donner l équation de la droite (d) :................ 7. alculer f (7) et f ( 5 4).............................. 8. Est-il vrai que le point de coordonnées (7; 3,5) est sur la droite (d)?.................................... 9. alculer les nombres et y pour lesquels les points de coordonnées (;4) et (0; y) sont sur la droite (d) :................................................. EXERIE 3. Dans ce repère, tracer les droites (d ), (d 2 ) et (d 3 ) qui, respectivement : y d 6 représente la fonction linéaire f de coefficient 5 représente la fonction linéaire f 2 de coefficient 0,4 a pour équation y = 4 3 2. Déterminer les coefficients des fonctions linéaires f 4, f 5 et f 6 représentées respectivement par les droites (d 4 ), (d 5 ) et (d 6 ) :................................................................................................................. 3. Ecrire les équations des droites : (d ) :......... (d 4 ) :......... (d 5 ) :......... 4. Vrai ou fau? M(5; 6) (d 2 )...... N(9;) (d 3 )...... d 5 3 ème Page / Fiche d eercices

Ñ HPITRE EXERIE FIHE D EXERIES : FNTINS FFINES. Soit f la fonction affine définie par 2 5. a) alculer l image de 6 par la fonction f : f (6)=...................................................... alculer l image de 3,5 par la fonction f :......................................................... alculer l image de 7 4 par la fonction f :........................................................... b) alculer le nombre qui a pour image par f :..................................................... alculer le nombre qui a pour image par la fonction f :......................................... alculer le nombre qui a pour image 5 par la fonction f :......................................... c) Trouver un nombre qui a pour image lui-même par la fonction affine f :................................................................................................................................. 2. Soit g la fonction affine définie par g : 2 3 + 3. a) alculer g (2,4)=........................, g ( 3)=........................, g ( 7) 6 =........................ b) alculer le nombre a tel que g (a)=3 :.............................................................. alculer le nombre b tel que g (b)= 3 :.............................................................. Résoudre l équation g ()=0........................................................................ 3. Soit h la fonction affine définie par 6 + 2 3. a) ompléter le tableau suivant : 6 f () 4 3 0 7 6 0 4. Soit k la fonction affine définie par 3+ a) alculer les images de, de 5 3 et de 2 par la fonction h :....................................................................................................... b) Déterminer le nombre qui a pour image 3 par la fonction k (donnez la réponse sous la forme a Ñ 3, où a est un entier relatif)....................................................................................................... EXERIE 2 Dites si les situations suivantes sont modélisables par des fonctions affines ; dans l affirmative, donnez l epression de la fonction sous la forme a+ b. ½¼Ñ Ñ. l aire du polygone grisé dans la figure n.............................................................. Ñ 2. le périmètre de la figure n 2............................................................................ 3. l aire de la figure n 2.................................................................................... 4. l aire du rectangle grisé dans la figure n 3.............................................................. 5. le périmètre du rectangle grisé dans la figure n 3...................................................... 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE EXERIES : REPRÉSENTTIN GRPHIQUE D UNE FNTIN FFINE EXERIE n donne les trois fonctions f : + 3, g : + 3 et h :,5+ 3. 3. alculer les images de 0 et de 3 par chacune de ces fonctions : f (0)=......... g (0)=......... h(0)=......... f (3)=......... g (3)=......... h(3)=......... 2. Tracer les droites (d ), (d 2 ) et (d 3 ) qui représentent ces trois fonctions dans le repère ci-contre. 3. Quel est le point commun à ces trois droites?.................................................................. 4. Ecrire les équations de ces trois droites, et entourer en rouge leurs coefficients directeurs, en vert leur ordonnée à l origine : (d ) :..................... (d 2 ) :..................... (d 3 ) :..................... y 7 6 5 4 3 2 4 3 2 2 3 2 3 4 EXERIE 2. f est la fonction affine 2 + 5 a) alculer f (0)=......... et f (4)=.......... b) Tracer la droite (d) représentant la fonction f dans ce repère : c) Vrai ou Fau? Le point de coordonnées (6;3) appartient à la droite (d). Le point de coordonnées ( 0; 9) appartient à la droite (d). 2. g est la fonction affine 3 a) alculer f ( 2)=......... et f (3)=.......... b) Tracer la droite (d) représentant la fonction f dans ce repère : c) Vrai ou Fau? Le point de coordonnées (25; 75) appartient à la droite (d). Le point D de coordonnées ( 2 7 ;4) appartient à la droite (d). 5 4 3 2 2 3 4 7 6 5 4 y 3 2 2 2y 0 9 8 7 6 5 4 3 2 5 4 3 2 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 ème Page /2 Fiche d eercices

EXERIE 3 Dans le repère ci-contre, tracer les droites (d ), (d 2 ), (d 3 ) et (d 4 ) représentations graphiques respectives des fonctions f : + 2, f 2 : 2,5, f 3 : 5 3 4, f 4 : 2. 5 4 3 2 2 3 4 6 EXERIE 4 En graduant convenablement les aes du repère, tracer la droite représentant la fonction affine donnée : 2 y 40+ 50 y y 5 4 3 2 2 3 4 5 0,05+ 3 y EXERIE 5 y 5 4 (d ) 3 2 5 4 3 2 2 3 4 (d) 2 3 4 5 6 Dans le repère ci-contre, les droites (d) et (d ) sont les représentations graphiques respectives de deu fonctions affines f et g.. En lisant sur ce graphique, donner : l image de 2 par la fonction f :............ f (0)=........., f (4)=.......... le nombre dont l image par f est 5 :....... 2. En lisant sur ce graphique, donner : l image de 4 par la fonction g :............. g ( 2)=........., g ()=.......... le nombre dont l image par g est 3 :...... le nombre tel que g ()=0............... 3. Les deu fonctions ont pour epressions 3 4 + 2 et 3 2 3 a) laquelle est f? laquelle est g? Retrouver par le calcul les résultats des questions. et 2. b) Résoudre l équation 3 4 +2= 3 3 ; quel est le nombre qui donne la même image par f et par g? 2 Placer le point correspondant sur le graphique, et donner ses coordonnées eactes par le calcul. 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices

