Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 56 T.P. COURS RÉSEAU DE DIFFRACTION 1. INTERET D UN DISPOSITIF INTERFERENTIEL A N ONDES 1.1. Interférences à deux ondes Dns un phénomène d interférences à 2 ondes de même mplitude, l intensité observée en un point M de l espce dépende du déphsge des 2 ondes en ce point suivnt l formule : I = 2I 0 (1 + cosφ ) L intensité est mximle pour φ = 2nπ, et minimle ( ici nulle) pour φ = nπ. L écrt Δφ entre un pic d intensité et son pied est donc égl à π Il est possible de retrouver directement ce résultt en représentnt les mplitudes des 2 ondes dns le pln complexe. Si nous notons 1 = 0 e jωt l première, l seconde s écrit 2 = 0 e jωt e jφ. 2!! = 0 (2")! = " (2") 1 L intensité étnt proportionnelle u crré du module de l mplitude totle, ses vleurs extrêmes sont ussi celle de ce module. L représenttion complexe fit bien pprître un mximum pour φ = 2nπ, et un minimum pour φ = π 1.2. Interférences à N ondes Imginons à présent un dispositif permettnt de fire interférer N ondes de même mplitude, de sorte que le déphsge φ u point d observtion entre deux ondes successives soit le même. Le clcul de l intensité est ici plus complexe. L représenttion des mplitudes dns le pln complexe permet cependnt d en déterminer les vleurs extrêmes.
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 57!! = 0 (2") 1! = 2"/# Il pprît clirement qu une fois encore l intensité est mximle qund φ = 2nπ. En revnche, l'intensité est minimle ( encore nulle ) qund φ = 2π N. L écrt Δφ entre un pic d intensité et son pied est donc égl à 2π N : Ces pics sont donc beucoup plus fins que dns le cs d un phénomène à deux ondes, et ce d utnt plus que le nombre d ondes interférnt est importnt. Ce résultt est très utile en spectrométrie : en effet deux pics correspondnt à des longueurs d onde différentes mis voisines seront d utnt mieux séprés ( nous dirons résolus ) qu ils sont fins. Nous llons étudier l un de ces dispositifs : le réseu de diffrction. 2. PRINCIPE D UN RESEAU PLAN 2.1. Crctéristiques Un réseu pln peut être constitué d'un ensemble de fentes fines identiques, prllèles et équidistntes, séprées pr un intervlle opque. Ces fentes sont les trits du réseu ; l distnce entre deux fentes voisines est l période ( ou ps) du réseu que l'on noter. Le nombre totl de trits éclirés (noté N) est une utre crctéristique importnte du réseu. L lumière incidente est diffrctée pr les différentes fentes, ce réseu fonctionne en trnsmission, le dispositif d'observtion permet d'étudier l figure d'interférence de toutes les ondes lumineuses diffrctée pr les différentes fentes dns une direction donnée. M"2 M"1 O" i0 i0 u0 H M2 M1 K O i i i u M'2 M'1 O' L lumière incidente est prllèle, s direction est contenue dns le pln de l figure (ngle i 0 ). Les fentes sont perpendiculires u pln de l figure, leur lrgeur b (dns le pln de l figure) est très petite pr rpport à leur longueur (dns l direction perpendiculire à ce pln). Pr conséquent l lumière diffrctée pr chque fente est contenu dns le pln, les ryons diffrctés dns l direction i interfèrent à l'infini. Les fentes sont numérotées à l'ide de l'entier q, de 0 à N-1.
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 58 2.2. Formule fondmentle des réseux Clculons l différence de mrche δ entre le ryon O"OO', choisi comme référence, et le ryon M" 1 M 1 M' 1 pssnt pr l fente voisine.! = OK - HM 1 (excédent de chemin optique du premier ryon sur le deuxième)! = sin (i) - sin (i 0 ) = (sin i - sin i 0 ). δ est ussi l différence de mrche entre deux ryons pssnt pr deux fentes voisines, pr conséquent l différence de mrche entre le ryon de référence et celui pssnt pr l fente numérotée q est :! q = q! = q (sin i - sin i 0 ) ce qui correspond u déphsge :! q = q! = q 2" # $ 0 = q 2" (sin i - sin i 0) $ 0. D près l étude précédente, l direction i correspond à un mximum d'intensité si les ondes diffrctées pr les N fentes sont en phse, ce qui nécessite φ = 2πδ λ 0 = 2nπ (où n est un entier) soit ussi δ = nλ 0. sini - sin i 0 = n λ Ο Il s'git de mxim principux (il existe des mxim secondires de très fible mplitude) Quelle que soit l longueur d onde, nous observerons donc un mximum d intensité dns l direction i = i 0 (trnsmission directe ), correspondnt à n = 0. L direction des utres mxim dépend en revnche de l longueur d onde. Si l lumière incidente est polychromtique, nous observons lors plusieurs spectres ( l direction i 0 mise à prt ) que n numérote : n est ppelé ordre du spectre. Il est très importnt de remrquer que le nombre d ordres observbles, pour une longueur d onde donnée, est limité et dépend de l ngle d incidence. Ainsi, pour λ 0 = 589 nm, i 0 = 30, = µm, les ordres observbles sont : 2.3. Principe d un spectromètre à réseu Nous désirons pouvoir éclirer le réseu sous des incidences éventuellement fortes et de même observer des spectres correspondnt à des ngles i importnts, tout en grdnt l possibilité d utiliser des lentilles pour l formtion des imges. Pour rester dns les conditions de Guss, nous devons dopter un dispositif où les xes optiques des lentilles peuvent tourner pr rpport u pln du réseu : R représente le réseu pln, il est posé sur un cercle grdué ppelé limbe qui permet de repérer des directions (il est grdué en degrés et minutes d'ngles).
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 59 Le collimteur permet d'obtenir un fisceu de lumière prllèle. L lunette est réglée à l'infini donc le fisceu que l'on observe est prllèle. N repère l normle u pln du réseu, les ngles sont repérés pr rpport à cette normle. ordre 1 ordre 0 Pour n = 0 le mximum de lumière correspond à i = i 0, c'est l direction de l lumière incidente, les ordres sont repérés pr rpport à cette direction. Les différents ordres sont réprtis de prt et d utre de cette direction. R i0 i N ordre -1 ordre -2 lunette L dévition D est l'ngle entre l lumière incidente (ordre 0) et l lumière diffrctée que l'on observe : D = i - i 0 collimteur Les mesures d'ngles ux différentes ordres permettent de vérifier l formule du réseu et de déterminer. Ce dispositif permet surtout de mesurer des longueur d'onde, comme le spectromètre à prisme. 3. PRESENTATION ET REGLAGE DU SPECTROMETRE 3.1. Description Le spectromètre se compose d'un bâti mssif sur lequel sont montés 3 ccessoires: 1 / Le COLLIMATEUR qui donne de l fente source une imge à infini. Il se compose d'un objectif (61) de 160 mm de distnce focle et d'une fente dont l lrgeur est réglble. Le tmbour de réglge principl (7) permet d'mener l fente source, dns le pln focl objet du collimteur. 2 / Le PLATEAU (ou pltine ) est destiné à recevoir l'objet à étudier. Il est mobile utour d'un xe verticl qui est pr construction perpendiculire à l'xe optique du collimteur. Une vis permet de bloquer s rottion, et une deuxième vis permet lors une rottion micrométrique. Trois vis (4) disposées en tringle équiltérl utour du plteu permettent le réglge de l'horizontlité de celui-ci. 3 / L LUNETTE qui est mobile utour du même xe verticl que le plteu. Une vis permet le blocge de l rottion, et une deuxième vis permet lors une rottion micrométrique. L rottion de l lunette est repérée sur un disque grdué (ou limbe) (5) de 200 mm de dimètre.un vernier permet une mesure à l minute d rc près.
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 60 L lunette comprend elle-même qutre prties: - un objectif de distnce focle 130 mm - un réticule comprennt un fil horizontl et un fil verticl. Le pln du réticule ( R ) correspond à l bgue moletée brillnte. Le tmbour de réglge (2) permet d'mener le réticule dns le pln focl objet de l'objectif. - Le dispositif d'utocollimtion vec une source de lumière disposée ltérlement et une lme semi-réfléchissnte dont l'orienttion est commndée pr une petite mnette (3). Lorsque l mnette est poussée vers l guche, l lme est à 45 et le réticule est écliré en vue de l'uto-collimtion. Lorsque l mnette est poussée vers l droite, on obtient simplement un éclirge diffus. - L oculire (0) permet simplement l'observtion visuelle du pln du réticule. Chcun pourr le régler à s vue, et le réglge pourr être retouché en cours de mnipultion. mnette d'utocollimtion oculire (3) (0) Lunette (R) bgue de réglge de l lunette (2) objectif Plteu vis de réglge de l'horizontlité du plteu (4) Collimteur (6) (7) fente source (1) vis de réglge d'horizontlité (5) réglge du collimteur disque grdué vec vernier N.B. Contrirement à l'xe optique du collimteur, celui de l lunette n'est ps réglé pr construction perpendiculire à l'xe de rottion du plteu. Le réglge s'effectue à l'ide d'une vis (1) située sous l lunette. Le réglge du spectromètre est très importnt, ii importe de comprendre et respecter l'ordre logique des opértions. Rppelons l précution élémentire dns tout T.P. d'optique: NE PAS METTRE SES DOIGTS SUR LES SURFACES OPTIQUES.
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 61 3.2. Réglges optiques 3.2.1. Réglge de l oculire Régler l'oculire (0) à s vue, de fçon à voir nettement le réticule. Les élèves portnt des verres correcteurs ont le choix entre les grder ou les ôter. Ce réglge peut être modifié à tout instnt. 3.2.2. Réglge de l lunette sur l'infini pr utocollimtion. But : mener le réticule dns le pln focl imge de l'objectif de l lunette. Rq. l lunette devient lors un viseur dioptrique permettnt des mesures ngulires; une lunette réglée à une distnce finie mis fixe s ppelle un viseur à frontl fixe permettnt des pointés longitudinux. Rppel du principe de l utocollimtion : A miroir pln A' f L condition nécessire et suffisnte pour que A et son imge A dns le système ctdioptrique (lentille + miroir pln) soient dns un même pln de front est que A soit dns le pln focl objet de l lentille. Mode opértoire; Le réseu étnt posé sur le plteu du goniomètre, viser l fce non grvée fisnt office de miroir pln. Pousser vers l guche l mnette d utocollimtion (3). - préréglge: gir sur le tmbour de réglge de l lunette (2) de fçon à voir nets simultnément le réticule et son imge pr utocollimtion. - réglge définitif: déplcer l œil de hut en bs ou de guche à droite devnt l œilleton de l oculire. Le réglge est prfit lorsque le réticule et son imge pr utocollimtion ne bougent plus l un pr rpport à l utre. L lunette est lors réglée sur l infini. Ne plus modifier ce réglge pr l suite. 3.2.3. Réglge du collimteur But: mener l fente source dns le pln focl objet du collimteur. Mode opértoire:
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 62 Pousser vers l droite l mnette d utocollimtion (3). Plcer une source de lumière devnt l fente, et régler celle-ci u mximum de finesse. -préréglge: viser l fente source, et gir sur le tmbour de réglg) du collimteur de fçon à voir nets simultnément le réticule et l'imge de l fente source. - réglge définitif: déplcer l'oeil de guche à droite devnt l'œilleton de l'oculire. Le réglge est prfit lorsque le réticule et l'imge de l fente source ne bougent plus l'un pr rpport à l'utre. Ne plus jmis toucher à ce réglge. 3.3. Réglge reltif du réseu et de l xe de l lunette But: Amener l xe optique de l lunette perpendiculirement à l xe de rottion du plteu. Pour le réglge on utilise l vis située sous l lunette et l vis du plteu (4) fce à l lme portnt le réseu. Avnt de commencer mettre l vis du plteu (4) à mi-course (cle d épisseur) et vérifier que les deux utres vis sont églement enfoncées. Commencer pr centrer l imge de l fente source sur le reticule en gissnt sur l vis située sous l lunette. Utiliser ensuite l utocollimtion et mener le fil horizontl de l imge du réticule en coïncidence vec celui du réticule lui-même, en gissnt sur l vis (4). Remrque. On n oublier ps de pousser vers l'vnt l mnette d'utocollimtion (3). Vérifier enfin que les différents ordres observés dns l lunette pr rottion de celle-ci restent centrés dns le lunette. 4. QUALITES D UN RESEAU 4.1. Pouvoir dispersif L sensibilité du dispositif est crctérisée pr le pouvoir de dispersion différencition de l formule des réseux à i 0 et n constnts :!i!! 0 donné pr i n λ 0 = cosi Nous observons que plus n est grnd, plus i ugmente en vleur bsolue donc plus cosi diminue, pr conséquent le pouvoir de dispersion ugmente qund l'ordre ugmente. Cependnt on sit que le nombre d'ordres observbles est limité et, de plus, un ordre théoriquement observble ne ser ps toujours vu cr on constte expérimentlement que l'intensité des ries décroît fortement qund l'ordre ugmente. Le pouvoir dispersif est en outre d utnt plus grnd que le ps du réseu est fible, ou encore que son nombre de trits pr unité de longueur est élevé... Notons enfin que l dispersion du réseu est en générl plus grnde que celle du prisme (le doublet du sodium pr exemple est mieux résolu vec le réseu qu'vec le prisme).
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 63 4.2. Pouvoir de résolution Il s'git de déterminer l plus petite différence de longueur d'onde qu'un spectromètre à réseu permet de mesurer en utilisnt le critère de Ryleigh qui précise que deux mxim sont séprés si leur distnce est supérieure à l moitié de leur lrgeur. Plçons nous à un ordre donné n: - pour l longueur d'onde λ le mximum correspond à i tel que : sini - sin i 0 = n λ Ο - pour l longueur d'onde λ' = λ+ δλ le mximum i' est tel que : sini - sin i 0 = n λ Ο + δλ En supposnt l différence δi λ = (i' - i) petite (ce qui effectivement le cs si δλ «λ) il vient, pr différencition et pssge ux ccroissements finis : : -i0 R i = -i0 Dm i0 N ser cosi δi λ = nδλ => δi λ = nδλ cosi En outre l demi-lrgeur δi n du pic d ordre n est clculble à prtir du δφ correspondnt qui vut 2π N, soit un δ(δ) = λ 0 N. Toujours pr différencition, il vient : δ(δ) = cosi δi n = λ 0 N => δi λ 0 n = N cosi Le critère de Ryleigh s énonce lors δi λ δi n ou nδλ λ 0 N ce que l'on écrit hbituellement λ 0 δλ nn Le produit nn est ppelé pouvoir de résolution du réseu dns l ordre n Pour ugmenter l résolution on peut ugmenter N, nombre de trits éclirés, et/ou fire l'observtion à un ordre plus élevé. Cependnt on est limité, dns les dispositifs simples, pr l perte de luminosité des ries lorsque l'ordre ugmente ; c'est pourquoi on imginé des dispositifs, tels que le réseu à échelette, qui permettent de concentrer l lumière dns un ordre élevé. exemple : pour un réseu à 500 trits pr mm, écliré sur une lrgeur de 5 cm et utilisé u deuxième ordre : N = 50*500 = 25 000 et nn = 50 000. Pour une longueur d'onde moyenne dns le visible λ = 500 nm on obtient δλ λ 0 nn = 0,01 nm ce qui est déjà tout à fit remrquble! (le doublet june du sodium correspond à une différence de longueur d'onde égle à 0,6 nm, il est donc très bien résolu)
