Paris 7 PH282 2000 01 HYDRODYNAMIQUE EXAMEN Jeudi 7 juin, 9 13 h Calculettes et bon sens rigoureusement autorisés Avertissement Les questions de base, simples et incontournables, sont indiquées par un astérisque. Ce sont de simples applications du cours ou répétitions d exercices déjà traités. Vous devriez être capable d y répondre, auquel cas elles vous assureront la moyenne. Le reste est laissé à votre culture, aptitude au calcul, astuce, créativité, opiniâtreté, et même, pourquoi pas, plaisir. L ensemble devient progressivement plus difficile et est probablement interminable. Notez que certaines questions sont parfois indépendantes. Par contre, la résolution des problèmes 4 et 6 utilise les réponses aux exercices 2, 3, et 5 respectivement. Quelques informations du domaine public Tension superficielle eau-air normaux : γ 7,3 10 2 J m 2 Viscosité de l eau normale : ν a 10 6 m 2 s 1 D Dérivée matérielle : Dt = t + ( v ) Équation de continuité : t ρ + (ρ v) = 0 Laplacien d un champ vectoriel : A = ( A) ( A) Équation de Navier-Stokes : D v Dt = 1 p + g + ν v ρ 1 Au pied du mur Au pied d un barrage de hauteur 30 m, largeur 30m, se trouve une conduite d évacuation, de section constante S = 100 cm 2, ayant la forme représentée et débouchant à 1 m de hauteur au dessus du fond. En B, un trou de section s t = 1cm 2 dans la paroi de la conduite est obturé par un passant passif. On suppose que les conditions de validité de l équation de Bernoulli sont à peu près satisfaites. 1. La conduite est obturée en A. *i) Calculez la pression qui règne en B dans la conduite, et la force effective qu exerce le passant avec son doigt. *ii) Déterminez direction, module et position de la force effective équivalente à l ensemble des forces de pression exercées par l eau sur la paroi du barrage. 2. La conduite est ouverte en A. *i) Calculez la pression qui règne en B dans la conduite et la force effective exercée par le bouche-trou. *ii) Calculez la vitesse et le débit d eau dans la conduite. 3. La conduite est ouverte en A, mais sa section est réduite à la valeur s A = ks, k < 1, au moyen d un ajutage cylindrique. *i) Calculez la pression qui règne en B. *ii) Représentez graphiquement l allure de la pression en B en fonction du coefficient k. iii) Quelle est l expression du nombre de Reynolds de l écoulement dans la conduite. Pour quel domaine de valeurs de k l équation de Bernoulli est-elle en fait inapplicable ici?
2 Hydrodynamique, PH282 Paris 7 2 Ménisque mouillant Considérons l interface atmosphère/eau pure dans un tube de verre bien propre ; il y a alors mouillage total. 1. Quelle condition doit satisfaire le rayon intérieur du tube pour que ledit tube puisse prétendre au titre de capillaire? 2. Dans ce cas : *i) A-t-on p > p 0, ou p < p 0? *ii) Déterminez l expression de la différence des pressions de part d autre de l interface en fonction de la constante de tension superficielle et du rayon du tube (loi de Laplace). 3 *Loi de Poiseuille Établissez, par la méthode qu il vous plaira (la plus simple par exemple), les expressions du profil des vitesses et du débit de l écoulement dans un long tube cylindrique en régime dit de Poiseuille. 4 Montée de sève On modélise le comportement d un liquide progressant dans un tube capillaire horizontal (pour commencer simple), tiré par son ménisque parfaitement mouillant (c est un peu plus simple), et freiné par sa viscosité en régime de Poiseuille. Le tube capillaire est alimenté en eau à peu près à la pression atmosphérique par un réservoir plat. L autre extrémité du tube est ouverte sur l atmosphère. 1. Rappelez l expression du débit de l eau en fonction du gradient de pression dans le tube (loi de Poiseuille). 2. i) Rappelez l expression de la pression de l eau au ménisque (loi de Laplace). ii) En déduire l expression du gradient de pression de l eau dans le tube au temps t lorsque la longueur occupée par l eau dans le tube est z(t). 3. Compte tenu de l expression du débit en fonction de la section du tube et de la vitesse dz/dt de progression du ménisque, en déduire l équation différentielle régissant l évolution de z(t). 4. En supposant (pour commencer simple) que cette équation est valable en tout temps (ce qui est audacieux lorsque z est petit) déterminer sa solution z(t), ainsi que la vitesse dz/dt du ménisque au temps t (loi de Washburn). 5. Pour un tube de diamètre intérieur 0,1mm, calculez z et dz/dt à t = 1 s,10 s,100 s. 5 Écoulement de Couette circulaire On considère un champ de vitesses, permanent, circulaire, plan, horizontal. Autrement dit, dans la base locale des coordonnées cylindriques d axe vertical ẑ, ce champ est de la forme v = v(r) ˆθ. *1. Montrez que ce champ décrit un écoulement incompressible. *2. Calculez la vorticité de cet écoulement. *3. Calculez le champ des accélérations. *4. Calculez le laplacien du champ des vitesses. *5. Calculez la pression allégée en fonction de la pression. *6. Exprimez, en composantes sur chaque vecteur de la base locale, que l écoulement doit satisfaire l équation de Navier-Stokes.