HPITRE FIHE D EXERIES : DÉTERMINER UNE FNTIN FFINE EXERIE n cherche à déterminer la fonction affine f : a+ b vérifiant f ( )=5 et f (5)=2 Méthode n : De f ( )=5 on tire l égalité a+ b= 5 et de f (5)=2 on tire 5a+ b= 2 n soustrait membre à membre les deu égalités : ( a+ b) (5a+ b)=5 2, ce qui donne a+ b 5a b= 3, c est-à-dire 6a = 3, qui donne a= 3 6 = 0,5. n reprend l égalité a + b = 5 pour trouver la valeur de b, en remplaçant a par 0,5 : cela donne ( 0,5)+b = 5, c est-à-dire 0,5+b = 5 qui nous donne b= 5 0,5=4,5 En conclusion, la fonction affine recherchée est f : 0,5+ 4,5. Méthode n 2 : n utilise la propriété de proportionnalité des accroissements : +6 5 f () 5 2 Lorsque augmente de 6, son image diminue de 3 ; on doit donc Variations de f () avoir a= = 3 d où a= 0,5. De plus, de Variations de 6 f ( )= 5 on tire l égalité a+ b= 5, ce qui nous donne, en remplaçant a par sa valeur, ( 0,5)+b = 5, c est-à-dire 0,5+b = 5 d où l on tire b= 5 0,5=4,5 En conclusion, la fonction affine recherchée est f : 0,5+ 4,5. 3 En suivant l une de ces méthodes, donner l epression de la fonction affine f dans chacun des cas suivants :. f (0)=5 et f (4)= :..................................................................................... 2. f ( 2)= et f (6)=5.................................................................................... 3. f (2)=3 et f (5)=.................................................................................... 4. f (3)=5 et f ( 5)=0.................................................................................... EXERIE 2 y 5 4 3 2 D (d ) Dans le repère ci-contre, les droites (d) et (d ) sont les représentations graphiques respectives de deu fonctions affines f et g.. a) Lire les coordonnées des points et................................................ b) ompléter : f (...)=... et f (...)=... 5 4 3 2 2 3 4 c) Déterminer l epression de la fonction f................................................. 2 2. a) Lire les coordonnées des points et D 3 (d)................................................ 4 b) ompléter : g (...)=... et g (...)=... 5 6 c) Déterminer l epression de la fonction g................................................. 7 3. Ecrire les équations des deu droites (d) et (d ) :................................................................................................................................................................. 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE FIHE D EXERIES : FNTINS FFINES (4) EXERIE. Dans un repère orthogonal (cm pour 5 unités sur l ae des abscisses, et cm pour unité sur l ae des ordonnées), tracez les représentations graphiques des fonctions 0,, 0,25 3 et 4. 2. Résoudre l équation 0, = 4 ; interpréter graphiquement la solution de cette équation (mettre en évidence comment trouver cette valeur sur le graphique en utilisant des pointillés). 3. Résoudre graphiquement l équation 0, = 0, 25 3 en laissant apparents les traits de construction ; retrouver le résultat par le calcul. 4. Résoudre graphiquement l inéquation 0,25 3 4 ; retrouver ce résultat par le calcul. EXERIE 2 DN Groupe uest 2006 Dans un magasin, une cartouche d encre pour imprimante coûte 5. Sur un site internet, cette même cartouche coûte 0, avec des frais de livraison fies de 40 quel que soit le nombre de cartouches achetées.. Reproduire et compléter le tableau suivant : Nombre de cartouches achetées 2 5 4 Pri à payer en magasin en euros Pri à payer par internet en euros 2. Le nombre de cartouches achetées est noté. a) n note P le pri à payer pour l achat de cartouches en magasin. Eprimer P en fonction de. b) n note P le pri à payer, en comptant la livraison, pour l achat de cartouches par internet. Eprimer P en fonction de. 3. Dans un repère orthogonal, tracer les droites (d) et (d ) définies par : d représente la fonction 5 d représente la fonction 0+ 40 4. En utilisant le graphique précédent : a) déterminer le pri le plus avantageu pour l achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents les traits de constructions. b) Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est-il plus avantageu pour elle d acheter des cartouches en magasin ou sur internet? Vous laisserez apparents les traits de constructions. 5. À partir de quel nombre de cartouches le pri sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin? Epliquer votre réponse. EXERIE 3 DN mérique du Nord 2005 est un triangle rectangle en avec = 4 cm et = 3 cm. M est un point de [ ], P est un point de [] et Q un point de [ ] tels que le quadrilatère P MQ soit un rectangle. Notons la longueur P en cm. Partie I. Montrer que P M = 3 4. 2. Montrer que le périmètre du rectangle P MQ est égal à 8 2. 3. a) Epliquer pourquoi on a 0 4. b) Est-il possible de placer M sur [ ] pour que le périmètre du rectangle P MQ soit égal à : 7 cm? 4 cm? 0 cm? 4. Faire la figure dans le cas où le périmètre est 7 cm. Partie II 3 ème Page /2 Fiche d eercices

. a) alculer la longueur. b) Montrer que M = 5 4. 2. En déduire, en fonction de, le périmètre du triangle P M. 3. onstruire dans un repère orthonormé les représentations graphiques des fonctions : 3 et 8 2 4. a) Déterminer graphiquement une valeur approchée de pour laquelle P M et P MQ ont le même périmètre. b) Trouver par un calcul la valeur eacte de. EXERIE 4 DN ordeau 2005 Un vidéo-club propose différents tarifs pour l emprunt de DVD. Tarif : 4 par DVD emprunté. Tarif : 2,50 par DVD emprunté, après avoir payé un abonnement de 8. Tarif : abonnement de 70 pour un nombre illimité de DVD.. ompléter le tableau suivant indiquant le pri à payer pour 5 ou 5 ou 25 DVD, au tarifs, ou. oût au tarif oût au tarif oût au tarif n note le nombre de DVD empruntés. 5 DVD 5 DVD 25 DVD 2. n admet que les trois tarifs peuvent être eprimés à l aide des fonctions suivantes : f : 2,5+ 8 g : 70 h : 4 a) ssocier à chaque tarif la fonction qui lui correspond. b) Tracer dans un même repère les représentations graphiques de ces trois fonctions. n prendra en abscisse cm pour 2 DVD et en ordonnée cm pour 5. 3. a) Résoudre l équation : 4 = 2, 5 + 8. Interpréter le résultat. b) Mettre en évidence comment trouver la solution de cette équation sur le graphique en utilisant des pointillés. 4. a) Résoudre graphiquement l inéquation : 70 2, 5 + 8, en laissant apparents les traits de construction. b) Retrouver ensuite le résultat par le calcul. 5. Synthèse : donner le tarif le plus intéressant selon le nombre de DVD empruntés. EXERIE 5 DN Pondichéry 2004 Une association de jeunes dessinateurs décide de publier un livret présentant les œuvres de chacun de ses membres. Ils ont le choi entre les tarifs de deu imprimeurs. Tarif : 2,4 euros par eemplaire. Tarif : 2,6 euros par eemplaire, auquels on ajoute 30 euros de frais de livraison. n appelle le nombre d eemplaires imprimés.. ompléter le tableau ci-dessous. Nombre d eemplaires imprimés 50 Pri en euros selon le tarif 540 Pri en euros selon le tarif 354 2. Écrire, en fonction de, le pri payé pour le tarif, puis pour le tarif. 3. onstruire dans un repère (Prendre sur l ae des abscisses : cm pour 0 eemplaires ; sur l ae des ordonnées : cm pour 50 euros) les représentations graphiques des fonctions suivantes : p : 2,4 p 2 : 2,6+ 30 4. Les deu représentations graphiques se coupent en un point M. alculer les coordonnées de M. 5. Déduire des questions 3. et 4. la condition pour laquelle le tarif est le plus intéressant. 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices

