Exercice 1 /Calcul-Algébrique/exo-001/texte 1. Question de cours : Citer la règle du produit nul. 2. Développer, réduire et ordonner (2x + 1) 2 16.. En factorisant (2x + 1) 2 16, établir que : (2x + 1) 2 16 = (2x )(2x + 5) 4. Résoudre l équation (2x + 1) 2 16 = 0. On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre et le multiplier par 2. Ajouter 1 au nombre obtenu. Élever le résultat au carré. Soustraire 16 au nombre obtenu. 1. Qu obtient-on comme résultat si le nombre choisi au départ est ( 0,5)? Et si le nombre choisi au départ est noté x? 2. Est-il possible que le résultat obtenu soit égal à 0? Si oui, préciser dans quel(s) cas.. Quel est le plus petit résultat que l on puisse obtenir? Justifier la réponse. 4. Que peut-on dire du programme de calcul suivant? Justifier la réponse. Choisir un nombre et lui ajouter 1. Multiplier le résultat par le nombre choisi au départ. Soustraire,75 au nombre obtenu. Multiplier le résultat obtenu par 4. Exercice 2 /Calcul-Algébrique/exo-007/texte Soit T(x) = (2x + 1)(x + 4) (2x + 1) 2. 1. Développer, réduire et ordonner T(x). 2. Factoriser T(x). Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x 2 + 7x +. åò ÓäÒ ê Exercice 4 Soit F(x) = (2x + 1) 2 (x 5) 2. /Calcul-Algébrique/exo-020/texte 1. Développer, réduire et ordonner F(x). 2. En factorisant (2x + 1) 2 (x 5) 2, établir que : F(x) = (x + 6)(x 4). Résoudre l équation F(x) = 0. 4. Résoudre l équation F(x) = 24. Exercice 5 /Calcul-Algébrique/exo-027/texte 1. On donne C(x) = (x + 2)(4x 1) (x + 2)(x + 5). a) Factoriser C(x). b) Résoudre algébriquement l équation C(x) = 0. 2. On donne D(x) = (x 4) 2 (2x + ) 2. a) Prouver, en détaillant les étapes, que : b) Factoriser D(x). D(x) = 5x 2 6x + 7 c) Résoudre algébriquement l équation D(x) = 7. Exercice 6 /Calcul-Algébrique/exo-00/texte n désignant un entier naturel, on note f(n) = n 2 +8n+15. 1. Calculer f(0), f(1) et f(2). Ces nombres sont-ils des nombres premiers? 2. Développer, réduire et ordonner (n + 4) 2 1.. Factoriser (n + 4) 2 1. 4. Déduire des questions précédentes que f(n) n est jamais un nombre premier. Exercice 7 Compléter les cases non grisées du tableau ci-dessous : /Calcul-Algébrique/exo-01/texte 1. Calculer l image de 2 puis celle de 1 par f. 2. Résoudre algébriquement l équation f(x) =.. Déterminer par le calcul les antécédents de 0 par f. Exercice /Calcul-Algébrique/exo-019/texte 1. Développer, réduire et ordonner (x + 1) 2 16. 2. Factoriser (x + 1) 2 16.. Quatre réels x, y, z et t sont tels que : x > 0 et y est la somme de x et 4 ; z est le produit de et y ; t est la somme de 7 et de l opposé de y. a) Exprimer y, z et t en fonction de x. On donnera les résultats sous forme réduite. b) Déterminer ces quatre réels si leur somme est 167. c) Sachant que le produit des deux premiers est égal à la somme des deux autres nombres, déterminer les valeurs respectives de x, y, z et t. 5x 4x = x 6x = = 42x 2 Exercice 8 /Calcul-Algébrique/exo-09/texte Les maisons d Albert et de Marcel sont distantes de 2,6 km et situées du même côté de la voie ferrée. Celle d Albert n est qu à 700 m de la voie ferrée (rectiligne), tandis que celle de Marcel est à 1 km de plus. Pourtant, elles sont toutes deux à la même distance de la gare. À quelle distance de la gare se situent les deux maisons? + + =
