Cinématique des solides

Cinématique des solides 1- Positions Définir une position n a un sens que si l on précise par rapport à quoi se réfère cette position. Le référent est un repère ou un solide. Pour définir une position par rapport à un solide on définit la position par rapport à un repère fixe de ce solide. 1.1- Position d un point La position d un point M par rapport à un repère R = (, X, Y, Z ) est : le vecteur OM Dans l espace la position d un point est donc définie par au maximum trois variables (paramètres) car dans l espace un vecteur à trois composantes. Les variables choisies différent suivant les liaisons on a trois types de coordonnées pour préciser la position d un point. 1.1.1- Coordonnées cartésiennes : Le vecteur position OM et donc la position du point M est défini par ses trois coordonnées dans le repère orthonormé (O, x, y, z ) OM = Om 1 + Om 2 + Om 3 OM = x(t). x + y(t). y + z(t). z 1.1.2- Coordonnées polaires ou cylindriques : Le vecteur OM et donc la position du point M est défini l orientation du vecteur X le rayon ρ(t) et l altitude z(t). Avec : OM = Om + mm OM = ρ(t). X + z(t). z ( x, X ) = θ(t) 1.1.3- Coordonnées Sphériques : Le vecteur position OM et donc la position du point M est défini l orientation du vecteur et le rayon ρ(t). Avec : Et : OM = ρ(t). ( x, X ) = θ(t) 1.2- Position d un solide ( X, ) = ϕ(t). 1.2.1- Cas général La position d un solide par rapport à un repère R = (, X, Y, Z ) sera défini par la position de 3 points fixes de ce solide. Ce qui a priori nous fait 9 variables. Cependant ces points étant fixes par rapports à ce solide on peut définir trois relations. Pour la position d un solide nous avons donc 6 variables indépendantes qui définissent sa position. En général on définit la position d un solide par rapport à un repère ou un solide par : La position d un point de ce solide : L orientation de ce solide : Au maximum trois paramètres Au maximum trois paramètres MPSI - Cinematique des Solides.docx page 1/8

1.2.2- Les angles d Euler Dans le cas ou l orientation d un solide peut être absolument quelconque on peut utiliser pour paramétrer la positon angulaire du solide les angles d Euler qui sont : l angle de précession ψ : Angle de rotation autour d un axe vertical fixe. L angle de nutation θ : Angle de rotation autour d un axe horizontal défini par l angle de précession. L angle de rotation propre ϕ : Angle de rotation autour d un axe défini par les angles de précession et de nutation. Ce paramétrage peut être pratique lorsque l on a une liaison rotule. Cependant il n est pas une obligation. Lorsque par exemple, un solide 1 est en liaison pivot par rapport à un solide 2 lui-même en liaison pivot par rapport au solide ; Il est préférable d utiliser les deux angles de rotation autour des axes des liaisons pivot comme paramètres de l orientation du solide. 2.1- Définition de la trajectoire 2- Trajectoire d un point La trajectoire d un point M d un solide 1 par rapport à un solide (ou repère R ) est l ensemble des positions prises par ce point dans le solide ou dans le repère R fixe par rapport au solide. On la note : T M 1/ ou : T M 1/R (où : R est un repère fixe par rapport à 1) Cette trajectoire est donc la courbe décrite au cours du temps par les positions du point M dans le repère R ou un repère fixe par rapport au solide. 2.2- Importance du repère d observation Les caractéristiques de cette courbe dépendent donc du repère par rapport auquel on observe le mouvement. Exemple : Trajectoire d un point de la roue d un véhicule La courbe décrite par un point M fixe par rapport à la roue 2 est : n cercle si on observe le mouvement par rapport au cadre 1 du vélo : T M 2/1 ne cycloïde si on observe le mouvement par rapport au sol : T M 2/ MPSI - Cinematique des Solides.docx page 2/8

3.1- Déplacement 3- Vitesse et accélération d un point Déplacement d un point M sur une durée de temps t. Si un point M occupe les positions M et M de la trajectoire T M 1/ au début et à la fin de la période de temps t alors le déplacement du point M sur la période t est le vecteur MM. Ce déplacement dépendant des positions du point M sur la trajectoire T M 1/ ; Ce déplacement dépend donc du repère ou solide par rapport auquel s observe le mouvement. 3.2- Vitesse moyenne La vitesse moyenne d un point M sur une durée t est le déplacement de ce point M divisé par la MM durée t. : V moy = Le déplacement MM étant fonction du repère par rapport auquel on observe t le mouvement ; La vitesse dépend du repère ou solide par rapport auquel on observe le mouvement. Si on observe ce mouvement par rapport à un repère R d origine O ou d un solide sur lequel le point O est fixe, alors : MM = MO + OM = OM OM Donc si on pose : Alors : 3.3- Vitesse instantanée OM = OM OM (variation de la position du point M) OM t V moy = La vitesse instantanée d un point M du solide 1 est la vitesse moyenne du point M sur une période de temps t qui tend vers zéro : V M 1/ = lim OM t t La vitesse instantanée V M 1/ est donc la dérivée par rapport au temps de la position du point M appartenant au solide 1 dans le repère R supposé comme fixe : Conséquence : La vitesse instantané : 3.4- Accélération d un point V M 1/ = d OM MPSI - Cinematique des Solides.docx page 3/8 R V M 1/ est tangente à la trajectoire : T M 1/ L accélération étant la variation de vitesse par rapport au temps on montre que l accélération instantanée Γ M 1/ est donc la dérivée par rapport au temps de la vitesse du point M appartenant au solide 1 dans le repère R supposé comme fixe : Γ M 1/ = dv M 1/ 3.5- Dérivation dans le repère fixe Si x=x(t), y=y(t) et z=z(t) sont les coordonnées du vecteur dans le repère R = (O, X ; Y ; Z ) Alors on a : On en déduit : = x. X + y. Y + z. Z d R = x. X + y. Y + z. Z R