HPITRE EXERIES : PURENTGES ET FNTINS LINÉIRES EXERIE ompléter les phrases suivantes : Prendre 20 % d une quantité, cela revient à multiplier cette quantité par............ Prendre............ % d une quantité, cela revient à multiplier cette quantité par 0,08 ugmenter une quantité de 5 %, cela revient à multiplier cette quantité par............ ugmenter une quantité de............ %, cela revient à multiplier cette quantité par,06 Diminuer une quantité de 25 %, cela revient à multiplier cette quantité par............ Diminuer une quantité de............ %, cela revient à multiplier cette quantité par 0,9 EXERIE 2 chacune des situations suivantes on peut associer une fonction linéaire ; mais laquelle? EXERIE 3 Prendre 20 % d une quantité 0.75 ugmenter une quantité de 0 % 0,2 Diminuer une quantité de 40 % 0,96 Prendre 75 % d une quantité, ugmenter une quantité de % 0,6 Diminuer une quantité de 4 %,0. Dans un magasin, le pri affiché sur un article est 350 ; après remise, ce pri est tombé à 297,50. alculer le pourcentage de remise. 2. La population d une ville augmente de 3 % tous les ans. En 2004, la ville comptait 25000 habitants. ombien en compte-t-elle en 2005? ombien en comptait-elle en 2003? 3. Un libraire accorde un réduction de 5 % sur tous les livres du magasin. a) Eprimer le pri réduit y en fonction du pri initial. b) Un livre coûte 32,80 ; calculer le pri réduit de ce livre. c) alculer le pri initial d un livre payé 24,08. 4. n augmente de 0 % la longueur des côtés d un triangle, dont l aire vaut cm 2. a) alculer le pourcentage d augmentation de l aire du triangle. b) Eprimer l aire du triangle après agrandissement, y, en fonction de. c) Si l aire du triangle initial est de 5 cm 2, quelle sera l aire après agrandissement? d) près agrandissement, l aire du triangle est de 24,2 cm 2. Quelle était l aire initiale de ce triangle? EXERIE 4 Méfiance.... Entre 995 et 2000, la valeur marchande d une maison a augmenté de 20 % ; puis, entre 2000 et 2005, la valeur marchande de cette maison a encore augmenté de 30 %. Globalement, de quel pourcentage cette valeur a-t-elle augmenté entre 995 et 2005? 2. En Février, il y a eu 20 % de plus d accidents de la route qu en Janvier. En Mars, il y en a eu 20 % de moins qu en Février. D après vous, en Mars, y a-t-il eu autant, moins, ou plus d accidents qu en Janvier? 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE INTRDUTIN UX FNTINS : DISTNE DE FREINGE Quelques informations à lire attentivement avant de commencer : La vitesse est un facteur déterminant ou aggravant d accident de la route ; elle peut être mise en cause dans un accident mortel sur deu. Si la vitesse ne constitue pas toujours le facteur unique de l accident, elle en est très souvent un facteur aggravant : une baisse de vigilance, de mauvaises conditions météorologiques, un dépassement dangereu, un tau d alcoolémie trop élevé... ont des conséquences encore plus dangereuses lorsqu ils sont associés avec une vitesse élevée. La vitesse est souvent inadaptée au lieu et au circonstances : un véhicule peut rouler trop vite dans une situation donnée (par eemple en cas de pluie), dans un lieu donné (à la sortie d une école ou dans un virage), ou encore en fonction de l état du conducteur (sa fatigue) sans pour autant enfreindre les limites légales. e qui importe, ce n est pas seulement sa vitesse mais sa vitesse par rapport au autres. Un cyclomoteur est conçu pour ne pas dépasser les 45 km/h : ette vitesse est relativement élevée pour un engin ne pesant pas plus de 75 kg. Si le moteur est gonflé au-delà de la puissance légale, les freins et les pneus (en particulier) ne sont plus adaptés : Le risque augmente alors considérablement. Rouler plus vite : une nécessité? Rappel : La vitesse moyenne v d un objet mobile est le quotient de la distance parcourue d par la durée t du parcours. Si d est en kilomètres et t en heures, alors v est en kilomètre par heure (km.h ). n a donc v = d t.. Je dois parcourir une distance de 9 km en scooter. a) Si je roule en moyenne à 40 km.h. ombien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir ces 9 km?............................................................................................. b) Si je roule en moyenne à 45 km.h. ombien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir ces 9 km?............................................................................................. c) Quel est le gain de temps réalisé en augmentant ma vitesse de 5 km.h? Que vous inspire ce résultat?..................................................................................................................................................................................................... 2. Je dois parcourir une distance de 70 km en voiture, sur autoroute. a) Si je roule en moyenne à 30 km.h, combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir ces 70 km?........................................................................................... b) Si je roule en moyenne à 40 km.h, combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir ces 70 km?........................................................................................ c) Quel est le gain de temps réalisé en augmentant ma vitesse de 5 km.h? Que vous inspire ce résultat?..................................................................................................................................................................................................... lasse Page /4

2 Distance de freinage Définition : Tout objet en mouvement cumule de l énergie appelée énergie cinétique ; lorsque la vitesse augmente, l énergie cinétique augmente également... Pour arrêter un objet en mouvement, il faut que son énergie cinétique devienne nulle : c est le freinage, qui prend du temps et nécessite une certaine distance, la distance de freinage.. Soit v la vitesse d un véhicule en km.h ; la distance de freinage d F en mètres de ce véhicule est donnée par la relation d F = v 2 254 f (f est un coefficient qui dépend de l état de la route). a) Dans des conditions "normales", lorsque la route est sèche, le coefficient f est égal à 0,8. alculer pour chacune des vitesses v du tableau ci-dessous la distance de freinage d F. v (en km.h ) 0 0 20 30 40 50 60 d F (en m) b) Lorsque la route est mouillée, en cas de pluie, le coefficient f est égal à 0,4. alculer pour chacune des vitesses v du tableau ci-dessous la distance de freinage d F. v (en km.h ) 0 0 20 30 40 50 60 d F (en m) 2. Je roule en scooter, en ville, à une vitesse de 40 km.h. a) l aide des tableau, donner la distance de freinage du scooter sur route sèche, puis sur route mouillée.............................................................................................. b) Sur la route, un enfant surgit brusquement ; au moment où je commence à freiner, l enfant est à 9 m de moi. Y a-t-il un risque de collision? omment doit-on adapter sa vitesse? Epliquer la réponse................................................................................................................................................................................................................ Déterminer par le calcul la vitesse maimale à laquelle j aurais dû rouler sur la route mouillée pour éviter l accident. n donnera d abord une valeur approchée à l unité en km.h..................................................................................................................................................................................................................... 3. Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la distance de freinage d F en fonction de la vitesse v, sur route mouillée (on utilisera les données du tableau de la question 2.b.). d F en m 35 30 25 20 5 0 5 5 v en km.h 0 20 30 40 50 60 lasse Page 2/4

4. En utilisant le graphique, répondre au questions suivantes : Quelle est la distance de freinage lorsqu on roule à 45 km.h?..................................... quelle vitesse correspond une distance de freinage de 9 m?....................................... (faire le lien avec la question 3) 5. En utilisant les informations acquises lors de cette partie, commenter le tableau ci-dessous : Vitesses maimales en km.h En agglo Hors agglo Voie epress utoroute Route sèche 50 90 0 30 Route mouillée 50 80 00 0........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3 Distance d arrêt La distance de freinage n obéit pas à une simple loi physique : le conducteur a aussi besoin d un temps de réaction pour identifier la situation, prendre une décision adéquate (décider de freiner) et répondre efficacement (freiner). n estime que dans des conditions psychologiques et physiologiques normales, ce temps de réaction oscille entre 0,6 seconde et 2 secondes.. Entre le moment où le conducteur identifie la situation et commence effectivement à freiner, il a donc parcouru une certaine distance, appelée "distance de réaction". a) Je roule en voiture sur une route nationale à 90 km.h. En considérant que mon temps de réaction est d une seconde, calculer la distance de réaction :....................................................................................................................................................... b) Je roule maintenant sur une autoroute, à 26 km.h. Je suis fatigué, mon attention est moins soutenue, mon temps de réaction s allonge d une demi-seconde. alculer la distance de réaction :....................................................................................................... Définition : Finalement, entre le moment où le conducteur identifie la situation et s arrête effectivement, il a donc parcouru une certaine distance, appelée distance d arrêt : La distance d arrêt est la somme de la distance de réaction et de la distance de freinage. En notant d la distance d arrêt et d R la distance de réaction, on a donc : d = d R + d F. Dans la suite, on suppose que le temps de réaction du conducteur est égal à seconde. 2. ompléter le tableau ci-dessous, donnant les distances de réaction, de freinage et d arrêt d un individu roulant sur route sèche (f = 0,8), en fonction de sa vitesse : v (en km.h ) 0 20 40 60 80 00 20 40 d R (en m) d F (en m) d (en m) 3. a) Eprimer en fonction de la vitesse v (en km.h ) d un véhicule, sa distance d arrêt d (en m) sur route sèche :................................................................................................................................................................................................ b) Eprimer en fonction de la vitesse v (en km.h ) d un véhicule, sa distance d arrêt d 2 (en m) sur route mouillée :............................................................................................................................................................................................. lasse Page 3/4

c) Dans le repère ci-dessous, tracer les représentations graphiques de d (en bleu) et d 2 (en rouge) en fonction de la vitesse v, pour v compris entre 0 et 40 km.h. d en m 250 200 50 00 50 v en km.h 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0 20 30 40 d) En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de la distance d arrêt sur route sèche, puis sur route mouillée, d un véhicule dont la vitesse est de 95 km.h................................................................................................................................................................................................................................................ e) En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de la vitesse sur route sèche, puis sur route mouillée d un véhicule dont la distance d arrêt est de 20m...................................................................................................................................................................................................................................................... 4. ompléter ce tableau récapitulatif : Sur route sèche Vitesse (en km.h ) 50 90 0 30 Distance d arrêt (en m) Sur route mouillée Vitesse (en km.h ) 50 90 0 30 Distance d arrêt (en m) lasse Page 4/4