Exercice 9 /Calcul-Algébrique/exo-05/texte 1. Développer, réduire et ordonner (2x + ) 2 16. 2. Factoriser les expressions 4x 2 + 12x et (2x + ) 2 16.. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre et le multiplier par 2. Ajouter au produit obtenu. Élever le tout au carré. Retirer 16 au résultat obtenu. c) Résoudre l équation (x 8)(x 2) = 0. 2. On considère un rectangle ABCD tel que AB = 10 cm et BC = 4 cm. M désigne un point mobile sur [CD] et on nomme x la longueur, exprimée en centimètres, du segment [DM]. A 10 cm B 4 cm a) On souhaite obtenir ( 7) comme résultat final. Estce possible? Si oui, quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ? b) Quel est le plus petit résultat final possible? Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour l obtenir? Exercice 10 /Calcul-Algébrique/exo-055/texte 1. a) Développer, réduire et ordonner (x 5) 2 9. b) Factoriser (x 5) 2 9. D x cm M a) Dans quel intervalle le réel x varie-t-il? b) Exprimer CM en fonction de x puis prouver que BM 2 = x 2 20x + 116. c) Est-il possible que le triangle ABM soit rectangle en M? Si oui, dans quel(s) cas? Exercice 11 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, il est demandé de noter la lettre qui correspond à l unique réponse exacte dans la colonne de droite. 1. Parmi les expressions ci-dessous, une seule est écrite sous la forme d un produit. Laquelle? /Calcul-Algébrique/exo-029/texte a. (2x + ) 2 (x 2) 2 b. (2x + )(x 2) c. 2x + (x 2) d. 2 + (x + )(x 2) 2. Parmi les équations ci-dessous, une seule admet exactement deux solutions dans R. Laquelle? a. x 2 = 7 b. x 2 = 4 c. x 2 = 0 d. 2x + 1 = 8. Parmi les réels ci-dessous, un seul est solution de l équation x = x + 2. Lequel? a. 0 b. 1 c. 2 d. C
Ó Ö Ö ê Exercice 1 /Calcul-Algébrique/exo-001/corrige 1. Je cite la règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. 2. Je développe, réduis et ordonne (2x + 1) 2 16 : (2x + 1) 2 16 = (2x) 2 + 2 2x 1 + 1 2 16 = 4x 2 + 4x + 1 16 = 4x 2 + 4x 15. Je factorise (2x + 1) 2 16 : (2x + 1) 2 16 = (2x + 1) 2 4 2 = [(2x + 1) 4][(2x + 1) + 4] = (2x )(2x + 5) 4. Je résous l équation (2x + 1) 2 16 = 0. (2x + 1) 2 16 = 0 (2x )(2x + 5) = 0 2x = 0 ou 2x + 5 = 0 2x = ou 2x = 5 x = 2 ou x = 5 2 Conclusion : L équation (2x + 1) 2 16 = 0 admet exactement deux solutions : 5 2 et 2 1. Soit ( 0,5) le nombre choisi au départ. Je le multiplie par 2 et j obtiens ( 1). J ajoute 1 et j obtiens 0. J élève le résultat au carré et j obtiens 0. Je soustrais 16 et j obtiens ( 16). Conclusion : Si le nombre choisi au départ est ( 0,5) alors le résultat obtenu est ( 16). Soit x le nombre choisi au départ. Je le multiplie par 2 et j obtiens 2x. J ajoute 1 et j obtiens 2x + 1. J élève le résultat au carré et j obtiens (2x + 1) 2. Je soustrais 16 et j obtiens (2x + 1) 2 16. Conclusion : Si le nombre choisi au départ est x alors le résultat obtenu est (2x + 1) 2 16. 