Fiche Méthode n 1 : «Démontrer qu un triangle est rectangle» -1- Par le théorème de Pythagore : «Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés» Exemple : On a : Donc, d après le théorème de Pythagore, ADB est rectangle en D. -2- Par le théorème du cercle circonscrit : «Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle» Exemple : Le triangle RTE est inscrit dans le cercle de Diamètre [RE] donc RTE est rectangle en T. On peut aussi se servir du théorème de l angle inscrit : «La mesure de l angle inscrit est égale à la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc de cercle». Dans le cercle de centre O, est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l angle au centre. Or, donc. CQFD!!! -3- Par les angles : «Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180» Exemple : La somme des angles du triangle ABC est égale à 180. Donc on a :. Ceci prouve que MAS est rectangle en A.
Fiche Méthode n 2 : «Démontrer que 2 droites sont parallèles» -1- Par les propriétés sur les droites perpendiculaires : «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles» Exemple : Les droites (EC) et (DB) sont perpendiculaires à la droite (AB). Donc (EC)//(DB). -2- Par la réciproque du théorème de Thalès : Exemples : Les points G, R et F sont alignés dans le même Les points S, A et L sont alignés dans le même ordre que les points G, T et H. De plus, on a : ordre que les points B, A et Z. De plus, on a : et et Réduisons à un même dénominateur : Simplifions les 2 quotients : et et, d après la réciproque du théorème, d après la réciproque du théorème de Thalès, (RT)//(FH). de Thalès, (SB)//(LZ).
Fiche Méthode n 3 : «Résoudre une équation» -1- Equations du 1 er degré : - Développer chaque membre de l équation - Transposer les termes en à gauche et les termes constants à droite - Réduire les deux membres - Diviser les deux membres par un même nombre pour isoler. Exemples : -1- Equations du 2 ème degré : - Transposer tous les termes dans le 1 er membre de l équation - Factoriser le 1 er membre - Utiliser la règle du produit nul : «Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul» Exemples : [ ][ ]
Fiche Méthode n 4 : «Maîtriser le calcul littéral» -1- Les règles de base : - Règle de la distributivité : - Identités remarquables : -2- Développer et/ou factoriser une expression littérale : Développer c est transformer un produit en une somme. Exemples : Factoriser c est transformer une somme en un produit. Exemples : [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
-1- Le cours : Fiche Méthode n 5 : «Maîtriser la trigonométrie» Dans un triangle RST rectangle en S : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Côté opposé à ( ) -2- Les Applications : «SOHCAHTOA» Côté Adjacent à -a- Calculer les longueurs des côtés d un triangle rectangle : Dans MOT rectangle en M, on a : -b- Calculer le mesure d un angle aigu dans un triangle rectangle : Montrons que le triangle RAN est rectangle en N :. Donc, d après le théorème de Pythagore, RAN est rectangle en N. On a donc : ( ) ( ) ( ) ( ) Remarque : Ne pas oublier que les 2 angles aigus du triangle rectangle sont complémentaires :
Fiche Méthode n 6 : «Angles Inscrits Polygones réguliers» -1- Angles inscrits : est l angle au centre qui intercepte l arc. est l angle au centre qui intercepte l arc. Propriété : L angle au centre a pour mesure le double de celle de l angle inscrit. -2- Polygones réguliers : Définition : un polygone est régulier si : - Ses côtés ont la même longueur - Ses angles sont de la même mesure Remarque : un polygone régulier est inscriptible dans un cercle! Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier Soit PORTUGAL un octogone régulier de centre K et tel que KP=4cm. On calcule l angle au centre : Pour calculer la longueur d un côté de l octogone, on trace la hauteur issue de K du triangle ABK. Elle coupe [AB] en I. car (KI) est aussi la bissectrice de l angle. On utilise ensuite la trigonométrie : Dans AKI rectangle en I, Donc
Fiche Méthode n 7 : «Périmètres Aires - Volumes» -1- Périmètres-Aires : Disque Triangle Rectangle Carré Périmètre : Aire : Aire : Périmètre : Aire : Périmètre : Aire : Parallélogramme Losange Trapèze Sphère Aire : Aire : Aire : Aire : -2- Volumes : Boule- Sphère Cube Pavé Cylindre Prisme Cône Pyramide -3- Loi des agrandissements réductions : «Lorsqu on multiplie les dimensions d un objet par un nombre (k>0) alors : - Les aires sont multipliées par - Les volumes respectifs sont multipliés par» Exemples : a) Un rectangle a pour aire 20m². On augmente ses dimensions de 24%. Le coefficient d agrandissement est donc : Son aire devient égale à : b) Une pyramide a pour volume 160 000 m³. On veut réaliser une maquette de cette pyramide à l échelle. Le coefficient de réduction est ici! Donc c) Dans le dessin ci-contre, les droites (DF) et (AE) sont parallèles. ; ABE est un agrandissement de DBF. Le coefficient est Donc
Fiche Méthode n 8 : «Arithmétique PGCD Nombres premiers entre eux» Soient trois nombres entiers non nuls tels que :. On dit que : { Exemple : 2, 3, 4 et 6 sont des diviseurs de 12 car Définition : Exemples : PGCD(12 ;18)=6 PGCD(40 ;25)=5 PGCD(150 ;225)=75 Pour calculer le PGCD de 2 nombres entiers, on peut : Exemples : - Utiliser l algorithme des soustractions successives (assez long!!) - Utiliser l algorithme d Euclide (divisions successives : Très rapide!!) Algo. Soustractions Algo. Euclide Algo. Soustractions Algo. Euclide 124-36=88 88-36=52 52-36=16 36-16=20 20-16=4 16-4=12 12-4=8 8-4=4 4-4=0 300-24=276 276-24=252 252-24=228 228-24=204 204-24=180. 36-24=12 24-12=12 12-12=0 PGCD(124 ;36)=4 PGCD(300 ;24)=12 Définition : 2 nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Ex : 18 et 77 sont premiers entre eux ; 33 et 21 ne sont pas premiers entre eux car divisibles par 3. Problème : «On veut écouler un stock de 120 flacons de parfum et 144 savonnettes en confectionnant des lots identiques. Combien de lots peut-on faire au maximum?» On pose : {, on a donc : { Donc est un diviseur commun de 120 et 144 ; or on veut que soit maximum donc =24. ( Par l algorithme d Euclide : ) On trouve ensuite : { { On peut donc faire au maximum 24 lots avec 5 flacons de parfum et 6 savonnettes!!!
Fiche Méthode n 9 : «Fonctions Affines Fonctions linéaires» Définition : Une fonction Affine est une fonction du type (polynôme du 1 er degré) Vocabulaire : { Exemples : - Calculer les images de 5 et -7 par les fonctions. - Calculer les antécédents de 32 par les fonctions. L antécédent de 30 par la fonction est 12. L antécédent de 30 par la fonction est -8. Propriété : La représentation graphique d une fonction affine est une droite.
Exercice : Déterminer la fonction affine telle que. { { On obtient un système d équations. On peut procéder par substitution : Puisque On remplace b par dans l autre équation, donc : Or Conclusion : la fonction cherchée est Définition : Une fonction Linéaire est une fonction du type Donc une fonction linéaire est une fonction affine particulière (b=0). Conséquences : -La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine! -Une fonction linéaire permet de traduire une situation de proportionnalité. Exemples : Problème : (un classique du brevet!!) Le Théatre «Mathador» propose les tarifs suivants : { -a- Si désigne le nombre de spectacles auxquels on assiste, exprimer, en fonction de, les prix suivant le tarif utilisé pour assister à spectacles. -b- Tracer les représentations graphiques des 3 fonctions précédentes dans le repère ci-dessous :
Fiche Méthode n 10 : «Tracer la représentation graphique d une Fonction Affine/Linéaire» Propriété : -La représentation graphique de la fonction est la droite d équation. -La représentation graphique de la fonction est la droite d équation. Pour représenter graphiquement la fonction tracer la droite passant par ces 2 points! Let s Go : Exemples :, il suffit donc de placer 2 points puis de On construit pour chaque fonction un petit tableau de valeurs afin de trouver les coordonnées des 2 points cherchés pour chaque fonction affine. Pour cela, il faut choisir 2 valeurs de puis calculer leurs images par chacune des fonctions : Point A Point B Point C Point D 0 4 0 6-5 3 8-1 Donc la droite représentant la fonction passe par les points A(0 ;-5) et B(4 ;3) et la droite représentant la fonction passe par les points C(0 ;8) et B(6 ;-1).
Fiche Méthode n 11 : «Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues» Pour résoudre un système d équations, on peut : - Procéder par Substitution - Procéder par élimination (Combinaisons linéaires) -1- Par Substitution : { ; On exprime en fonction de. On remplace y par 5-2x dans la 1 ère équation : D où : Or -1- Par Elimination : { La solution de ce système est le couple (4 ;-3). On multiplie chaque équation par un nombre bien choisi puis on ajoute les 2 nouvelles équations afin d éliminer les termes en ou les termes en. Eliminons les : Eliminons les : { { +{ +{ La solution de ce système est le couple (6 ;-2). Remarques : - La méthode de substitution est pratique si on peut facilement exprimer une inconnue en fonction de l autre. - La méthode par élimination est plus générale et les calculs des 2 inconnues sont indépendants!!!
Exemple 1 : «Tableau à double entrées» Fiche Méthode 12 «Utilisation du tableur» Nombre total d hommes dans la cellule G2 ; il faut entrer la formule : «=SOMME(B2 :F2)» Nombre total de Français dans la cellule C4 ; il faut entrer la formule : «=SOMME(C2 :C3)» Exemple 2 : «Statistiques» Pour obtenir la moyenne, entrer dans la cellule C6 : «=G4/G3» Des formules utiles : Multiplier : «*» Diviser : «/» Puissance : «^» ou PUISSANCE(Nombre ;exposant) Racine Carrée : «=RACINE(Cellule)» ; Reste Division euclidienne de a par b : «=MOD(a ;b)» Somme : «=SOMME(1 ère Cellule :dernière Cellule)» Moyenne : «=MOYENNE(1 ère Cellule :dernière Cellule)»
Fiche Méthode 13 «Statistiques» Pour étudier une série de données, on utilise certains critères numériques : - L étendue de la série : «Plus grande valeur-plus petite valeur» - La moyenne : - La Médiane et les Quartiles (Avec les effectifs cumulés croissants) - Les fréquences et/ou les pourcentages : Exemple 1 : Voici les hauteurs de pluie en mm, enregistrées à Paris chaque mois, pendant un an. Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre 54 43 32 38 52 50 55 62 51 49 50 49 On classe les valeurs par ordre croissant : 32-38-43-49-49-50-50-51-52-54-55-62 soit 12 valeurs. L étendue de la série est : 62-32=30mm. La hauteur de pluie moyenne est :. Pour calculer la moyenne, on calcule la moitié de l effectif total :. La médiane de cette série est 50 car c est le nombre qui sépare la 6 ème valeur de la 7 ème valeur de la série! La moitié des valeurs de la série sont inférieures (supérieures) à la médiane!! Exemple 2 : A 25 élèves d une classe de troisième qui ont regardé en entier ou en partie le match de football retransmis hier à la télévision, on a posé la question : «combien de temps avez-vous passé devant le poste de télévision?» On a regroupé les réponses en 5 classes dans la tableau suivant : Temps t en minutes 40 t<60 60 t<80 80 t<100 100 t<120 120 t<140 Totaux Effectifs 2 3 5 11 4 25 Effectifs cumulés 2 5 10 21 25 XXXXXX Fréquences (en %) 8 12 20 44 16 100 Fréquences cumulées 8 20 40 84 100 XXXXXX La moitié de l effectif total vaut :. La Médiane est la valeur qui correspond au premier effectif cumulé croissant supérieur à 12,5 donc ici Médiane =70 (pas précis!). Le temps moyen passé devant la télé est :.
Pour affiner la dispersion des valeurs d une série on peut parfois déterminer les «Quartiles». Cela revient à découper la série en 4. Schématisons : Valeur Minimale 25% des valeurs 25% des valeurs 25% des valeurs 25% des valeurs Q 1 Q 2 =Médiane Q 3 Valeur Maximale Exemple 3 : Déterminer les quartiles de la série ci-dessous : Lors de la correction d'un examen, les résultats des candidats sont : 14,5-13 - 8-15,5-3 - 16-10,5-7,5-10,5-12,5-5,5-6 - 20-4,5-11,5-16 - 9,5-9 - 15,5-14,5-4,5-16 1) On calcule «l Effectif total» : 22 notes. 2) On classe les valeurs par ordre croissant : 3-4,5-4,5-5,5-6- 7,5-8- 9-9,5-10,5-10,5-11,5-12,5-13- 14,5-14,5-15,5-15,5-16- 16-16- 20 3) L Etendue de cette série est : 20-3=17. 4) On calcule les 3 Quartiles comme suit : =11 5) Calcul de la note moyenne : Lorsque le nombre de valeurs est assez grand, on peut aussi regrouper les valeurs par tranches régulières. (Amplitude de 2points ou 4points par exemples) On obtient un tableau : Notes n Effectifs 1 5 6 6 4 22 Effectifs cumulés Fréquences en % Totaux 1 6 12 18 22 XXXXXXXXX 4,5 22,7 27,3 27,3 18,2 100 L Etendue de la série est : 20-0=20! Pour calculer la moyenne, on divise la somme des produits «Note x Effectif» par l Effectif total :. Le résultat est donc moins précis!!!! (Dans chaque tranche, on prend la note centrale et donc on commet une petite erreur..) Le 1 er Quartile est la valeur qui correspond au 1 er effectif cumulé croissant supérieur à 5,5 : La Médiane est la valeur qui correspond au 1 er effectif cumulé croissant supérieur à 11 : Le 3 ème Quartile est la valeur qui correspond au 1 er effectif cumulé croissant supérieur à 16,5 : Conclusion : Lorsqu on regroupe les valeurs par tranches, les résultats sont moins précis.
3 ème Fractions : Quelques formules à réviser Volumes : ; Pour ajouter ou soustraire des fractions, il faut les réduire à un même dénominateur. Règle des produits en croix : Loi des agrandissements-réductions : Si on multiplie les dimensions d un objet par Puissances : Alors : { ; Théorème de Pythagore : ; Arithmétique : Le PGCD est le Plus Grand Diviseur Commun de deux entiers. Il se calcule par l algorithme des divisions successives. (Euclide) Identités remarquables : { Règle du produit nul : Théorème de Thales : Dans ABC, si (RT)//(BC) alors : Trigonométrie : «SOHCAHTOA» Racines carrées : ; ; Pourcentages : Calculer Probabilités : Un sac contient 8 jetons bleus et 12 jetons rouges. On tire au hasard 1 jeton dans le sac. et