HPITRE 2 URS : SYSTÈMES D ÉQUTINS Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Système de deu équations à deu inconnues. Résolution de problèmes du premier degré ou s y ramenant. Résoudre algébriquement un système de deu équations du premier degré à deu inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation ou un système de deu équations du premier degré. Pour l interprétation graphique, on utilisera la représentation des fonctions affines. Les problèmes sont issus des différentes parties du programme. comme en classe de 4e, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l équation et interprétation du résultat. Equation à deu inconnues, système Définition : Une équation linéaire à deu inconnues et y est une équation qui peut s écrire sous la forme u+ v y = w, où u, v et w sont trois nombres réels. Un couple ( 0 ; y 0 ) de nombres réels sera un couple solution de cette équation si, lorsque l on remplace par 0 et y par y 0, l égalité est vérifiée. Par eemple, on considère l équation 2 4y = 4. le couple (5;2) est un couple solution de cette équation, car 2 5 4 2=2 4, n est pas le couple (4;) est n est pas un couple solution de cette équation, car 2 4 4 =4 Interprétation graphique des couples solutions : En fait, si les nombres u et v sont non nuls, une telle équation admet une infinité de couples solutions, qui sont les coordonnées des points de la droite (d) d équation y = a+ b, où a= u v et b= w v. y Dans notre eemple, l ensemble des couples solutions de l équation 2 4y = 4 est donc constitué des coordonnées des points de la droite (d) d équation y = 0,5. (4; ) Nous pouvons lire quelques couples solutions de l équation 2 4y = 4, comme (4;) et ( 2; 2), ou encore (0; ) (voir ci-contre), mais on conçoit qu il eiste une infinité de tels couples (un pour chaque point de la droite (d)). (d) ( 2; 2) (0; ) 3 ème Page /3 ours systèmes

Définition : Un système de { deu équations linéaires à deu inconnues et y est un système qui peut s écrire u+ v y = w sous la forme u + v y = w où u, v, w, u, v et w sont des nombres réels. Résoudre un tel système consiste à déterminer, s il y en a, tous les couples qui sont solutions des deu équations à la fois. { 2 4y = 4 Par eemple, est un système a deu équations à deu inconnues. 3y = 6 {, est 2 4 4 =4 le couple (4;) un couple solution de ce système, car n est pas 4 3 = 6 le couple ( 6; 4) {, est 2 ( 6) 4 ( 4)=4 un couple solution de ce système, car n est pas 6 3 ( 4)=6 2 Méthodes de résolution d un système Nous allons résoudre par le calcul le système suivant, et ceci de deu manières différentes : { 2 4y = 4 3y = 6 Première méthode : substitution Etape : n eprime, grâce à l une des deu équations, une inconnue en fonction de l autre. Ici il est facile d eprimer en fonction de y grâce à la seconde équation : Etape 2 : n substitue par 3y+ 6 dans la première équation : Etape 3 : n développe, on réduit et on résout l équation d inconnue y ainsi obtenue : { 2 4y = 4 = 3y+ 6 { 2(3y+ 6) 4y = 4 = 3y+ 6 { 6y+ 2 4y = 4 = 3y+ 6 { 2y + 2=4 = 3y+ 6 { 2y = 8 = 3y+ 6 { y = 4 = 3y+ 6 Etape 4 : n remplace y par sa valeur dans la seconde équation pour trouver { y = 4 = 3( 4)+6 { y = 4 = 6 Etape 5 : n vérifie que les valeurs trouvées pour et y conviennent : { 2 ( 6) 4 ( 4)=4 ( 6) 3 ( 4)=6 Etape 6 : n conclut : le système admet un unique couple solution, qui est ( 6; 4). 3 ème Page 2/3 ours systèmes

Deuième méthode : élimination par combinaison Etape : n multiplie une des équations (ou les deu) par un (des) nombre(s) bien choisi(s), de façon que les coefficients d une même inconnue soient opposés. Ici on multiplie la seconde équation par 2 : Etape 2 : n additionne les deu équations membre à membre pour éliminer l une des inconnues, et on remplace l une des équations (par eemple, ici, la seconde) par l équation ainsi obtenue : { 2 4y = 4 2+ 6y = 2 { 2 4y = 4 (2 4y)+( 2+ 6y)=4+( 2) { 2y 4y = 4 2y = 8 Etape 3 : n résout l équation d inconnue y ainsi obtenue : Etape 4 : n remplace y par sa valeur dans la première équation pour trouver Etape 5 : n résout l équation d inconnue ainsi obtenue : { 2 4y = 4 y = 4 { 2 4 ( 4)=4 y = 4 { 2= 4 6 y = 4 { 2= 2 y = 4 { = 6 y = 4 Etape 6 : n vérifie que les valeurs trouvées pour et y conviennent : { 2 ( 6) 4 ( 4)=4 ( 6) 3 ( 4)=6 Etape 7 : n conclut : le système admet un unique couple solution, qui est ( 6; 4). Interprétation graphique n commence par transformer les deu équations du système, de façon à les mettre sous la forme d une équation de droite du type (y = a+b). { 2 4y = 4 3y = 6 { 4y = 2+ 4 3y = + 6 { y = 0,5 y = 3 2 = 6 y Dans un repère, on trace les deu droites correspondant à ces deu équations. Soit (d) la droite d équation y = 0,5, et (d ) la droite d équation y = 3 2 les couples solutions de ce système sont les coordonnées des points communs au deu droites, s il y en a. (d ) (d) y = 4 3 ème Page 3/3 ours systèmes

HPITRE 2 FIHE D EXERIES : SYSTÈMES D ÉQUTINS EXERIE Dans chaque cas, donner trois couples solutions de l équation donnée :. 2 3y = 4 2. 5y = 3 3. 3+ 7y = 4. 2 y 6 = EXERIE 2. Résoudre les trois systèmes suivants en utilisant la méthode de substitution : { { { 3+ 5y = 4 2y = 3 3 y = 3 a) b) c) 2+ y = 5 4+ 3y = 3 5+ 4y = 2 2. Résoudre les trois systèmes suivants en utilisant la méthode d élimination par combinaison : { { { 3 5y = 3 7 4y = 4 3y = 0 a) b) c) 7+ 5y = 7 5+ 2y = 6+ 7y = 4 3. Résoudre les quatre systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choi : { { { { 2 y = 8 7+ y = 3 5 7y = 0 a) b) c) 5 + 4y = 3y = 5 6+ 8y = 5 d) y 2 = 2+ y 4 = EXERIE 3 Dans chaque cas :. résoudre le système par la méthode de votre choi 2. confirmer votre réponse par le graphique, en traçant dans un repère les deu droites correspondant au équations du système, et en lisant les coordonnées de leur point d intersection. { { 2+ y = + 3y = 3 2+ 4y = 6 5y 3+ 2y = 5 5y 4 4 3 3 2 2 5 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 2 3 4 2 2 3 3 4 4 5 5 EXERIE 4 DN Madagascar 2003 Trouver deu nombres, connaissant leur somme 2 003 et leur différence 5. EXERIE 5 DN Groupe Nord 2006. Résoudre le système suivant : { 8+ 3y = 39,5 7+ 9y = 50,5 3 ème Page /2 Fiche d eercices