2. L équation (2x+1) 2 16 = 0 admettant deux solutions (voir question 4 de la première partie), il est possible que le résultat obtenu soit égal à 0. Pour cela, il faut et il suffit de choisir comme nombre de départ 5 2 ou 2.. Le plus petit résultat que l on puisse obtenir est ( 16). En effet, un carré est un réel positif donc (2x + 1) 2 0 d où (2x + 1) 2 16 16. Ce résultat minimal est obtenu en choisissant comme nombre de départ Å 1 2 ã. 4. Soit x le nombre choisi au départ. Je lui ajoute 1 et j obtiens x + 1. Je multiplie par le nombre choisi au départ et j obtiens x(x + 1). Je soustrais,75 et j obtiens x(x + 1),75. Je multiplie par 4 et j obtiens 4[x(x + 1),75]. Or, 4[x(x + 1),75] = 4(x 2 + x,75) = 4x 2 + 4x 15 = (2x + 1) 2 16 Conclusion : Ce second programme de calcul est équivalent au premier. En effet, en choisissant le même nombre de départ, tous deux conduisent au même résultat. Exercice 2 /Calcul-Algébrique/exo-007/corrige 1. Je développe, réduis et ordonne T(x) : T(x) = (2x + 1)(x + 4) (2x + 1) 2 = 6x 2 + 8x + x + 4 (4x 2 + 4x + 1) = 6x 2 + 11x + 4 4x 2 4x 1 = 2x 2 + 7x + 2. Je factorise T(x) : T(x) = (2x + 1)(x + 4) (2x + 1) 2 = (2x + 1)[(x + 4) (2x + 1)] = (2x + 1)(x + 4 2x 1) = (2x + 1)(x + ) 1. f( 2) = 2 2 2 + 7 2 + = 2 2 + 7 2 + = 4 + 7 2 + f Å 1 = 7 + 7 2 ã Å 1 = 2 = 2 1 9 + 7 + = 2 9 + 21 9 + 27 9 = 50 9 ã 2 + 7 1 + Conclusion : L image de 2 par f est 7 + 7 2 et celle de 1 50 est 9. 2. Je résous algébriquement l équation f(x) = : f(x) = 2x 2 + 7x + = 2x 2 + 7x = 0 x(2x + 7) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. f(x) = x = 0 ou 2x + 7 = 0 x = 0 ou 2x = 7 x = 0 ou x = 7 2 Conclusion : S = ß 72 ; 0. Déterminer par le calcul les antécédents de 0 par f revient à résoudre algébriquement l équation f(x) = 0. f(x) = 0 (2x + 1)(x + ) = 0 2x + 1 = 0 ou x + = 0 2x = 1 ou x = x = 1 ou x = 2 ß Conclusion : S = ; 1 2 Ainsi, 0 admet exactement deux antécédents par f : et 1 2.
Exercice Exercice 4 /Calcul-Algébrique/exo-019/corrige 1. Je développe, réduis et ordonne (x + 1) 2 16. (x + 1) 2 16 = x 2 + 2 x 1 16 = x 2 + 2x + 1 16 = x 2 + 2x 15 2. Je factorise (x + 1) 2 16. (x + 1) 2 16 = (x + 1) 2 4 2 = (x + 1 4)(x + 1 + 4) = (x )(x + 5). a) J exprime y, z et t en fonction de x. y est la somme de x et 4 donc y = x + 4 ; z est le produit de et y donc z = y = (x + 4) d où z = x + 12 ; t est la somme de 7 et de l opposé de y donc t = 7 + ( y) = 7 y = 7 (x + 4) = 7 x 4 d où t = x +. b) Je détermine les quatre réels x, y, z et t dans le cas où leur somme est égale à 167. x + y + z + t = 167 x + (x + 4) + (x + 12) + ( x + ) = 167 4x + 19 = 167 4x = 167 19 4x = 148 x = 148 4 x = 7 Avec x = 7, on a : y = 7 + 4 = 41 ; z = 7 + 12 = 12 ; t = 7 + = 4. Conclusion : La somme des quatre réels x, y, z et t est égale à 167 si, et seulement si, x = 7, y = 41, z = 12 et t = 4. c) Je détermine les quatre réels x, y, z et t dans le cas où le produit des deux premiers est égal à la somme des deux autres. x y = z + t x(x + 4) = (x + 12) + ( x + ) x 2 + 4x = x + 12 x + x 2 + 4x = 2x + 15 x 2 + 4x 2x 15 = 0 x 2 + 2x 15 = 0 (x + 1) 2 16 = 0 (d après question 1) (x )(x + 5) = 0 (d après question 2) Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. x = 0 ou x + 5 = 0 x = ou x = 5 La solution x = 5 n est pas retenue car l énoncé précise que x est un réel strictement positif. Avec x =, on a : y = + 4 = 7 ; z = + 12 = 21 ; t = + = 0. Conclusion : Les quatre réels x, y, z et t sont tels que le produit des deux premiers est égal à la somme des deux autres si, et seulement si, x =, y = 7, z = 21 et t = 0. /Calcul-Algébrique/exo-020/corrige 1. Je développe, réduis et ordonne F(x) : F(x) = (2x + 1) 2 (x 5) 2 = (2x) 2 + 2 2x 1 + 1 2 (x 2 2 x 5 + 5 2 ) = 4x 2 + 4x + 1 (x 2 10x + 25) = 4x 2 + 4x + 1 x 2 + 10x 25 = x 2 + 14x 24 2. Je factorise F(x) : F(x) = (2x + 1) 2 (x 5) 2 = [(2x + 1) (x 5)][(2x + 1) + (x 5)] = (2x + 1 x + 5)(2x + 1 + x 5) = (x + 6)(x 4). Je résous l équation F(x) = 0 : F(x) = 0 (x + 6)(x 4) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. F(x) = 0 x + 6 = 0 ou x 4 = 0 x = 6 ou x = 4 x = 6 ou x = 4 Conclusion : L équation F(x) = 0 admet exactement deux solutions : 6 et 4. 