3.6- Dérivation dans un repère non fixe Si x=x(t), y=y(t) et z=z(t) sont les coordonnées du vecteur dans le repère R 1 = (O, X 1 ; Y 1 ; Z 1 ) Alors on a : = x. X 1 + y. Y 1 + z. Z 1 On a donc : d R = x. X 1 + y. Y 1 + z. Z 1 + x. d X 1 R + y. d Y 1 R + z. d Z 1 R Or d une part on a : x. X 1 + y. Y 1 + z. Z 1 = d R 1 d X 1 Et d autre part on montre que : x. + y. R + z. R = Ω R R1/R On en déduit donc que : d R = d Y 1 d R 1 + d Z 1 Ω R1/R 3- Différents type de mouvements d un solide 3.1- Définition Le mouvement d un solide 1 par rapport à un solide se définit par la variation des paramètres qui décrivent la position du solide 1 par rapport au solide. 3.2- Mouvement de translation n solide 1 est en mouvement de translation par rapport au solide si et seulement si l orientation de ce solide 1 est constante par rapport au solide (Constante par rapport à un repère R fixe par rapport à ) Pour un mouvement de translation, les paramètres définissant l orientation sont donc des constantes au cours du temps. 3.3- Mouvement de rotation 3.3.1- Définition n solide 1 est en mouvement de rotation autour d un axe par rapport au solide si et seulement si la position des points de l axe appartenant au solide 1 est constante par rapport au solide (Constante par rapport à un repère R fixe par rapport à ) 3.3.2- Vecteur rotation ou Taux de rotation Si un solide 1 est en rotation autour d un axe par rapport au solide alors on peut définir la position du solide par un angle α entre deux plans dont l intersection est l axe et dont l un est fixe par rapport au solide 1 et l autre fixe par rapport au solide. Alors, le vecteur rotation du solide 1 par rapport au solide est le vecteur : = α. u où : Et : u est un vecteur unitaire porté par l axe α est la dérivée par rapport au temps de l angle α 3.4- Mouvement quelconque Tout mouvement est la composition d un mouvement de rotation et d un mouvement de translation. MPSI - Cinematique des Solides.docx page 4/8 1 u α

4.1- Définition 4- Trajectoire, vitesse et accélération pour un mouvement de rotation Si les solides 1 et sont en liaison pivot d axe alors le solide 1 est en rotation d axe par rapport au solide. Caractéristiques du mouvement On peut poser : α = ω : la vitesse angulaire du solide 1 par rapport au solide. C est la dérivée par rapport au temps de l angle α entre deux plans passant par et appartenant à et 1. Γ T Mh 1/ Γ Mh 1/ R M T Mh 1/ V Mh 1/ O M Γ C Mh 1/ O M le projeté du point M sur l axe. On a alors : [O M M] le rayon lié au point M. On note R la distance O M M 4.2- Vecteur rotation Le vecteur rotation du solide 1 par rapport au solide est un vecteur : est parallèle à l axe 4.3- Trajectoires tel que : a pour module : Ω 1/ = α = ω Toutes les trajectoires des points appartenant au solide 1 par rapport au solide : T M 1/ sont : Des cercles : De centre O M De rayon R = O M M D axe. 4.4- Vitesses Les vitesses des points M du solide 1 par rapport au solide sont des vecteurs : V M 1/ est orthogonal au rayon O M M et à l axe de rotation V M 1/ a pour module : V M 1/ = α. R = ω. R V M 1/ tels que : 4.5- Accélérations Toutes les accélérations des points appartenant au solide 1 par rapport au solide : Peuvent être définies par la somme de deux composantes qui sont les accélérations : Γ M 1/ Tangentielle Γ T M 1/ telle que : Γ T M 1/ // V M 1/ Soit Γ T M 1/ O M M De module : Γ T M 1/ = α. R = ω. R Centripète Γ C M 1/ telle que : Γ C M 1/ // O M M et de sens vers l axe De module : Γ C M 1/ = α 2. R = ω 2. R MPSI - Cinematique des Solides.docx page 5/8