2. Une balade d une heure en mer est proposée à deu groupes de touristes. Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50. Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50. Quel est donc le pri d un ticket pour un adulte? pour un enfant? EXERIE 6 DN Groupe Sud 2006. Résoudre le système { 6+ 5y = 57 3+ 7y = 55,5 2. Pour classer des photos, un magasin propose deu types de rangement : des albums ou des boîtes. Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50. Quel est le pri d une boîte? Quel est le pri d un album? EXERIE 7 DN mérique du Nord 2005. Résoudre le système : { 0 3y = 35 5 4y = 20 ( 5 2. Montrer que les valeurs trouvées pour et y vérifient la condition 8 y 5 ) = 3 ( ) + 20 y+ 20 EXERIE 8 DN Groupe Est Septembre 2004 u rugby, un essai transformé permet d augmenter le score de l équipe de 7 points, un essai non transformé augmente le score de 5 points et une pénalité augmente le score de 3 points. Si, par eemple, au cours d un match, l équipe de France marque 4 essais transformés, 2 essais non transformés et 3 pénalités, le nombre de points marqués par la France est : 4 7 + 2 5 + 3 3 = 47. { + y = 7. Résoudre le système suivant : 7+ 5y = 39 2. Lors d une autre rencontre, l équipe de France a marqué 7 essais (certains transformés et d autres non) et 2 pénalités pour un total de 45 points. Déterminer le nombre d essais transformés et le nombre d essais non transformés marqués par l équipe de France au cours de ce match. EXERIE 9 Dans chaque cas :. tenter de résoudre le système par la méthode de votre choi 2. éclairer votre réponse par le graphique, en traçant dans un repère les deu droites correspondant au équations du système. { { 2+ y = + 3y = 3 4 2y = 6 4y 5+ 5y = 5 4y 3 3 2 2 5 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 2 3 4 2 2 3 3 4 4 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices

HPITRE 3 URS : RTTIN - NGLES Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Rotation, angles, polygones réguliers Images de figures par une rotation onstruire l image par une rotation donnée d un point, d un cercle, d une droite, d un segment et d une demi-droite. Les activités porteront d abord sur un travail epérimental permettant d obtenir un inventaire abondant de figures à partir desquelles seront dégagées des propriétés d une rotation (conservation des longueurs, des alignements, des angles, des aires). es propriétés pourront être utilisées dans la résolution d eercices simples de construction. Dans des pavages on rencontrera des figures invariantes par rotation. Les configurations rencontrées permettent d utiliser les connaissances sur les cercles, les tangentes, le calcul trigonométrique... Polygones réguliers onstruire un triangle équilatéral, un carré, un heagone régulier connaissant son centre et un sommet. Les activités sur les polygones réguliers, notamment leur tracé à partir d un côté, porteront sur le triangle équilatéral, le carré, l heagone et éventuellement l octogone. ertaines d entre elles pourront conduire à utiliser la propriété de l angle inscrit. Les activités de recherche de transformations laissant invariant un triangle équilatéral ou un carré sont l occasion de revenir sur les transformations étudiées au collège. ngle inscrit omparer un angle inscrit et l angle au centre qui intercepte le même arc. n généralise le résultat relatif à l angle droit, établi en classe de quatrième. ette comparaison permet celle de deu angles inscrits interceptant le même arc, mais la recherche de l ensemble des points du plan d où l on voit un segment sous un angle donné, autre qu un angle droit, est hors programme. 3 ème Page /4 ours rotation - angles

Image d une figure par une rotation : Définition : désigne un point du plan, M un point différent de etαla mesure d un angle en degrés. L image M½du point M par la rotation de centre et de rayonα(dans un sens précisé) est tel que : M½M ; MM½α en tenant compte du sens de la rotation ; Remarque : Il eiste deu sens de rotation : le sens inverse des aiguilles d une montre, encore appelé sens direct ou positif :; le sens des aiguilles d une montre, encore appelé sens indirect ou négatif onstructions : Rotation de sens direct Rotation de sens centre, angle 40 indirect centre, angle 65 M M ½¼ M M Pour construire le point M½image de M par une rotation de centre et d angleα, on trace la demi-droite ÖMÕ, puis on trace la demi-droiteöõavec le rapporteur (attention au sens de la rotation!!) puis, avec le compas pointé en, on prend l écartement M que l on reporte suröõ. Le point d intersection est le point M½, image du point M. as particuliers : Une rotation de centre et d angle 80 est une symétrie (centrale) de centre. M Une rotation de centre et d angle 90 s appelle un quart de tour. M M M ½¼ 3 ème Page 2/4 ours rotation - angles

I Propriétés de conservation : Soient,,, I quatre points et ½, ½, ½, I½leurs images respectives par une rotation. La rotation conserve les distances : ½½. La rotation conserve les aires. La rotation conserve les angles : ½½½. La rotation conserve l alignement : si,, sont alignés alors ½, ½, ½le sont aussi. La rotation conserve les milieu : si I est le milieu du segmentö alors I½est le milieu du segment Ö½½. La rotation transforme un segment en un segment, une droite en une droite, une demi-droite en une demi-droite. La rotation transforme un cercle en un cercle de même rayon. Eemple : La figure F½est l image de F par la rotation de centre, d angle 0, de sens direct. F½et F sont superposables. Par cette rotation, ½, ½, ½sont les images respectives de, et. F F J I J ½½¼ L image du segmentö est le segmentö½½ et on a ½½=. L image du cercle de centre I et de rayon r est le cercle de centre I½et de même rayon. L image de la droite ( ) est la droite (½½). Les images des deu droites parallèles (I K ) et ( ) sont deu droites parallèles : (I½K½) et (½½). Les images des deu droites perpendiculaires (I K ) et ( ) sont deu droites perpendiculaires : (I½K½) et (½½). 2 Polygones réguliers Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les sommets sont sur un même cercle et dont tous les côtés ont la même longueur. Eemples : 3 ème Page 3/4 ours rotation - angles

Le triangle équilatéral Le carré 360 4 = 90 360 43 = 20 L heagone régulier L octogone régulier 360 6 = 60 360 8 = 45 Propriété : Tous les angles au centre d un polygone régulier sont égau. Si n est le nombre de côtés de ce polygone régulier alors l angle au centre est égal à 360 n. 3 Le théorème de l angle inscrit Vocabulaire : Soit un cercle de centre. n dit qu un angle M est inscrit dans le cercle lorsque son sommet M appartient au cercle et lorsqueöm etöm sont des cordes du cercle. n dit que l angle M intercepte l arc. L angle est l angle au centre associé à l angle inscrit M : ces deu angles interceptent le même arc. N M Théorème (dit de l angle inscrit) : Dans un cercle, la mesure d un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l angle au centre associé : M 2. En conséquence, si deu angles inscrits interceptent le même arc, alors ces deu angles sont égau : MN 3 ème Page 4/4 ours rotation - angles

