Espaces vectoriels. S2 Mathématiques Générales 1 11MM21

Espaces vectoriels S2 Mathématiques Générales 1 11MM21 Les notes qui suivent sont très largement inspirées du site : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1/co/espacevect1.html et du cours de E. Royer consultable à l adresse : http://math.univ-bpclermont.fr/ royer/enseignement.html S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 1 / 24 0. Vocabulaire 0.1. Notion de groupe commutatif L ensemble E est muni d une loi de groupe commutatif s il existe une application + : E E E, (u, v) u + v, appelée addition, vérifiant : 1 La loi est associative : pour tous éléments u, v et w de E on a (u + v) + w = u + (v + w). 2 La loi est commutative : pour tous éléments u et v de E on a u + v = v + u. 3 La loi admet un élément neutre noté 0 ou 0 E : c est un élément de E tel que, pour tout élément u de E on a u + 0 E = u. 4 Tout élément de E admet un opposé ou symétrique pour la loi + : pour tout élément u de E, il existe un élément v de E tel que u + v = 0 E. On note u l élément v. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 2 / 24 0.2. Loi externe Dans tout ce cours on fixe un corps K : soit R, soit C. On appelle scalaires les éléments de ce corps. On dit qu un ensemble E est muni d une loi de composition externe de domaine K, s il existe une application K E E, (α, u) α u vérifiant les propriétés suivantes : 1 Pour tous éléments λ et α de K, pour tout élément u de E : (λα) u = λ (α u) 2 Pour tout élément u de E : 1 u = u. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 3 / 24

1. Espace vectoriel 1.1. Un groupe commutatif (E, +) muni d une loi externe de domaine K est un espace vectoriel sur K lorsque les conditions de compatibilités suivantes entre les deux lois sont satisfaites: 1 Le produit externe est distributif par rapport à l addition de E : pour tout scalaire λ et tous éléments u et v de E, on a λ (u + v) = λ u + λ v. 2 Le produit externe est distributif par rapport à l addition de K : pour tous scalaires λ et µ et pour tout élément u de E, on a (λ + µ) u = λ u + µ u. Les éléments d un espace vectoriel sont appelés vecteurs de cet espace. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 4 / 24 1.2. Règles de calcul dans un espace vectoriel E Dorénavant, E désigne un espace vectoriel sur K (appelé aussi K-espace vectoriel). Soit u, v et w des vecteurs de E et λ et µ des scalaires. Par convention, l écriture u v désigne le vecteur u + ( v). Les règles suivantes sont satisfaites et résultent de la définition d un espace vectoriel. 1 λ (u v) = λ u λ v. 2 (λ µ) u = λ u µ u. 3 λ 0 E = 0 E. 4 0 u = 0 E. 5 Si λ u = 0 E, alors soit λ = 0 soit u = 0 E. 6 Si u + v = u + w alors v = w. 7 Si λ u = µ u et si u 0 E alors λ = µ 8 ( λ) u = λ ( u) = (λ u) et ( λ) ( u) = λ u. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 5 / 24 2. Sous-espaces vectoriels 2.1. Généralités s 1 Une partie A d un espace vectoriel E est dite stable par addition de E si pour tous éléments x et y de A on a x + y A. Elle est dite stable par produit externe de E si pour tout λ K et tout élément x A, on a λ x A. 2 Une partie A d un espace vectoriel E contenant l élément nul 0 E de E, stable par addition et produit externe de E est appelée sous-espace vectoriel de E. Un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E muni des opérations de E est un espace vectoriel. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 6 / 24

2.2. Sous-espaces vectoriels et systèmes linéaires L ensemble des solutions d un système linéaire homogène à n équations et p inconnues à coefficients dans K : a 11 x 1 + + a 1p x p = 0 est un sous-espace vectoriel de K p... a n1 x 1 + + a np x p = 0 S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 7 / 24 2.3. Sous-espaces vectoriels engendrés par une famille de vecteurs Combinaisons linéaires Dans un K-espace vectoriel E, une combinaison linéaire est un vecteur u s exprimant sous la forme u = α 1 u 1 + + α n u n où u 1, u 2,..., u n sont des vecteurs de E, n étant un entier supérieur ou égal à 1 et α 1, α 2,..., α n sont des éléments de K. On dira aussi que u est combinaison linéaire des vecteurs u 1, u 2,..., u n. Les scalaires α 1, α 2,..., α n sont appelés coefficients de la combinaison linéaire. Dans le cas n = 1, on dira aussi que α 1 u 1 est colinéaire à u 1. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 8 / 24 L ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs d une partie U d un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E. On l appelle le sous-espace vectoriel engendré par U et on le note Vect(U). Cas particulier Lorsque U = {u 1, u 2,..., u n } est une famille finie de vecteurs, on a : Vect(u 1,, u n ) = {α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n (α 1, α 2,..., α n ) K n }. L espace Vect(U) est le plus petit sous-espace vectoriel de E au sens de l inclusion contenant la partie U de E. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 9 / 24

2.4. Intersection L intersection de deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E. Cas particulier : L ensemble des solutions d un système linéaire homogène à n équations et p inconnues est l intersection des sous-espaces déterminés par chacune des équations du système. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 10 / 24 2.5. Réunion et somme Attention!!! La réunion de deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E peut ne pas être un sous-espace vectoriel de E. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de l espace vectoriel E, on appelle somme de F et G et on note F + G l ensemble F + G = {v + w v F, w G}. On définit de façon analogue la notion de somme d un nombre fini de sous-espaces vectoriels. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 11 / 24 Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E alors F + G est un sous-espace vectoriel de E. La somme F + G est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient à la fois F et G. Cas particulier : Lorsque u 1, u 2,..., u n sont n vecteurs de E : Vect(u 1,..., u n ) = Vect(u 1 ) + + Vect(u n ). S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 12 / 24

2.6. Supplémentaires Deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel sont dit en somme directe s ils ont le minimum d éléments en commun, c est-à-dire si leur intersection est {0 E }. Si F 1 et F 2 sont deux sous-espaces vectoriels de E, on dit que F 1 est supplémentaire de F 2 si les deux conditions suivantes sont satisfaites : 1 F 1 + F 2 = E ; 2 F 1 F 2 = {0 E }. Dans ce cas F 2 est aussi supplémentaire de F 1. On dit aussi que F 1 et F 2 sont supplémentaires ou que E est somme directe de F 1 et F 2. On note E = F 1 F 2. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 13 / 24 Si F 1 et F 2 sont deux sous-espaces vectoriels de E, ils sont supplémentaires si et seulement si tout vecteur de E s écrit de façon unique comme somme d un vecteur de F 1 et d un vecteur de F 2. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 14 / 24 3. Espaces vectoriels de type fini 3.1. Générateurs On dit qu une famille de vecteurs U de E engendre E si tout élément de E est combinaison linéaire de vecteurs de U. On dit encore que U est une famille génératrice de E. La famille de vecteurs U engendre E si et seulement si : E = Vect(U) = {α 1 u 1 + + α n u n n N, α 1,, α n K, u 1,..., u n U}. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 15 / 24

Propriétés Soit E un K-espace vectoriel admettant une famille de générateurs U. 1 Toute partie A de E contenant U est encore une partie génératrice de E. 2 Si u 0 U est combinaison linéaire d un nombre fini de vecteurs de U \ {u 0 } alors la partie U \ {u 0 } est encore une partie génératrice de E. Un espace vectoriel qui admet une famille finie de générateurs est dit de type fini. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 16 / 24 3.2. Famille libre, famille liée Une famille de vecteurs de E est liée si l un d eux est combinaison linéaire des autres. Une famille de vecteurs de E est libre si elle n est pas liée, autrement dit si aucun de ses vecteurs n est combinaison linéaire des autres. Pour dire qu une famille de vecteurs est libre, on dit aussi que ses vecteurs sont linéairement indépendants. 1 Une famille est libre si et seulement si la seule combinaison linéaire de cette famille valant 0 E est celle dont tous les coefficients sont nuls. 2 Une famille est liée si et seulement s il existe une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls qui vaut 0 E. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 17 / 24 Propriétés 1 Si l on retire un vecteur à une famille libre, on garde une famille libre. 2 Toute famille de vecteurs contenant une famille liée est liée. 3 Une famille de vecteurs contenant 0 E ou deux vecteurs égaux est liée. 4 Si une famille est libre, tous ses éléments sont distincts et elle ne contient pas 0 E. Sous-famille libre maximale Soit U = {u 1,..., u n } une famille finie de vecteurs de E où n N. Si u n est combinaison linéaire des vecteurs u 1,..., u n 1 alors Vect(u 1,..., u n ) = Vect(u 1,..., u n 1 ). On peut toujours trouver une famille extraite U U qui est libre et telle que Vect(U ) = Vect(U). On dira que U est une sous-famille libre maximale de U. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 18 / 24

3.3. Dimension et bases On dit qu une famille (ordonnée) de vecteurs de E est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice de E. Écriture dans une base Soit E un espace vectoriel et E = (e 1,..., e n ) une base de E. Tout vecteur de E s écrit de façon unique comme combinaison linéaire de vecteurs de E. Les coefficients de cette combinaison linéaire s appellent les coordonnées du vecteur dans la base E. L unicité de l écriture traduit la liberté de E et l existence le fait que E est génératrice. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 19 / 24 de la base incomplète et de la base extraite La proposition qui fait tout marcher. Soit E un espace vectoriel de type fini admettant une famille génératrice de cardinal m, m N. Toute famille de cardinal p > m est liée. 1 De toute famille génératrice de E on peut extraire une base. 2 Toute famille libre de E peut être complétée en une base. Tout espace vectoriel de type fini admet une base. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 20 / 24 s de dimension La proposition précédente assure que si p + 1 vecteurs sont combinaison linéaire de p vecteurs, où p N, ils sont liés. Soit E un K-espace vectoriel et B une base de E ayant n éléments. Alors : 1 Toute famille libre de E a au plus n éléments. 2 Toute famille génératrice de E a au moins n éléments. 3 Toute base de E a exactement n éléments. 4 Une famille libre ayant n éléments est une base. 5 Une famille génératrice ayant n éléments est une base. Le nombre n est la dimension de E, notée dime. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 21 / 24

Attention!!! À part l espace vectoriel {0 E } qui n admet que l ensemble vide comme base, les espaces vectoriels qui admettent au moins une base admettent une infinité de bases. Certains espaces vectoriels n admettent pas de base finie. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 22 / 24 3.4. Sous-espaces vectoriels Un sous-espace vectoriel F d un espace vectoriel E de type fini est de type fini et dim(f ) dim(e). Si de plus dim(f ) = dim(e) alors F = E. Soit E un espace vectoriel de type fini et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On se donne B F une base de F et B G une base de G. Alors : 1 F G = {0 E } B F B G est une famille libre. 2 F + G = E B F B G est une famille génératrice de E. 3 F G = E B F B G est une base de E. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 23 / 24 Somme de sous-espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel de type fini et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors : dim(f + G) = dim(f ) + dim(g) dim(f G). Corollaire Soit E un espace vectoriel de type fini et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : 1 F G = E, 2 dim(f ) + dim(g) = dim(e) et F + G = E, 3 dim(f ) + dim(g) = dim(e) et F G = {0 E }. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Espaces vectoriels 24 / 24