Vocabulaire des angles Parallèles, sécantes et angles Somme des mesures des angles d'un triangle I. Angles particuliers Chapitre 6 : Angles et parallélisme 1. Angles complémentaires, angles supplémentaires Définition 1 : Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est 90. Définition 2 : Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est 180. 2. Angles adjacents Définition 3 : Deux angles sont adjacents lorsque : a. ils ont le même sommet ; b. ils ont un côté commun ; c. ils sont de part et d autre de ce côté. 3. Angles opposés par le sommet Définition 4 : Deux angles opposés par le sommet sont deux angles : a. qui ont le même sommet ; b. dont les côtés sont dans le prolongement l un de l autre. Propriété 1 : des angles opposés par le sommet Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. Exercices : 36, 37, 39, 40, 41 page 215 (+ 38?) 4. Angles alternes-internes, angles correspondants Soient deux droites (d) et (d') coupées par une sécante (s) en A et B respectivement : Définition 5 : Deux angles sont alternes-internes si : a. ils ont pour sommets les points A et B ; b. ils sont situés de part et d autre de la droite (s) ; c. ils sont situés entre les droites (d) et (d'). Définition 6 : Deux angles sont correspondants lorsqu ils sont situés : a. ils ont pour sommets les points A et B ; b. ils sont situés d un même côté de la droite (s) ; c. seulement un est situé entre les droites (d) et (d'). Exercices : 42, 43, 44, 45, 46 page 215 David Prieto Colmenarejo 1
II. Propriétés des angles formés par deux droites parallèles et une sécante. Propriété 2 : des angles alterne-internes Si deux droites parallèles (xx') et (yy'), sont coupées par une sécante (zz') en A et B respectivement, alors les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure. Soit M milieu de [AB] A et B sont symétriques par rapport à M. Les droites (xx') et (yy') sont symétriques par rapport à M car elles sont parallèles et contiennent les points A et B respectivement ; donc et sont symétriques par rapport à M (par rapport à M, les demi-droites [Ax') et [By) sont symétriques ainsi que [Az ) et [Bz)). La symétrie centrale conserve la mesure des angles. Propriété 3 : des angles correspondants Si deux droites parallèles (xx') et (yy'), sont coupées par une sécante (zz') en A et B respectivement, alors les angles correspondants qu'elles forment sont de même mesure. 1. Les droites (xx') et (yy') sont parallèles et que les angles et sont alternes-internes Si deux droites parallèles (xx') et (yy'), sont coupées par une sécante (zz') en A et B respectivement, alors les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure. 2. et que et sont opposés par le sommet Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. et donc que Exemples : exercice 47 page 216 Exercices : 48, 49, 50, 52 et 53 page 216 (49 et 50 à l'oral) David Prieto Colmenarejo 2
III. Propriétés réciproques Propriété 4 : réciproque des angles alterne-internes Si deux droites (xx') et (yy'), coupées par une sécante (zz'), forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles. Soit M milieu de [AB] 1. xaz zby sont des angles alterne-internes de même mesure. Ses sommets, A et B, sont symétriques par rapport à M et ils ont un côté qui est symétrique l'un de l'autre par rapport à M : [Az') et [Bz) sont symétriques par rapport à M. La symétrie centrale conserve la mesure des angles. Les angles xaz zby sont symétriques par rapport à M et donc ses côtés le sont aussi. Alors [Ax) et [By') sont deux demi-droites symétriques par rapport à M et (xx') et (yy') aussi. 2. (xx') et (yy') sont symétriques par rapport à M Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle (xx') et (yy') sont parallèles Propriété 5 : réciproque des angles correspondants Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. On considère par exemple, les angles correspondants xaz et ybz. xaz ybz et que ybz est opposé par le sommet de zby, et donc de même mesure. Alors xaz ybz et ybz zby, et donc xaz zby. Mais xaz et zby sont des angles alterne-internes. La propriété réciproque des angles alterne-internes. (xx') et (yy') sont parallèles. Exemples : 56 page 217 Exercices : 57, 58, 59, 60 page 217 David Prieto Colmenarejo 3