HPITRE 3 EXERIES : THÉRÈME DE L NGLE INSRIT EXERIE DN Groupe Nord 2004. Tracer sur la copie un segment [E F ] de longueur 7 cm et de milieu. Tracer le cercle de diamètre [E F ] puis placer un point G sur le cercle tel que F EG = 26. 2. Démontrer que le triangle E FG est rectangle en G. 3. alculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre. 4. Déterminer la mesure de l angle GF (justifier votre réponse). EXERIE 2 DN Groupe Est 2005 E 50 Démontrer que le triangle est un triangle rectangle : 40 EXERIE 3 DN ntilles - Guyane 2006 n considère un cercle de diamètre H = 9 cm. M est un point du cercle tel que M H = 5,3 cm et T un autre point du cercle. (la figure est à l échelle 2/3).. Justifie que le triangle M H est un triangle rectangle. 2. alcule la mesure de l angle H M, arrondi au degré près. 3. alcule la mesure de l angle HT M, arrondi au degré près. M H T EXERIE 4 Soit un cercle de centre, dont [ ] est un diamètre. Une corde [D] coupe le segment [ ] en I. n a D = 25 et = 50.. Fais une figure. 2. Détermine les mesures des angles suivants : =............ =............ I =............ =............ D =............ D =............ D =............ D =............ 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE 3 FIHE D EXERIES : IMGE D UN PINT PR UNE RTTIN EXERIE À l aide du quadrillage ci-contre, construis : l image de par la rotation de centre, d angle 90, dans le sens direct. F l image de par la rotation de centre D, d angle 90, dans le sens indirect. E l image F de F par la rotation de centre E, d angle 90, dans le sens direct. D l image G de G par la rotation de centre H, d angle 90, dans le sens indirect. G H EXERIE 2 E F À l aide du quadrillage ci-contre, entièrement constitué de triangles équilatérau, construis : D l image de par la rotation de centre, d angle 60, dans le sens direct. l image de par la rotation de centre D, d angle 20, dans le sens indirect. l image F de F par la rotation de centre E, d angle 60, dans le sens indirect. H G l image G de G par la rotation de centre H, d angle 20, dans le sens direct. EXERIE 3 À l aide d un compas, d un rapporteur et d une règle graduée, construis : F l image de par la rotation de centre, d angle 45, dans le sens direct. l image de par la rotation de centre D, d angle 0, dans le sens direct. l image F de F par la rotation de centre E, d angle 30, dans le sens indirect. H D l image G de G par la rotation de centre H, d angle 40, dans le sens indirect. G E 3 ème Page / Fiche d eercices

HPITRE 3 FIHE D EXERIES : IMGE D UNE FIGURE PR UNE RTTIN U PR UNE UTRE TRNSFRMTIN DU PL N EXERIE Dans les cadres ci-dessous :. trace l image du segment [] par la rotation de centre d angle 90 (sens indirect) ; la rotation de centre d angle 20 (sens direct). 2. trace l image de la demi-droite [) par la rotation de centre d angle 30 (sens direct) ; la rotation de centre d angle 45 (sens indirect). 3. trace l image de la droite (d) par la rotation de centre d angle 45 (sens direct) ; la rotation de centre d angle 0 (sens indirect). 4. trace l image du cercle par la rotation de centre d angle 40 (sens direct) ; la rotation de centre d angle 80 (sens indirect). 5. trace l image du triangle par la rotation de centre d angle 50 (sens indirect) ; la rotation de centre d angle 90 (sens direct). 6. trace l image du carré D par la rotation de centre d angle 00 (sens direct) ; la rotation de centre d angle 45 (sens indirect). (d) D 3 ème Page /2 Fiche d eercices

EXERIE 2 Sur les quadrillages ci-dessous, construis l image F de la figure F par la symétrie aiale d ae (E F ) ; l image F 2 de la figure F par la symétrie centrale de centre P ; l image F 3 de la figure F par la translation de vecteur et l image F 4 de la figure F par la rotation de centre, d angle 90 dans le sens positif. F E F P P E EXERIE 3 DN mérique du Nord 2005, à peine modifié... La figure grise est obtenue après avoir appliqué une transformation du plan à la figure blanche. Dans chaque cas : Préciser le type de transformation (symétrie aiale centrale, translation, rotation). Faire apparaître et préciser le(s) élément(s) caractéristique(s) de cette transformation (ae, centre, vecteur, angle, sens de rotation). Transformation : Transformation : Transformation : Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques : Transformation : Transformation : Transformation : Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques : 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices

HPITRE 3 FIHE D EXERIES : PLYGNES RÉGULIERS EXERIE n considère DE F un heagone régulier de centre. D E F. Identifions quelques rotations : a) Détermine l angle et le sens de la rotation de centre qui transforme D en. b) Détermine l angle et le sens de la rotation de centre qui transforme en. c) Détermine le centre, l angle et le sens de la rotation qui transforme en D et en E. d) Détermine le centre, l angle et le sens de la rotation qui transforme en D et F en. 2. Etrait du DN, Groupe uest, 2006 : a) Quel est le symétrique du triangle D par rapport au point? b) Quel est le symétrique du triangle E F par rapport à la droite (E)? c) Quelle est l image du triangle D par la rotation de centre, d angle 60 dans le sens des aiguilles d une montre? = + EXERIE 2 DN Groupe Est 2003 Sur la figure ci-après sont représentés 8 heagones réguliers.. onstruire le point M tel que M. 2. onstruire le point Q, symétrique de H par rapport à la droite (E ). 3. onstruire le point P, image du point par la rotation de centre E et d angle 60 dans le sens des aiguilles d une montre. G F H E D lasse Page / Fiche d eercices

HPITRE 4 URS : STTISTIQUES Etrait du programme de la classe de Troisième : Statistique NTENU MPÉTTENES EXIGILES MMENTIRES Il s agit essentiellement, d une part de faire acquérir au élèves les premiers outils de comparaison de séries statistiques, d autre part de les habituer à avoir une attitude de lecteurs responsables face au informations de nature statistique. aractéristiques de position d une série statistique pproche de caractéristiques de dispersion d une série statistique Initiation à l utilisation de tableursgrapheurs en statistique Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau, ou par une représentation graphique), proposer une valeur médiane de cette série et en donner la signification. Une série statistique étant donnée, déterminer son étendue ou celle d une partie donnée de cette série. n repère, en utilisant effectifs ou fréquences cumulées, à partir de quelle valeur du caractère on peut être assuré que la moitié de l effectif est englobée. Les eemples ne devront soulever aucune difficulté au sujet de la détermination de la valeur de la médiane. L étude de séries statistiques ayant même moyenne permettra l approche de la notion de dispersion avant toute introduction d indice de dispersion. n introduira l étendue de la série ou de la partie de la partie de la série obtenue après élimination des valeurs etrêmes. n pourra ainsi aborder la comparaison de deu séries en calculant quelques caractéristiques de position et de dispersion, ou en interprétant des représentations graphiques données. Les tableurs que l on peut utiliser sur tous les types d ordinateurs permettent, notamment en liaison avec l enseignement de la technologie, d appliquer de manière rapide à des données statistiques les traitements étudiés. 3 ème Page /7 ours Stats