4. Je résous l équation F(x) = 24 : F(x) = 24 x 2 + 14x 24 = 24 x 2 + 14x = 0 x(x + 14) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. F(x) = 24 x = 0 ou x + 14 = 0 x = 0 ou x = 14 x = 0 ou x = 14 Conclusion : L équation F(x) = 24 admet exactement deux solutions : 0 et 14. Exercice 5 /Calcul-Algébrique/exo-027/corrige 1. a) Je factorise C(x) : C(x) = (x + 2)(4x 1) (x + 2)(x + 5) = (x + 2)[(4x 1) (x + 5)] = (x + 2)(4x 1 x 5) = (x + 2)(x 6) b) Je résous algébriquement l équation C(x) = 0 : C(x) = 0 (x + 2)(x 6) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. C(x) = 0 x + 2 = 0 ou x 6 = 0 x = 2 ou x = 6 x = 2 ou x = 2 Conclusion : L équation C(x) = 0 admet exactement deux solutions dans R : 2 et 2. 2. a) Je développe, réduis et ordonne D(x) : D(x) = (x 4) 2 (2x + ) 2 = (x) 2 2 x 4+4 2 ((2x) 2 +2 2x + 2 ) = 9x 2 24x + 16 (4x 2 + 12x + 9) = 9x 2 24x + 16 4x 2 12x 9 = 5x 2 6x + 7
b) Je factorise D(x) : D(x) = (x 4) 2 (2x + ) 2 = [(x 4) (2x + )][(x 4) + (2x + )] = (x 4 2x )(x 4 + 2x + ) = (x 7)(5x 1) c) Je résous algébriquement l équation D(x) = 7 : D(x) = 7 5x 2 6x + 7 = 7 5x 2 6x = 0 x(5x 6) = 0 x = 0 ou 5x 6 = 0 x = 0 ou 5x = 6 0, 7 A 2,6 M 1 1, 7 B x = 0 ou x = 6 5 Conclusion : L équation D(x) = 7 admet exactement deux solutions dans R : 0 et 6 5. Exercice 6 1. Je calcule f(0), f(1) et f(2) : /Calcul-Algébrique/exo-00/corrige f(0) = 0 2 + 8 0 + 15 = 15 ; f(1) = 1 2 + 8 1 + 15 = 24 ; f(2) = 2 2 + 8 2 + 15 = 5. On sait qu un entier est premier lorsqu il admet exactement deux diviseurs distincts dans N. Or, 15 = 5, 24 = 2 et 5 = 5 7 donc aucun de ces entiers n est premier. 2. Je développe, réduis et ordonne (n + 4) 2 1 : (n + 4) 2 1 = n 2 + 2 n 4 + 4 2 1 = n 2 + 8n + 16 1 = n 2 + 8n + 15. Je factorise (n + 4) 2 1 : (n + 4) 2 1 = (n + 4) 2 1 2 = (n + 4 1)(n + 4 + 1) = (n + )(n + 5) 4. Des deux questions précédentes, on déduit que : f(n) = n 2 + 8n + 15 = (n + 4) 2 1 = (n + )(n + 5) f(n) s écrit donc sous la forme d un produit de deux entiers naturels dont aucun n est égal à 1 (n étant un entier naturel, on a n + et n + 5 5). Ainsi, f(n) admet au moins quatre diviseurs distincts dans N (lui-même, 1, (n+) et (n+5)) d où f(n) n est jamais un nombre premier. Exercice 7 /Calcul-Algébrique/exo-01/corrige 42x 2 + 5x 4x = 20x 2 + + + x 6x = 18x 2 = = = 8x 10x = 80x 2 Exercice 8 /Calcul-Algébrique/exo-09/corrige Commençons par réaliser une figure sur laquelle A représente la maison d Albert, M celle de Marcel, G la gare, H et K les projetés orthogonaux respectifs de A et M sur la droite d symbolisant la voie ferrée et B le quatrième sommet du rectangle AHKB. H G K x 2, 4 x En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABM rectangle en B, on obtient : AB 2 = AM 2 BM 2 = 2,6 2 1 2 = 5,76 Or, AB 0 donc AB = 5,76 = 2,4. Posons HG = x. En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles AGH et GKM respectivement rectangles en H et en K, on obtient AG 2 = 0,7 2 + x 2 et GM 2 = 1,7 2 + (2,4 x) 2. Comme les maisons d Albert et de Marcel sont situées à même distance de la gare, il ne reste plus qu à résoudre l équation 0,7 2 + x 2 = 1,7 2 + (2,4 x) 2. 