Hydrodynamique, PH282 Paris 7 3 *7. En déduire les propriétés du champ des pressions allégées, ainsi que l équation différentielle que doit satisfaire v(r). *8. Plus concrètement, on étudie à présent l écoulement dans l espace compris entre un cylindre vertical, rayon R, et une enveloppe cylindrique coaxiale, rayon R, tous deux de longueur infinie et tournant à vitesses angulaires constantes, Ω et Ω respectivement. Écrivez les conditions aux frontières que doit satisfaire le champ des vitesses de cet écoulement. 9. En déduire, par intégration de l équation différentielle, le profil des vitesses v(r) de l écoulement entre les deux cylindres et sa vorticité. 10. Discutez la vérification de ces résultats dans le cas de deux cylindres tournant à la même vitesse angulaire Ω = Ω. 11. i) En déduire le profil des vitesses et la vorticité de l écoulement permanent provoqué après amortissement du régime transitoire par un cylindre unique tournant à vitesse constante dans un fluide d extension quasi-infinie. ii) Calculez la circulation Γ de la vitesse de cet écoulement tout autour d une ligne de courant (circulaire). iii) Exprimez la vitesse v(r) de l écoulement en fonction de cette circulation. Que devient cette expression lorsque le rayon R du cylindre tend vers zéro à circulation Γ donnée? (On parle alors d écoulement d un tourbillon filamentaire.) iv) Quel est le champ de vorticité de l écoulement d un tourbillon filamentaire? Qu en concluez-vous sur les effets de viscosité dans un tel écoulement? 6 Écoulement autour d un cylindre, effet Magnus 1. Considérons le champ des vitesses ) v r (1) = V (1 a2 r 2 cos θ, ) v (1) θ = V (1 + a2 r 2 sin θ, v z (1) = 0, dans la base locale des coordonnées cylindriques, et dans le domaine r a. i) Vérifiez que c est bien le champ des vitesses d un écoulement incompressible. ii) Écrivez l équation des lignes de courant. Déterminez en particulier la forme asymptotique des lignes de courant pour r a, et les lignes de courant passant par des points d arrêt. Représentez l allure des lignes de courant. iii) Dans quelle mesure ce champ peut-il prétendre représenter de manière réaliste un écoulement asymptotiquement uniforme autour d un cylindre d un cylindre fixe (ou l écoulement autour d un cylindre se mouvant à vitesse constante par rapport à un fluide au repos loin du cylindre)? iv) Discutez de la possibilité de calculer la pression en tout point au moyen de l équation de Bernoulli. v) Établir l expression de la pression en tout point r a. vi) Au vu des symétries de l expression de la pression (ou de l expression du module de la vitesse), que pouvez-vous dire de la résultante des forces de pression sur le cylindre (cas prticulier du paradoxe de d Alembert). 2. Rappelez l expression du champ des vitesses induit, en régime stationnaire, par un cylindre tournant dans un fluide. Exprimez ce champ v (2) ( r) en fonction de sa circulation Γ autour du cylindre. 3. On superpose les deux champs des vitesses précédents pour former le champ v( r) df = v (1) ( r) + v (2) ( r). i) Quelle est la forme asymptotique de ce champ des vitesses loin du cylindre? Représentez comme vous pouvez l allure des lignes de courant de cet écoulement selon que la vitesse périphérique du cylindre est petite, ou grande... par rapport à quoi au fait? ii) Discutez de la cohérence et du le réalisme de ce modèle dans sa prétention à décrire un écoulement asymptotiquement uniforme autour d un cylindre tournant. iii) L équation de Bernoulli est-elle utilisable pour calculer la pression en tout point?
4 Hydrodynamique, PH282 Paris 7 iv) Qualitativement, que pouvez-vous maintenant dire : du module de la vitesse du fluide en quelques points typiques à la surface du cylindre? et de la résultante des forces de pression sur le cylindre? v) Quantitativement : établissez l expression de la pression en tout point à la surface du cylindre ; en déduire la direction et le module de la force résultante (effet Magnus).