Licence MIASHS première année, UE Analyse S MI0A0X Cours : Marc Perret Feuille d exercices numéro du 04 octobre 202 Important : - les exercices sans astérisque doivent être maitrisés Ils sont du type de ceux exigibles en examen - Ceux avec une astérisque sont considérés comme difficiles Ce type d exercices n apparaîtra en examen que pour une toute petite partie des points - Ceux avec deux astérisques sont considérés comme très difficiles Il n y en aura pas de ce type en examen Domaines de définition, variations Exercice Déterminer les domaines de définition des fonctions f(x) = log(x 2 4); g(x) = On rappelle que D log =]0, + [, D exp = R, D sin = D cos = R Exercice 2 Donner les domaines de définition des fonctions f(x) = sin 2x 2 cos x ; h(x) = e x(x ) ln x e sin x ; g(x) = ln x ; h(x) = log(x2 3x + 4); i(x) = log( x 2 + 2x 3) Exercice 3 Déterminer les domaines de définitions des fonctions suivantes : f(x) = x(x ) ; ( ) g(x) = log(x+2) ; h(x) = log x log((x )(x )) ; ϕ(x) = sin x ; ψ(x) = x 2 +cos x + x + ; φ(x) = log cos x Exercice 4 Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de R a) On suppose que f est croissante, et que x I, f(x) > 0 Montrer qu alors f est décroissante b) On suppose que f et g sont croissante Montrer que f + g et f g sont nécessairement croissantes Donner un exemple où le produit fg ne l est pas ([indication : pensez au cas où une des fonctions prend des valeurs négatives]), et un autre où le quotient ne l est pas non plus c) On suppose maintenant f croissante et g décroissante sur I Montrer que f g est décroissante Donner un exemple montrant que la somme n est pas nécessairement croissante, et un autre montrant qu elle n est pas non plus nécessairement décroissante Exercice 5 Soit f une fonction de R dans R On suppose que f f est strictement croissante sur R, et que f f f est strictement décroissante sur R Montrer qu alors f est strictement décroissante sur R
2 Exercice* 6 Soit f : R R, telle que f(0) = 0 et f f(x) = x pour tout x R a) Montrer que f est bijective b) Soit a R tel que f(a) a Montrer que f n est pas croissante sur l intervalle d extrémités a et f(a) c)on suppose que f est strictement monotone Montrer que, ou bien f est strictement décroissante, ou bien f(x) = x pour tout x d) Trouver un exemple de fonction g : R R, strictement décroissante et telle que g g(x) = x pour tout x R, et g strictement décroissante sur R Exercice 7 Tracer le graphe de f(x) = x + x [Indication : en scindant R en un certain nombre d intervalles, donner des expressions de f sur chacun d eux, où la valeur absolue n intervient plus] Limites Exercice 8 Calculer les ites suivantes, de deux fa ons différentes : a) En utilisant les théorèmes du cours b)* En revenant aux définitions avec les ε x x 2 + sin x x 2 ; x + cos x; x x cos x, + sin x x x x x Exercice 9 Calculer x + sin 2x x 2 + 2x x + x x 2 ; x x 2 Exercice 0 Calculer x 2 + x x ; x x x 2 3x + 2 ; x 2 + 2 x ; x x x 2 + 2 x x Exercice Calculer les ites suivantes : x 2 x 2 x 2 x 3 + x 2 ; 4 x x 2 + x + 2 ; 3 x6 x 2 + Exercice 2 Illustration des "formes indéterminées" Chercher des exemples de fonctions f, g sur un intervalle I et de a infini ou réel de I ou extrémité de I, tels que : a) La forme indéterminée 0 0
3 a-) f et g tendent vers 0 en a, et f g a-2) f et g tendent vers 0 en a, et f g a-3) f et g tendent vers 0 en a, et f g a-4) f et g tendent vers 0 en a, et f g tend en a vers 0 tend en a vers + tend en a vers tend en a vers un réel l fixé à l avance a-5) f et g tendent vers 0 en a, mais f g b) La forme indéterminée b-) f et g tendent vers + en a, et f g b-2) f et g tendent vers + en a, et f g n a pas de ite en a tend en a vers 0 tend en a vers + b-3) Est-il possible que f et g tendent vers + en a, et f g tend en a vers? b-4) f et g tendent vers + en a, et f g tend en a vers un réel l 0 fixé à l avance Et si l < 0? b-5) f et g tendent vers + en a, mais f g n a pas de ite en a c) La forme indéterminée Même série de questions pour la forme indéterminée d) La forme indéterminée 0 Même série de questions pour la forme indéterminée 0 Exercice 3 Montrer que + x = x 2 et que + x + x2 = x 2 Exercice* 4 Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x 0 On suppose que f(x) = l > 0 x x 0 Démontrer qu il existe α > 0, tel que si x x 0 < α, alors f(x) > l 2 Exercice 5 Les affirmations suivantes sont-elles vraies? Si elles le sont, donner une démonstration Si elles sont fausses, donner un contre exemple a-) Si f : R + R est décroissante et f(0) =, alors x f(x) = 0 a-2) Si f : R + R est décroissante, f(x) x pour tout x et f(0) =, alors x f(x) = 0 a-3) Si f : R + R est décroissante, f(0) =, et pour tout x, 0 f(x) x Alors x f(x) = 0 b-) Si on a f(x) < g(x) < h(x) pour tout x, et si ces trois fonctions tendent respectivement vers l, l et l (en x 0 ou en l infini), alors on a l < l < l
4 b-2) Si on a f(x) g(x) h(x) pour tout x, et si f et h tendent respectivement vers l et l (en x 0 ou en l infini), alors g tends vers une ite l vérifiant l l l Exercice 6 Soient f et g deux fonctions définies sur R, telles que a) On suppose que l 0 Montrer que f(x) g(x) = l R f(x) = 0 g(x) = 0 b*) On suppose que l = 0 L équivalence du a) est-elle encore vraie? Continuité Exercice 7 Étudier la continuité des fonctions des deux premiers exercices de cette feuille, ainsi que des fonctions suivantes : x + x + f(x) = ; g(x) = x x ; h(x) = x NB Lorsqu il est demandé d étudier la continuité" d une fonction donnée explicitement, On demande en fait son domaine de définition, et l ensemble des réels de ce domaine de définition, en lesquels la fonction est continue Exercice 8 a) Donner les domaines de définition et de continuité de log x ; sin x ; sin x ; log(sin x) Exercice 9 a) On pose { x ϕ(x) = x si x 0 0 si x = 0 Montrer que ϕ est définie sur R, et continue sur R b) Donner les domaines de définition et de continuité de ψ(x) = ϕ(sin x) pour la fonction ϕ du a) Exercice 20 On note [x], ou encore E(x), la "partie entière" d un réel x, c est à dire le plus petit entier relatif inférieur ou égal à x Par exemple [3, 70097547] = E(3, 70097547) = 3; [ 3, 70097547] = E( 3, 70097547) = 4; [6] = E(6) = 6
5 a) Montrer que E est définie sur R, continue sur R Z et discontinue sur Z b) Donner les domaines de définition et de continuité de f(x) = E(sin x), puis de g(x) = E(cos x) et enfin de h(x) = E( sin x 2 ) Exercice* 2 Soit f et g définie et continue sur R, telle que f(x) = l R et f(x) = x l R existent Montrer qu alors f est bornée Atteind-elle nécéssairement ses bornes? Exercice 22 On pose f(x) = x si x < 0, et f(x) = x + si x 0 a) Tracer le graphe de f b) Montrer que f est continue sur R c) Montrer que f n est pas continue en 0 Exercice 23-a* Montrer, à l aide de la définition avec les ε, que lorsque a R, la fonction constante égale à a est continue sur R b*) Même question pour g(x) = x c*) Même question pour h(x) = x Exercice** 24 On va construire deux fonctions très laides a) Montrer que 2 / Q [la preuve standard, attribuée à Euclide il y a près de 2 500 ans, s effectue par l absurde On suppose que 2 = p q, avec p et q N premiers entre eux, et on montre que nécessairement p ET q sont tous les deux pairs, absurde] b) Montrer qu entre deux rationnels distincts, il y a toujours un irrationel, c est- à dire : a, b Q, a < b, x / Q, a < x < b Indication : construire, à l aide de 2, un barycentre bien choisi de a et b qui soit irrationnel c) Montrer qu entre deux irrationnels distincts, il y a toujours un rationel, c est- à dire : x, y / Q, x < y, a Q, x < a < y Indication : construire un barycentre bien choisi de x et y qui soit rationnel d) On pose f(x) = si x Q et f(x) = 0 si x / Q Montrer que f n est continue en aucun réel Essayez d avoir une idée de son graphe e) On pose g(x) = x si x Q et f(x) = x si x / Q Montrer que g n est continue qu en 0 Essayez d avoir une idée de son graphe Exercice 25 Montrer que l équation cos x + x sin x = 0 admet au moins une solution dans R Exercice* 26 Donner un exemple de fonction continue bijective de ], [ dans R, puis un exemple de fonction continue bijective de ]0, [ dans R [Indication : pensez à la fonction tangente]