IV. Applications Les propriétés vues aux paragraphes précédents nous permettent de justifier deux propriétés vues en sixième : Propriété 6 : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Si (d) (d') et (d) (d'') alors (d') (d''). (d) (d') et (d) (d'') Les angles codés sur la figure sont correspondants (on aurait pu aussi coder des angles alternes-internes) La propriété réciproque des angles correspondants. (d') (d'') Propriété 7 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si (d) (d') et (d) (d ) alors (d ) (d ). (d) (d') et (d) (d'') La propriété des angles alternes-internes ou des angles correspondants. (d ) (d ) David Prieto Colmenarejo 4
V. La somme des mesures des angles d un triangle : démonstration et applications Exercice 51 page 216 Propriété 6 : La somme des mesures des angles d un triangle quelconque ABC est toujours 180º. Soit (d) une droite parallèle à (AB) passant par C. Soient D et E deux points sur (d) disposés comme sur la figure. =α 1. (d) (AB) 2. et sont alterne-internes On applique : la propriété des angles alterne-internes (*) = = α = β 1. (d) (AB) 2. et sont alterne-internes On applique : la propriété des angles alterne-internes (*) = = β = γ (*) La propriété des angles alterne-internes nous permet d affirmer que si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alterne-internes sont de même mesure. Nous avons donc : = = α = = β = γ La somme des mesures des angles d un triangle quelconque ABC est : + + = + + = α + β + γ = 180º c.q.f.d. Applications : 1. Les angles dans un triangle équilatéral mesurent 60º. 2. Les angles à la base dans un triangle isocèle mesurent α sommet principal. β 3. Les angles non droits d un triangle rectangle sont complémentaires. où β est l angle du Réciproques : 1. Si les angles d un triangle mesurent chacun 60º alors le triangle est équilatéral. 2. Si deux angles d un triangle mesurent chacun α β alors il est isocèle et l angle principal mesure β. Si deux angles d'un triangle sont complémentaires alors ce triangle est rectangle. Exercices : 61, 62, 63 page 217 64, 65, 66, 67, 68, 69 page 218 David Prieto Colmenarejo 5
VI. Activité sur geogebra Avant de commencer à utiliser Geogebra : la fenêtre doit occuper tout l écran; enlever les axes en cliquant sur la case pour décocher, au menu affichage. Attention : pour savoir comment utiliser un outil de construction, il faut placer le curseur sur l outil pour obtenir une info-bulle. Exercice 1 : a. Placer trois points non-alignés, A, B et C, et tracer la droite (AC) b. Placer le point D tel que D (AC) et tracer la droite (BD) c. Placer les points E et F tels que : E (AC) mais E [AC) F (BD) mais F [BD) d. Tracer la droite (AB) et placer les points G et H tels que : G (AB) mais G [AB) H (AB) mais H [BA) e. Afficher la mesure de l'angle ABD en vert, celle de son angle alterne-interne en rouge et celle de son angle correspondant en marron. f. Bouger le point A pour faire varier les angles et énoncer, dans une boîte de texte, une conjecture sur la relation entre la position des droites (AC) et (BD) et les mesures des angles construits. Exercice 2 : a. Tracer une droite (AB) et placer un point C n appartenant pas à la droite (AB). b. Tracer la droite (AC) et afficher l'angle BAC qui a pour mesure α. c. Tracer la droite (DC) de façon que B et D soient de part et d'autre de (AC) et que l'angle ACD mesure α. d. Afficher la mesure de l'angle ACD et bouger le point B pour voir comment varient les deux angles affichés. e. Ecrire une conjecture sur la relation entre ces droites quand les angles construits sont de même mesure. Exercice 3 : Théorème de la somme des angles d'un triangle a. Construire un triangle ABC quelconque. b. Tracer la droite parallèle à (AB) passant par C et placer sur cette droite deux points D et E tels que C [DE]. c. Afficher, en bleu, l'angle BAC, de mesure α et son angle alterne-interne relatif à la droite (AC), de mesure β. d. Afficher, en rouge, l'angle ABC, de mesure γ et son angle alterne-interne relatif à la droite (BC), de mesure δ. e. Afficher, en vert, l'angle ACB, de mesure ε. f. Dans une boîte de texte, donner la somme des angles du triangle, en utilisant les mesures affichées et en établissant la somme (S = α + γ + ε), dans la case de saisie. g. Inclure une autre boîte de texte, en utilisant les mesures des angles alternes-internes et celle de l'angle ACB et une autre somme : S' = β + δ + ε. Ne pas oublier d'enregistrer les fichiers pour les faire arriver au professeur! Les exercices doivent être enregistrés dans le dossier de l élève, sous-dossier "geometrie", sous-dossier "ang_paral", sous le nom de «nom_prénom_exercice_numéro d exercice» (Exemple: prieto_david_exercice_2 dans le dossier "ang_paral", dans le dossier "geometrie", dans le dossier "prieto_david") David Prieto Colmenarejo 6