Définitions et vocabulaire des statistiques Faire une étude statistique, c est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et eploiter des données, numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision, de constat... Les plus gros "consommateurs" de statistiques sont les assureurs (risques d accidents, de maladie des assurés), les médecins (épidémiologie), les démographes (qui étudient les populations et leur dynamique) et sociologues (qui étudient les phénomènes sociau humains), les économistes (emploi, conjoncture économique), les météorologues... La population est l ensemble des individus sur lesquels portent l étude statistique. Le caractère (ou variable statistique) d une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu. Lorsque le caractère ne prend que des valeurs (ou modalités) numériques, on dit qu il est quantitatif. Sinon, on dit qu il est qualitatif : les valeurs de la série ne sont pas des nombres. Effectifs, effectifs cumulés, fréquences : chaque valeur (ou classe) est associée un effectif n : c est le nombre d individus associés à cette valeur. De même à chaque valeur (ou classe) est associée une fréquence f : c est la proportion d individus associés à cette valeur. f est un nombre compris entre 0 et, que l on peut écrire sous forme de pourcentage. Si N est l effectif total (l effectif de la population entière) alors on a f = n N (ou f = n 00 si on N l eprime sous forme de pourcentage). Effectifs et fréquences cumulées : Lorsque les valeurs sont rangées dans l ordre croissant, on obtient l effectif cumulé croissant d une valeur en additionnant son effectif à ceu qui le précèdent (on additionne à partir de la gauche du tableau). De la même manière, les fréquences cumulées croissantes s obtiennent en divisant l effectif cumulé croissant par l effectif total. Pour obtenir les effectifs ou les fréquences cumulés décroissants, on additionne à partir de la droite du tableau. Remarque : les effectifs cumulés croissants indiquent quel est l effectif de la série dont la valeur est inférieure à une valeur donnée. Eemple : Voici le relevé, par tranche d âge, de la population en France métropolitaine pour l année 2002 : Tranche d âge 0-9 ans 20-39 ans 40-59 ans 60-74 ans + 75 ans Total Effectifs (en milliers) 4 988 6 37 5 758 7 727 4 499 59 343 Fréquences 25,3 % 27,5 % 26,6 % 3 % 7,6 % 00 % Effectifs cumulés croissants 4 988 3 359 47 7 54 844 59 343 59 343 Fréq. cumulées croissantes 25,3 % 52,8 % 79,4 % 92,4 % 00 % 00 % Par eemple, on peut lire dans ce tableau que 6 37 individus ont entre 20 et 49 ans, que 3 359 individus ont 39 ans ou moins, que 26,6 % des individus ont entre 40 et 59 ans, ou encore que 79,4 % des individus ont 59 ans ou moins. 3 ème Page 2/7 ours Stats

2 Représentation graphique d une série statistique 2. Diagramme en bâtons Lorsque le caractère étudié est quantitatif et discret, on peut représenter la série statistique étudiée par un diagramme en bâtons : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l effectif (ou à la fréquence) associé à chaque valeur. Par eemple, voici le diagramme en bâtons représentant la série des notes obtenues par une classe à un contrôle : Notes 2 4 6 7 8 9 0 2 4 7 Total Effectif 2 2 2 3 4 6 2 25 Fréquence % 4 8 4 8 8 2 6 24 8 4 4 00 6 Effectif 5 4 3 2 0 Notes 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 2.2 Histogramme Lorsque le caractère étudié est quantitatif et continu, et lorsque les modalités sont regroupées en classes, on peut représenter la série par un histogramme : l aire de chaque rectangle est proportionnelle à l effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe Lorsque les classes ont la même amplitude, c est la hauteur de chaque rectangle qui est proportionnelle à l effectif. Par eemple, voici un histogramme représentant la répartition des salaires dans une entreprise : Salaires 000 S< 200 200 S < 400 400 S < 600 600 S < 800 800 S < 2000 Total Effectif 36 44 64 40 6 200 Fréquence 0, 8 0, 22 0, 32 0, 2 0, 08 3 ème Page 3/7 ours Stats

salarié 000 200 400 600 800 2000 2.3 Diagramme circulaire Enfin, lorsque le caractère est qualitatif, on représente la série par un diagramme circulaire ou semicirculaire ("camemberts") : la mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle à l effectif (ou à la fréquence) associé. Par eemple, voici un diagramme circulaire représentant la répartition des adhérents à un club sportif : Sport Tennis Football Handball Rugby utres Total Effectif 4 9 7 5 5 50 Fréquence % 8 38 4 30 0 00 Mesure de l angle en degrés 28, 8 36, 8 50, 4 08 36 360 Football Tennis Handball utres Rugby 3 ème Page 4/7 ours Stats

3 Mesures de tendance centrale : moyenne, médiane 3. Moyenne d une série statistique Si la série est donnée sous la forme d une liste Par eemple, voici les notes obtenues à un contrôle par les 2 élèves d une classe : 8 3 4 7 5 2 9 0 5 8 9 4 6 9 9 0 0 9 4 Pour calculer la moyenne de cette série de notes, on additionne toutes les notes, et on divise par le nombre total de notes : m= 8+3+4+7+5+2++9+0+5+8+9+4++6+9+9+0+0+9+4 2 Si les valeurs de la série sont regroupées dans un tableau avec effectifs associés Par eemple, voici les notes obtenues à un autre contrôle par les 25 élèves d une autre classe : = 23 2 0,4 Notes 2 4 6 7 8 9 0 2 4 7 Total Effectif 2 2 2 3 4 6 2 25 La moyenne est alors dite pondérée par les effectifs. Pour calculer cette moyenne, on commence par effectuer les produits des notes par les effectifs associés, puis on additionne tous ces produits, et on divise la somme obtenue par le nombre total de notes : m= 2+4 2+6+7 2+8 2+9 3+0 4+ 6+2 2+4+7 25 Si les valeurs de la série sont regroupées par classes Par eemple, voici la répartition des salaires de 200 salariés d une entreprise : = 234 25 = 9,36 Salaires 000 S< 200 200 S < 400 400 S < 600 600 S < 800 800 S < 2000 Total entre 00 300 500 700 900 Effectif 36 44 64 40 6 200 n considère alors qu une classe donnée sera représentée, dans le calcul, par son centre, et on utilise le centre de la classe pour calculer la moyenne pondérée par les effectifs : m= 00 36+300 44+500 64+700 40+900 6 = 29200 = 456 200 200 n obtient une valeur approchée du salaire moyen réel. 3.2 Médiane d une série statistique Reprenons l eemple des notes obtenues à un contrôle par les 25 élèves d une classe : Notes 2 4 6 7 8 9 0 2 4 7 Total Effectif 2 2 2 3 4 6 2 25 3 ème Page 5/7 ours Stats

Nous avons calculé, dans le paragraphe précédent, que la moyenne de la classe valait 9,34. D après le tableau qui présente la série, élèves ont eu une note inférieure à la moyenne du contrôle, alors que 4 élèves ont eu une note supérieure à la moyenne du contrôle. on observe que la moyenne d une série statistique dont les éléments sont rangés par ordre croissant ne sépare pas ceu-ci - en tous cas, pas toujours - en deu parties de même effectif Définition : La médiane M d une série statistique est la valeur qui partage la population étudiée en deu sousgroupes de même effectif, chacun tels que : tous les éléments du premier groupe on des valeurs inférieures ou égales à M ; tous les éléments du deuième groupe ont des valeurs supérieures ou égales à M. Détermination de la médiane d une série statistique partir d un tableau d effectifs cumulés ou de fréquences cumulées Eemple : Reprenons l eemple des notes obtenues à un contrôle par les 25 élèves d une classe : Notes 2 4 6 7 8 9 0 2 4 7 Total Effectif 2 2 2 3 4 6 2 25 E... 3 4 6 8 5 2 23 24 25 25 : Effectifs cumulés croissants Les notes étant rangées dans l ordre croissant, la case grisée indique que, de la 2 ème à la 5 ème, les notes sont égales à 0. r 25=2++2 donc la médiane est la 3 ème note c est-à-dire 0. Rang : r e 2 e... e 2 e 3 e 4 e... 25 e Notes : 2 } 4... {{ 9 0 } 0 0 }... {{ 7 } 2 élèves 2 élèves n rappelle que la moyenne de la classe à ce contrôle était de 9,34, donc la médiane et la moyenne sont (en général) différentes. À partir d une représentation graphique Une valeur approchée de la médiane peut être obtenue à l aide de la courbe polygonale des effectifs cumulés croissants (ou des fréquences cumulées) en lisant la valeur correspondant à la moitié de l effectif total (ou à une fréquence cumulée égale à 50 %) : À la question "Quelle quantité d eau buvez-vous par jour?", les cinquante personnes interrogées ont donné des réponses qui ont permis de compléter le tableau suivant : Quantité d eau (en L) [0 ;0,5[ [0,5 ;[ [ ;,5[ [,5 ;2[ [2 ;2,5[ [2,5 ;3[ Fréquences % 24 42 8 0 4 2 F... % 24 66 84 94 98 00 : Fréquences cumulées croissantes La courbe polygonale des effectifs cumulés est obtenue en joignant par des segments les points dont l abscisse est une valeur de la série (ou l etrémité d une classe) et dont l ordonnée est l effectif cumulé correspondant à cette valeur : 3 ème Page 6/7 ours Stats