0,7 2 + x 2 = 1,7 2 + (2,4 x) 2 0,49 + x 2 = 2,89 + 2,4 2 2 2,4 x + x 2 0,49 + x 2 = 2,89 + 5,76 4,8x + x 2 4,8x = 2,89 + 5,76 0,49 4,8x = 8,16 x = 8,16 4,8 x = 1,7 S = {1,7} Ainsi, AG = 0,7 2 + 1,7 2 d où AG 1,88 (à 10 près). Conclusion : Les maisons d Albert et de Marcel sont toutes deux situées à environ 1,88 km de la gare. Exercice 9 /Calcul-Algébrique/exo-05/corrige 1. (2x + ) 2 16 = (2x) 2 + 2 2x + 2 16 = 4x 2 + 12x + 9 16 = 4x 2 + 12x 7 2. 4x 2 + 12x = 4x x + 4x = 4x(x + ) (2x + ) 2 16 = (2x + ) 2 4 2 = (2x + 4)(2x + + 4) = (2x 1)(2x + 7). En nommant x le nombre choisi au départ, le résultat final est (2x + ) 2 16. Choisir un nombre. x Le multiplier par 2. 2x Ajouter au produit obtenu. 2x + Élever le tout au carré. (2x + ) 2 Retirer 16 au résultat obtenu. (2x + ) 2 16
a) (2x + ) 2 16 = 7 4x 2 + 12x 7 = 7 4x 2 + 12x = 0 4x(x + ) = 0 4x = 0 ou x + = 0 x = 0 ou x = S = {0; } Conclusion : Oui, il est possible d obtenir ( 7) comme résultat final. Pour cela, il faut et il suffit de choisir 0 ou ( ) comme nombre de départ. b) Un carré est un réel positif donc (2x + ) 2 0 donc (2x + ) 2 16 16 d où le résultat final est supérieur ou égal à ( 16) quel que soit le nombre choisi au départ. Par ailleurs : (2x + ) 2 16 = 16 (2x + ) 2 = 0 2x + = 0 2x = x = 2 Conclusion : Le plus petit résultat final possible est Å( 16) et, pour l obtenir, il faut et il suffit de choisir ã comme nombre de départ. 2 Exercice 10 /Calcul-Algébrique/exo-055/corrige 1. a) (x 5) 2 9 = x 2 2 x 5 + 5 2 9 = x 2 10x + 25 9 = x 2 10x + 16 b) (x 5) 2 9 = (x 5) 2 2 = (x 5 )(x 5 + ) = (x 8)(x 2) c) En appliquant la règle du produit nul (Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul.), on obtient : (x 8)(x 2) = 0 x 8 = 0 ou x 2 = 0 x = 8 ou x = 2 Conclusion : S = {2; 8}. 2. a) La longueur DM est minimale lorsque M est en D et on a alors x = 0. La longueur DM est maximale lorsque M est en C et on a alors x = 10. Conclusion : x varie dans l intervalle [0; 10]. b) CM = CD DM = 10 x En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle BCM rectangle en C, on obtient : BM 2 = BC 2 + CM 2 = 4 2 + (10 x) 2 = 16 + 10 2 2 10 x + x 2 = 16 + 100 20x + x 2 = x 2 20x + 116 Conclusion : CM = (10 x) cm et BM 2 = (x 2 20x + 116) cm 2. c) Le triangle ABM est rectangle en M si, et seulement si, AM 2 + BM 2 = AB 2. Or : AM 2 + BM 2 = AB 2 AD 2 + DM 2 + x 2 20x + 116 = 10 2 4 2 + x 2 + x 2 20x + 116 = 100 2x 2 20x + 16 + 116 100 = 0 2(x 2 10x + 16) = 0 x 2 10x + 16 = 0 (x 5) 2 9 = 0 (d après 1a) (x 8)(x 2) = 0 (d après 1b) x = 8 ou x = 2 (d après 1c) Conclusion : Oui, il est possible que le triangle ABM soit rectangle en M. Pour cela, il faut et il suffit que M soit situé à 2 ou à 8 centimètres du point D. Exercice 11 /Calcul-Algébrique/exo-029/corrige 1. Parmi les expressions données, la seule écrite sous la forme d un produit est (2x + )(x 2). 2. Parmi les équations données, la seule qui admet exactement deux solutions dans R est x 2 = 7. Ces deux solutions sont 7 et 7.. Parmi les réels donnés, le seul qui soit solution de l équation x = x + 2 est 2. En effet, 2 = 8 et 2 + 2 = 8 d où 2 = 2 + 2. Bonnes réponses : b. - a. - c.