Transformations du milieu continu

Extensome trie mesures du de placement relatif de deux points 2/75

Extensome trie mesures du de placement relatif de deux points 3/75

Mesures de champ mesures de champs de déformations 4/75

Mesures de champ de déplacement essai de traction simple 5/75

Mesures de champ de déplacement allongement de la zone utile état initial état déformé 8/75

Mesures de champ de déplacement méthode de corrélation d images : reconnaissance des motifs autour d un réseau de points matériels et suivi de leurs déplacements 2 1 9/75

Mesures de champ de déplacement méthode de corrélation d images : reconnaissance des motifs autour d un réseau de points matériels et suivi de leurs déplacements 2 1 10/75

champs de... Mesures de champ de déplacement -0.475-0.325-0.175-0.025 0.125 0.275 0.425-0.21-0.15-0.09-0.03 0.03 0.09 0.15-0.55-0.4-0.25-0.1 0.05 0.2 0.35 0.5-0.24-0.18-0.12-0.06-2.78e-17 0.06 0.12 2 2 U2 minimum:-0.583 maximum:0.545 1 déplacement u 2 U1 minimum:-0.253 maximum:0.221 1 déplacement u 1 en mm 11/75

Mesures de champ de déplacement profils de déplacement le long d une ligne 0.6 0.25 0.4 0.2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 u 2 (mm) -0.2-0.4-0.6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x 2 (mm) verticale u 1 0 (mm) -0.05-0.1-0.15-0.2-0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 (mm) horizontale 12/75

Mesures de champ de déplacement profils de déplacement le long d une ligne 0.6 0.25 0.4 0.2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 u 2 (mm) -0.2-0.4-0.6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x 2 (mm) verticale u 1 0 (mm) -0.05-0.1-0.15-0.2-0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 (mm) horizontale F 22 1 = u 2 x 2 F 11 1 = u 1 x 1 13/75

Plan 1 Mise en évidence expérimentale 2 Le gradient de la transformation Transports convectifs Décomposition polaire Extension et glissement simples 3 Déformations Mesures de déformations Transformations infinitésimales 4 Compatibilité d un champ de déformation Le cas général des transformations finies Equations de compatibilité dans le contexte infinitésimal 5 Bilan : déformation du milieu continu

Transformation du milieu continu X Φ x ( E, R ) Ω0 Ωt la transformation Φ x = Φ(X, t) le champ de déplacement u (X, t) = x X = Φ(X, t) X Le gradient de la transformation 16/75

Le gradient de la transformation Φ dx dx x X application linéaire tangente associée à Φ Φ(X + dx ) Φ(X ) = Φ.dX + o(x, dx ) X élément de fibre matérielle dx initiale et dx actuelle F (X, t) = Φ X = Grad Φ = 1 + Grad u, dx = F.dX Le gradient de la transformation F est une caractérisation locale de la transformation (F (X, t = 0) = 1 ) Le gradient de la transformation 17/75

Le gradient de la transformation Le gradient en coordonnées cartésiennes orthonormées (e i ) i=1,3 dx i = F ij dx j, avec F ij = x i X j = δ ij + u i X j et F = F ij e i e j dx 1 = Φ 1 X 1 dx 1 + Φ 1 X 2 dx 2 + Φ 1 X 3 dx 3 dx 2 = Φ 2 X 1 dx 1 + Φ 2 X 2 dx 2 + Φ 2 X 3 dx 3 dx 3 = Φ 3 dx 1 + Φ 3 dx 2 + Φ 3 dx 3 X 3 X 3 X 3 dx 1 F 11 F 12 F 13 dx 1 dx 2 = F 21 F 22 F 23 dx 2 dx 3 F 31 F 32 F 33 dx 3 les composantes de F sont sans dimension physique Le gradient de la transformation 18/75

Transport d un élément de volume volume élémentaire initial dv et actuel dv Le gradient de la transformation 20/75

Transport d un élément de volume volume élémentaire initial dv et actuel dv dv = dx 1.(dX 2 dx 3 ) = [dx 1, dx 2, dx 3 ] = det(dx 1, dx 2, dx 3 ) dv = [dx 1, dx 2, dx 3 ] = [F.dX 1, F.dX 2, F.dX 3 ] dv = J dv J = det F > 0 jacobien de la transformation transformation isochore en un point ou en tout point un matériau est dit incompressible s il ne peut subir que des transformations isochores Le gradient de la transformation 21/75

Retour sur la conservation de la masse ρ dv = ρ 0 dv = ρ J dv = ρ 0 = Jρ interprétation en terme de changement de variable dans une intégrale sur un domaine matériel D(t) ρ(x, t) dv = ρ(φ(x, t), t) J dv D(t) D 0 }{{} ρ 0 (X ) avec D 0 = Φ 1 (D(t)) Le gradient de la transformation 22/75