5.1- Définition 5- Vitesse et accélération pour un mouvement de translation n solide 1 est en mouvement de translation par rapport au solide si et seulement si l orientation de ce solide 1 est constante par rapport au solide. Les mouvements de translation peuvent être de plusieurs type suivant les trajectoires. On distingue trois principaux type de translation : Les translations rectilignes, circulaires ou quelconques. Si les solides 1 et sont en liaison glissière d axe alors le solide 1 est en translation rectiligne d axe par rapport à. Si le solide 1 est lié au solide par deux biellettes en liaisons pivot sur 1 et sur telles que les axes des pivots forment un parallélogramme déformable alors le solide 1 est en translation circulaire par rapport à. 5.2- Vecteur rotation Le vecteur rotation du solide 1 par rapport au solide est le vecteur : = 5.3- Trajectoires Pour un mouvement de translation rectiligne d axe toutes les trajectoires sont des droites parallèles à l axe. Pour un mouvement de translation circulaire toutes les trajectoires sont des cercles de même rayon. Pour un mouvement de translation quelconque les trajectoires sont des courbes quelconques. 5.4- Vitesses Quelque soit le mouvement de translation toutes les vitesses sont identiques. C'est-à-dire que : Quelque soit le mouvement de translation entre les solides 1 et et quelque soit les points A et B appartenant au solide 1, on a : V A 1/ = V B 1/ Pour un mouvement de translation rectiligne d axe toutes les vitesses sont parallèles à. 5.5- Accélérations Quelque soit le mouvement de translation toutes les accélérations sont identiques. C'est-à-dire que : Quelque soit le mouvement de translation entre les solides 1 et et quelque soit les points A et B appartenant au solide 1, on a : Γ A 1/ = Γ B 1/ Pour un mouvement de translation rectiligne d axe toutes les accélérations sont parallèles à. MPSI - Cinematique des Solides.docx page 6/8

6.1- Définition 6- Vitesse et accélération pour un mouvement quelconque Soit A et B deux point appartenant au solide 1. On sait que : or : Donc : V B 1/ = d OB R et : OB = OA + AB Soit : V B 1/ = V A 1/ + d AB R V A 1/ = d OA R dob = doa R + dab R R D autre part : dab R = dab R + Ω 1/ AB et : dab 1 R = car A et B appartiennent à 1. 1 On a donc quelque soit les points A et B appartenant au solide 1 : V B 1/ = V A 1/ + BA Ω 1/ Le mouvement d un solide 1 par rapport à un solide peut donc être décrit par : Le torseur cinématique : {V(1/)} = A V A 1/ Dont : la résultante est le vecteur rotation : Le moment en A est le vecteur vitesse du point A : V A 1/ Donc : {V(1/)} = B V B 1/ 6.2- Cas du mouvement de rotation Avec : V B 1/ = V A 1/ + BA Ω 1/ Si un solide 1 est en mouvement de rotation d axe par rapport à un solide, alors le torseur cinématique du mouvement de 1 par rapport à est : n glisseur d axe : {V(1/)} =O 6.3- Cas du mouvement de translation MPSI - Cinematique des Solides.docx page 7/8 le point O appartenant à Si un solide 1 est en mouvement de translation par rapport à un solide, alors le torseur cinématique du mouvement de 1 par rapport à est : n torseur couple : {V(1/)} =A V 1/ le point A on a : V A 1/ = V 1/

7.1- Loi de composition des vitesses 7- Loi de composition des mouvements Quelque soit les solides, 1 et 2 et le point A on démontre que : V A 2/ = V A 2/1 + V A 1/ et : Ω 2/ = Ω 2/1 + Ω 1/ Si on appelle : Ω 2/ et V A 2/ les vitesses absolues de rotation et du point A et V A 1/ les vitesses d entraînement de rotation et du point A Ω 2/1 et V A 2/1 les vitesses relatives de rotation et du point A Alors la vitesse absolue est la somme des vitesses relative et d entraînement. 7.2- Enoncé général de la loi Quelque soit les solides, 1 et 2 ; Le mouvement du solide 1 par rapport au solide est égal à la somme des mouvements du solide 1 par rapport au solide 2 et du solide 2 par rapport au solide. A Ω 2/ V A 2/ = A Ω 2/1 V A 2/1 + A V A 1/ Cette loi se traduit par l égalité des torseurs cinématiques ci-dessous. Si on appelle : 7.3- Composition des accélérations {V(2/)} = {V(2/1)} + {V(1/)} Le mouvement de 2 par rapport à le mouvement absolu Le mouvement de 1 par rapport à le mouvement d entraînement Le mouvement de 2 par rapport à 1 le mouvement relatif Alors le mouvement absolu est la somme des mouvements relatif et d entraînement. Quelque soit les solides, 1 et 2 et le point A on montre que : Γ A 2/ = Γ A 2/1 + Γ A 1/ + 2. Ω 1/ V A 2/1 Si on appelle : Γ A 2/ l accélération absolue du point A Γ A 1/ l accélération d entraînement du point A Γ A 2/1 l accélération relative du point A Alors l accélération absolue est la somme des accélérations relative et d entraînement et de l accélération de Coriolis. Soit : Avec : Γ Absolue = Γ Relative + Γ Coriolis = 2. Γ Entraînement + Ω Entraînement Γ Coriolis V Relative MPSI - Cinematique des Solides.docx page 8/8