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 64 4.3. Minimum de dévition Comme dns le cs du prisme on fit les mesures u minimum de dévition : D = i - i 0 donc dd = di di - 1, il y un extremum de D pour di = di 0 (il est possible de démontrer qu'il s'git d'un 0 di 0 minimum, ce qui est confirmé expérimentlement). En différencint l reltion du réseu (à n,, λ 0 constnts) il vient : cos i di = cos i 0 di 0 soit, vec di = di 0, l reltion entre i et i 0 u minimum de dévition : cos i = cos i 0 D où i = - i 0 (l solution trivile i = + i 0 non déviée ne donne ucune dispersion). Le minimum de dévition intéressnt est donc D m = 2 i = - 2 i 0, l formule du réseu devient donc : sin D m 2 = - sin D m 2 + nλ 0 sin D m 2 = nλ 0 2 Cette reltion permet de fire des mesures bsolues de longueur d'onde si on connît l crctéristique du réseu ; une courbe d étlonnge du réseu permet des mesures reltives, l précision peut lors dépsser 10-5. 5. MESURES EN SPECTROMETRIE On utilise une lmpe à vpeur de sodium, qui émet essentiellement les longueurs d'onde : 589,0 nm et 589,6 nm. On utiliser l plus grnde de ces longueurs d'onde qui correspond à l rie l plus déviée. Toutes les mesures sont effectuées en fermnt u mximum l fente du collimteur, pour fire un pointé précis. ( ouvrir u contrire lrgement l fente pendnt l recherche d'un spectre ) On donner les résultts vec 4 chiffres significtifs. 5.1. Mesure du ps du réseu 5.1.1. Utilistion en incidence normle i0 = 0 fisceu incident Viser l'ordre 0 (dévition nulle n = 0). Noter l position correspondnte de l lunette qui, dns l suite, ser l'origine des ngles. Fermer l fente. Ensuite, sns Fig.1 réseu déplcer l lunette, et en utilisnt l'uto-collimtion, fire tourner l plte-forme jusqu'à ce que le fil verticl du réticule coïncide vec son imge sur l fce grvée du réseu. On lors. Mesurer i pour n = +1, +2, -1, -2 et trcer l courbe i-1 sini = f(n) K = -1 En déduire le ps du réseu et le nombre de trits pr mm K = 0 i1 K = +1
Cours PC Brizeux TP COURS : Réseu de diffrction 65 5.1.2. Utilistion u minimum de dévition fisceu incident C'est, en principe, l méthode i0 l plus précise. Pour un ordre donné : i = -i 0 Fig. 3 En prtique on mesure 2 Dm = 4 i 0 en visnt le mini- fisceu diffrcté symétrique du fisceu incident pr rpport u pln du réseu Dm=-2i0 normle -i0 i0 réseu mum de dévition d'un côté puis de l'utre du fisceu incident (ce qui correspond ux ordres n et -n). En ppliqunt sin D m 2 = nλ 0 2, trcer l courbe sin D m 2 = f(n) et en déduire à nouveu 5.2. Détermintion d une longueur d onde Déterminer l longueur d onde d une rie «inconnue : l rie verte du Cdmium». On estimer!" =...% et on écrir les résultts sous l forme λ = ( " " ± " ") nm. " 5.3. Observtion d un spectre pr réflexion - définir les ngles d incidence i 0 et de diffrction i lgébriquement - étblir l expression de l différence de mrche entre deux ryons diffrctés voisins - trouver l reltion donnnt les ngles i pour les mxim principux - observer le spectre pr réflexion.