Transport d un élément de surface N Φ n X x ds = dx 1 dx 3 = ds N, ds = dx 1 dx 3 = ds n Le gradient de la transformation 23/75

Transport d un élément de surface N Φ n X x ds = dx 1 dx 3 = ds N, ds = dx 1 dx 3 = ds n l élément de surface est défini par les directions matérielles orthogonales dx 1 et dx 3 qu il contient. Le vecteur élément de surface ds ne se transforme pas comme une fibre matérielle : ds = J F T.dS ds et ds (resp. N et n ) ne sont pas constitués des mêmes points matériels Le gradient de la transformation 24/75

Décomposition polaire du gradient de la transformation Pour tout tenseur F inversible, il existe deux tenseurs symétriques définis positifs U et V uniques et un unique tenseur orthogonal R tels que F = R.U = V.R Si det F > 0, R est une rotation pure (i.e. det R = +1). R rotation propre (3 composantes) R 1 = R T U, V déformations pures (6 composantes) U T = U, V T = V Le gradient de la transformation 26/75

Décomposition polaire de F U R F R V Le gradient de la transformation 27/75

Transport d un trièdre principal de U décomposition spectrale de U et V U.V r = λ r V r, λ r > 0 (no sum), U = 3 λ r V r V r r=1 Les vecteurs propres sont appelés directions principales ou axes principaux de U, et les valeurs propres déformations principales v r = R.V r, V = 3 λ r v r v r r=1 Tout trièdre principal de U se transforme en un trièdre trirectangle. L orientation du trièdre déformé par rapport au trièdre initial est donnée exactement par R = il est intéressant de suivre une grille dont les arêtes (fibres matérielles) sont parallèles aux directions principales de U. C est le cas si les trièdres trirectangles formés par des arêtes de la grille initiale se transforment en trièdres trirectangles. L orientation du triangle final par rapport au premier permet de visualiser la rotation propre. Le gradient de la transformation 28/75

Transformations homogènes transformation homogène : F (X, t) = F (t) état initial homogène hétérogène lorsque tous les carrés déformés sont superposables, la déformation est homogène conséquence sur le champ de déplacement : x (t) = F (t).x + c (t) pour tout couple de points matériels x 1 x 2 = F.(X 1 X 2 ) Le gradient de la transformation 30/75

Extension simple Le gradient de la transformation 31/75

Extension simple x 1 = X 1 (1 + λ) x 2 = X 2 x 3 = X 3 1 1 R = 1, U = F 1 + λ 0 0 0 1 0 0 0 1 Le gradient de la transformation 32/75

Glissement simple Le gradient de la transformation 33/75

Glissement simple x 1 = X 1 + γx 2 x 2 = X 2 x 3 = X 3 1 2 1 γ 0 0 1 0 0 0 1 Le gradient de la transformation 34/75

Glissement simple C = 1 +γ(e 1 e 2 +e 2 e 1 )+γ 2 e 2 e 2, [C ] = Les valeurs propres de C sont 1 γ 0 γ 1 + γ 2 0 0 0 1 λ 1 = 1 2 (γ2 + 2 + γ γ 2 + 4) = ( 1 2 (γ + γ 2 + 4)) 2 λ 2 = 1 2 (γ2 + 2 γ γ 2 + 4) = ( 1 2 ( γ + γ 2 + 4)) 2 λ 3 = 1 Les vecteurs propres de C et U sont V 1 = 1 2 ( γ + γ 2 + 4)e 1 + e 2 V 2 = 1 2 ( γ γ 2 + 4)e 1 + e 2 V 3 = e 3 Le gradient de la transformation 35/75

U = V = Glissement simple 1 γ 0 1 + (γ/2) 2 2 1 + (γ/2) 2 γ 1 + γ2 /2 0 2 1 + (γ/2) 1 2 + (γ/2) 2 0 0 1 1 + γ 2 /2 γ 0 1 + (γ/2) 2 2 1 + (γ/2) 2 γ 1 0 2 1 + (γ/2) 1 2 + (γ/2) 2 0 0 1 R = γ 0 1 0 1 1 + (γ/2) 2 2 1 + (γ/2) 2 γ 2 1 + (γ/2) 2 1 + (γ/2) 2 0 0 1 la rotation propre est une rotation autour de e 3 d angle tan θ = γ 2 Le gradient de la transformation 36/75