00 % 98 % 94 % 84 % 66 % 50 % 24 % Fréquence cumulée La médiane M est environ égale à 0,8 L ; en effet, la moitié des personnes interrogées consomme moins de 0,8 L par jour (ou, ce qui revient au même, la moitié des personnes interrogées consomme plus de 0,8 L par jour). Quantité d eau (en L) 0,5 0,8,5 2 2,5 3 4 Mesure de dispersion omparons les notes obtenues à un contrôle par deu classe différentes : lasse n : Notes 2 3 6 7 8 9 0 3 4 5 7 Total Effectif 2 2 3 3 6 2 2 25 La moyenne de cette classe à ce contrôle est égale à : m = 2+3+6+7 2+8 2+9 3+0 3+ 6+3 2+4 2+5+7 25 La médiane de cette classe à ce contrôle est égale à : la 3 ème note (car 25=2++2), c est-à-dire que M = 0 = 250 25 = 0 lasse n 2 : Notes 5 7 8 9 0 2 3 Total Effectif 2 2 2 5 6 2 3 23 La moyenne de cette classe à ce contrôle est égale à : m 2 = 5 2+7+8 2+9 2+0 5+ 6+2 2+3 3 23 La médiane de cette classe à ce contrôle est égale à : la ème note (car 23=++), c est-à-dire que M 2 = 0 = 230 23 = 0 es deu séries ne sont pas différenciables par les mesures de tendance centrale ; pourtant, on ne peut pas dire la même chose des deu classes : elles n ont pas le même profil! Définition : n appelle étendue d une série statistique la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite. L étendue est une mesure de dispersion des valeurs : plus l étendue est grande, plus les valeurs sont dispersées. Ici, l étendue de la série de notes de la classe n vaut : 7 2=5 points. L étendue de la série de notes de la classe n 2 vaut, elle : 3 5=8 points. n pourrait dire que la classe n 2 a eu des résultats plus homogènes que la classe n. 3 ème Page 7/7 ours Stats

HPITRE 4 FIHE D EXERIES TYPE DN : STTISTIQUES EXERIE entres étrangers (Lyon) 2006 Le tableau ci-dessous présente la série des notes obtenues par les élèves de 3 e lors du dernier devoir en classe : Note sur 20 5 6 8 9 2 3 5 8 9 Effectif 2 6 2 4 2 3. Quel est l effectif de la classe de 3 e? 2. alculer la note moyenne de ce devoir. En donner la valeur arrondie au diième de point. 3. Quel est le pourcentage, arrondi à l unité, de l effectif total représentent les élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8? 4. Déterminer la note médiane de cette série. Que représente cette note? EXERIE 2 mérique du Nord 2005 Madame et Monsieur sont tous les deu professeurs de Mathématiques et ont tous les deu une classe de troisième ayant 20 élèves. Ils comparent les notes obtenues par leurs élèves au dernier devoir commun. Notes attribuées par Madame 7-8 - 2-2 - 8-5 - - 6-3 - 8-5 - 8-9 - 20-6 - 6-6 - 8-7 - 5 Notes attribuées par Monsieur 8-8 - 9-2 - - 8-3 - 5-7 - 9-0 - 0-2 - 8-0 - 4-2 - - 4-9. onstruire, sur la copie et sur un même dessin, les diagrammes en bâtons représentant les deu séries de notes. (Utiliser deu couleurs.) 2. alculer la moyenne de chaque série. 3. Déterminer une médiane de chaque série. 4. omparer ces deu classes. EXERIE 3 entres étrangers (ordeau) 2006 L histogramme ci-contre illustre une enquête faite sur l âge des 30 adhérents d un club de badminton mais le rectangle correspondant au adhérents de 6 ans a été effacé.. alculer le nombre d adhérents ayant 6 ans. 2. Quel est le pourcentage du nombre d adhérents ayant 5 ans? 3. Quel est l âge moyen des adhérents du club? Donner une valeur arrondie au diième. Effectifs 0 8 6 4 2 0 4 5 6 7 Âge 4. ompléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme semi-circulaire représentant la répartition des adhérents selon leur âge. Âge 4 ans 5ans 6 ans 7 ans Total Nombre d adhérents 7 6 0 30 Mesure de l angle en degrés 80 3 ème Page /2 Fiche d eercices

EXERIE 4 Groupe Sud 2005 i-après, est présenté l histogramme des notes d un contrôle notée sur 5 pour une classe de 25 élèves.. Reproduire et remplir le tableau de notes suivant : Note 0 2 3 4 5 Effectif Effectif cumulé croissant 2. alculer la moyenne des notes de la classe. 3. Quelle est la médiane des notes de la classe? 4. alculer la fréquence des notes inférieures ou égales à 0 3 points sur 5. 0/5 /5 2/5 3/5 4/5 5/5 0 9 8 7 6 5 4 3 2 Effectif Notes EXERIE 5 Nice 2004 u cours d une course d athlétisme (400 m), le temps mis par chaque coureur a été chronométré. es mesures (en secondes) sont reportées ci-dessous : 48,65 49,20 50 50,2 50,3 50,45 5 5,80 5,85 5,90 52,05 52,20 52,60 53,28 54,80. Quelle est l étendue de cette série? 2. Donner la moyenne arrondie au centième de cette série. 3. Donner la médiane de cette série. 4. Quel pourcentage de coureurs ont mis moins de 52,50 secondes pour 400 mètres? EXERIE 6 Lyon 2004 u cours d une enquête réalisée sur 67 élèves d un collège, on relève la durée d (en minutes) passée par chacun d entre eu pour effectuer leur travail scolaire chaque jour. Les résultats ont été regroupés en quatre classes dans le tableau ci-après.. ompléter ce tableau en arrondissant les fréquences à %. 2. En remplaçant chaque classe par son centre, calculer la durée moyenne passée chaque jour par un élève pour effectuer son travail scolaire. n donnera cette durée arrondie à la minute. Durée du travail d entre de classe Effectif Fréquence % 0 d < 30 5 06 6 30 d < 60 60 d < 90 235 90 d < 20 44 Total 67 00 EXERIE 7 i 2004 Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l enquête sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leur âge (en années) : âge [0 ; 0[ [0 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[ entre de classe 5........................ Effectifs 27 45 48 39 42 36 33 24 6 Eff. cumulés croissants............................ ompléter le tableau en indiquant le centre de chaque classe d âge et les effectifs cumulés croissants. 2. alculer l âge moyen des skieurs fréquentant cette station. 3. Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans? 4. (jout personnel) onstruire le polygone des effectifs cumulés croissants afin de déterminer graphiquement une valeur approchée de l âge médian des skieurs fréquentant la station (unités graphiques : cm pour 5 ans en abscisse, cm pour 20 skieurs en ordonnée). 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices