I. Matrices positives

1 Corrigé du devoir 16 : Mines-Ponts PSI 26 I Matrices positives 1 Soit A une matrice positive B = t MAM est symétrique car t B = t M t A M = t M A M = B De plus, si X M p,1, on a (BX X) = (AMX MX) = (AY Y ) avec Y = MX Cette quantité est positive par hypothèse sur A Donc t MAM est donc symétrique positive 2 On suppose A symétrique positive On montre par récurrence que la proposition A k est positive" est vraie pour tout entier k - A = I n est symétrique et, si X M p,1, (A X X) = (X X) La propriété est vraie pour k = Elle est aussi vraie au rang 1 par hypothèse sur A - Supposons la propriété vraie jusqu à un rang k 1 On a alors A k+1 = A A k 1 A = t A A k 1 A et l hypothèse au rang k 1 ainsi que la question précédente donnent A k+1 symétrique positive 3 Cours à í λ1 4 D après le théorème spectral, on peut écrire A = t P DP avec P orthogonale et D = pour tout i, λ i > λ 2 λ n, avec, à λ1 í On pose = λ2 λn et C = t P P La matrice C est symétrique et ses valeurs propres sont les λ i >, car C est semblable à puisque P 1 = t P Ainsi C est symétrique définie positive, et vérifie C 2 = A à í µ1 5 La matrice C est symétrique définie positive, elle est donc semblable à D = µ i > µ 2 µ n, avec, pour tout i, Comme A = C 2, la matrice A est semblable à la matrice D 2 Le spectre de A est donc l ensemble des µ 2 i

2 Soit X un vecteur propre de C associé à la valeur propre µ i On a C X = µ i X On en déduit que A X = C 2 X = µ 2 i X Donc Ker (C µ i I n ) Ker (A µ 2 i I n) D autre part le rang de (C µ i I n ) est égal au rang de (D µ i I n ) (car (C µ i I n ) est semblable à (D µ i I n )) De même le rang de (A µ 2 i I n) est égal au rang de (D 2 µ 2 i I n) Comme les tous les µ i sont positifs, le rang de (D µ i I n ) est égal au rang de (D 2 µ 2 i I n) (c est le nombre d éléments diagonaux non nuls sur la diagonale de (D µ i I n ) ou de (D 2 µ 2 i I n)) Donc le rang de (C µ i I n ) est égal au rang de (A 2 µ 2 i I n), et, par le théorème du rang on en déduit que Ker (C µ i I n ) = Ker (A µ 2 i I n) Ceci est vrai pour toutes les µ 2 i, soit pour toutes les valeurs propre de A 6 Notons λ i les valeurs propres de A et E λi les sous-espaces propres associés Notons C 1 et C 2 deux matrices définies positives vérifiant C 2 1 = C 2 2 = A D après la question précédente, on a Ker (C 1 λ i I n ) = Ker (C 1 λ i I n ) = E λi Autrement dit, on a, pour tout vecteurs X de E λi, C 1 X = C 2 X = λ i X Comme C 1 et C 2 prennent les mêmes valeurs sur E λi, et que R n est somme directe de ces sous-espaces propres, on a C 1 = C 2 Si A est définie positive, il existe une unique matrice C symétrique définie positive telle que C 2 = A Toujours en utilisant le résultat précédent, en utilisant une base orthonormale de vecteurs propres de A, les matrice A et C sont semblables à une matrice diagonale 7 La matrice A est symétrique définie positive, donc semblable à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de A Ces valeurs propres de A sont strictement positives Le déterminant de A est donc strictement positif, donc non nul

3 La matrice A est inversible On a A = t P DP avec P orthogonale et D diagonale avec sur la diagonale les valeurs propres de A qui sont strictement positives On en déduit que A 1 = t P D 1 P Sur la diagonale de D 1 on a les inverses des valeurs propres de A, qui sont aussi strictement positifs On en déduit que la matrice A 1 est symétrique définie positive D après la question précédente, on en déduit l existence et l unicité de la matrice A 1/2 qui vérifie A 1/2 A 1/2 = A 1 8 On a A 1 = A 1/2 A 1/2 On en déduit que A = Ä A 1/2ä 1 Ä A 1/2 ä 1 Comme la matrice A 1/2 est symétrique définie positive, il en est de même pour son inverse ( A 1/2) 1 Par unicité de la matrice A 1/2 définie ci-dessus, on a ( A 1/2) 1 = A 1/2 Donc A 1/2 = ( A 1/2) 1 II Ordre de Löwner 9 On a trois propriétés à vérifier i) A A = n et n est symétrique positive Donc A A La relation est réflexive ii) Si A B et B A alors M = B A et M sont positives Les valeurs propres de M sont les opposées de celles de M On en déduit que les valeurs propres de M sont positives et négatives, donc nuls Or M est diagonalisable car A et B le sont, donc M = La relation est antisymétrique iii) Si A B et B C alors B A et C B sont positives La somme de deux matrices positives étant positive ( on a ( (M + N)X X ) = (MX X) + (NX X) ), C A est positive et A C La relation est transitive 1 Si B A est positive alors t C(B A)C l est aussi (question 1) et donc t CAC t CBC 11 En écrivant que A est semblable à une matrice diagonale D, on constate que A I n est semblable à la matrice diagonale D I n

4 On en déduit que, si Sp(A) = {λ 1,, λ r }, alors Sp(A I n ) = {λ 1 1,, λ r 1} Si I n A alors les valeurs propres de A I n sont positives, donc celle de A sont plus grandes que 1 En particulier n est pas valeur propre et A est inversible De plus, les valeurs propres de A 1 sont inverses de celles de A, donc sont dans ], 1] Ainsi celles de I n A 1 sont positives On en déduit que A 1 I n 12 On suppose n A B On a alors A qui est définie positive et qui s écrit donc A = A 1/2 A 1/2 La matrice A 1/2 est inversible d inverse A 1/2 Cette matrice est symétrique et la question 1 donne A 1/2 A A 1/2 A 1/2 B A 1/2 On utilise la question 8 On a A 1/2 A A 1/2 = A 1/2 A 1/2 A 1/2 A 1/2 = I n Ainsi n I n A 1/2 B A 1/2, et la question précédente indique alors que A 1/2 B A 1/2 est inversible La matrice A 1/2 l étant aussi, B est donc inversible, et on a Ä A 1/2 B A 1/2ä 1 = A 1/2 B 1 A 1/2 La question précédente indique aussi que En utilisant la question 1 avec C = A 1/2, on a finalement A 1/2 B 1 A 1/2 I n B 1 A 1 13 La matrice symétrique D est positive si, et seulement si, ses valeurs propres λ 1 et λ 2 sont positives On vérifie sans difficulté que (λ 1 et λ 2 ) (λ 1 + λ 2 et λ 1 λ 2 ) Les valeurs propres de D sont les racines de X 2 (a + c)x + (ac b 2 ) La somme des valeurs propres est a + c et le produit ac b 2 D est positive { a + c ac b 2

5 14 On a n D (a + 1 et a b 2 ) a b 2 Ç å a b On a D B B D positive Comme B D =, on a b 1 D B ( a + 1 et a b 2) On a donc n D B a b 2 On a D 2 B 2 B 2 D 2 positive Et Ç 3 a 2 b 2 å a b b B 2 D 2 = a b b 3 b 2 On va donc choisir a et b tels que 3 a 2 2 b 2 + 3 < ou (3 a 2 b 2 ) (3 b 2 ) (a b + b) 2 < Cherchons a et b tels que a = b 2 Dans ce cas, on a 3 a 2 2 b 2 + 3 = 3 b 4 2 b 2 + 3 > pour tout b Et (3 a 2 b 2 ) (3 b 2 ) (a b + b) 2 = 4 b 2 (b 2 1) 2 On peut donc choisir par exemple b = 2 et a = 4 Ç 4 å 2 Ç 8 å D = 2 1 et B = 2 III Fonctions matriciellement croissantes 15 On a MX = λx, donc P P 1 = λ X, soit P 1 X = λp 1 X Posons Y = P 1 X = (y 1,, y n ) On a donc Y = λ Y Ce qui peut s écrire i, (λ i λ) y i = Ainsi, ou y i = ou λ i = λ Les coordonnées de Z = f( ) Y valent z i = f(λ i ) y i Comme y i = ou λ i = λ, on a toujours f(λ i ) y i = f(λ) y i, soit z i = f(λ) y i Donc Z = f(λ) Y Ainsi, R X = P f( ) P 1 X = P f( ) Y = P Z = f(λ) P Y = f(λ) X

6 R X = f(λ) X 16 Notons R P = P f( P ) P 1 et R Q = Q f( Q ) Q 1 Soit X un vecteur propre de M et λ la valeur propre associée Comme M X = λ X, la question précédente montre que R p X = f(λ) X = R Q X Ainsi R p et R Q prennent les mêmes valeurs pour tous les vecteurs propres de M Comme il existe une base de R n de tels vecteurs propres, on a donc R P = R Q P f( P ) P 1 = Q f( Q ) Q 1 17 Remarque : si ϕ E alors pour tout t, s st 1 + st ϕ(s) est continue et positive sur R+, équivalente à s t s ϕ(s) en et à ϕ en l infini C est donc une fonction intégrable sur R + et L ϕ est bien définie sur R + Elle est clairement à valeurs dans R + La fonction ϕ r est continue sur R + et à valeurs positives En l infini, ϕ r est intégrable si et seulement si r > En, s ϕ r (s) = s r est intégrable si et seulement r < 1 ϕ r E r ], 1[ Dans ce cas, on effectue la changement de variable u = s t Pour tout t >, l application s s t est une bijection strictement croissante et de classe C 1 de ], + [ sur ], + [ On obtient : t >, L ϕr (t) = t r L ϕr (1) 18 A est une matrice symétrique réelle Donc il existe donc une matrice orthogonale P telle que A = P D P 1 où D est diagonale On a alors f s (A) = P f s (D) P 1 Notons d i les coefficients diagonaux de D On remarque que, en notant diag(α 1,, α n ) une matrice diagonale, f s (D) = I n diag ( (1 + s d i ) 1) = I n (diag(1 + s d i )) 1 = I n (I n + sd) 1 Ainsi, on a f s (A) = I n P (I n + sd) 1 P 1 = I n (I n + s P D P 1 ) 1 = I n (I n + sa) 1

7 f s (A) = I n (I n + sa) 1 19 Soient A et B des matrices symétriques telles que A B et soit s La matrice B A étant positive, la matrice s(b A) l est aussi (les valeurs propres sont multipliées par s) Donc (I n + sb) (I n + sa) est positive Donc I n + sa I n + sb En outre les valeurs propres de I n + sa sont supérieures à 1, donc I n + sa est définie positive On a donc I n + sa I n + sb La question 12 donne alors (I n + sb) 1 (I n + sa) 1 Or f s (B) f s (A) = (I n + sa) 1 (I n + sb) 1 Donc f s (B) f s (A) est positive C est à dire f s (A) f s (B) f s est matriciellement croissante sur R + 2 Soient P une matrice orthogonale et D = diag(d 1,, d n ) telles que A = P 1 DP = t P DP Par définition, on a Notons Y = P X = (y 1,, y n ) On a : Remarquons que On a alors (L ϕ (A) X X) = ( t P L ϕ (D) P X X) = (L ϕ (D) P X P X) (L ϕ (A) X X) = (L ϕ (D) Y Y ) = n L ϕ (d i ) yi 2 = i=1 n i=1 st 1 + st = 1 1 1 + st = f s(t) (L ϕ (A) X X) = n i=1 f s (d i ) y 2 i ϕ(s) ds sd i 1 + sd i y 2 i ϕ(s) ds On permute somme et intégrale par linéarité de l intégrale (la somme est finie), et on utilise la relation n (f s (D)Y Y ) = f s (d i ) yi 2 Comme i=1 (L ϕ (A) X X) = ϕ(s) (f s (D)Y Y ) ds

8 f s (D) = P f s (A) t P et Y = P X, on a : (L ϕ (A) X X) = et en utilisant une nouvelle fois le caractère orthogonal de P, ϕ(s) (P f s (A) X P X) ds (L ϕ (A) X X) = ϕ(s) (f s (A) X X) ds 21 On a donc (linéarité du produit scalaire et de l intégrale) ((L ϕ (A) L ϕ (B))X X) = Si A B alors, d après la question 19, on a ϕ(s) ((f s (B) f s (A))X X) ds s, ((f s (B) f s (A))X X) Comme ϕ(s) et comme l intégrale est croissante, ((L ϕ (A) L ϕ (B))X X) Ainsi, L ϕ (A) L ϕ (B) et L ϕ est matriciellement croissante sur R + 22 Si r ], 1[, en utilisant ϕ r : s s r 1, on a L ϕr matriciellement croissante Soit A symétrique réelle Ecrivons A = P P 1, avec diagonale En utilisant les définitions et les résultats précédents (en particulier : t, L ϕr (t) = t r L ϕr (1)), on a : L ϕr (A) = P L ϕr ( ) P 1 = P (L ϕr (1) r ) P 1 = L ϕr (1) P r P 1 = L ϕr (1) A r On a donc Comme L ϕr(1) >, on en déduit aisément que : r ], 1[, A B L ϕr(1)a r L ϕr(1)b r pour r ], 1[, x x r est matriciellement croissante sur R +