Les tenseurs de Cauchy Green Φ dx 1 dx 2 dx 1 X x dx 2 Déformations 39/75

Les tenseurs de Cauchy Green Φ dx 1 dx 2 dx 1 X x dx 2 dx 1.dx 2 = (F.dX 1 ).(F.dX 2 ) = dx 1.F T.F.dX 2 = dx 1.C.dX 2 le tenseur de Cauchy Green droit C = F T.F instaure une métrique sur Ω 0 dx 1.dX 2 = dx 1.B 1.dx 2 le tenseur de Cauchy Green gauche B = F.F T instaure une métrique sur Ω t (C et B sont symétriques et définis positifs, B C T!!) Déformations 40/75

Variation de longueurs variation de longueurs allongement relatif dx 2 dx 2 dx = dx M λ(m ) = dx dx interprétation des composantes de C λ(e 1 ) Déformations 41/75

Variation de longueurs variation de longueurs dx 2 dx 2 = dx.(c 1 ).dx = dx.(1 B 1 ).dx allongement relatif dx = dx M λ(m ) = dx dx = M.C.M = F.M = U.M interprétation des composantes de C λ(e 1 ) = C 11 = F11 2 + F 21 2 + F 31 2 C 11 désigne donc le carré de l allongement du premier vecteur de base Déformations 42/75

Variation d angles variation d angle entre deux éléments de fibre matérielle dx 1 = dx 1 M 1, dx 2 = dx 2 M 2 dx 1 = dx 1 m 1, dx 2 = dx 2 m 2 cos Θ = M 1.M 2 cos θ = m 1.m 2 angle de glissement γ des directions M 1 et M 2 dans le plan de glissement (M 1, M 2 ) γ := Θ θ Si Θ = π/2 (directions initialement orthogonales) sin γ = interprétation des composantes de C : M 1 = E 1 et M 2 = E 2 sin γ = Déformations 43/75

Variation d angles variation d angle entre deux éléments de fibre matérielle dx 1 = dx 1 M 1, dx 2 = dx 2 M 2 dx 1 = dx 1 m 1, dx 2 = dx 2 m 2 cos Θ = M 1.M 2 cos θ = m 1.m 2 = M 1.C.M 2 λ(m 1 )λ(m 2 ) angle de glissement γ γ := Θ θ Si Θ = π/2 (directions initialement orthogonales) sin γ = M 1.C.M 2 λ(m 1 )λ(m 2 ) interprétation des composantes de C : M 1 = E 1 et M 2 = E 2 sin γ = C 12 C11 C 22 Déformations 44/75

Retour sur les mouvements de corps rigide Une transformation homogène est appelée mouvement de corps rigide lorsque la distance entre tout couple de points matériels reste inchangée au cours du mouvement : X 1, X 2 0, x 1 x 2 = X 1 X 2 Déformations 45/75

Retour sur les mouvements de corps rigide Une transformation homogène est appelée mouvement de corps rigide lorsque la distance entre tout couple de points matériels reste inchangée au cours du mouvement : (F.(X 1 X 2 )) 2 = (X 1 X 2 ).F T.F.(X 1 X 2 ) = (X 1 X 2 ).(X 1 X 2 ) = F T.F = C = 1 Le gradient de la transformation est donc orthogonal direct. C est une rotation Q (t). La transformation correspondante est x = Q (t).x + c (t) Déformations 46/75

Mesures de déformation candidats C, B, U, V quelques règles supplémentaires conventionnelles pour une mesure de déformation : elle est symétrique et sans dimension physique; elle est nulle pour un mouvement de corps rigide et en F = 1 ; son développement limité autour de F = 1 s écrit 1 2 (H + H T ) + o(h ) = F 1 = Grad u les tenseurs de Green Lagrange et d Almansi H E := 1 2 (C 1 ), A := 1 2 (1 B 1 ) E = 1 2 (H + H T + H T.H ) E ij = 1 2 ( u i X j + u j X i + u k X i u k X j ) mesures lagrangiennes / mesures eulériennes de déformation Déformations 47/75

Grandes déformations / grandes rotations F = R.U Déformations 48/75

Petites déformations / grandes rotations U 1 + E, E 1 pour les corps élancés dans une ou deux directions (poutres, plaques et coques...), grandes transformation n implique pas nécessairement grande déformation... Déformations 49/75

Grandes déformations / petites rotations [R ] = représentation des petites rotations 1 0 0 0 1 0 + 0 0 1 cos φ sin φ 0 sin φ cos φ 0 0 0 1 0 φ 0 φ 0 0 0 0 0 R 1 + ω ω antisymétrique : ω T = ω Déformations 50/75

Petites déformations / petites rotations H = Grad u, F = 1 + H = 1 + ε + ω = 1 ε 2 (H + H T ), ω = 1 2 (H H T ) le contexte des transformations infinitésimales (dans un référentiel donné) : H = Grad u 1 F = O(1 ) transformation infinitésimale = petite déformation + petite rotation F = 1 + ε + ω (1 + ω ).(1 + ε ) tenseur des déformations infinitésimales ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) tenseur des rotations infinitésimales ω ij := 1 2 (u i,j u j,i ) objectif : tenue en service des matériaux et des structures (dimensionnement, fiabilité) piège : on peut toujours calculer ε mais il n a de sens que dans le contexte infinitésimal... F = Q = C = 1, E = 0 mais ε = 1 2 (Q + Q T ) 1 0!!! Déformations 52/75

Etude des déformations dans le contexte infinitésimal C 1 + 2ε, E ε variation de volume dv dv = det F = det cas d une transformation isochore variation de longueur variation d angle 1 + u 1,1 u 1,2 u 1,3 u 2,1 1 + u 2,2 u 2,3 u 3,1 u 3,2 1 + u 3,3 λ(m ) = dx dx = M.C.M cos θ = m 1.m 2 = M 1.C.M 2 λ(m 1 )λ(m 2 ) cas de deux directions initialement orthogonales Déformations 53/75

Etude des déformations dans le contexte infinitésimal C 1 + 2ε, E ε variation de volume dv dv div u = trace ε dv cas d une transformation isochore : trace ε = 0 dx dx variation de longueur dx si M = e 1, l allongement relatif est ε 11 variation d angle M cos θ = 1.M 2 + 2M 1.ε.M 2 (1 + M 1.ε.M 1 )(1 + M 2.ε.M 2 ) M.ε.M cas de deux directions initialement orthogonales : γ 2M 1.ε.M 2 si M 1 = e 1, M 2 = e 2, alors γ 2ε 12 Déformations 54/75

Application : jauges de déformation dx dx dx M.ε.M Déformations 55/75

Application : jauges et extensomètres Dans une zone utile où la transformation est (quasi )homogène, C 11 = l 2 X 2 X 1 = l 0 M x 2 x 1 = l m l 2 0 Dans le contexte infinitésimal, E 11 = l 2 l 2 0 l 2 0 ε 11 = l l 0 l 0 = δl l 0 Si F.M M, F 11 = U 11 = l l 0 Déformations 56/75

Position du problème de compatibilité le champ C (X, t) caractérise la forme actuelle de tous les petits parallélogrammes individuels Compatibilité d un champ de déformation 59/75

Position du problème de compatibilité le champ C (X, t) caractérise la forme actuelle de tous les petits parallélogrammes individuels Compatibilité d un champ de déformation 60/75

Position du problème de compatibilité A quelles conditions est il possible de reconstituer le puzzle et comment passer de à? Compatibilité d un champ de déformation 61/75

Position du problème de compatibilité Question 1 (théorique) : soit C (X ) un champ de tenseurs d ordre 2 symétriques définis positifs, à quelles conditions existe t il une transformation Φ(X ) telle que (Grad Φ) T.(Grad Φ) = C? Si un tel champ u (X ) existe, le champ de déformation C (X ) est dit compatible Question 2 (théorique, pratique) : si ces conditions sont remplies, de combien diffèrent les solutions possibles? Question 3 (pratique) : si ces conditions sont remplies, comment reconstituer le(s) champ(s) de déplacement du milieu si l on connaît le champ de déformation? en d autres termes, connaissant C (X ), comment reconstituer R (X ) pour connaître F (X ) et l intégrer ensuite? Compatibilité d un champ de déformation 62/75

Un cas particulier Trouver une classe de champs C qui soient systématiquement compatible? Compatibilité d un champ de déformation 63/75

Un cas particulier : les déformations homogènes Trouver une classe de champs C (X ) qui soient systématiquement compatible? les déformations homogènes sont toujours compatibles : C (X ) = C 0 (les pièces du puzzle ont toutes la même forme parallélépipédique) Si la transformation est homogène (F (X ) = F 0 ), alors la déformation est homogène démonstration basée sur l unicité de la décomposition polaire Si la déformation est homogène (C (X ) = C 0 ) alors la transformation est homogène intuitif mais démonstration plus délicate Compatibilité d un champ de déformation 64/75

Un cas particulier : les déformations homogènes Trouver une classe de champs C (X ) qui soient systématiquement compatible? les déformations homogènes sont toujours compatibles : C (X ) = C 0 (les pièces du puzzle ont toutes la même forme parallélépipédique) Si la transformation est homogène (F (X ) = F 0 ), alors la déformation est homogène démonstration basée sur l unicité de la décomposition polaire Si la déformation est homogène (C (X ) = C 0 ) alors la transformation est homogène intuitif mais démonstration plus délicate Corollaire : si la déformation de Green Lagrange E est nulle en tout point, alors la transformation est un mouvement de corps rigide Compatibilité d un champ de déformation 65/75

Réponse à la question 2 Soit C (X ) un champ compatible de tenseurs d ordre 2 symétriques définis positifs. Supposons qu il existe 2 transformations Φ 1 (X ) et Φ 2 (X ) de déplacements dont C (X ) soit le champ des déformations de Cauchy Green droit associé. Quel est le lien entre Φ 1 et Φ 2? Compatibilité d un champ de déformation 66/75

Réponse à la question 2 Soit C (X ) un champ compatible de tenseurs d ordre 2 symétriques définis positifs. Supposons qu il existe 2 transformations Φ 1 (X ) et Φ 2 (X ) de déplacements dont C (X ) soit le champ des déformations de Cauchy Green droit associé. Quel est le lien entre Φ 1 et Φ 2? Réponse : les deux transformations diffèrent d un mouvement de corps rigide F 2 = Q.F 1 Φ 2 (X ) = Q.Φ 1 (X ) + c Compatibilité d un champ de déformation 67/75

Réponse à la question 2 Soit C (X ) un champ compatible de tenseurs d ordre 2 symétriques définis positifs. Supposons qu il existe 2 transformations Φ 1 (X ) et Φ 2 (X ) de déplacements dont C (X ) soit le champ des déformations de Cauchy Green droit associé. Quel est le lien entre Φ 1 et Φ 2? Réponse : les deux transformations diffèrent d un mouvement de corps rigide F 2 = Q.F 1 Φ 2 (X ) = Q.Φ 1 (X ) + c On va répondre aux questions 1 et 3 uniquement dans le contexte infinitésimal Compatibilité d un champ de déformation 68/75

Compatibilité dans le contexte infinitésimal Soit ε (X ) un champ de tenseurs symétriques, à quelles conditions existe t il un champ de déplacements u (X ) tel que 1 ( ) (Grad u ) + (Grad u ) T = ε 2 (X )? les 6 champs ε ij (X ) ne doivent dépendre en fait que de la connaissance de 3 champs u i (X ) Conditions de compatibilité : i, j, k, l, ε ij,kl + ε kl,ij = ε il,jk + ε jk,il Compatibilité d un champ de déformation 70/75

Conditions de compatibilité cas 2D ε 11,22 + ε 22,11 2ε 12,12 = 0 3 champs ε ij - 1 condition = 2 degrés de liberté (u 1, u 2 ) cas 3D ε 11,22 + ε 22,11 2ε 12,12 = 0 ε 22,33 + ε 33,22 2ε 23,23 = 0 ε 33,11 + ε 11,33 2ε 31,31 = 0 ε 12,23 + ε 23,12 = ε 22,31 + ε 31,22 ε 23,31 + ε 31,23 = ε 33,12 + ε 12,33 ε 31,12 + ε 12,31 = ε 11,23 + ε 23,11 on peut établir trois relations supplémentaires liant ces équations = 3 conditions indépendantes seulement 6 champs ε ij - 3 conditions = 3 degrés de liberté (u 1, u 2, u 3 ) Compatibilité d un champ de déformation 71/75

Bilan : transports convectifs Transport d un élément de fibre matérielle : dx = F.dX Transport d un élément de surface : Transport d un élément de volume : ds = J F T ds dv = J dv Bilan : déformation du milieu continu 73/75

Bilan : transformations finies F = R.U = V.R gradient de la transformation (det F > 0) R rotation propre (det R = 1) U V tenseur droit de déformation pure tenseur gauche de déformation pure C := F T.F = U 2 B := F.F T = V 2 E := 1 2 (C 1 ) tenseur de Cauchy Green droit tenseur de Cauchy Green gauche tenseur de Green Lagrange A := 1 2 (1 B 1 ) tenseur d Almansi Bilan : déformation du milieu continu 74/75

Bilan : le contexte infinitésimal H = ε + ω = Grad u gradient du déplacement ε = 1 2 (Grad u + (Grad u )T ) tenseur des déformations infinitésimales ω = 1 2 (Grad u (Grad u )T ) tenseur des rotations infinitésimales F = 1 + ε + ω (1 + ε ).(1 + ω ), C 1 + 2ε B, E ε dx dx dx M.ε.M allongement infinitésimal dv dv dv div u = trace ε variation de volume infinitésimale Bilan : déformation du milieu continu 75/75